省高中数学优质课 换底公式教学设计

教学设计
教学内容解析
本课是在学习了对数的概念和运算性质的基础上来研究换底公式，利用换底公式统一对数底数，即“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，一般利用它将对数转化为常用对数或自然对数来计算；在具体解题过程中，不仅要能正用换底公式，还要能熟练地逆用换底公式.另外还安排了两个对数的应用问题，使学生进一步认识到数学在现实生活、生产中的重要作用.
教材通过实例研究引出换底公式，既明确学习换底公式的必要性，同时也在公式推导中应用对数的概念和对数的运算性质，在教学中可以根据学生的不同基础适当地增加具体实例，便于学生理解换底公式的本质，培养学生从具体的实例中抽象出一般公式的能力.
教学目标设置
1.知识与技能
（1）掌握对数的换底公式，能推导和证明换底公式；（重点）
（2）会用换底公式进行化简、求值.（难点、易混点）
2.过程与方法
学生通过问题的驱动自主学习、合作探究，经历推导换底公式的过程，提高学生分析问题的能力，培养学生转化思想的能力.
3.情感态度与价值观
让学生探究对数的换底公式，培养学生的探究意识，培养学生严谨的思维品质，感受对数的广泛应用，增强学习的积极性.
学生学情分析
对数是一个全新的概念，对数运算是一种类似于但又不同于实数的加减乘除运算及指数运算的全新运算.要探究并证明对数换底公式，学生是有相当难度的，但是通过前两节的学习，学生能够利用对数定义及对数的运算性质进行对数式与指数式的相互转化、对数计算，之前学生还熟知指数的运算性质.有这些已有知识作为基础，教师再设计合理的导学案，是能让学
生主动参与课堂的，并能自主完成对数换底公式其性质的探究、发现、证明、应
用的全过程的.
教学策略分析
这节课安排了“温故知新”“新知探究”“典例讲解”“当堂检测”“课堂小结”“作
业布置” 六个教学环节，它是在教师引导下，通过学生积极思考，主动探求，
从而实现教学目的要求，完成教学任务的一种教学方法。

这种教学方法一般适用
于那些与前面知识联系紧密的教学内容。

只要学生掌握好旧知识，再经过分析、
综合、归纳、推理就能导出所学内容。

如许多定理、公式、性质、法则的教学，
采用这种教学方法，学生学习积极性高，因而教学效率高，效果好。

同时对完善
学生的认知过程，提高他们分析解决问题的能力都大有裨益。

在课堂上，由于学
生的大脑处于高度兴奋、积极思考、欲罢不能的状态下，因而有助于培养和发展
学生创造性思维的能力。

当然“教学有法，教无定法。

”在教学方法上不能千篇
一律，应根据不同教材，不同学生而定。

教学过程
4.2换底公式
温故知新
一、对数的运算法则：
N M MN a a a log log )(log )1(+=
N M N
M a a a log log )(log )2(-= M n M a n a log log )3(=
二、对数的运算法则应用的前提是什么？
（教师：底数相同）
如果底数不同怎么办？
新知探究
则有：如果,0,0,1,0>>≠>N M a a
已知对数64log 8log 64log 228，，。

1.你能计算出它们各自的值吗？
664log 38log 264log 228===，，
2.64log 8log 64log 228，，
的值有什么关系吗？ 8
log 64log 64log 228= 问题: 科学计算器通常只能对常用对数或自然对数进行计算，
15log 2怎么计算？ 设15log 2=x ,有 152=x ①
两边取以10为底的对数,得x 2lg 15lg =
而 2lg 2lg x x =，所以15lg 2lg =x
所以2lg 15lg =x 这样我们可以用科学计算器中“log ” 计算出.9068906.32
lg 15lg 15log 2≈= 如果对①式两边同时取自然对数得2
ln 15ln =x 这样我们可以用科学计算器中“ln ”计算出9068906.32ln 15ln 15log 2≈=
因此
以及
我们能得到什么规律呢？
对数换底公式
2ln 15ln 2lg 15lg 15log 2==8log 64
log 64log 228=().0,1,,0,log log log >≠>=N b a b a b N N a a b
证明: 设N x b log =,根据对数定义,有
x b N =.
两边取以a 为底的对数,得
x a a b N log log =.
而b x b a x a log log =,所以
b x N a a log log =.
由于b ≠1,则0log ≠b a ,解出x 得b N x a a log log = b N N a a b log log log =
∴ 换底公式好神奇
换成新底可任意
原底加底变分母
真数加底变分子
典例讲解
1.计算：
（1）9log 27；（2）23log 3log 2⋅；（3）827log 9log 32⋅
解: (1)392lg 27lg 33log 27lg 9lg 32
=== 13
lg 2lg 2lg 3lg 2log 3log )2(32=⋅=⋅ 9
103lg 32lg 52lg 33lg 23lg 2lg 2lg 3lg 32log 9log )3(3532278=⋅=⋅=⋅ 当堂检测
1.利用换底公式计算下列各式:
3log 5log 4log )1(543⋅⋅；
9log 4log 25log )2(532⋅⋅。

解：15
lg 3lg 4lg 5lg 3lg 4lg 1=⨯⨯=）原式（ 85
lg 3lg 3lg 2lg 2lg 5lg 5lg 9lg 3lg 4lg 2lg 25lg 22
22=⨯⨯=⨯⨯=）原式（ 公式推论：
推论1：a
b b a log 1log = 证明：由b N N a a b log log log =
，令a N =即可得到a b b a log 1log = 推论2：b m n b a n a m log log =
证明：b m
n m b n a b b a a m a n a n a m log log log log log === 典例讲解
2.计算：
（1）23log 3log 2⋅；（2）9log 27；（3）827log 9log 32⋅
(2)2393333log 27log 3log 322
=== 3325
8272323(3)log 9log 32log 3log 22510log 3log 2339⋅=⋅=⋅=
当堂检测
2.计算（课本第86页 练习 2）
()()9322351log 8log 27;
1112log log log .125323
1)1(
15
5
lg 3lg 3lg 2lg 52lg 5lg 35
lg 31lg 3lg 321lg 2lg 1251lg 3
1log 321log 1251log )2(532-=-⋅-⋅-=⋅⋅=⋅⋅
典例讲解 33123.lg 2,lg 3,,log 6; (2)log 5; (3)log 36.
a b a b ==若请用表示下列各式的值。

（1）解：
当堂检测
77483.log 3,log 2,,log 49.a b a b ==已知试用表示解
b
a 423log 2log 423log 2log 2)32(log 248log 49log 49log 77747477748+=+=+=⨯==课堂小结
1092lg 53lg 33lg 22lg 332lg 27lg 9lg 8lg 27log 8log 1329=⋅=⋅=⋅）解：（b b a +=+==3lg 3lg 2lg 3lg 6lg 6log (1)3b a -=-===13lg 2lg 13lg 210
lg 3lg 5lg 5log (2)3b a b a ++=+++==2)(23lg 2lg 2)3lg 2(lg 23lg 4lg 6lg 212lg 36lg 36log (3)12
本节课我们学到了哪些知识？ 有什么收获？
1.对数换底公式：().0,1,,0,log log log >≠>=
N b a b a b
N N a a b 2.两个重要结论：
b m n b b a a n a a b m log log )2(1log log )1(==⋅； 3.转化思想：
（1）“对数式”与“指数式”的互化
（2）“不同底”化“同底”。

作业布置：
必做题：
1.课本第88页 习题 B 组 第四题
2. 选做题
3.已知)2lg(2lg lg y x y x -=+，求y
x 2log 的值
63log ,7log ,2log 2133表示、用若b a b a ==。