直线和圆知识点总结
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练习一(直线和圆部分)
知识梳理
1.直线的倾斜角α的范围是 ;求直线斜率的两种方法:①定义:k = ()2πα≠; ②斜率公式:k =2121
y y x x --12()x x ≠.答案)0,180︒︒⎡⎣ 2.直线方程的几种形式:
①点斜式 ,适用范围:不含直线0x x =;
特例:斜截式 ,适用范围:不含垂直于x 轴的直线;
②两点式 ,适用范围:不含直线112()x x x x =≠和直线112()y y y y =≠; 特例:截距式 ,适用范围:不含垂直于坐标轴和过原点的直线;
③一般式 ,适用范围:平面直角坐标系内的直线都适用.
3.求过111(,)P x y ,222(,)P x y 的直线方程时:
(1)若12x x =,且12y y ≠时,直线垂直于x 轴,方程为1x x =;
(2)若12x x ≠,且12y y =时,直线垂直于y 轴,方程为1y y =;
(3)若120x x ==,且12y y ≠时,直线即为y 轴,方程为0x =;
(4)若12x x ≠,且120y y ==时,直线即为x 轴,方程为0y =。
4.已知直线1l :11y k x b =+,直线2l :22y k x b =+,则
①1l 与2l 相交⇔ ; ②1l 与2l 平行⇔ ;
③1l 与2l 重合⇔ ; ④1l 与2l 垂直⇔ .
5.已知直线1l :1110A x B y C ++=,直线2l :2220A x B y C ++=,则
①1l 与2l 相交⇔ ; ②1l 与2l 平行⇔ ;
③1l 与2l 重合⇔ ; ④1l 与2l 垂直⇔ .
6.两点111(,)P x y ,222(,)P x y 之间的距离12=PP ;
点(,)P x y ︒︒到直线l :0Ax By C ++=的距离d = ;
两平行直线1l :10Ax By C ++=与2l :20Ax By C ++=之间的距离d = .
7.圆的标准方程为222
()()(0)x a y b r r -+-=>,其中 为圆心, 为半径 ;
圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=表示圆的充要条件是2240D E F +->, 其中圆心为 ,半径为 .
8.点与圆的位置关系
圆的标准方程为222
()()x a y b r -+-=,点00(,)M x y ,
(1)点在圆上:22200()()x a y b r -+-=;
(2)点在圆外:22200()()x a y b r -+->;
(3)点在圆内:22200()()x a y b r -+-<。 9.直线与圆的位置关系
判断直线与圆的三种位置关系常用的两种判断方法:
(1)代数法:直线方程和圆的方程联立方程组消去x 或y 整理成一元二次方程后, 计算判别式①240b ac ∆=->⇔ ;
②240b ac ∆=-=⇔ ;
③240b ac ∆=-<⇔ 。
(2)几何法:利用圆心到直线的距离d 和圆半径的大小关系
①d r <⇔ ;②d r =⇔ ;d r >⇔ 。
10.圆的切线方程
①若圆的方程为222x y r +=,点00(,)P x y 在圆上,则过P 点,且与圆222
x y r +=相
切的切线方程为200xx yy r +=; ②经过圆222
()()x a y b r -+-=上的00(,)P x y 的切线方程为: 200()()()()x a x a y b y b r --+--=。)(00x x k y y -=-
点00(,)P x y 在圆外,则可设切线方程为)(00x x k y y -=-,利用直线与圆相切,利用圆心到直线的距离等于半径,解出k 。
11.计算直线被圆截得的弦长的两种方法:
(1)几何法:运用弦心距、弦长的一半及半径构成直角三角形计算。
(2)代数法:利用韦达定理及弦长公式
2221(1)()4A B A B A B AB k x x k x x x x ⎡⎤=+-=++-⎣⎦
12.设圆1C :222111()()x x y y r -+-=,圆2C :222222()()x x y y r -+-=,则有两圆
①相离12C C ⇔> ;②外切12C C ⇔= ;③内切12C C ⇔= ; ④相交⇔ 12C C << ;⑤内含12C C ⇔< .
13.对称问题
①点关于点的对称:利用中点坐标公式。
②直线关于点对称:利用取特殊点法或转移法。 ③点关于直线对称:利用垂直和平分。
④直线关于直线对称:转化为点关于直线对称问题解决。如果是平行直线,还可以利用平行直线之间距离。如果是相交直线,可以利用已知交点,夹角相等的方法。
常用的对称关系:点(a,b)
点(a,b)关于原点的对称点(-a,-b), 点(,)a b 关于点00(,)a b 的对称点的坐标为00(2,2)a a b a --
点(a,b)关于x 轴的对称点(a,-b), 点(a,b)关于y 轴的对称点为(-a,b),
点(a,b)关于直线y=x 的对称点为(b,a), 点(a,b)关于直线y= -x 的对称点(-b,-a), 点(a,b)关于直线y=x+m 的对称点为(b-m,a+m), 点(a,b)关于直线y= -x+m 的对称点(m-b,m-a).
练习题(第一部分)
1.直线的倾斜角为,α若3sin 5
α=
,则此直线的斜率是( ) A .43 B .34 C . 43± D . 3
4± 2.直线过点(-1,2)且与直线x y 32=垂直,则的方程是
A .0123=-+y x B.0723=++y x C. 0532=+-y x D.0832=+-y x
3.已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直,则a 等于( )
A .2
B .1
C .0
D .1-
解析:两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直,则(2)1a a +=-,∴ a =-1,选D. 点评:直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系,同时兼顾到斜率为零和不存在两种情况
4.已知(2,3)A -、(3,2)B --,直线l 过(1,1)P 且与线段AB 有交点,设直线l 的斜率为k ,
则k 的取值范围( )