非线性力学PPT

代入原方程并略去高阶量
i 1, 2
d N1 0 1 dt N 2
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2 N1 0 N2
例1.4
特征值为
Lotka-Volttera方程
。当 时 t 0 : N1 A, N2 0
1 2 i
d N1 1 N1 1 N1 N 2 这是二阶常微分方程组 d t , d N 2 N N N 2 2 2 1 2 dt
其定常解为零解和
N1*
2 * , N2 1共两组解。 2 1
考虑非零定常解的稳定性。设
Ni Ni Ni* ,
n2
d(n n2 ) df f (n2 ) dt dn
(n n2 ) a (n n2 )
是稳定的。
n n2 (n0 n2 )e
一般来说，若微分动力系统为
at
dx f ( x) dt
当
f (x ) 0 为定常解，则
f ( x ) 0为定常解不稳定，
时，
C. 周期解. 分支
当 3 时除了有不动点外还有周期解。不难验证，当 0.5130、0.7995、0.5130、0.7995、……是周期为2的解。
图1.2 周期为2的解
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例1.1
差分方程(Logistic映射)
(1.2)
为了求得周期为2的解，由
xn2 xn1 (1 xn1 ) 2 xn (1 xn ) 1 xn (1 xn ) f ( f ( xn ))
f ( x )为稳定。 0
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例1.3
Landau方程
0, l 0
dA 2 1 A 2 l A A, dt
2
这里A为复振幅，从而有
dA 2 4 2 A - l A dt
令 x A , 2 a, l b 即得例1.2中的Logistic方程。 现在考虑 相应导数为
系统中不可能出现的现象，并且当维数增加时会不断出现一些新的性质。譬如神
经网络系统，每个神经元都是一个简单的非线性单元；当大量的这样单元联结在 一起，就会出现很多新的性质。由于课时关系，我们只介绍最基本的非线性系统
的特点，即便如此，其新的特点也会使人目不暇接，使得读者在今后的学习和工
作中可以运用这些知识去了解、研究某些看起来是奇特的现象。

3.5699,4中还会有其它周
的窗口有无穷多个，但没有复盖整个
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例1.2
Logistic方程
n0 e at n , b b 1 n0 n0 e at a a
dn an bn 2 (a, b 0) dt
可视为生物界的繁殖方程。解得
a lim n t b
1 1 (1 )(3 ) 2
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(1.4)
例1.1
当
差分方程(Logistic映射)
时， 1,2 0.5130, 0.7995 。
3.2
类似地，可以讨论周期为2的解的稳定性。可以证明，当 3 1 6 3.449 时，周期为2的解是稳定的。由于在上述区间中的定常解是不稳定的，所以对于 任意非零初始值 x0 0,1 ， xn 趋向周期为2的解。 当 1 6 3.544 ， 为4的解
2
课程概述
以后我们研究的是确定性系统，通常是由差分方程或微分方程来描述，说明怎样 由过去决定现在，有时也称为动力系统。
1.
由差分方程描述的发展过程称为差分动力系统。 （Logistic映射）
2.
由微分方程描述的发展过程称为微分动力系统。 （Logistic方程，Landau方程，Lotka-Volttera方程）
所以 当 f ( x ) 1, xn x ；当
x0 x
f ( x ) 1, xn x
在例1.1中，
f ( x) (1 2 x)
，所以
f ( x1 ) , f ( x2 ) 2
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例1.1
当
差分方程(Logistic映射)
1, x1 0 是稳定点, 1, x1 0 是不稳定点; 当 1 3, x2 1 1/ 或 1 3，需要 是稳定点, 1 或 3, x 是不稳定点。对于 2
3
例1.1
差分方程(Logistic映射)
xn1 xn (1 xn ),
由条件可知，当
0,4, x0 0,1
（1.1）
x0 0,1 xn 0,1 。λ称为系统的控制参数。
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例1.1
差分方程(Logistic映射)
A. 内在的随机性
初值的敏感（依赖）性导致内在的随机性，即不稳定性。一般来说，上述问题中 如果有100位二进制初值，经过100次迭代后就无任何初值信息保留下来。
讨论高阶项。 系统的不稳定点在实际中难以观察到，而稳定的定常解可以从 1.1表示例1.1中的定常解，实线是稳定解，虚线是不稳定解。
n 得到。图 1 处有尖点，
同时从只有一个定常解变成两个定常解，其中一个稳定，另一个不稳定。
图1.1 和定常解
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例1.1
差分方程(Logistic映射)
3.2
非线性力学导论
第 1讲 绪 论
课程概述
本课程的主要目的是通过力学介绍非线性系统所特有的现象。迄今为止， 我们处理的极大多数问题是线性或接近线性（有时称为弱非线性）的问题。线性 问题比较容易处理，再加上线性问题解的迭加原理成立，所以当问题的维数增加 时，原则上很多定性是不会改变的。而非线性问题却不同，它可以出现很多线性
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例1.1
若
差分方程(Logistic映射)
，则称x为不动点，不动点有时也称为定常解。在例1.1中有两
B. 不动点，稳定集合
x f ( x)
个不动点∶x1
0, x2 1 1/
x f ( x ) 是不动点，则
n 1
现在讨论不动点（附近）的稳定性。设
xn 1 x f ( xn ) x f ( x ) xn x f ( x )
从而周期为2的解是下述方程的定态解
1 (1 )1 (1 )(1 ) 0
这是四次代数方程，与 1 (1 ) 0 对应的是原问题的不动点，而
1 (1 )(1 ) 0
对应的就是周期为2的解
(1.3)
1,2
x 趋向周期为 4的稳定解。取 n
0.3828 0.8269 0.8750 0.5009
3.5，则周期
这样，当 3, 1 6, 3.544, 处，出现解的周期倍化现象，这些点称为分支 点；而 3.569945673 为上述分支点的极限，此时解的周期为 ， 即非周期的解。 2
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非线性问题的主要特点
1.
迭加原理不再成立。 解的唯一性破坏，对参数具有临界依赖性。 对称原因引起非对称的结果（屈曲、Karman涡街）。 不可预测性（内在随机性、混沌）。
2.
3.
4.
由于本课程内容主要是有限自由度力学系统中的非线性问题，所以研究对 象以（常）微分动力系统为主。
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课后习题
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例1.1
D. 混沌区
差分方程(Logistic映射)

当 3.5699,4 时，一般来说其解是非周期的解，称为混沌解。但以上 讨论的是限于有否周期为2n的解；事实上 期的解，譬如

1
是周期为 3的解存在的窗口，等等；这样 8, 3.841499 。 ,4 3.5699
A. 定常解
a an bn 0 n1 0, n2 b
2
B. 稳定性
解得
n1 0 :
d(n n1 ) a (n n1 ) b (n n1 )2 a (n n1 ) dt
是不稳定的。
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n n0 eat
例1.2
a n2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ: b
解得
Logistic方程
N1 A cos 0t , 0 1 2 A0 sin 0t N2
表示在
N
* 1
* N2 附近的一条闭合曲线（椭圆）。
其准确解可从下列方程得到
2 N1 ) d N2 2 d N1 1 N1 (1 1 N 2 ) 1 2 N 2 (1
2
, l
可变号、即a，b 可变号的情形。容易得到，方程的定常解及
x1 0, f ( x1 ) a;
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x2
a , f ( x2 ) a b
例1.3
Landau方程
下图显示了相应定常解的分岔现象。
图1.3 定常解的分岔
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例1.4
Lotka-Volttera方程
1 , 2 0