第四章平面问题有限元分析及程序设计

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有限元分析——平面问题

Re=
NT
s
Pstds
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4、整体分析整体刚度矩阵整体刚度矩阵组装的基本步骤：
先求出各个单元的单元刚度矩阵；将单元刚度矩阵中的每个子块放在整体刚度矩阵中的对应位置上，得到单元的扩大刚度矩阵；将全部单元的扩大矩阵相加得到整体刚度矩阵。
不失一般性，仅考虑模型中有四个单元，如图所示，四个单元的整体节点位移列阵为
τZX z= + t/2 =0
因板很薄，载荷又不沿厚度变化，应力沿板的厚度方向是连续分布的，可以认为，在整
Z
个板内各点都有
σZ=0 τYZ=0 τZX=0
O
tX
图1 平面应力问题
根据剪应力的互等性、物理方程，可得描述平面应力问题的八个独立的基本变量为
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σ=[σX σY τXY]T ε=[εX εY γXY]T
x2 y2 ɑ1= x 3 y 3
1 y2 b1=- 1 y 3
1 c1= 1
x2 x3
(1,2,3)
上式表示下标轮换，即1 2，2 3，3 1同时更换。
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重写位移函数，并以节点位移的形式进行表达，有
uv((xx,,yy))N（x,y）qe
其中形函数矩阵为
Y
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图2 平面应变问题
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根据几何方程、物理方程可得，描述平面应变问题的独立变量也是八个，且与平面应力问题的一样。只是弹性矩阵变为
1
D=
E1
1 1 2 1
1

第4章平面问题的有限元法-4收敛准则

1 2 3 4 5 6 7 1 3 5 7 9 11 13
8
9 10 11 12 13 14
2
4
6
8 10 12 14
(a)
(b)
图4-13
四. 单元节点i、j、m的次序在前面章节中，我们曾指出，为了在计算中保证单元的面积不会出现负值，节点i、j、m的编号次序必须是逆时针方向。事实上，节点i、j、m的编号次序是可以任意安排的，只要在计算刚度矩阵的各元素时，对取绝对值，即可得到正确的计算结果。在实际计算时，应该注意所选有限元分析软件的使用要求。五. 边界条件的处理及整体刚度矩阵的修正在前面讨论整体刚度矩阵时，已经提到，整体刚度矩阵的奇异性可以提高考虑边界约束条件来排除弹性体的刚体位移，以达到求解的目的。
B =2(d+1)
若采取带宽压缩存储，则整体刚度矩阵的存储量N 最多为N =2nB = 4n(d+1) 其中：d为相邻节点的最大差值，n为节点总数。例如在图4-13中，(a)与(b)的单元划分相同，且节点总数都等于14，但两者的节点编号方式却完全不同。(a) 是按长边进行编号， d =7， N =488；而(b)是按短边进行编号，d =2，N =168。显然(b)的编号方式可比(a)的编号方式节省280个存储单元。
为了保证解答的收敛性，要求位移模式必须满足以下三个条件，即 ⑴ 位移模式必须包含单元的刚体位移。也就是说，当节点位移是由某个刚体位移所引起时，弹性体内将不会产生应变。所以，位移模式不但要具有描述单元本身形变的能力，而且还要具有描述由于其它单元形变而通过节点位移引起单元刚体位移的能力。例如，三角形三节点单元位移模式中，常数项1、4 就是用于提供刚体位移的。 ⑵ 位移模式必须能包含单元的常应变。每个单元的应变一般都是包含着两个部分：一部分是与该单元中各点的坐标位置有关的应变（即所谓各点的变应变）；另一部分是与位置坐标无关的应变（即所谓的常应变）。从物理意义上看，

弹性力学与有限元分析-第四章平面问题有限元分析及程序设计

有限单元法及程序设计
第四章平面问题有限元分析及程序设计
§4.1 平面问题单元离散 §4.2 平面问题单元位移模式 §4.3 平面问题单元分析 §4.4 平面问题整体分析 §4.5 平面问题有限元程序设计
有限元网格划分的基本原则
• 网格数目 • 网格疏密 • 单元阶次 • 网格质量 • 网格分界面和分界点 • 位移协调性 • 网格布局 • 结点和单元编号 • 网格自动剖分
f
y
面力
f
f y
xy
xy
基本量和方程的矩阵表示
位移
d
u
v
物理方程简写为
x y
xy
E
1 2
1
0
1
0
0 0
x y
1
xy
2
D
§4.2 单元位移模式
几何方程：
ux
v y
xvuyT
只要知道了单元的位移函数，就可由几何方程求出应变，再由物理方程就可求出应力。
（1）位移模式必须能够反映单元的刚体位移；（2）位移模式必须能够反映单元的常应变；
必要条件
（3）位移模式尽可能反映位移的连续性；
u12x3y12x5 23y5 23y v4 5x6y46y5 23x5 23x
u0 1
v0 4
5 3
2
刚体平动
刚体转动
充分条件
u
v
u0 v0
y x
作业： P141 6-1
u12x3y N iuiNjujN m um
其中， N i 、N j 、N m 是系数，是 x、 y 的线性函数；
可以求得：
N i a i b ix ciy2A (i, j, m )

有限元分析及应用第四章

则称ϕ1、ϕ２Lϕ n 线性相关；
(ii) 若 c1ϕ1 + c2ϕ 2 + L + cnϕ n ≡ 0
仅当
c1
才成立，则称
ϕ=1c、2
=L= ϕ２Lϕ
cn
n
≡0
线性无关。
（２）线性空间的维数
若线性空间Ｅ满足
（i）任意 n+1 个元素一定线性相关。
（ii）存在着 n 个线性无关的元素。
则称线性空间Ｅ的维数为 n。
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cosα ≤ a ⋅ b
上式为 Euclid 空间的三角不等式，此式仅是 Schwarz 不等式的一个特例。５、收敛性与完备性（1）收敛性
∀ 点列{xn } ∈E（赋范线性空间），若存在
lim xn − x0 = 0
n →∞
则，x0 称为点列{xn }的强极限，读作：{xn }强收敛于 x0 ，注意模的定义不同收敛的涵
c1ϕ1 + c2ϕ 2
c1ϕ1′ + c2ϕ 2′
第 1 页共 17 页
有限元分析与应用
霍战鹏
也在（a, b）上连续。所有函数本身及一阶导数都在（a, b）上连续的函数组成一种线性空
间，记作 C1[a, b]。例４ Rn n 维欧氏空间是线性空间，R2（二维平面）, R3（三维空间）是 n 维欧氏空
形的项点为结点，以结点处的函数值对单元内的位移场进行分片线性插值。根据第 3-4 节的
分析可知，对于这样定义的函数 u(x,y)在Ω上连续，且积分
y
∫∫ ∫∫ ∫∫ Ω
u 2dxdy
、
Ω
∂u ∂x
2 dxdy
、
Ω

有限元分析第四章

19
4）形函数的性质
形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具有以下性质：性质1 形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点上的值等于0。对于本单元，有
20
Ni ( xi , yi ) 1 Ni ( x j , y j ) 0 Ni ( xm , ym ) 0
（i、j、m）
利用 N i 1 (ai bi x ci y )和ai、bi、ci公式证明 2A
对于一个具体问题进行分析，不管采用什么样的单元，分析过程与思路是一样的，所不同的只是各种单元的位移模式和单元刚度矩阵不一样，其他的包括整体刚度矩阵的组装过程都完全一样，所以我们仅仅对矩形单元位移模式的求取和单元刚度矩阵的求解加以介绍。
4.7 收敛准则
可以证明，对于一个给定的位移模式，其刚度系统的数值要比精确值大。所以，在给定载荷的作用下，有限元计算模型的变形要比实际结构的变形小。因而，当单元网格分得越来越细时，位移的近似解将由下方收敛于精确解，即得到真实解的下界。为了保证解答的收敛性，要求选取的位移模式必须满足以下三个条件： 1）位移模式必须包含单元的刚体位移也就是说，当节点位移是某个刚体位移所引起时，弹性体内将不会产生应变。所以位移模式不但要具有描述单元本身形变的能力，而且还要具有描述由其他变形而通过节点位移引起单元刚体位移的能力。例如，三角形三节点位移模式中，常数项就是用于提供刚体位移的。
Ni(x、y)
1 i(xi，yi) x xi
x xi N i ( x, y ) 1 x j xi
N m ( x, y ) 0
证
N
y j (xj，yj)
m (xm，ym)
xj
x
N i ( x, y )

有限元 2-弹性力学平面问题有限单元法(2.3程序设计,2.4矩形单元,2.5六节点三角形单元)

2.3 平面问题有限元程序设计一、程序设计方法与结构分析程序的特点1．程序设计方法论简述借助计算机来完成某项工作，通常都要先编写相应的计算机程序，或叫程序设计。

完成一个结构分析或结构CAD系统也必然要经过程序设计才能实现。

程序设计要使用专门的程序语言。

我国结构程序设计中所采用的语言，在60年代和70年代初以ALGOL语言为主。

此后逐步广泛使用的主要是BASIC语言和FORTRAN语言，随着CAD 和人工智能技术的发展，PASCAL、 C、LISP、 PROLOG等有着各自特长的程序语言也逐步进入土木工程领域的计算机程序设计中。

过去人们通常认为，程序设计的中心问题就是学会使用一种程序语言，用以编写程序。

然而学会用程序语言编程只是整个程序设计中的一部分。

据有关资料介绍，编写程序在整个系统的研制过程中仅占15％的工作量。

在一个大型程序系统的整个存在阶段的工作量中，在系统投入使用后的维护工作量为原来研制工作量总和的两倍（这一点在作者所从事的软件开发工作中也得到充分的证明）。

维护工作量是如此之高，这就使我们必须注意到，在程序研制阶段便即应当考虑为以后的维护工作提供方便，哪怕是为此要增加一些额外的工作量也是值得的。

要编制一个好的程序系统并没有一种绝对的规则，就象是工程设计没有一种绝对规则一样。

但对于程序设计的好坏现在已逐渐形成了一套评价的客观标准。

这些标准大致分为以下几个主要方面：(1) 程序的可读性;(2) 正确性与可靠性;(3) 使用方便且效率高;(4) 软件的可移置性;(5) 易于调试与维护。

直到1970年代中期人们才认识到软件的维护是软件研究的一个关键领域。

造成软件维护工作量大的原因之一是与程序研制过程中所采用的设计方法不够科学化有关。

为了解决这一问题，人们开展了对于程序设计方法论的研究与实践，其目标是使软件正确、可靠和降低整个软件研制活动的费用。

总的来说，程序设计已从强调灵活的技巧和局部效率向着强调程序结构化和整体功能的方向发展。

4.5.14.5平面问题有限元分析步骤及计算实例

K
88
K 12 11 K21 1
K 12 31
K41 2
K22 1 K32 1
K 12 33
K43 2
K
44
2
由于[Krs]=[Ksr]T，又单元1和单元2的节点号按1、2、
3对应3、4、1，则可得：
K11 1
K33 2
3E 16
3 0
0 1
K21 1 K43 2
K12 1
3E 8
3 1 0
0 0 1
3 1 1
1 3 1
0 0 1
013
q/E 0
q/E 0
3E 8
8q
0 /(3E) 0
0 q1
0
0
单元应力可看作是单元形心处的应力值。
7）引入约束条件，修改刚度方程并求解
根据约束条件：u1 =v1=0；v2=0；u4=0和等效节点力列
阵：F 0 0 0 0 0 q / 2 0 q / 2T
五. 边界条件的处理及整体刚度矩阵的修正整体刚度矩阵的奇异性可以通过引入边界约束条件来排除弹性体的
刚体位移，以达到求解的目的。
（两种）方法 “化1置0法”
“乘大数法”
⑴修改后的总刚为非奇异，对应的总体平衡方程可求解； ⑵如果已知位移不等于0，采用第二种方法，固定约束用第一种方法。 ※求解可以采用解方程组的任何一种方法。（高斯消去法常用），可借用一些计算机软件：如Matlab，Excel等。
所以 q / E0 0 1/ 3 0 1/ 3 1 0 1T
习题和思考题
• 4.1三角形常应变单元的特点？ • 4.2平面问题有限元法的基本思想和解题步骤。 • 4.3简述形函数的概念和性质。 • 4.4平面问题整体刚度矩阵的推导过程。 • 4.5矩形单元的特点？ • 4.6有限元方法解的收敛准则。

有限元方法课件第四章平面三角形单元

第四章平面三角形单元
第四章平面三角形单元
§4–1 有限元法的基本思想 §4–2 三角形常应变单元 §4–3 形函数的性质 §4–4 刚度矩阵 §4–5 等效节点力载荷列阵 §4–6 有限元分析的实施步骤 §4–7 计算实例
§4-1 有限元法的基本思想
一、有限元法的基本思想假想的把一连续体分割成数目有限的小体（单元），
vi (Vi )
i ui (Ui )
m
um (Um )
o
x
图4-2 平面三角形单元
将 (d) 式代入 (b) 式的第一式，经整理后得到
u 1 2ai源自bi x ci yuiaj
bjx cj y
uj
am bm x cm yum
(e)
其中同理可得
ai
xj xm
yj ym
x j ym xm y j
这样，位移模式 (e) 和 (f) 就可以写为
u Ni ui N j u j N mum v Nivi N jv j Nmvm
(4-11)
也可写成矩阵形式
f
u v
Ni I
NjI
NmI e N e
(4-12)
式中 I是二阶单位矩阵；Ni 、Nj 、Nm 是坐标的函数，它们反映了单元的位移状态，所以一般称之为形状函数，简称形函数。矩阵 [N] 叫做形函数矩阵。三节点三角形单元的形函数是坐标的线性函数。单元中任一条直线发生位移后仍为一条直线，即只要两单元在公共节点处保持位移相等。则公共边线变形后仍为密合。
f N e
（4-1）
f ——单元内任一点的位移列阵； e——单元的结点位移列阵；
N ——单元的形函数矩阵；（它的元素是任一点位置坐

平面问题的有限元分析

4.1 三角形常应变单元
（1）单元特性分析 1）用面积坐标建立单元位移场——面积坐标的定义
Ai Apjm Aj Apmi Ak Apij
恒等关系：
A Ai Aj Am Aijm
P点位置可由3个比值来确定：
p(Li , Lj , Lm )
其中面积坐标：
Li Ai / A Lj Aj / A Lm Am / A
4)：单元推导。对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中
包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵(结构力学中称刚度阵或柔度阵)。
对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约
束。 5)总装集成。将单元总装形成离散域的总矩阵方程(联合方程组)，反映对近似
0
Nm
Ni
I22
单元内任意一点的位移可由节点位移表示为：
N j I22
d
u
v
Nδe
e ui vi u j v j um
Nm I22
T
vm
4.1 三角形常应变单元
（1）单元特性分析
2）单元应变和单元应力
d
u
v
Nδe
代入
ε
x y
u / x v / y
xy
u / y v / x
其中
K rs
BrT DBshA
Eh
4(1 2 ) A
brbs
1
2
crcs
crbs
1
2
brcs
brcs
1
2
crbs
crcs
1
2
brbs
4.1 三角形常应变单元

第四章有限元单元法

¾ ADINA
★ FLUENT
¾ ANSYS
★ SAP
(3) 有限单元法的未来
应用需求：技术革新、设计理论、制造方法
基础产业：汽车、船舶、冶金、飞机高新产业：航天、微电系统、纳米器
件：
(3) 有限单元法的未来待发展的方面
1) 新的材料本构模型和单元型式
2) 结构在复杂环境条件下的全寿命过程响应分析
人类认识自然的得力助手
力学或工程领域求解问题的两大法宝：解析法和离散法
4.1.1 有限单元法的基本概念
解析法：
它从研究连续体中无限小的微分体入手，得出描述连续体性质的微分方程。然后根据边界条件、初始条件可解得一个通解。这个解可给出连续体内任一点上所求参数的值。核心是微分方程。微分方程的建立过程是近似的，而微分方程的求解过程是精确的。
E
• 长度分别为l1、l2 • 桁架的铰链处受到外力 X1、Y1、X2、Y2、X3、Y3
• 在1点和3点固定铰支求解内力
铰接桁架
求解过程：
(1). 将结构划分成典型单元的集合——离散化(节点力、节点位移)
－－求解过程：
(2).分析每个单元上节点力和节点位移之间的关系 ――单元特性分析
轧机牌坊（三维实体问题，弹性）
稳静态结构问题实例
出钢机部件分析（三维壳体问题，弹性）
稳静态结构问题实例
万向接轴叉头（三维实体问题，弹性）
稳静态结构问题实例
轧钢机刚度（三维实体问题，多体接触）
稳静态结构问题实例
沧州铁狮子（三维不规则实体，弹性）
稳静态结构问题实例
轧制过程仿真（三维实体，弹塑性、接触）
.500E+09
10000

有限元分析第4章平面问题有限单元法1

1
6
P
3
4 5
4
2
位移协调条件：各单元共享节点的位移相等节点平衡条件：各节点单元内力与节点外力构成平衡力系
最终数学模型： K Q
基本概念
单元（element）节点 (node)
回顾
单元节点位移 (node displacement)
单元节点内力 (node force)
单元刚度矩阵 (element stiffness matrix)
e
bx u by v
d
S
e p
px u py v dS
代入
u v

N

e
{} [B]{ }e
{ } [S]{ }e
得
内力虚功＝
e x x y y xy xy d
T d
cj
y)v j

(am
bmx

cm y)vm ]
二、平面问题三角形单元分析
三角形单元形函数
形函数
u x,
y

1 2A
[(ai

bi x

ci
y)ui

(a j

bj x

cj
y)u j

(am

bm x

cm
y)um ]
v x,
y

1 2A
[(ai

bi x

ci
y)vi

(a j

插值系数的确定：待定系数法
ui a1 a2 xi a3 yi u j a1 a2 x j a3 y j um a1 a2 xm a3 ym

第4章平面问题的有限元法-1离散化

e

T i

T j

T T m
u
i
vi
T
uj
vj
um
vm

T
(4-7)
其中的子矩阵
i ui
vi
（i，j，m 轮换） (a)
式中 ui、vi 是节点i在x轴和y轴方向的位移。
在有限单元法中，虽然是用离散化模型来代替原来的连续体，但每一个单元体仍是一个弹性体，所以在其内部依然是符合弹性力学基本假设的，弹性力学的基本方程在每个单元内部同样适用。从弹性力学平面问题的解析解法中可知，如果弹性体内的位移分量函数已知，则应变分量和应力分量也就确定了。但是，如果只知道弹性体中某几个点的位移分量的值，那么就不能直接求得应变分量和应力分量。因此，在进行有限元分析时，必须先假定一个位移模式。由于在弹性体内，各点的位移变化情况非常复杂，很难在整个弹性体内选取一个恰当的位移函数来表示位移的复杂变化，但是如果将整个区域分割成许多小单元，那么在每个单元的局部范围内就可以采用比较简单的函数来近似地表示单元的真实位移，将各单元的位移式连接
结构离散化后，要用单元内节点的位移通过插值(?)来获得单元内各点的位移。在有限元法中，通常都是假定单元的位移模式是多项式，一般来说，单元位移多项式的项数应与单元的自由度数相等。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应视单元的类型而定。（4-1） f N e
(c)
由(c)式左边的三个方程可以求得
1
1 uj 2 um ui xi xj xm 1 y j ,2 1 uj 2 ym 1 um yi 1 ui 1 y j , 1 1 xj 2 ym 1 xm yi 1 xi ui uj um

弹性力学平面问题的有限元法

形状函数
用于描述四节点四边形单元内任意一点的位移和应力状态。
刚度矩阵
由四节点四边形单元的形状函数和弹性力学基本公式构建，用于描述单元的刚度特性。
平面六面体八节点单元
六面体八节点单元
是一种三维有限元单元，具有六个面和八个节点。
形状函数
用于描述六面体八节点单元内任意一点的位移和应力状态。
刚度矩阵
对复杂问题的处理能力有限
对于一些高度非线性或耦合问题，有限元法可能难以获得准确解，需要采用其他数值方法或实验手段。
对高维问题的处理难度较大
随着问题维度的增加，有限元法的计算量和内存消耗会急剧增加，限制了其在高维问题中的应用。
未来发展方向与挑战
高效算法设计
研究更高效的有限元算法，提高计算速度和精度，降低计算成本。
载荷向量的确定
根据边界条件和外力分布，确定每个节点的载荷向量。
3
系统刚度矩阵与总载荷向量
将各个单元的刚度矩阵和载荷向量组合起来，形成系统刚度矩阵和总载荷向量。
求解线性方程组
线性方程组的求解
利用数值方法（如Gauss消去法、迭代法等）求解由系统刚度矩阵和总载荷向量构成的线性方程组。
解的收敛性与稳定性
02 弹性力学基本方程
应力和应变的关系
01
02
03
胡克定律
在弹性范围内，应力与应变之间存在线性关系，即应力与应变成正比。
应变分量
描述物体变形的量，包括线应变和角应变。
应力分量
描述物体内部受力情况的量，包括正应力和剪切应力。
平衡方程
静力平衡
物体在无外力作用下保持静止状态，即合力为零。
弹性力学平面问题的有限元法

第4章平面问题的有限元法-3刚度矩阵

二、整体刚度矩阵
讨论了单元的力学特性之后，就可转入结构的整体分析
。假设弹性体被划分为N个单元和n个节点，对每个单元按前述方法进行分析计算，便可得到N组形如（4-25）
式的方程。将这些方程集合起来，就可得到表征整个弹性体的平衡关系式。
1
i
j
m
n
1

外力在虚位移上所做的虚功
V

F1
* 1

F2
* 2

F3
* 3

* T
F
单位体积内的虚应变能

x
* x

y

* y

z
* z

xy

* xy

yz

* yz

zx
* zx

*
T

整个物体的的虚应变能
U * T dxdydz

e

ui
vi
u j
v j
um
T
vm
且假设单元内各点的虚位移为{f *}，并具有与真实位移
相同的位移模式。
故有
f N e
(c)
参照（4-13）式，单元内的虚应变{ *}为
B e
(d)
于是，作用在单元体上的外力在虚位移上所做的功可写为
br cs

1
2
cr bs
cr cs

1
2
brb s

( r = i、j、m；s = i、j、m ) (4-28)

有限元分析程序设计

结构有限元分析程序设计绪论§ 开设“有限元程序设计”课程的意义和目的§ 课程特点§ 课程安排§ 课程要求§ 基本方法复习$ 意义和目的1.有限元数值分析技术本身要求工程设计研究人员掌握1). 有限元数值分析技术的完善标志着现代计算力学的真正成熟和实用化,已在各种力学中得到了广泛的应用。

比如：，已杨为工程结构分析中最得以收敛的技术手段，现代功用大致有：a). 现代结构论证。

对结构设计从内力，位移等方面进行优劣评定，从而进行结构优化设计。

b)可取代部份实验，局部实验+有限元分析，是现代工程设计研究方法的一大特点。

c)结构的各种功能分析（疲劳断裂，可靠性分析等）都以有限元分析工具作为核心的计算工具。

2). 有限元数值分析本身包括着理论+技术实现（本身功用所绝定的）有限元数值分析本身包括着泛函理论+分片插值函数+程序设计2. 有限元分析的技术实现（近十佘年的事）更依赖于计算机程序设计有限元分析的技术取得的巨大的成就，从某种意义上说，得益于计算机硬件技术的发展和程序设计技术的发展，这两者的依赖性在当代表现得更加突出。

（如可视化技术）3.从学习的角度，不仅要学习理论，而且要从程序设计设计角度对这些理论的技术实现有一个深入的了解，应当致力于掌握这些技术实现能力，从而开发它，发展它。

（理论本身还有待于进一步完美相应的程序设计必须去开发）4.程序设计不仅是实现有限元数值分析的工具和桥梁，而且在以下诸方面也有意义：1). 精通基本概念，深化理论认识；2). 锻炼实际工程分析，实际动手的能力；3). 获得以后工作中必备的工具。

（作业+老师给元素库）目的：通过讲述有限元程序设计的技术与技巧，便能达到自编自读的能力。

§ 课程特点总描述：理论+算法+数据结构（程序设计的意义）理论：有限元算法，构造，步骤，解的等外性，收敛性，稳定性，误差分析算法；指求解过程的技术方法，含两方面的含义；a. 有限元数值分析算法，b, 与数据结构有关的算法（总刚稀疏存贮，提取，节点优化编号等）数据结构：指各向量矩阵存贮管理与实现，辅助管理结构（指针，数据记录等）具体特点：理论性强：能量泛函理论+有限元构造算法+数据结构构造算法内容繁杂：理论方法+技术方法+技术技巧技巧性强：排序，管理结构（指针生成，整型运算等）§ 课程安排①. 单元刚度矩阵及元素设计（单元刚阵算法，杆梁平面分析，板弯非协调元等）②. 总刚的形式及程序设计（单刚提前准备，技术复杂）③. l边界条件及程序设计（等效荷载计算，位移边界条件置入，多工况的对称性）④. 总刚线性方程组求解（LDL T分解，分块算法，子结构算法，波前法）⑤．单元应力计算+应力处理与改善。

第4章平面问题的有限元法-2形函数

(h)
利用形函数的这一性质可以证明，相邻单元的位移分利用形函数的这一性质可以证明，别进行线性插值之后，在其公共边上将是连续的。别进行线性插值之后，在其公共边上将是连续的。
y m
例如，对图4-3所示的单元 ijm 和ijn ，具有公共边ij。由(4-23)式可知，在ij边上
o
i j n
图4-3
N i ( x , y) + N j ( x , y) + N m ( x , y) 1 ai + bi x + ci y + a j + b j x + c j y + a m + bm x + cm y 2∆ 1 = (ai + a m + am ) + bi + b j + bm x + ci + c j + cm y 2∆ =1 =
(
)
1 b j cm − bm c j = ( x − xi ) 2∆ cm
(h)
故有
从上式计算的过程？
x − xi N j ( x, y) = x j − xi
(g)
另外，由（4-22）可以求得
x − xi N i ( x, y) = 1 − N j − N m = 1 − x j − xi
[
]
{σ } = [D]{ε }
平面应力问题
µ
1− µ
µ
1 0
0 0 1− µ 2
µ
1− µ 1
0 0 1 − 2µ 2(1 − µ ) 0
应变矩阵为常量，单元内应力也是常数，相邻单元的应变与应力将产生突变，但位移确是连续的。

有限元平面问题

平面应力 H =
（5）单元刚度方程
K e ⋅ δ e = Pe
讨论1：平面三节点三角形单元的节点位移和坐标变换
由于该单元的节点位移是以整体坐标系中的X方向位移（ui）和Y 方向位移（vi）来定义的，所以没有坐标变换的问题。
讨论2：平面三节点三角形单元的应变矩阵和应力矩阵为常系数矩阵
单元的位移场为线性关系，由几何函数矩阵Be可知，由于△ 是常系数，因而Be、Se为常系数矩阵，不随X、Y的变化，即这种单元在单元内任意一点的应变和应力都相同，因此，三节点三角形单元称为常应变单元。在应变梯度较大的部位，单元划分应适当密集，否则将不能真实反映应变的变化而导致误差较大。
由节点位移条件可求得待定系数：
1 a1 = uj xj yj 2Δ um xm ym 1 a3 = 1 xj uj 2Δ 1 xm um 1 xi ui
ui xi yi
1 a2 = 1 uj yj 2Δ 1 u m ym 1 xi yi 2Δ = 1 x j y j 1 xm ym
1 ui
yi
1 a4 = vj xj yj 2Δ vm xm ym 1 a6 = 1 xj vj 2Δ 1 xm vm 1 xi vi
第四章
连续体平面问题
杆梁结构系统由于本身存在有自然的连接关系即自然节点，所以他们的离散化均叫做自然离散，这样的计算模型对原始结构具有很好的描述，而连续体结构不同，它本身内部不存在有自然的连接关系，而是以连续介质的形式进行物质间的相互关联，所以，必须人为地在连续体内部和边界上划分节点，以分片（单元）连续的形式来逼近原来复杂的几何形状，这种离散过程叫做逼近性离散。
N（x,y）为形状函数：
⎡ Ni 0 N j 0 N m 0 ⎤ N ( x, y ) = ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ 0 Ni 0 N j 0 N m ⎥ ⎦

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1 xm ym
(i, j, m)
N i 、N j 、 N m 是坐标 (x 、y ) 的线性函数；
N i 、N j 、 N m 表明了单元的位移形态（位移在单元的变化规律）
—称为形态函数，简称形函数
形函数的性质：
Ni
i
1
Ni j 0
Ni m 0
Ni oij
1 2
Nio
1 3
N ids
f
y
面力
f
f f
x y
应力
x y
应变
x y
xy
xy
基本量和方程的矩阵表示
位移
d
u
v
物理方程简写为
x y
xy
E
1 2
1
0
1
0
0 0
x y
1
xy
2
D
§4.2 单元位移模式
几何方程：
T
ux
v y
xvuy
只要知道了单元的位移函数，就可由几何方程求出应变，再由物理方程就可求出应力。
ui
vi
Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
u v
j j
um
vm
dNe
N 称为形函数矩阵。
§4.2 单元位移模式
有限元分析中，应力转换矩阵、刚度矩阵都是依赖于位移模式建立起来的，因此，位移模式必须能够反映弹性体的真实位移形态，才能得到正确的解答。
位移模式需要满足的条件：
yj 0
00 1 xj
0 yj
3 4
=
u v
j j
1
xm
ym
0
0
0
5
u
m
0 0 0 1 xm ym 6 vm
§4.2 单元位移模式
位移模式的选取
因此， 1 、 2 、 3 是 u i 、u j 、u m 的线性函数；同样， 4 、 5 、 5 是 v i 、v j 、v m 的线性函数；代入位移场函数，则 u是 u i 、u j 、u m 的线性函数，即：
i j
1 2
ij
ANidxdy
1 3
A
m 1
1/3 i
1/2
j
(i, j, m)
§4.2 单元位移模式
位移函数：
u 1 2 x 3 y N iu i N ju j N m u m v 4 5 x 6 y N iv i N jv j N m v m
由于 N i 、N j 、N m 是坐标 (x 、y ) 的线性函数，因此， u、v 也是 (ui,uj,um)、(vi,vj,vm) 的线性函数。
i 结点
j 结点
12xi3yiui 12xj3yjuj
45xi6yivi 45xj6yjvj
m 结点
12xm3ymum 45xm 6ymvm
§4.2 单元位移模式
写成矩阵形式
1 xi 0 0
yi 0 0 0 1 xi
0 1 ui
yi
2
vi
1 0
xj 0
有限单元法及程序设计
第四章平面问题有限元分析及程序设计
§4.1 平面问题单元离散 §4.2 平面问题单元位移模式 §4.3 平面问题单元分析 §4.4 平面问题整体分析 §4.5 平面问题有限元程序设计
有限元网格划分的基本原则
网格数目网格疏密单元阶次网格质量网格分界面和分界点位移协调性网格布局结点和单元编号网格自动剖分
有限单元法：未知量是结点的位移分量
e u i v i u j v j u mv m T
那么单元内任意一点的位移跟结点位移有什么关系呢？
因此说，只要知道了位移场的分布，即可解决上述问题。
§4.2 单元位移模式
位移模式：单元位移场分布形式
建立一个坐标系，如下图所示：
y
vj
vi ui i (xi, yi)
u12x3y N iuiNjujN m um
其中， N i 、N j 、N m 是系数，是 x、 y 的线性函数；
可以求得：
N i a i b ix c iy2A (i, j, m )
其中：
ai
xj xm
yj ym
1 bi - 1
yj ym
1 ci 1
xj xm
1 A11
2
xi xj
yi yj
1 xm ym
同理，可求得 N j 、N m ，且下标可轮换；
注意：i, j, m 必须是逆时针排列，否则面积为负。
同理可得：
v 4 5 x 6 y N iv i N jv j N m v m
§4.2 单元位移模式
上式也可以写成：
1x y
1 xj yj
1 Ni 1
xm xi
ym yi
1 xj yj
因此， u、v 在坐标空间应该为一平面。
um
vm
m
m
ui
vi
i
uj
i
vj
j
j§4.2 单元位移模式来自位移写成向量形式：d u v N Niiu vii N Njju vjj N Nm mv um m
0 N iu u i i 0 N iv v i i N 0 ju u j j N 0 jv v j j N 0 m u u m m N 0 m v v m m
j (xj, yj) uj
vm um
m (xm, ym)
x
假定位移模式如下所示：
ufu(x,y) vfv(x,y)
三个结点的位移也必定满足位移场函数，因此有：
ui fu(xi,yi) vi fv(xi,yi) uj fu(xj,yj) vj fv(xj,yj)
umfu(xm,ym) vmfv(xm,ym)
网格数量20万最小网格尺度150m 最大网格尺度3500m
§4.1 平面问题单元离散
几个重要概念：
平面问题单元：三角形单元平面应力：三角形板平面应变：三棱柱
平面问题结点：绞结点平面问题约束：绞支座、链杆平面问题荷载：结点荷载和非结点荷载
基本量和方程的矩阵表示
体积力
f
fx
§4.2 单元位移模式
位移模式的选取
位移函数的选取是任意的，所选取的位移函数越接近于真实情况，所
求得的形变和内力结果就越准确。
最简单的位移场函数是线性函数，即：
u1 2x3y
v4 5x6y
其中， 1 、 2 、 3 、 1 、 2 、 3 是系数，由边界条件求得。
边界条件：在三个结点也应满足位移场函数；
（1）位移模式必须能够反映单元的刚体位移；（2）位移模式必须能够反映单元的常应变；
必要条件
（3）位移模式尽可能反映位移的连续性；
u12x3y12x5 23y5 23y v4 5x6y46y5 23x5 23x
u0 1
v0 4
5 3
2
刚体平动
刚体转动
充分条件
u
v
u0 v0
y x
作业： P141 6-1
§4.3 平面问题的单元分析