不等式以及其性质

一、不等式及其性质
【学习目标】
1．认识不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数目关系；
2.理解不等式的三条基天性质，并会简单应用；
3．理解并掌握一元一次不等式的观点及性质；
【重点梳理】
重点一、不等式的观点
一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
重点解说：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们拥有方向性，不等号的张口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
符号读法意义
“≠”读作“不等于”它说明两个量之间的关系是不相等的，但不可以确立哪个大，哪个小
“＜”读作“小于”表示左侧的量比右侧的量小“＞”读作“大于”表示左侧的量比右侧的量大
“≤”读作“小于或等即“不大于”，表示左侧的量不大于右侧的量于”
“≥”读作“大于或等即“不小于”，表示左侧的量不小于右侧的量于”
(3) 有些不等式中不含未知数，如3＜ 4， -1＞ -2；有些不等式中含有未知数，如2x＞ 5 中， x 表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边切合不等
号所表示的大小关系，我们说不等式建立，不然，不等式不建立．
种类一、不等式的观点
例1. 判断以下各式哪些是等式，哪些是不等
式．（1） 4＜ 5；
（2） x2+1＞0；
（3） x＜ 2x-5；
（4） x=2x+3；
（5） 3a2+a；
（6） a2+2a ≥ 4a-2．
变式练习：
1.（2017 春 ?城关区校级期末）贵阳市今年 5 月份的最高气温为知某一天的气温为 t℃，则下边表示气温之间的不等关系正确的选项是（27℃，最低气温为
）
18℃，已
A． 18＜ t ＜ 27B． 18≤t＜27C． 18＜ t ≤ 27D． 18≤ t≤27 2.（2017 春 ?未央区校级月考）以下式子：① a+b=b+a；② -2＞-5；③ x≥-1；④
1
y-4＜ 1；⑤ 2m ≥n； ⑥ 2x -3，此中不等式有（
）
3
A ．2 个
B ．3 个
C ．4 个
D ．5 个
3（.2017 春 ?南山区校级月考） 下边给出了 6 个式子：?3＞0 ；?x+3y ＞ 0；?x=3；④x -1；⑤ x+2 ≤3；
⑥ 2x ≠0；此中不等式有（
）
A ．2 个
B ．3 个
C ．4 个
D ．5 个
4.（2017 春 ?太原期中） 学校组织同学们春游，租用 45 座和 30 座两种型号的客车，若租用
45 座客车 x 辆，租用 30 座客车 y 辆，则不等式
“ 45x+30y ≥ 500表示”的实质意义是（ ）
A ．两种客车总的载客量许多于
500 人
B ．两种客车总的载客量不超出
500 人
C ．两种客车总的载客量不足
500 人
D ．两种客车总的载客量恰巧等于 500 人
5.已知有理数 m ， n 的地点在数轴上如下图，用不等号填空．
（1）n-m
0；（ 2）m+n 0；（3）m-n 0；（ 4）n+1 0；（ 5）m?n 0；
（ 6） m+10．
例 2．用不等式表示：
(1)x 与 -3 的和是负数；
(2)x 与 5 的和的 28％不大于 -6; (3)m 除以 4 的商加上 3 至多为 5．
贯通融会：
【变式】 a a 的值必定是（ ）．
A. 大于零
B.小于零
C.不大于零
D. 不小于零
2
2
-10 ＜ 2；?
例 3.下 列 叙 述 ：① a 是 非 负 数 则 a ≥0；② “a
减 去 10 不 大 于 2”可 表 示 为 a ③ “x 的 倒 数 超 过 10”可 表 示 为 1
＞ 10 ； ④ “a， b 两 数 的 平 方 和 为 正 数 ”可 表 示 为
x
a 2 +
b 2＞ 0 ． 其 中 正 确 的 个 数 是 （
） .
A.1 个
B.2 个
C.3 个
个
重点二、一元一次不等式的观点
只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，比如，
2
3
重点解说：
(1)一元一次不等式知足的条件：①左右两边都是整式
(单项式或多项式 )；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数为
1.
(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有差别又有联系：
同样点： 两者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是
1，“左侧”和“右侧”都是整式．
不一样点： 一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连结，
不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连结，等号没有方向．
例 1.（ 2017 春?沧州期末） 以下各式中，一元一次不等式是（
）
A. x
5 B ．2x ＞ 1-x 2
C ． x+2y ＜1
D ． 2x+1 ≤ 3x
x
变式练习
2．（ 2017 春 ?平川区校级期中）以下是一元一次不等式的是（ ）
A..x
1
B ． x 2-2＜1
C ． 3x+2
D ． 2＜ x-2
1
x
3．（ 2016 春 ?永丰县期中）若不等式
2x a ＜ 1 是对于 x 的一元一次不等式，则
a 切合（ ）
A ． a ≠1
B ． a=0
C ． a=1
D ． a=2
4.若（ m+1 ）x |m| +2＞0 是对于 x 的一元一次不等式，则
m=（ ）
A ． ±1
B ．1
C ．-1
D ． 0
5.以下不等式中，是一元一次不等式的有（ ）个．
①x＞ -3； ② xy ≥1； ③x 2 ＜ 3； ④
x
x 1； ⑤ x
1 1 ；
2
3 x
A ． 1
B ．2
C ． 3
D ． 4
重点三、不等式的基天性质 不等式的基天性质 1：不等式两边加 (或减 )同一个数 (或整式 )，不等号的方向不变．
用式子表示：假如
a ＞
b ，那么 a ±c＞ b ±c.
不等式的基天性质
2：不等式两边都乘 (或除以 )同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：假如
a ＞
b ，
c ＞0，那么 ac ＞ bc(或 a b
)．
c
c
不等式的基天性质
3：不等式两边乘 (或除以 )同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：假如
a ＞
b ，
c ＜0，那么
ac ＜ bc(或
a
b
)．
c c
例 1.判断以下各题的结论能否正确（对的打 “√”，错的打 “×”）．
（ 1）若 b ﹣ 3a ＜0，则 b ＜ 3a ；
（ 2）假如﹣ 5x ＞ 20，那么 x ＞﹣ 4；
（ 3）若 a ＞ b ，则 ac 2＞ bc 2
；
（ 4）若 ac 2＞ bc 2
，则 a ＞ b ；
（ 5）若 a ＞ b ，则 a （c 2+1）＞ b （ c 2
+1）． （6）若 a ＞ b ＞ 0，则 ＜ ．
．
【答案与分析】
解：（ 1）若由 b ﹣ 3a ＜0，移项即可获得
b ＜ 3a ，故正确；
（2）假如﹣ 5x＞ 20，两边同除以﹣ 5 不等号方向改变，故错误；
（3）若 a＞ b，当 c=0 时则 ac 2
＞ bc
2
错误，故错误；
（4）由 ac 2
＞ bc
2
得 c
2
＞ 0，故正确；
（5）若 a＞ b，依据 c 2
+1，则 a（ c
2
+1）＞ b（ c
2
+1）正确．
（6）若 a＞ b＞ 0，如 a=2， b=1，则＜正确．
故答案为：√、×、×、√、√、√．
【总结升华】此题考察了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变．例 4.（ 2017?青浦区一模）已知a＞ b，以下关系式中必定正确的选项是（）
A． a2＜ b2B． 2a＜ 2b C． a+2＜b+2D．﹣ a＜﹣ b
【思路点拨】依据不等式的性质剖析判断．
【答案】 D.
【分析】
解： A， a2＜ b2，错误，比如：2＞﹣ 1，则 22＞（﹣ 1）2；
B、若 a＞ b，则 2a＞ 2b，故本选项错误；
C、若 a＞ b，则 a+2＞ b+2，故本选项错误；
D、若 a＞ b，则﹣ a＜﹣ b，故本选项正确 .
【总结升华】不等式的性质是不等式变形的重要依照．重点要注意不等号的方向．性质1和性质 2 近似于等式的性质但性质 3 中，当不等式两边乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变．
贯通融会：
【变式】依据不等式的基天性质，将“mx＜ 3”变形为“x＞3
”，则 m 的取值范围是．m
【答案】 m＜ 0.
解：∵将“mx＜ 3”变形为“x＞3
”，
m
∴m 的取值范围是 m＜
0．故答案为： m＜0．
【稳固练习】
一、选择题
1.（ 2016 春 ?北京期末）在式子﹣ 3＜ 0， x≥2， x=a， x2﹣ 2x， x≠3， x+1＞ y 中，是不等式的有（）
A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个
2．以下不等式表示正确的选项是(
).
A．a 不是负数表示为a＞ 0
C． x 与 1 的和是非负数可表示为3.式子“① x+y=1 ；② x＞ y；③ x+2y
A．2 个B．3 个C．4 个
B． x 不大于 5 可表示为x＞ 5
x+1＞ 0D． m 与 4 的差是负数可表示为m-4＜ 0；④ x-y ≥ 1 ；⑤ x＜ 0 ”属于不等式的有（）D．5 个
4．已知 a ＜ b ，则以下不等式必定建立的是
(
)
A ．a+3＞ b+3
B ． 2a ＞ 2b
C ．-a ＜-b
D ． a-b ＜0
5．若 图 示 的 两 架 天 平 都 保 持 平 衡 ， 则 对 a 、 b 、 c 三 种 物 体 的 重 量 判 断 正 确 的 是（
）.
A.a>c
B.a<c
C.a<b
D.b<c 6．以下变形中，错误的选项是（
） .
A ．若 3a+5＞ 2，则 3a ＞ 2-5
B ．若
2
x 1，则 x 2 3 3
C ．若
1
D ．若
11
5
x 1，则 x ＞ -5
x 1 ，则 x
11
5
5
二、填空题
7．（ 2016 秋 ?太仓市校级期末）假如 a ＜ b ，则 ﹣ 3a
﹣ 3b （用 “＞ ”或 “＜ ”填空）．
8．用不等式表示 “x 与 a 的平方差不是正数 ”为 ．
9．在 -l ，
1 ，0， 2
，2 中，能使不等式 5x ＞ 3x+3 建立的 x 的值是 ________；________是
2 3
不等式 -x ＞ 0 的解．
10．假定 a ＞ b ，请用“＞”或“＜”填空
(1)a-1________b-1 ；
(2)2a______2b ； (3)
1
a _______
1
b ；
(4)a+l________b+1．
2
2
11．已知 a ＞ b ，且 c ≠ 0，用“＞”或“＜”填空．
a
b
(1)2a________a+b
(2) c 2 _______
c 2
(3)c-a_______c-b
(4)-a|c|_______-b|c|
12. k 的 值 大 于 -1 且 不 大 于 3 ， 则 用 不 等 式 表 示 k 的 取 值 范 围 是 _______． （ 使 用形 如 a ≤ x ≤ b 的 类 似 式 子 填 空 ． ）
三、解答题
13．现有不等式的性质：
① 在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；
② 在不等式的两边都乘以同一个数（或整式），乘的数（或整式）为正时不等号的方向不变，乘的数（或整式）为负时不等式的方向改变． 请解决以下两个问题：
（ 1）利用性质 ① 比较 2a 与 a 的大小（ a ≠0）；
（ 2）利用性质 ② 比较 2a 与 a 的大小（ a ≠0）．
14. ① 当 a=3 ， b=5 时 用 不 等 式 表 示 a 2 +b 2 与 2ab 的 大 小 是 _______； ② 当 a=-3 ， b=5 时 用 不 等 式 表 示 a 2+b 2 与 2ab 的 大 小 是 __________； ③
当 a=1 ， b=1 时 用 不 等 式 表 示 a 2 +b 2 与 2ab 的 大 小 是 ________；
④ 根 据 上 述 数 学 实 验 你 猜 想 a 2 +b 2 与 2ab 的 大 小 关 系 _______；
⑤ 用 a 、 b 的 其 他 值 检 验 你 的 猜 想 ______．
15．已知 x ＜y ，比较以下各对数的大小．
(1)8x-3 和 8y-3；
(2)
5
x 1 和
5
y 1 ；
(3) x-2 和 y-1．
6
6
【答案与分析】 一、选择题 1. 【答案】 C ；
【分析】解：﹣ 3＜ 0 是不等式， x ≥2是不等式， x=a 是等式， x 2﹣2x 是代数式， x ≠3是不
等式， x+1＞ y 是不等式．不等式共有
4 个．应选 C.
2. 【答案】 D ；
【分析】 a 不是负数应表示为 a ≥ 0，故 A 错误；
x 不大于 5 应表示为 x ≤5，故 B 错误；
x 与 1 的和是非负数应表示为 x+1≥ 0，故 C 错误； m 与 4 的差是负数应表示为
m-4＜ 0，故 D 正确。

3.【答案】 B.
4.【答案】 D ；
【分析】从不等式 a ＜ b 下手，由不等式的性质 1，不等式 a ＜ b 的两边都加上 3 后，不等
号的方向不变，得 a+3＜ b+3，应选项 A 不建立；由不等式的性质 2 ，不等式 a ＜ b 的两边都
乘以 2 后，不等号的方向不变，得 2a ＜ 2b ，应选项 B 不建立；由不等式的性质 3，不等式 a
＜b 的两边都乘以 -1 后，不等号的方向改变，得 -a ＞ -b ，应选项 C 也不建立；由不等式的性
质 1，不等式 a ＜ b 的两边都减去 b 后，不等号的方向不变，得
a-b ＜ 0．故应选 D ．
5.【答案】 A.
6.【答案】 B ；
【分析】 B 错误，应改为：
2 x 1，两边同除以
2 3。

3，可得： x
3
2
二、填空题 7. 【答案】＞ .
【分析】在 a ＜ b 的两边同时乘以﹣ 3，得：﹣ 3a ＞﹣ 3b ，两边同时加上
，得： ﹣ 3a
＞
﹣ 3b ．故答案为：＞．
8.【答案】 x 2 ﹣a 2
≤0；
9.【答案】 2；-1、
1
2
【分析】一一代入考证 .
10．【答案】 (1)＞ (2)＞ (3)＜ (4) ＞； 11.【答案】 (1)＞
(2)＞
(3)＜ (4)＜；
【分析】利用不等式的性质进行判断。

12.【答案】 -1 ＜ k ≤ 3． 三、解答题 13.【分析】
解：（ 1） a ＞ 0 时， a+a ＞ a+0，即 2a ＞ a ，
a＜ 0 时， a+a＜ a+0，即 2a＜a；
（2） a＞ 0 时， 2＞1，得 2?a＞1?a，即 2a＞ a；
a＜ 0 时， 2＞ 1，得 2?a＜1?a，即 2a＜ a．
14.【分析】
解：①当 a=3 ， b=5 时，
a2 +b 2=34 ， 2ab=30 ，
∵34＞ 30 ，
∴a2 +b 2＞ 2ab ；
②当 a=-3 ， b=5 时，
22
∵34＞ -30 ，∴
a2 +b 2＞ 2ab ；
③当 a=1 ， b=1 时
a2 +b 2=2 ， 2ab=2 ，
∵1=1 ，
∴a2 +b 2 =2ab ；
④综合① ② ③得出结论： a 2+b 2≥ 2ab （ a=b 时，取“ =”）．证明：∵（ a-b ）2≥ 0 （ a=b 时，取“ =”），
∴a2 +b 2 -2ab ≥ 0 ，
∴a2 +b 2≥ 2ab ．
⑤设 a=2 ， b=2 ，则 a2 +b 2 =2ab=8 ，上述结论正确；
设 a=5 ， b=3 ，则 a 2 +b 2 =34 ， 2ab=30 ，所以 a 2+b 2＞ 2ab ，
综上所述， a 2+b 2≥ 2ab （ a=b ≠ 0 时，取“ =”）正确．
15.【分析】
解：(1)∵x＜ y∴8x＜ 8y，∴8x-3＜ 8y-3．
(2)∵x＜ y，∴55
x y ，66
∴55
1 ．x 1y
66
(3)∵x＜ y，∴x-2＜ y-2，而 y-2＜ y-1，
∴x-2＜y-1．
拓展：
种类一、不等式的观点
1．有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，此中大砝码皆为 5 克、小砝码皆为 1 克，且以下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情况．判断以下正确的情况是().
【思路点拨】 依据图示可知 1 个糖果的质量＞ 5 克，3 个糖果的质量＜ 16 克，依此求出 1 个
糖果的质量取值范围，再在 4 个选项中找出情况正确的．
【答案】 D.
【分析】
解：由图 (1)知，每一个糖果的重量大于 5 克，由图 (2)知： 3 个糖果的重量小于
16 克，即每
一个糖果的重量小于
16
克．故 A 选项错；两个糖果的重量小于
32 10 2
克故 B 选项错；
3
3 3
三个糖果的重量大于 15 克小于 16 克故 C 选项错，四个糖果的重量小于
16 64 1
3
4 3
21
克故 D 选项对．
3
【总结升华】 察看图示， 确立大小． 此题波及的知识点是不等式， 波及的数学思想是数形结
合思想，解决问题的基本思路是依据图示信息列出不等式．
贯通融会：
【变式】设“ ▲”、“ ●”、“ ■ ”分别表示三种不一样的物体，现用天平秤两次，
状况如下图，那么▲ 、● 、■ 这三种物体按质量从大到小摆列应为（
）.
A ．■、●、▲
B ．▲、■、●
C ．■、▲、●
D ．●、▲、■【答案】 C.
种类二、不等式的基天性质
2.下边四个命题： （1 ）ac 2 bc 2 ,则 a
b ；（2） a b ，则 a
c b c ；（ 3）若 a b ，
则 b
1；（ 4）若 a
0 ，则 b a b .此中正确的个数是（
） .
a
个
个
个
个
【答案】 B.
【分析】 (1)由 ac 2
bc 2 得 c 0 ，由于 c 2 >0,因此 a b ，正确；
（2）由于 a b ，当 c 0 时， a c b c ，因此错误；
（ 3）由于
（ 4）由于
a
b ，当 a
0 时， b
没存心义，而当 a
0 时，
b
1，因此错误；
a
a
a
0，因此
a 0 ，
b a b ，正确 .
【总结升华】 不等式的基天性质是不等式变形的主要依照， 要仔细弄清楚不等式的基天性质 与等式的基天性质的异同点，特别是不等式两边同时乘以 （或除以）同一个数时， 不单要考
虑这个数不等于 0，并且先一定确立这个数是正数仍是负数.
贯通融会：
【变式 1】 a 、 b 是有理数，以下各式中建立的是( )．
A ．若 a ＞ b ，则 a 2 ＞b 2；
B ．若 a 2＞ b 2，则 a ＞ b
C ．若 a ≠b ，则｜ a ｜≠ |b|
D ．若｜ a ｜≠ |b| ，则 a ≠b
【答案】 D.
【变式 2】若点 P （ 1﹣ m ， m ）在第一象限，则（
m ﹣ 1） x ＞ 1﹣ m 的解集为
．
【答案】 x ＜﹣ 1.
解： ∵ 点 P （1﹣ m ， m ）在第一象限，
∴ 1﹣ m ＞ 0， 即 m ﹣1 ＜0；
∴ 不等式（ m ﹣1 ）x ＞ 1﹣ m ，
∴ （ m ﹣ 1） x ＞﹣（ m ﹣1），不等式两边同时除以 m ﹣1，得： x ＜﹣ 1，
故答案为： x ＜﹣ 1．
3.设 a ＞ 0＞ b ＞ c ， 且 a+b+c=-1
， 若 M ＝
b
c
， N ＝
a
c
， P ＝
a
b ，
a
b
c
试比较 M 、N 、P 的大小．
【答案与分析】 ∵ a+b+c=-1 ，
∴ b+c=-1-a ，
∴ M=
1 a
=?1? 1 ，
a a
同理可得 N=?1?
1
， P=?1?
1 ；
b
c
又 ∵ a ＞ 0 ＞ b ＞ c ， ∴ 1＞0＞ 1＞
1
，
a
c
b
∴ ?1? 1
＜?1＜?1? 1＜?1? 1
a
c b
即 M ＜P ＜N ．
【总结升华】此题考察不等式的基天性质，重点是 M 、N 、P 的等价变形，利用了整 体 思 想 消 元 ， 转 化 为 a 、 b 、 c 的 大 小 关 系 ．
4.（ 2016 春 ?唐河县期中）【提出问题】已知
x ﹣ y=2，且 x ＞ 1， y ＜0，试确立 x+y 的
取值范围．
【剖析问题】先依据已知条件用一个量如 y 取表示另一个量如 x ，而后依据题中已知量 x 的
取范，建立另一量y 的不等式，进而确立量y 的取范，同法再确立另一未知量x 的取范，最后利用不等式性即可解．
【解决】解：∵x y=2，∴ x=y+2．
又∵ x＞ 1，∴ y+2＞ 1，∴ y＞ 1．
又∵ y＜ 0，∴ 1＜ y＜ 0，⋯①
同理得 1＜ x＜ 2⋯②
由① +②得 1+1＜ y+x＜0+2．
∴x+y 的取范是0＜ x+y＜ 2．
【用】已知 x y= 3，且 x＜ 1，y＞ 1，求 x+y 的取范．
【思路点】先依据已知条件用一个量如y 取表示另一个量如 x，而后依据中已知量x 的取范，建立另一量y 的不等式，进而确立量y 的取范，同法再确立另一未知量x 的取范，最后利用不等式性即可解．
【答案与分析】
解：∵ x y= 3，
∴x=y 3．
又∵ x＜ 1，
∴y 3＜ 1，
∴y＜2．
又∵ y＞ 1，
∴1＜ y＜ 2，⋯①
同理得 2＜ x＜ 1⋯②
由① +②得 1 2＜ y+x＜2 1．
∴x+y 的取范是 1 ＜x+y＜ 1．
【升】此主要考了等量代及不等式的基天性（ 1）不等式的两同乘以（或
除以）同一个正数，不等号的方向不；（2）不等式的两同乘以（或除以）同一个
数，不等号的方向改变；（ 3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式
子，不等号的方向不．
【稳固练习】
一、选择题
1．以下不等式中，必定建立的有
(
).
① 5＞ -2；② a 2 1 ；③ x+3＞ 2；④ a +1≥ 1；⑤ (a 2 1)(b 2 1) 0 ．
A ．4 个
B ．3 个
C ．2 个
D ．1 个
2.若 a+b ＞ 0 ， 且 b ＜ 0 ， 则 a ， b ， -a ， -b
的大小关系为（ ） .
A ． -a ＜ -b ＜ b ＜ a
B ． -a ＜ b ＜ -b ＜ a
C ． -a ＜ b ＜ a ＜ -b
D ． b ＜ -a ＜ -b ＜ a
3．若 a ＜b ，则以下不等式：①
1 1 a
1
1
b ；② 5a
1 5b 1 ；
2
2
③ a 2 b 2．此中建立的有 (
).
A ．1 个
B ．2个
C ．3 个
D ．0 个
4．若 0＜ x ＜1，则 x ，
1
， x 2 的大小关系是 (
).
A ．
1
x
1
1 D ．
1
x x 2
B ． x
x 2 C ． x 2
x
x 2
x
x
x
x
x
5.已 知 a 、 b 、 c 、 d 都 是 正 实 数 ， 且 a < c
， 给 出 下 列 四 个 不 等 式 ：
b d
①
a c
； ②
c
a
； ③
d
b
； ④
b
d
a b c d c d a b
a b c d
c d a b
此中不等式正确的选项是（
） .
A. ①③B ．①④
C ．②④
D ．②③
6．（ 2016 春 ?丰台区期末）以下不等式变形正确的选项是（ ）
A ．由 a ＞ b ，得 a ﹣ 2＜ b ﹣ 2
B ．由 a ＞ b ，得﹣ a ＜﹣ b
C ．由 a ＞ b ，得
D ．由 a ＞ b ，得 ac ＞ bc
二、填空题
7．内行驶中的汽车上，我们会看到一些不一样的交通标记图形，它们有着不一样的意义，如图 所示，假如汽车的宽度为
x m ，则用不等式表示图中标记的意义为
________．
a
b 8．(1)若 2
2 ，则 a_________b ；
c
c
(2)若 m ＜ 0， ma ＜ mb ，则 a_________b ．
9．已知 | 3x 12 | (2 x
y m)2
0 ，若 y ＜ 0，则 m________ ．
10．已知对于 x 的方程 3x-(2a-3)=5x+(3a+6)的解是负数，则 a 的取值范围是 ________．
11．（ 2016 春 ?济南校级期末）以下判断中，正确的序号为
．
①若﹣ a ＞ b ＞ 0，则 ab ＜ 0；②若 ab ＞ 0，则 a ＞ 0， b ＞ 0；③若 a ＞ b ， c ≠0，则 ac ＞ bc ；④
若 a ＞ b ， c ≠0，则
ac 2＞ bc 2；⑤若
a ＞
b ，
c ≠0，则﹣ a ﹣ c ＜﹣ b ﹣ c ．
12．假如不等式 3x-m ≤ 0 的正整数解有且只有
3 个，那么
m 的取值范围是 ________．
三、解答题
13．用不等式表示：
(1)某工人 5 月份计划生产部件 天，并超额达成任务，设他
式；
198 个，前 16 天均匀每日生产 6 个，以后改良技术，提早 3
16 天以后均匀每日生产部件
x 个，请写出知足条件的
x 的关系
(2)今年，小明
x 岁、小强
y 岁、爷爷
m 岁；明年，小明年纪的
3 倍与小强年纪的 6 倍之和
大于爷爷的年纪．
14．若 a ＞b ，议论 ac 与 bc 的大小关系．
15．依据等式和不等式的基天性质，我们能够获得比较两数大小的方法．若 A-B ＞ 0，则 A
＞B ；若 A-B ＝0，则 A ＝B ；若 A-B ＜ 0，则 A ＜ B ．这类比较大小的方法称为“作差法比较大小”，请运用这类方法试试解决以下问题． (1)比较 3a 2 -2b+1 与 5+3a 2-2b+b 2 的大小； (2)比较 a+b 与 a-b 的大小； (3)比较 3a+2b 与 2a+3b 的大小．
【答案与分析】 一、选择题
1. 【答案】 B ；
【分析】必定建立的是：①④⑤； 2. 【答案】 B. 3. 【答案】 A ；
【分析】依据不等式的性质可得，只有①建立.
4. 【答案】 C ；
【分析】∵ 0＜ x ＜1，∴ x 2
≤ x ≤
1
.
x
5.【答案】 A ；
【分析】∵
a < c
， a 、 b 、 c 、 d 都 是 正 实 数 ，
b d
∴ ad ＜ bc ，
∴ ac+ad ＜ ac+bc ， 即 a （ c+d ） ＜ c （ a+b ） ，
∴
a c ，因此①正确，②不正确； a
b
c d
∵a
<
c
， a、 b、 c、 d 都是正实数，b d
∴ad ＜ bc ，
∴bd+ad ＜ bd+bc ，即 d （ a+b ）＜ b（ d+c ），
∴
d b
，因此③正确，④不正确．c d a b
应选 A．
6.【答案】 B．
【分析】 A、a＞ b，得 a﹣ 2＞ b﹣2，错误；
B、 a＞b，得﹣ a＜﹣ b，正确；
C、 a＞ b，得，错误；
D、当 c 为负数和 0 时不建立，故本选项错误，应选 B.
二、填空题
7.【答案】 x≤4；
8.【答案】 (1)＜， (2)＞；
【分析】（ 1）两边同乘以c2（ c20 ）；（2）两边同除以m (m0) .
9.【答案】＞ 8；
【分析】由已知可得：x＝4， y＝ 2x-m＝ 8-m＜ 0，因此 m＞ 8.
10．【答案】a 3 . 5
11.【答案】①④⑤
【分析】解：∵﹣a＞ b＞0，∴ a＜ 0， b＞ 0，∴ ab＜ 0，①正确；∵a b＞ 0，∴ a＞ 0， b＞0 或 a＜ 0， b＜0，②错误；
∵a＞ b， c≠0，∴ c＞ 0 时， ac＞ bc；c＜ 0 时， ac＜bc；③错误；∵a＞ b， c≠0，∴ c2＞0，∴ ac2＞ bc2，④正确；
∵a＞ b， c≠0，∴﹣ a＜﹣ b，∴﹣ a﹣ c＜﹣ b﹣ c，⑤正确．
综上，可得正确的序号为：①④⑤．
12.【答案】 9≤m＜ 12；
【分析】 3x-m≤ 0， x≤m
， 3≤
m
＜ 4，∴9≤ m＜ 12. 33
三、解答题
13.【分析】
解： (1)16×6+(31-16-3)x ＞ 198;
(2)3(x+1)+6(y+1)＞ m+1. 14.【分析】
解： a＞b ，
当 c＞ 0 时， ac＞ bc，
当 c=0 时， ac=bc，
当 c＜ 0 时， ac＜ bc．
15.【分析】
解： (1) 3a22b 1 5 3a22b b2b240 ．
∴3a2 2b 1 5 3a2 2b b2．
(2)a+b-(a-b)＝ a+b-a+b＝ 2b，当 b＞ 0 时， a+b-(a-b)＝ 2b＞ 0， a+b＞ a-b；
当 b ＝0 时， a+b-(a-b) ＝ 2b＝ 0， a+b=a-b；当
b ＜0 时， a+b-(a-b) ＝ 2b＜ 0， a+b＜ a-b．
(3)3a+2b-(2a+3b) ＝a-b当a＞b时，3a+2b＞2a+3b；
当 a＝b 时， 3a+2b＝ 2a+3b；
当 a＜b， 3a+2b＜ 2a+3b．。