高中数学数系的扩充跟复数的引入

1．复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数 的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形 式，列出实部、虚部满足的方程(不等式)组即可．
2．求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出 复数z，然后利用复数模的定义求解．
(1)(2013·济南模拟)设a是实数，且
a 1＋i
＋
1－i 2
O→Z＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
3．复数的运算 (1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R
(2)几何意义：复数加减法可按向 量的平行四边形或三角形法则进行．
如图4－5－1给出的平行四边形 OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法 的几何意义，即 O→Z ＝_O→_Z_1_＋__O_→Z__2_，
【提示】 正确．因为z1，z2至少有一个为虚数时是不 能比较大小的，故z1，z2均为实数，即z1＝a，z2＝c，所以z1 ＞z2，即a＞c.
1．(人教A版教材习题改编)在复平面内，复数6＋5i，－ 2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对 应的复数是( )
A．4＋8i
B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i
【解析】 ∵A(6，5)，B(－2，3)，
∴线段AB的中点C(2，4)，则点C对应的复数为z＝2＋4i.
【答案】 C
2．复数1＋i 2i(i是虚数单位)的实部是(
)
2 A.5
B．－25
1 C.5
D．－15
【解析】 1＋i 2i＝（1＋i（2i）1－（2i1）－2i）＝2＋5 i＝25＋15i， 故选A.
A．－1－i
B．1－i
C．－1＋3i
D．1－2i
(2)(2013·武汉模拟)i为虚数单位，则(11＋ －ii)2 011＝(
)
A．－i C．i
B．－1 D．1
【思路点拨】 (1)先求z－i，再求z； (2)先化简11＋ －ii，再根据in的周期性求值．
C．a＝－1，b＝－1
D．a＝1，b＝－1
【解析】 (a＋i)i＝－1＋ai＝b＋i，故应有a＝1，b＝
－1.
【答案】 D
5．(2012·天津高考)i是虚数单位，复数73－ ＋ii＝(
)
A．2＋i C．－2＋i
B．2－i D．－2－i
【解析】 73－ ＋ii＝（7－i）1（ 0 3－i）＝20－1010i＝2－i.
【答案】 A
3．若 z＝1＋i 2i，则复数 ＝(
)
A．－2－i B．－2＋i C．2－i
D．2＋i
【解析】 ∵z＝1＋i 2i＝（1＋－21i）i＝2－i，∴ ＝2＋i.
【答案】 D
4．若 a， b∈R， i为 虚数单位 ，且 (a＋i)i＝b＋i，则
()
A．a＝1，b＝1
B．a＝－1，b＝1
b i
是实数，不是纯虚数，若a＋bi 是纯虚数，由a＋bi ＝a－bi知a ＝0，b≠0，∴ab＝0，
因此“ab＝0”是“复数a＋
b i
为纯虚数的必要不充分条
件．”
(2)∵z＝－12＋i＝－1－i，
∴|z|＝ （－1）2＋（－1）2＝ 2，
∴p1是假命题； ∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p2是真命题； ∵z＝－1＋i，∴p3是假命题； ∵z的虚部为－1，∴p4是真命题． 其中的真命题共有2个：p2，p4. 【答案】 (1)B (2)C
＝(a2＋12)－(a2＋12)i， 由题意知a2＋12＝0，∴a＝－1. (2)若m＝1，则z1＝3－2i，从而z1＝z2. 若z1＝z2，则mm22＋＋mm－＋41＝＝－3，2，∴m＝－2或m＝1. 从而“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件．
【答案】 (1)B (2)A
(1)(2012·安徽高考)复数z满足(z－i)i＝2＋i，则z＝( )
p3：z的共轭复数为1＋i； p4：z的虚部为－1. 其中的真命题为( )
A．p2，p3 C．p2，p4 【思路点拨】
B．p1，p2 D．p3，p4 (1)分别验证“充分性”和“必要性”；
(2)把复数z化成m＋ni(m，n∈R)的形式，然后根据复数 的相关概念判断命题是否正确．
【尝试解答】
(1)若ab＝0，则当a＝1，b＝0时，a＋
是实数，
ห้องสมุดไป่ตู้
则a＝( )
1 A.2
B．－1
C．1
D．2
(2)(2013·西安模拟)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i， m∈R，z2＝3－2i，则m＝1是z1＝z2的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【解析】 (1)1＋a i＋1－2 i＝（1＋a（i）1－（i1）－i）＋(12－12i)
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔ ___a_＝__c_，__b_＝__d___(a，b， c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔ _a_＝__c_，__b_＝__－__d__(a， b，c，d∈R)．
(4)复数的模：向量O→Z的模r叫做复数z＝a＋bi的模，
即|z|＝|a＋bi|＝___a_2_＋__b_2____． 2．复数的几何意义 复数z＝a＋bi与复平面内的点__Z_(_a_，__b_) ___及平面向量
Z→1Z2＝__O_→_Z_2_－__O→_Z_1___．
1．z1，z2为复数，z1－z2＞0，那么z1＞z2，这个命题是 真命题吗？
【提示】 假命题．例如：z1＝1＋i，z2＝－2＋i，z1－ z2＝3＞0，但z1，z2不能比较大小．
2．已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，若z1＞ z2，则a＞c说法正确吗？
高中数学数系的扩充跟复数的引入
第五节 数系的扩充与复数的引入
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中 a ， b 分 别 是 它 的 实 部 和 虚 部 ． 若 __b_＝__0____ ， 则 a ＋ bi 为 实 数，若__b_≠_0____，则a＋bi为虚数，若a＝__0_且__b_≠__0_____，则a ＋bi为纯虚数．
【答案】 B
(1)(2012·陕西高考)设a，b∈R，i是虚数单位，则
“ab＝0”是“复数a＋bi 为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件 C．充分必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2012·课标全国卷)下面是关于复数z＝
2 －1＋i
的四个
命题：
p1：|z|＝2； p2：z2＝2i；