高数教学资料 第十章大作业答案

f (x) x
二、填空题
2.以y e2x (3cos x 4sin x)为一个特解的二阶常系数
齐次线性微分方程为（）
Q
特征根r 1
2
i,
r2
2 i,
特征方程(r r1)(r r2 ) 0
r 2 (r1 r2 )r r1r2 r 2 4r 5 0
齐次方程y '' 4 y ' 5 y 0
dp dtwenku.baidu.com
,
其中P(t)表示时刻t时该商品的价格，已知P(0) 8,
试把市场均衡价格表示成时间的函数。
解 : 均衡价格满足 Qs Qd
即：60 P 4 dP 100 P 3 dP
dt
dt
化为：dP 2 p 40(由一阶非齐次方程通解公式或由分离变量法)
dt
解得：P 20 Ce2t
因为P(0) 8，所以C 12
e
1 y ln
y
dy
{C
1
e
y
1 ln
y
dy
dy}
y
1 ln y
d
l(n
y
){C
1
e
1 ln y
d (ln
y)
dy}
y
eln(ln y){C
1 eln(ln y)dy} y
1 {C ln y
1 ln ydy} y
1 ln y
{C
ln
yd (ln
y)}
1 ln y
{C
1 2
ln 2
y}
x(e) 3 , C 1 x 1 (1 1 ln 2 y)
5
5
所以非齐次的特解为 y 2 cos2x 6 sin 2x
5
5
所以非齐次的通解为
y
C1e x
C2e2x
2 5
cos2x
6 5
sin
2x
3、求方程y ln ydx (x ln y)dy 0, x 3 ,y=e的特解 2
解：方程化为： dx x 1 1 dy y ln y y
e x
y [ Q(x)e P(x)dxdx C]e P(x)dx (380公式（17）) [ ex2 cos xe(2x)dxdx C]e(2x)dx
y ex2 (sin x C)
2、求方程y" y ' 2y 8sin 2x的通解
解： 对应于齐次的特征方程为 r 2 r 2 0 ，得特征根 r1 1, r2 2
x
所以由题意得 y xy y x 3a2且y(1) a2 , 2
化为：y
2 x
y
6a
2
通解：y
x2
[
6a2 x2
e
2 x
dx
dx
C
]e
2 x
dx
x2[C
2a2 x3
]
由a2
y(1)，C
a2
解为y
x2[a2
2a2 x3
]
2、设某商品的供给函数Qs
=60+P+4
dp dt
,需求函数Qd
=100-P+3
Ep dp R
Rp
3
ln R 1 p3 C
R
p
e
1 3
p3
e
C
,
代入R(1) 1，得C
1,
p3
3
1( p3 1)
R( p) p e 3 .
提示：P127
y f (x)的弹性函数:Ey y '(x) x
Ex
y
三、计算题 1、求方程y ' 2xy ex2 cos x的通解
解：即y ' P(x) y Q(x),P(x)= 2x,Q(x) ex2 cos x 由通解公式
所以齐次的通解为 y C1e x C2e2x
由于 0 2i 不是特征根，故设非齐次的特解形式为: y Acos2x Bsin 2x
代入非齐次方程，整理得
(B 3A)cos2x (A 3B)sin 2x 4sin 2x
即
B 3A 0 A 3B 4
解得 A 2 , B 6
2
ln y 2
四、应用题
1、求一曲线，使其任意点的切线与二坐标轴和过切点且平行于纵轴的直线
所围成的梯形面积等于常数3a2,且过点(1, a2 )
解：设曲线为 y y(x) ，
y (x,y)
在 (x, y) 点的切线 Y y y(X x) ，
令 X 0, 与 y 轴截距为Y y yx
0
提示：方程y p y q y 0 ( p, q为常数)
特征方程: r 2 pr q 0,
则通解：y e x (C1 cos x C2 sin x )
6.某商品的收益函数为R( p)，收益弹性为1 p3，
其中p为价格，且R(1) 1，则R( p)
.
ER dR p 1 p3, dR ( 1 p2 )dp, ln R ln p 1 p3 C
A. c1 sin2 x c2 cos2 x B. c1 c2 cos 2x C. c1 sin2 2x c2 tan2 x D. c1 c2 cos2 x
分析： A. 正确 B. sin2 x cos2 x 1，cos2 x sin2 x cos 2x都是解，
Q 1，cos 2x线性无关，所以B正确 C . sin2 2x, tan2 x不一定是解，错误 D. 正确
二、填空题
2x
1 已知连续函数f (x)满足关系式 f ( x) 0
1 x
f ( t )dt, 2
则f (x)=(
)
xf ( x)
2x 0
f ( t )dt, 2
两边求导得
f ( x) xf ( x) 2 f ( x)
即xf ( x) f ( x), df ( x) dx , 得f ( x) Cx.
x0是y f ( x)的一个极值点，则f ( x)
(A)
A. 在x0的某邻域内是凹函数; B. 在x0的某邻域内是凸函数;
C. 在x0的某邻域内单增;
D. 在x0的某邻域内单减。
y( x0 ) y( x0 ) e x02
y( x0 ) e x02 0
第十章 大作业
3. 解微分方程 y yy2 0时,令 y p,
原微分方程化成的方程为 （ B）
A.由于 y p 故 p yp2 0 B.由于 y pp, 故 p yp 0
p( p yp) 0
C.由 y p 积分得 y 1 p2 , 故 p 1 p3 0
2
2
D.以上答案都不对.
4.已知sin2 x,cos2 x是微分方程y" p( x) y ' Q( x) y 0的解， 则不能构成该方程通解的是（ C ）
第十章 大作业 一、选择题
1.函 数y C1e xC2 (C1 , C2是 任 意 常 数)是 微 分 方 程y y 0 的(D )
A.通解; B. 特解; C.不是解; D.是解,但即不是通解也不是特解.
y C1e xC2
C1e x eC2
Cex
2.设f ( x)二阶导数连续且满足微分方程y y e x2，