2009南京信息工程大学 高等数学(下册)试卷 B卷 试卷及答案

南京信息工程大学 高等数学 II 试卷 B 卷 参考答案

课程名称：高等数学II 考试学期 09-10-2

适用专业： 考试形式：闭卷 考试时间长度120分钟 共4页

题号 一

二

三 四 五 六 七 八 总分 得分

一、

填空题（每题3分，共15分）

1. 曲面12322

2

2

=++z y x 在点（1,２,1）处的切平面方程为832=++z y x 。 2. 设函数z

)xy (u =，则=)

1,2,1(du

dz dy dx 2ln 22++ 。

3. 设x 2y x :D 22≤+，f 为连续函数，则二重积分

⎰⎰+D

d y x

f σ)(22

化为在极坐标下的

二次积分为

⎰

⎰

-

ϕπ

πρ

ρρϕcos 20

222

)(d f d 。

4. 设C 是由ｘ轴,ｙ轴与直线ｘ＋ｙ＝１围成的区域的正向边界，则⎰

=

-C

xdy ydx 41-

。

5. )2ln()(x x f +=的麦克劳林级数为 ∑∞

=--+112)1(2ln n n

n n x

n ，收敛区间为]2,2(-。

二、

选择题（每题3分，共15分）

1．已知)y ,x (z z =是由0=+++z

e z y x 所确定的隐函数，则

x

z

∂∂＝ C 。 (A) z e -- (B) z e --1 (C) z

e

+-

11

(D) z e --3 2．常微分方程x 2sin e y 5y 2y x -=+'+''的特解形式为 B 。

(A))2sin 2cos (*x b x a xe y x += (B))2sin 2cos (*x b x a xe y x +=- (C) x a xe y x 2cos *-= (D)x b xe y x 2sin *-=

3．已知幂级数

∑∞

=0

n n

n x a 在ｘ＝２处条件收敛，则幂级数∑

∞

=0

n n

n n x 4a 的收敛半径为 A 。 (A) 8 (B) 1 (C) 0 (D) ∞

4. 设13,02()1,1

2

x f x x x ⎧

<≤⎪⎪=⎨⎪<<⎪⎩，且1()s in n n S s x b n x π∞==∑是()f x 的傅里叶级数，则7()2S ＝D 。

(A)

27 (B) 0 (C) 4

13 (D) 3 5. 设力22f i j k =-+作用在一质点上，该质点从点1(1,1,1)M 沿直线移动到点

2(2,2,2)M ，则此力所作的功为 A 。

(A) 3 (B) 0 (C) 1 (D) 6

三、计算题 （5个小题，每题6分，共30分）

1. 求平面221x y z +-=含在椭圆柱面

22

149

x y +=内的面积。 解：令∑为平面221x y z +-=被椭圆柱面

22

149

x y +=所截的部分，D 为∑在xoy 坐标面上的投影，则

π923

)'()'(122==

++==⎰⎰⎰⎰

⎰⎰∑

D

D

y x dxdy dxdy z z dS A 。

2. 计算曲线积分

22

4L xdy ydx

x y -+⎰，其中L 为从(2,1)A -沿抛物线2112

y x =-到(2,1)B 。 解：添加直线段路径1,:1=y BA L 和椭圆路径14:222=+y x L （取顺时针方向），设21,,L L L 围成的平面区域为D

由于22222)4(4y x x y y P +-=∂∂，2

2222)

4(4y x x y x Q +-=∂∂，由格林公式有 原积分4arctan 2

11444002222222221

-=-+=+--+--=

⎰⎰⎰⎰

⎰⎰

-πθπd x dx

y x ydx xdy y x ydx xdy dxdy L L D

。 3. 设)v ,u (f 二阶偏导数连续，)2,sin (y x y e f z x

-=，求y

x z

∂∂∂2。

解：

,sin 21f f y e x

z

x '+'=∂∂

22211211

122cos ]2cos [sin cos f f y e f f y e y e f y e y

x z

x x x x ''-''+''-''+'=∂∂∂。

4. 设D 为由曲线2y x ;y x 2=+=围成的平面区域，计算二重积分

⎰⎰D

xdxdy 。

解：原式＝15

108

1033663]22)2([1

24221

2

2

=

-=--=⎰⎰⎰

---dy y y xdx dy y

y

。

5. 设∑为圆锥面)1z 0(,y x z 22≤≤+=，计算第一类曲面积分⎰⎰+∑

dS )1x (。

解：原式πρρθρθπ

2)1cos (220

1

=+=⎰

⎰d d 。

四．（8分）设∑为)2z 0(y x 2z 2

2≤≤+-=上侧，计算曲面积分⎰⎰+∑

zdxdy dydz x 2。

解：添加曲面)4(0

:221≤+=∑y x z 取下侧，

得空间区域)4(20:2222≤++-

≤≤Ωy x y x z 及其在xoy 坐标面的投影区域

4:22≤+y x D ，由高斯公式有

原式⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=+-+=

Ω

∑∑+∑D

dxdy dxdydz x zdxdy dydz x zdxdy dydz x 0)12(1

12

2

3

8)1cos 2(20

2

20

π

θρρρθρ

π

=

+=⎰

⎰⎰-dz d d 。 五．（8分）求函数2

2

2

z y x u ++=在条件9xy z 2

-=下的极值。 解：令拉格朗日函数为)9(2

2

2

2

+-λ+++=xy z z y x F

由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==λ+=λ-=λ-9

022020

22xy z z z x y y x ，得驻点0,3=±==z y x ，极值为18。

六．（8分）将定义在),0(π上的函数1)(=x f 展开成傅里叶正弦级数。

解：将所给函数奇延拓，即在]0,(π-上补充定义：)0,(,1)(π--=x f ，0)0(=f 得一个奇

函数，然后以π2为周期进行周期延拓，计算该周期函数的傅里叶系数，并将该周期函数的傅里叶级数限制在)0,(π-上可得函数1)(=x f 的傅里叶正弦级数展开。

n

n x d x a n n ππ

π

]

)1(1[2s i n 2

--==

⎰

，