第二讲古代希腊数学(精)

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一、论证数学的发端 1、泰勒斯与毕达哥拉斯
毕达哥拉斯
在今意大利东南沿海的克洛托内建立毕达哥拉斯学 派。这是一个宗教式的组织，但致力于哲学与数 学的研究，相传“哲学”和“数学”这两个词正 是毕达哥拉斯本人所创。
毕达哥拉斯学派的几何成就： 证明了勾股定理 正多面体作图
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一、论证数学的发端 1、泰勒斯与毕达哥拉斯
思考：用几何方法，证
明第Ⅱ卷命题4，即
ab
b2
b
证明代数关系式
a b2 a2 2ab b2
a
a2
ab
a
b
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二、黄金时代——亚历山大学派 2、阿基米德的数学成就
阿基米德
阿基米德（Archimedes）， 生卒年代：前287-212 。 古希腊伟大的数学家、力 学家。早年在当时的文化 中心亚历山大跟随欧几里 得的学生学习。
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一、论证数学的发端 2、雅典时期的希腊数学
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一、论证数学的发端 2、雅典时期的希腊数学
三大几何问题 古希腊的三大著名几何问题： ⑴化圆为方，即作一个与给定的圆面积相等的正方
形； ⑵倍立方体，即求作一立方体，使其体积等于已知
立方体的两倍； ⑶三等分角，即分任意角为三等分。
后人对阿基米德给以极高的 评价，常把他和I.牛顿、 C.F.高斯并列为有史以来 三个贡献最大的数学家。
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二、黄金时代——亚历山大学派 2、阿基米德的数学成就
“平衡法”简介
在数学上就是将需要求体积的量（面积、体积等） 分成许多微小单元（如微小线段、薄片等），再 用另一组微小单元来进行比较，而后一组微小单 元的总和比较容易计算。
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一、论证数学的发端 1、泰勒斯与毕达哥拉斯
毕达哥拉斯
毕达哥拉斯相信任何量都可以表示成两个整数之比 （即某个有理量）。
在几何上这相当于说：对于任何两条给定的线段， 总能找到某第三线段，以它为单位线段能将给定 的两条线段划分为整数段。
希腊人称这样两条给定线段为“可公度量”，意即 有公共的度量单位。 “第一次数学危机”
从公元前338年希腊诸邦被马其顿控制，至公元前 30年罗马消灭最后一个希腊化国家托勒密王国的 三百余年，史称希腊数学的“黄金时期”。
欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯三大数学家， 他们的成就标志了古典希腊数学的颠峰。
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二、黄金时代——亚历山大学派 1、欧几里得与几何《原本》
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三、亚历山大后期和希腊数学的衰落
现征聘：急需计算工作者从事繁重但是例行的计算， 以编制天文学主要工作所需的表格。应聘者应能 准确地接受详尽的指示。报酬：包吃、包住外加 未来1200年内将要利用这些表格的成千上万人的 一片感激之情。
联系人：托勒玫 地址：天文台
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比的关系。
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一、论证数学的发端 1、泰勒斯与毕达哥拉斯
毕达哥拉斯
他们不只认为任何事物都具有一个数或可以用数来 记，还认为数使所有的物理现象的基础，例如， 天空中的一个星座即可用组成它的星的数目刻画； 行星的运动可以根据数的比表示；音调的和谐由 数值的比决定等等。
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二、黄金时代——亚历山大学派 1、欧几里得与几何《原本》
H
G A
F B
毕达哥拉斯定理（卷Ⅰ命题47） K 首先证明ABD FBC
推出矩形BL 正方形GB 同理推得矩形CL 正方形AK
C
D
L
E
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二、黄金时代——亚历山大学派 1、欧几里得与几何《原本》
雅典学院（柏拉图学派）
柏拉图曾师从毕达哥拉斯学派的学者，约公元前 387在雅典创办学院，讲授哲学与数学，形成了 自己的学派。
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一、论证数学的发端 2、雅典时期的希腊数学
亚里士多德学派
亚里士多德是柏拉图的学生，后长期共事。公元前 335年建立自己的学派，因讲学于雅典吕园，又 称“吕园学派”。
公设
公理
1
假定从任意一点到任意一
点可作一直线

1
等于同量的量彼此相等
2 一条有限直线可不断延长 2 等量加等量，和相等
3 以任意中心和直径可以画 3 等量减等量，差相等
圆 4 凡直角都彼此相等
4 彼此重合的图形是全等的
5 若一直线落在两直线上所 5 整体大于部分
构成的同旁内角和小于两
直角，那么把两直线无限 延长，它们将在同旁内角 内角和小于两直角的一侧 相交。
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第二讲 古代希腊数学
希腊数学一般指从公元前600年至公元600年间，活动于希腊 半岛、爱琴海区域、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、 小亚细亚以及非洲北部的数学家们创造的数学。
海滨移民具有两大优势： 首先，他们具有典型的开拓精神，对于所接触的事物，不愿
因袭传统； 其次，他们身处与两大河谷毗邻之地，易于汲取那里的文化。
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三、亚历山大后期和希腊数学的衰落
亚历山大最后一位重要的数学家是帕波斯，著有 《数学汇编》，是一部荟萃总结前人成果的典型 著作，在数学史上有特殊的意义。
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一、论证数学的发端 1、泰勒斯与毕达哥拉斯
泰勒斯 现在所知最早的希腊数学家是泰勒斯，他领导的爱
奥尼亚学派据说开了希腊命题证明之先河。 传说泰勒斯还证明了现称“泰勒斯定理”的命题：
半圆上的圆周角是直角
泰勒斯获得了第一位数学家和论证几何学鼻祖的美 名。
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二、黄金时代——亚历山大学派 3、阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论
《圆锥曲线论》
阿波罗尼奥斯第一次从一个对顶（直圆或斜圆）锥 得到所有的圆锥曲线，并给它们以正式的命名， 现在通用的椭圆elipse、双曲线hyperbola和抛物 线parabola就是他提出的。
《圆锥曲线论》可以说是希腊演绎几何的最高成就。
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二、黄金时代——亚历山大学派 1、欧几里得与几何《原本》
《原本》卷1中的部分定义： ✓ 点是没有部分的 ✓ 线是没有宽度的长 ✓ 线的两端是点 ✓ 直线是它上面均匀分布着点的线 ✓ 面是只有长度和宽度的 ✓ 面的边界是线
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二、黄金时代——亚历山大学派 1、欧几里得与几何《原本》
欧几里得
欧几里德(Euclid of Alexandria)，希腊数学家。 约生于公元前330年，约 殁于公元前260年。
欧几里德是古代希腊最负盛 名、最有影响的数学家之 一。
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二、黄金时代——亚历山大学派 1、欧几里得与几何《原本》
“原本”原意是指一学科中具 有广泛应用的最重要的定 理。欧几里得在这本原著 中用公理法对当时的数学 知识作了系统化、理论化 的总结。全书共分13卷， 包括有5条公理、5条公设、 119个定义和465条命题， 构成了历史上第一个数学 公理体系。
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一、论证数学的发端 2、雅典时期的希腊数学
无限性概念的早期探索 伊利亚学派芝诺提出了四个著名的悖论 ⑴两分法：运动不存在 ⑵阿基里斯：阿基里斯永远追不上一只乌龟 ⑶飞箭：飞着的箭是静止的 ⑷运动场：时间和空间不能由不可分割的单元组成
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二、黄金时代——亚历山大学派
丢番图的《算术》，用纯分析的途径处理数论与代 数问题，可以看作是希腊算术与代数成就的最高 标志。
《算术》特别以不定方程的求解而著称；创用了一 套缩写符号。
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三、亚历山大后期和希腊数学的衰落
丢番图的墓志铭
这块墓地里躺着丢番图……（而且它）科学地告诉 我们他的生命的历程。上帝赐给他生命的六分之 一做一个男孩，然后，加上他生命的十二分之一， 他的两颊开始生出细软的胡须。再过了生命的七 分之一，上帝为他点燃了婚姻的烛光，又在他婚 后第五年时，赐给他一个儿子，天哪！这个晚生 的可怜的孩子：在达到了他父亲生命的一半的时 候，残酷的命运之神把他带走。在他用这数的科 学安慰自己、悲伤地度过4年之后，他结束了自己 的生命。
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三、亚历山大后期和希腊数学的衰落
亚历山大后期希腊数学的一个重要特征，是突破了 前期以几何学为中心的传统，使算术和代数成为 独立的学科。
尼可马科斯著《算术入门》是第一本完全脱离了几 何轨道的算术书，希腊人所谓“算术”是指今天 的数论。
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三、亚历山大后期和希腊数学的衰落
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一、论证数学的发端 2、雅典时期的希腊数学
诡辩学派 活跃于公元前5世纪下半叶的雅典城，主要代表人物
有希比阿斯、安提丰、布里松等，均以雄辩著称。 “诡辩”希腊原词含智慧之意，故诡辩学派亦称 “智人学派”。
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一、论证数学的发端 2、雅典时期的希腊数学
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第二讲 古代希腊数学
论证数学的发端
泰勒斯与毕达哥拉斯 雅典时期的希腊数学
黄金时代——亚历山大学派
欧几里得与几何《原本》 阿基米德的数学成就 阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论
亚历山大后期和希腊数学的衰落
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一、论证数学的发端 1、泰勒斯与毕达哥拉斯
平衡法本身必须以极限论为基础，阿基米德意识到
他的方法在严密性上的不足，所以当他用平衡法
求出一个面积或体积之后，必再用穷竭法给以严 格的证明。
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二、黄金时代——亚历山大学派 3、阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论
古希腊数学家。与欧几里得、 阿基米德齐名。生于小亚 细亚南岸的佩尔加。他的 著作《圆锥曲线论》是古 代世界光辉的科学成果， 它将圆锥曲线的性质网罗 殆尽，几乎使后人没有插 足的余地。
毕达哥拉斯
a
b c
b
a c
b
a c
a a
c a
b
c
b
a
b b
c
b
a
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一、论证数学的发端 1、泰勒斯与毕达哥拉斯
毕达哥拉斯 毕达哥拉斯学派的基本信条：万物皆数 “人们所知道的一切事物都包含数；因此，没有数
就既不可能表达，也不可能理解任何事物”。 这里所说的数仅指整数，分数是被看成两个整数之
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一、论证数学的发端 1、泰勒斯与毕达哥拉斯
毕达哥拉斯 他们认为：数1生成所有的数，并命之为“原因数”
毕达哥拉斯学派关于“形数”的研究，强烈地反映 了他们他们将数作为几何思维元素地精神。
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一、论证数学的发端 1、泰勒斯与毕达哥拉斯
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三、亚历山大后期和希腊数学的衰落
通常把从公元前30年到公元6世纪的这一段时期 ， 称为希腊数学的“亚历山大后期”。
几何学家海伦，代表作《量度》，主要讨论各种几 何图形的面积和体积的计算，其中包括后来以他 的名字命名的三角形面积公式
s(s a)(s b)(s c)
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一、论证数学的发端 2、雅典时期的希腊数学
伊利亚学派 诡辩学派 雅典学院（柏拉图学派） 亚里士多德学派
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一、论证数学的发端 2、雅典时期的希腊数学
伊利亚学派
以居住在意大利南部伊利亚地方的芝诺为代表，芝 诺是毕达哥拉斯学派成员巴门尼德的学生。较晚 的德谟克里特的原子论学派，则与伊利亚学派在 思想上有一定继承关系。
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三、亚历山大后期和希腊数学的衰落
最富有创造性的成就就是三角学的建立。代表人物 托勒玫，在其天文学名著《天文学大成》中总结 了在他之前的古代三角学知识，为三角学的进一 步发展和应用奠定了基础。
托勒玫定理：圆内接四边形中，两条对角线长的乘 积等于两对对边长乘积之和。
托勒玫的弦表，是历史上第一个有明确的构造原理 并流传于世的系统的三角函数表。
第二讲 古代希腊数学
得洛斯人请求几何学家柏拉图为它们解决一个神在 奇怪预言中提出的问题，预言的大意是：得洛斯 人和其他希腊人当前面临的种种苦难将会结束， 只要他们能够将得洛斯的祭坛体积加倍。
柏拉图回答到，神嘲笑希腊人疏忽教育，嘲笑我们 的无知，他命令我们认真地研究几何，对智力超 常又精通于这门学问的人，他们所要做的就是找 到两个比例中项，使立方体的各边按比例增加， 从而使其体积加倍。