动力学方程

（2）相对坐标系
在研究动叶轮时，如果观察者位于旋转的动叶轮上观察 时，动叶轮将不再旋转而是相对静止的。因此，在相对 坐标系上动叶轮不对气体做功，即 Wu= 0。但在旋转坐 标系中有离心惯性力所作的功。
在与外界没有热交换下，相对坐标系的热焓能量方程式为：
u22 u12 2
i2
i1
w22
2
w12
ds
p 1 p dx 2 x
p p dx x
将方程遍除dm Fdx,略去高次项，有
dc dt
1
p x
ds dm
1
p x
S1
S1为单位质量流体受到的阻力。 对于一元定常流动，参数均是x的单一变量，
可以写成：p dp x dx
方程两侧乘以dx,同时考虑到dx c, dt
运动方程可写为：cdc
从一元定常流动中，用两个截面分离出一个微元
段分别是F和dF，截面间沿流动轴线的距离为dx。
作用在此微元段的力见右图。 根据牛顿定律：F=ma,有
p 1 p dx 2 x
pF ( p 1 p )dF 2 x
c p
( p p dx)(F dF ) ds x
Fdx dc
dt
ds
F
F+dF dx
i2
i1
2 1
dp
热量也可写成：q qw wf
热焓形式能量方程为： qw wu i2* i1* 上两式相减得：
wu
2 dp c22
1
c12 2
wf
（2）相对坐标系：
动叶轮在相对坐标系上是相对静止的， 对外不做功wu=0。
2 dp w22 w12
1
2
wf
0
U1=U2（轴流 式）
U2>U1 (离心式叶轮）压气机 外界加功
U2<U1（向心式叶轮）涡轮
对气体作功
u22 u12
2
2 dp w22 w12
1
2
wf
u22 u12 是离心惯性力所作得功。 2
对理想气体和外界没有功量交换下：
2 dp c22 c12
1
2
0
对不可压缩流体：
p2 p1 c22 c12 0
１
Ｃ
２
Ｃ＋ｄｃ
１
２
把流动简化为如上图，一个横截面积变化不大，轴线 （流道中心线）曲率很小的流道。气体在这样的流道 内流动可以近似地当成是一元流动。取流道轴线为坐 标轴，气流参数仅是坐标轴和时间t的函数。
当流动为定常流动时，气流参数仅沿流动方向而变 化，这样的流动称为流动方向的一元流动。
➢ 气体动力学基本方程
2.2 连续流方程
连续流方程是质量守恒定律的数学表达式。 质量守恒定律是物质运动的基本规律。
2.3 能量方程（热焓形式的能量方程）
（1）绝对坐标系
能量方程是能量守恒定律的数学表达式。
热力学第一定律：能量方程的一般形式：
qw
wu
(u2
u1)
( p2v2
p1v1) ( c22
2
c12
)
(
z2
1
dp
S1dx
对于等熵流动，流管侧面摩擦阻力为零（S1=0）， 则运动方程为：
当流动是沿着圆柱面流动时：
r1 r2 ;
u12 u22 22
i2
i1 w22
w12 2
0
i2*w
i2
w22 2
，
i1*w
i1
w12 2
i2*w i1*w 0，故：i2*w i1*w；相对总焓不变。
2.4 柏努利方程（机械能形式的能量方程）
柏努利通用方程把气流的能量写成密度和压力的函 数以及动能之和，同时考虑到与外界有功的交换和摩 擦功的影响。因为它在能量方程中除去了那些内部热 力学现象的项目，因此它描述了纯机械过程的变化， 而且即使在具有热交换的情况下，仍然是正确的。
2
对可压缩流体，要根据热力过程中工质状态的变化规律求
2
1
dp
假设系统是绝热的：p const
k
2
cdc
2 dp c2 const k
k2d
1
1 2
c2 k p
const
2 k 1
在有摩擦和对外有热量交换下：
2 dp
1
c2 2
n n 1 R(T2
T1 )
n为多变指数。
2.5 运动方程
➢概论
叶轮机械气动力学是气动力学的一个分支，它以叶轮 机械流道中的气体运动规律作为研究对象，所以它既服 从气动力学的普遍规律，又有自己的特点，并把这些特 点体现于基本方程，直接应用于叶轮机械。
在叶轮机械中，需要决定流场中的气流参数如：速度C、 压力P、密度 ρ、温度T以及焓i(h)和熵S等。
流道
叶轮机械通常有静止叶栅和旋转动叶组成。当气 体在旋转的动叶中流动时，工质既有相对与叶轮的 相对运动，同时又随着动叶以角速度ω作旋转运动。
柏努利方程描述的是纯机械过程的变化，与热焓形 式方程所不同的是摩擦功明显地表现在式中。
（1）绝对坐标系
热力学第一定律：dq du pdv
由于：du cv dT 同时pdv d ( pv) vdp d (RT） vdp
故：dq (cv R)dT vdp cp dT vdp
对上式积分：q
zBiblioteka Baidu )
忽略
焓的定义: i u pv
i*
i
c2 2
cpT *
叶轮机械热焓形式的能量方程：
qw
wu
i2
i1
( c22
2
c12
)
i2*
i1*
(+) q表示外界对工质加热 (-) q表示对外界输出热量
(+) wu表示加功量
(-) wu表示对外界做功
压气机： wu i2* i1* 涡轮： wu i2* i1* 燃烧室： q i2* i1*
为研究方便，常常把坐标系和动叶固定在一起， 所观察到的是工质相对与动叶的相对运动。因此基 本方程中有绝对参数和相对参数之分。
气体在透平中的流动是非常复杂的，它不仅具有非 定常的三元性质，而且在附面层中气体的粘性将强烈 的显示出来。
所以，透平中的气体运动是粘性、非连续和非定常 的三元运动。
求解这样的气体流动问题是非常困难，甚至是不可 能的。然而，在许多实际的工程技术问题中，可以将 气体在透平内的复杂运动根据情况适当简化。例如， 在附面层以外的流场中可以略去气体的粘性，当流道 中流线曲率不大时，将流道中的流动当成是一元流， 即认为流动参数仅沿流道轴线变化。
2.1 状态方程 2.2 连续方程 2.3 能量方程 2.4 柏努利方程 2.5 运动方程 2.6 动量矩方程 2.7 流道截面积与气流参数的关系 2.8 气动力学中的无因次参数
2.1 状态方程
理想气体：
PV RT i CpT CpT K RT
K 1 K Cp
Cv
• R为气体常数 • Cp为定压比热