重庆大学线性代数Ⅱ本科模拟试题答案

重庆大学线性代数ⅡA卷试题
答案
一、填空题（每小题3分，共18分）
1．i = 5 , k = 4；2．40；3．；4．；
5．；6.充分。
二、简答题（每小题4分，12分）
1．举出任何反例皆可。当时，等式成立
。
2．一定不为零。若的特征值，则存在使得
即方程有非零解，所以，即不可逆，与已知矛盾。
3．不相似。否则有可逆阵C使C-1AC=B,即A=B,矛盾。
其系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等均为1，所以方程组有无穷多解，
其解为（为任意实数）
或写为（为任意实数）
（3）当时，，此时原方程无解。
2．解:(1)因,
相似,故有相同的特征多项式,即,解得
(2)当时,求解齐次方程组,其基础解系为
当时,求解齐次方程组,其基础解系为
令,则有
五．证明题（每小题7分，共14分）
三、计算题（一）（每小题8分，共32分）
1．值为120（答案错误可适当给步骤分）。
2．解：由化简得，可逆，所以。
3．
解：∽
故或为一个最大线性无关组（或其他正确答案）。
4．解：利用分块矩阵
，则
四、计算题（二）（每小题12分，共24分）
1．解：方程组的系数得列式
（1）当时，方程组有惟一解；
（2）当时，原方程组的三个方程成为
1．证明：由，所以可逆。
由，左乘得，所以
2．证明：必要性
反证ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，设线性相关，则有不全为零的数，使得
线性表出，设表示式为
两式相加得：
因不全为零，故与是两组不同的数，
这与线性表示且表示法惟一矛盾。
充分性：设有两种表示
则两式相减，得
由线性无关知，故表示法惟一。