量子力学中一维无限深势阱问题两种解题方法的比较

量子力学中一维无限深势阱问题两种解题方法的比较
一维无限深势阱是量子力学中一个经典的问题，可以用两种方法进行求解：定态微扰论和定态井底近似。

1. 定态微扰论：
定态微扰论是量子力学中解决简单势场问题常用的一种方法。

在无限深势阱问题中，可以将无穷深方势阱视为定态问题的微扰，将该势场加入到系统的哈密顿量中，然后使用微扰论进行求解。

定态微扰论的步骤如下：
- 首先，将无限深方势阱问题的哈密顿量记为H0，并找到H0
的本征函数和本征能量。

- 然后，将无穷深势阱视为微扰，将微扰项H'加入到哈密顿量。

- 使用微扰论的公式，展开本征函数和本征能量的泰勒级数，
得到微扰的一阶修正项。

- 最后，将微扰项的一阶修正项加到H0的本征能量上，得到
精确的能级修正。

2. 定态井底近似：
定态井底近似是另一种求解一维无限深势阱问题的常用方法。

该方法的核心思想是将无穷深方势阱问题看作是薛定谔方程在势能井底附近的近似解。

定态井底近似的步骤如下：
- 首先，将无限深方势阱的势能井底近似为一个宽度为a的矩
阵势阱，且矩阵势阱的势垒高度为无穷大。

- 然后，将定态薛定谔方程在矩阵势阱内求解，得到在该势阱
内的本征函数和本征能量。

- 最后，将势能井底趋于无穷深，即将势阱的势垒高度取极限
使其趋于无穷大，此时得到的本征函数和本征能量就是无限深方势阱问题的精确解。

比较两种方法：
- 定态微扰论适用于一般情况下的微扰问题，可以求得很多物
理量的修正。

但是在计算过程中需要进行级数展开，需要考虑到每一阶的修正项，计算较为复杂。

- 定态井底近似是一种近似方法，适用于无穷深方势阱问题的
求解。

它将无穷深方势阱问题转化为一个简单的矩阵势阱问题，简化了问题的求解过程。

- 在求解一维无限深势阱问题时，定态井底近似更加简单快速，能够直接得到问题的精确解。

而定态微扰论的应用范围更广，在求解一些复杂问题时更具有优势。

综上所述，定态井底近似适用于一维无限深势阱问题的精确解，而定态微扰论适用于更一般的微扰问题，并具有更广泛的应用范围。