巨灾债券定价理论

巨灾债券定价理论1陶正如1，陶夏新2,11中国地震局工程力学研究所，哈尔滨 (150080)2哈尔滨工业大学，哈尔滨 (150090)E-mail ：taozhengru@摘 要：近十几年来，巨灾保险衍生品已经被一些发达国家和地区用作巨灾保险的补充手段，拓宽了保险资金融资渠道，有效地将巨灾风险转移到了资本市场，其中交易最活跃、使用最广泛的是巨灾债券。

自巨灾债券公开发行以来，相关研究主要集中在定价方面，因此，本文着重介绍了完全市场和不完全市场两种条件下的巨灾债券定价模型，期望能够在我国的巨灾风险管理中起到借鉴作用。

关键词：巨灾债券，完全市场，不完全市场，定价1. 引言巨灾债券是一种场外交易的债券衍生物，利用债券市场分散巨灾风险的证券化形式。

通过这种方式，承保巨灾损失的保险公司和再保险公司将自身的巨灾风险转移给市场投资者，投资者的收益完全取决于合同中约定的巨灾事件是否发生。

从分出公司的角度看，巨灾债券在形式上类似于购买一份传统的再保险合同。

因此，巨灾债券受到了习惯传统方式的保险公司的欢迎，成为迄今为止使用最广泛的一种巨灾保险衍生品。

目前，对巨灾衍生品定价的研究多集中在巨灾期权上，例如，Cox,S.H. & R.G.Schwebach （1992）、German (1994)、Cummins 和German(1995)、Aase (1995、2001)、Christensen(2000)等。

对巨灾债券定价的研究相对较少，本文仅简要介绍几种模型，为我国的巨灾债券定价研究提供一些前期准备。

2. 完全市场模型Cummins 和Geman 用套利思想讨论巨灾衍生品定价。

一定程度上类似于股票期权定价的B-S 模型，不同的是保险衍生品没有具体的、参与市场交易的标的资产，而是基于一个损失指数。

损失指数的增量用一个几何布朗运动加一个跳跃过程描述[1]。

首先，定义一个随机过程S (t )，在[t , t+dt ]内可能损失为S (t )dt ，则累积损失为ττd S t L t ∫=0)()(，随机过程S (t )可以表示为： [][]1,0),()()()(T t t kdN t dW dt t S t dS ∈++=−σµ （1） 其中，W (t ))为布朗运动；µ与σ分别表示漂移率和波动性；k 为正常数，表示巨灾引起的跳跃程度；N (t )为密度λ的泊松过程；W (t )与N (t )不相关。

巨灾债券价值的表达式为：IIF R T L Max R T L Max F T V )0),()(()0,)(()(+−−−−= （2） 其中，F 为债券面值；V (T )为债券的到期价值；R 为发行者主体的初始价值；I 为发行份额。

Litzenberger 等在确定利率的假设下，统计了PCS 公布的1956年－1994年巨灾损失资料，假定巨灾保险损失率服从对数正态分布，并用bootstrap 法计算巨灾债券价格。

1本课题得到国家自然科学基金（项目编号：70603025），地震学联合基金（项目编号：606027）和黑龙江省自然科学基金（项目编号：G2005-13）的资助。

Zajdenweber 认为巨灾损失并不适合这种假定，Frechet 或平稳Levy 分布比较合适，并用Litzenberger 等的基本思路和数据资料计算了巨灾赔款损失率分别为上述两种分布的巨灾债券价格[2]。

Briys 假设市场为完全且无摩擦的、巨灾风险与利率风险不相关、无风险利率为常数、债券为零息、巨灾损失指数（如PCS 指数）服从几何布朗运动[2]。

当违约事件发生后，投资者只能收回10,)1(≤≤−ααF 。

在确定利率及无风险套利的情况下，可得巨灾债券价格的表达式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡Φ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+Φ−−=)()(1222101)0(d K I d rp CAT r Fe B σ （3）其中，F 为巨灾债券面额；I 0为巨灾损失指数的初始值；K 为触发条件；rp 为触发时本金偿还的比例；r 为无风险利率；σ为巨灾损失指数的波动性；T T r K I d σσ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛=2ln 201；T T r K I d σσ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=2ln 202。

Henri Loubergé等[3]以B-S 模型为基础，假设在完全的和无套利机会的金融市场中，巨灾损失指数在连续时间中服从几何布朗运动，且利率是连续的。

模型中的巨灾债券是零息债券，在时间t =0时的面值为F ，有效期为T 。

如果风险周期T ’ < T ，在时间t 的价格为I(t)。

再引入Kalltay 等（1993）的二项随机游走过程表示利率变化，根据巨灾损失指数和违约条件的关系，在到期日的指数价格I(T)和违约价格K 关系的基础上，建立了巨灾债券的定价模型，即如果I (T ) K ，最终支付金额为F ；如果I (T ) > K ，最终支付金额为F – [I (T ) – K ]，但保证最少的支付金额B 。

事实上，时间T 的债券收益V(T)有3种情况：（1） 如果I (T ) K ，V (T ) = F（2） 如果K < I (T ) < K + (F – B )，V (T ) = F – [I (T ) – K ] > B（3） 如果I (T ) K +(F – B )，V (T ) = B 在债券到期日，有：V (T ) = F – Max[0, I (T ) – K ] + Max[0, I (T ) – (K + F – B)] （4）在t =0时的债券价值为：V (0) = Fe –rT – CE (I (0), K , T ) + CE (I (0), K + F – B , T ) （5）其中，r 为连续的利率；CE 为欧洲买权价差的价值；B 、F 、T 和K 为巨灾债券的参数。

如果给定这些参数的值，巨灾债券的公平价格由式（5）计算，这个价格是在完整的金融市场中无套利机会的价格。

当t >T ’时，有：[][][])()()()()()()(1)('2)('22)('11'2)(d N Be d N d N Ke d N d N t I d N Fe t V t T r t T r t T r −−−−−−+−+−−−= （6）其中，t T d d t T t T r K t I d −−=−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛=σσσ1221,)(2)(ln ，t T d d t T t T r B F K t I d −−=−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=σσσ'1'22'1,)(2)(ln 。

随后，用纯泊松过程或跳跃扩散过程替代上述的几何布朗运动，得到了更一般化的模型。

这样使它与Briys （1997）巨灾债券定价模型的形式接近。

该模型突出了巨灾债券的某些特征，但其假设来源于债券定价理论，限制了该模型的应用。

Morton N. Lane 等[4-9]在Kreps 模型以及Kreps 和John Major 模型的基础上，对已发行的巨灾债券参数进行回归分析，不断发展了一套称为LFC 的巨灾债券定价模型。

首先，选取风险测度。

由于保险风险通常是不均匀的，因此，传统资本市场的风险测度（期望损失、违约概率和收益标准差）不能满足保险市场风险测量的需求。

在1997年将CEL （条件期望损失）作为风险测度，但这1年的市场显示其缺乏活力。

最终，在1999年采用双风险测度（CEL 和损失发生频率PFL ）。

其中，CEL 是用来测量损失发生后，本金损失的数量（即损失强度，等于期望损失EL 除以PFL ），明确地表达了风险的一个因素，特别有助于表示风险的不均匀性。

PFL 是传统上常用的风险测度（也称为第一美元损失发生概率），当所有的债券服从同样的损失分布时，PFL 是很好的风险测度；当损失分布不同时，PFL 作为唯一的风险测度是不合适的。

这样，风险－收益的二维空间变成三维（期望超额收益－条件期望损失－损失发生频率，EER －CEL －PFL ），每种债券可以唯一地表示为空间上的一点，最终确定相应价格。

债券价格被分为期望损失EL 和期望超额收益EER 两部分，均是CEL 和PFL 的函数。

因此，在LFC 的公式中，函数是由不同权重的CEL 和PFL 构成的。

EER －CEL －PFL 三者间的关系由简单的线性函数改进为对数线性函数，在分析1998年数据的基础上，从1999年开始用与Cobb-Douglas 生产函数的一般形式相近的函数形式确定EER 。

最终得到的巨灾债券价格表达式为：βαγ)()(CEL PFL EL EER EL P +=+= （7）2000年和2001年都采用这种函数形式，但数据回归的结果显示出明显缺点，即数据在整个年度中是离散的，且模型中的参数选用的是平均值，不能体现市场的变化。

Angelika Schöchlin [10]假设理想世界中的巨灾债券仅被一次巨灾影响，认为巨灾债券市场是完全的，定价中使用信用风险模型，分析中选择了Jarrow/Turnbull （1995）框架，用随机过程描述利率的变化。

在连续时间过程中，假设：(1) 无违约风险利率服从几何布朗运动)(),(),(),(100t dW T t dt T t T t df σα+=，其中，W 1(t )为布朗运动；小的时间增量中，无违约利率的变化等于它的漂移率α0(t ,T )加上一个有确定波动率σ(t ,T )的随机振动。

(2) 违约利率过程服从：[][]⎩⎨⎧++−+−=default T t t dW T t dt T t T t default prior t dW T t dt T t T t T t df ),,()(),(),(),(),(),(),(),(),(1111111111θσλθασλθα， 其中，α1(t ,T )为漂移率；σ(t ,T )为波动率。

违约过程与无违约过程相似，只是在小增量中，漂移率增加了一个随机振动。

违约前，漂移率向下调整说明期望变化θ1(τ ,T )λ1（大小为θ1(τ ,T )、概率为λ1）的违约发生时间τ。

违约后，债券仅有利率风险。

(3-5) Jarrow/Turnbull 假设固定回复率为δ1、固定风险市场价格µ和存在唯一等价边际测度。

假设利率过程与违约过程相互独立，考虑泊松过程的特性，违约债券的价格简化为：⎩⎨⎧−+=−−−−default post T t p default prior e e T t p r T t v t T t T ),,()),1()(,(),(01)(1)(01111δδµλµλ （8） 其中，p 0(t ,T )为无违约债券价格，其收益等于无风险利率r 0(t )、利率风险调整∫+−≡T t T t a du u t T t 200),(21),(),(αβ加上波动率为∫−≡T t du u t T t a ),(),(σ的随机振动，即)(),()],()([),(),(10000t dW T t a dt T t t r T t p T t dp ++=β。