与异面直线相关的几类经典题型
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与异面直线相关的几类经典题型
【知识梳理】
1.异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线.
2.异面直线的判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线;
3.异面直线所成的角
①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
②范围:(0,
2 ].
【典例分析】
题型一异面直线的判断
例题1
(1)在图中,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号).
(2)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,
B1C1的中点.问:
1
①AM和CN是否是异面直线?说明理由.
②DB和CC1是否是异面直线?说明理由.
2
3
跟踪练习1 如图:已知平面βα⋂=l ,A ∈l ,D ∈l ,AC α⊂,DB ⊂β,
求证:AC 和BD 是异面直线.
题型二 异面直线所成的角
例题2 如图1所示,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,O 是底面ABCD 的中心,E ,F 分别是CC 1,AD 的中点,求异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值.
跟踪练习2 如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,
(1)求A 1C 1与B 1C 所成角的大小;
(2)若E ,F 分别为AB ,AD 的中点,求A 1C 1与EF 所成角的大小.
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题型三构造长方体巧解异面直线问题
例题3 三条直线a、b、c两两异面,作直线l与三条直线都相交,则直线l可以作多少条?
跟踪练习3 设a、b是空间的两条直线,它们在平面α上的射影是两条相交直线,它们在平面β上的射影是两条平行直线,它们在平面γ上的射影是一条直线与直线外一点,则这样的平面γ有( )
A.0个B.1个C.2个D.无数个
【专项训练】
1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()
A.一定平行B.一定相交
C.一定异面D.相交或异面
2.在如图的正方体中,M、N分别为棱BC和棱CC1的中点,则异面直线AC和MN所成的角为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
3.两条异面直线在一个平面上的投影是( )
A.两条相交直线
5
B.两条平行直线
C.两条平行直线、两条相交直线的可能性都有,别无其他情况
D.两条平行直线、两条相交直线的可能性都有,此外还可能有其他情况.
4.设a、b是异面直线,那么()
A.必然存在唯一的一个平面,同时平行于a、b
B.必然存在唯一的一个平面,同时垂直于a、b
C.过直线a存在唯一平面平行于直线b
D.过直线a存在唯一平面垂直于直线b
5.已知直线a,b是异面直线,直线c,d分别与a,b都相交,则直线c,d的位置关系( ) A.可能是平行直线B.一定是异面直线
C.可能是相交直线D.平行、相交、异面直线都有可能
6.空间四边形ABCD中,E、F分别为AC、BD中点,若CD=2AB,EF⊥AB,则EF与CD 所成的角为()
A.30° B.45°
6
C.60° D.90°
二、填空题
7.一个正方体的展开图如图所示,A、B、C、D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中,AB与CD的位置关系是________.
8.如果两条异面直线称为“一对”,那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对.
9.在正方体AC1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是________.
10.如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N、P、Q、R、S分别是各点所在棱的中点,则PQ和RS的位置关系是________;MN和RS的位置关系是________;它们所成的角是________;PQ和MN的位置关系是相交;它们所成的角是________
11.若两条异面直线所成的角为60°,则称这对异面直线为“理想异面直线对”,在连结正方
体各顶点的所有直线中,“理想异面直线对”的对数为________对.
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三、解答题
12.如图,已知不共面的直线a,b,c相交于点O,M、P是直线a上两点,N、Q分别是b,c上的点.
求证:MN和PQ是异面直线.
13.已知正四棱锥S-ABCD(底面为正方形,顶点在底面的射影为底面的中心)的侧棱长与底面边长都相等,E为SB的中点,求AE、SD所成角的余弦值.
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答案精析
【典例分析】
题型一
例题1
(1)【答案】②④
【解析】图①中,直线GH∥MN;图②中,G,H,N三点共面,但M∉面GHN,因此直线GH与MN异面;图③中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面;图④中,G,M,N共面,但H∉面GMN,因此GH与MN异面.所以在图②④中GH与MN异面.
(2)【答案】解:①不是异面直线.
理由:连接MN,A1C1,A C.因为M,N分别是AB1,B1C1的中点,所以MN∥A1C1.
又因为A1A C1C,所以A1ACC1为平行四边形,
所以A1C1∥AC,所以MN∥AC,
所以A,M,N,C在同一平面内,
故AM和CN不是异面直线.
②是异面直线.
理由:
因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以B,C,C1,D1不共面.
假设D1B与CC1不是异面直线,
则存在平面α,使D1B⊂平面α,CC1⊂平面α,
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