重庆大学线性代数Ⅱ本科模拟试题答案
大学线性代数试题及答案
大学线性代数试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A是一个n阶方阵，若A的行列式|A|=0，则矩阵AA. 可逆B. 不可逆C. 一定是对角矩阵D. 一定是单位矩阵答案：B2. 向量组α1, α2, ..., αn线性无关的充分必要条件是A. 它们的坐标成比例B. 它们的坐标不成比例C. 它们的线性组合系数不全为零D. 它们的线性组合系数全为零答案：B3. 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则AB一定是A. m阶方阵B. n阶方阵C. m阶方阵或n阶方阵D. 零矩阵答案：A4. 若矩阵A满足A^2=A，则称矩阵A为幂等矩阵，那么幂等矩阵A. 一定是对角矩阵B. 一定是单位矩阵C. 一定是对称矩阵D. 以上都不对答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 设A是3阶方阵，且|A|=2，则|2A|=______。
答案：42. 若向量α=(1, 2, 3)，β=(4, 5, 6)，则向量α与β的点积为______。
答案：223. 设矩阵A的特征值为λ1, λ2, ..., λn，则矩阵A^T的特征值为______。
答案：λ1, λ2, ..., λn4. 设A是3阶方阵，且A^(-1)存在，则A^(-1)A=______。
答案：E三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述线性方程组有唯一解的条件。
答案：线性方程组有唯一解的条件是系数矩阵的行列式不为零。
2. 解释什么是特征值和特征向量，并给出求特征值和特征向量的方法。
答案：特征值是方阵A的标量λ，使得存在非零向量x，满足Ax=λx。
特征向量是与特征值对应的非零向量x。
求特征值和特征向量的方法是先求矩阵的特征多项式，然后解方程求得特征值，再将特征值代入方程组求得特征向量。
3. 说明什么是矩阵的秩，并简述求矩阵秩的方法。
答案：矩阵的秩是指矩阵中线性无关行（列）的最大数目。
求矩阵秩的方法通常是通过初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵，然后计算非零行的数量。
《线性代数》期末考试题及详细答案(本科试卷二)
XXX 学年期末考试试卷《线性代数》期末考试题及详细答案（本科试卷二）一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）；1. 若02215131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）；1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组sa a a ，，， 21课程代码：适用班级：命题教师：任课教师：线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100100000010010A ，则A A =-1。
（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)；1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=TA A （ ）。
① n2；② 12-n ； ③ 12+n ； ④ 4；2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关；② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示； ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示； ④ s ααα，，， 21中不含零向量；3. 下列命题中正确的是( )。
线性代数大学试题及答案
线性代数大学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵|adj(A)|的值为（）。
A. 4B. 8C. 2D. 1答案：B2. 若向量a=(1, 2, 3)，向量b=(2, 3, 4)，则向量a和向量b的点积为（）。
A. 11B. 12C. 13D. 14答案：C3. 设矩阵A和矩阵B为同阶方阵，且AB=I，则矩阵A和矩阵B互为（）。
A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 正交矩阵答案：B4. 设矩阵A为3阶方阵，且A的特征多项式为f(λ)=λ(λ-1)(λ-2)，则矩阵A的特征值为（）。
A. 0, 1, 2B. 0, 1, 3C. 1, 2, 3D. 2, 3, 4答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，则矩阵A的行列式|A|=______。
答案：-22. 设向量a=(1, 2)，向量b=(3, 4)，则向量a和向量b的叉积为向量c=(______, ______)。
答案：-2, 63. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，矩阵B=\[\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 4 & 3\end{bmatrix}\]，则矩阵A和矩阵B的乘积AB=______。
答案：\[\begin{bmatrix}10 & 11 \\ 22 & 25\end{bmatrix}\]4. 设矩阵A的特征值为λ1=2，λ2=3，则矩阵A的特征多项式为f(λ)=______(λ-2)(λ-3)。
答案：(λ-2)(λ-3)三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 3\end{bmatrix}\]，求矩阵A的逆矩阵。
大学数学线性代数期末复习模拟测试试卷(含答案)
线性代数期末模拟测试试卷（含答案）班别 姓名 成绩一、选择题1．已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时，该二次型为正定？（ ） A.054<<-t B.5454<<-t C.540<<t D.2154-<<-t2.已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，求x 的值（ ）A.3B.-2C.5D.-53．设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ） A. 0≠A B. 01≠-A C.n A r =)( D.A 的行向量组线性相关4．过点（0，2，4）且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为（ ） A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y x C.14322+=+=-z y x D.24322+=+=z y x5．已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1513A ,其特征值为（ ）A.4,221==λλB.4,221-=-=λλC.4,221=-=λλD.4,221-==λλ二、填空题.答题要求：将正确答案填写在横线上6．三阶行列式ij a 的展开式中，321123a a a 前面的符号应是 。
7．设123221,343A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ij A 为A 中元ij a 的代数余子式，则111213A A A ++= 。
8．设n 阶矩阵A 的秩1)(-<n A r ，则A 的伴随矩阵A *的元素之和∑∑===n i nj ij A 11。
9．三阶初等矩阵()1,2E 的伴随矩阵为 。
10．若非齐次线性方程组AX B =有唯一解，则其导出组0AX =解的情况是 。
11．若向量组11121233,a b a b a b αβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭线性相关，则向量组112222,a b a b αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的线性关系是 。
线性代数试题及答案解析
线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。
A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。
A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。
3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。
A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。
4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。
A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。
5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。
A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。
6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。
A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。
7. 矩阵A的特征值是（）。
A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。
线性代数2007答案
重庆大学线性代数（Ⅱ）课程试卷2006~2007学年 第2学期一、 填空题（3分/每小题，共30分） ⒈517924的逆序数为 7 ；⒉ A 为3阶方阵，且A =-2，A =123A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则312123A A A A -= 6 ；⒊若向量⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4321α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=t 876β相互正交，则t ＝__-11______；⒋ A 为3阶方阵，且A =2，则()=+-*122A A 16729；5．矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--330204212的秩为 2 ；6．齐次线性方程021=+++n x x x 的基础解系的向量个数是 N-1 ；7． A 为4阶方阵，B 为7阶方阵，且2,3A B ==-则=BO OA -6 ；8． 已知123,,ααα 线性无关，则133221,,αααααα+++线性 无关 ；9．非齐次线性方程组m n A x β⨯=有解的充分必要条件为)()(β A R A R =；10．当λ为 大于5 取值范围时, 二次型2332223121213216242),,(x x x x x x x x x x x x f λ+++++= 为正定.二、 简答题（4分/每小题，共8分）⒈若n 阶方阵A 有O A =2，问是否O A =成立？为什么？不成立（2分），可取多个反例（2分） ⒉,A B 为n 阶方阵且相似，问,A B 是否等价？为什么？成立（2分），因为,A B 为n 阶方阵且相似，则存在C ，使得B AC C =-1，而C 可逆，则可表示初等方阵的乘积，于是,A B 等价（2分）。
三、 计算题（一）（8分/每小题，共24分）1． 计算四阶行列式.5021*********321---=D 解504173012107222.1730012107022204321.5021011321014321=-------=-------=---=D有过程但结果错误得一半的分数。
重庆大学线性代数本科模拟试题答案
重庆大学线性代数课程试题（A 卷）答案一、1. 16； 2. n2; 3. r = n , r<n ; 4. -17; 5. - 2； 6. 11<<-t . 二、1. 分别是A B A k B A B ==-=,,(4分).2. 不相似(2分)。
否则，存在可逆阵C 使C -1AC=B,即A=B,矛盾(2分).3. B A +一定为正定阵 因为0,00,,>>≠∈∀x B x x A x x R x ，B A T T n 有所以为正定阵 从而0)(>+x B A x T ，所以B A +一定为正定阵 三、1．是,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=是奇数；,,是偶数,n n n n S 212dim2．(1) 121||||2+=e f ； (2)))(41()(2是任意实数b e x b x g +-=.3．(1))20(-,,零维1,秩2. (2)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-110110；(3)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-200310； (4)}{132e e e ,,,)}11()11{(,-,,.4．由X A E AX +=+2化简得))(()(E A E A X E A +-=-，E A E A --=-故,1可逆，所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+=201030102E A X 。
四、1．解：方程组的系数得列式)2()1(2+-=λλD （1） 当21,0-≠≠≠λλ及即D 时，方程组有惟一解； 2)1(,21,212321++=+=++-=λλλλλx x x（2） 当1=λ时，原方程组的三个方程成为1321=++x x x其系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等均为1，所以方程组有无穷多解， 其解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00110101132321x x x x x （32,x x 为任意实数） 或写为3211x x x --=（32,x x 为任意实数） （3） 当2-=λ时，3)~(2)(=≠=A R A R ，此时原方程无解。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 线性代数中，矩阵的秩是指（）。
A. 矩阵中非零行的个数B. 矩阵中非零列的个数C. 矩阵中线性无关行向量的最大个数D. 矩阵中线性无关列向量的最大个数答案：C2. 如果A和B是两个n阶方阵，那么AB和BA的秩（）。
A. 一定相等B. 可能相等C. 不一定相等D. 一定不相等答案：C3. 对于一个n阶方阵A，下列说法中正确的是（）。
A. A的行列式为0时，A可逆B. A的行列式不为0时，A不可逆C. A的行列式为0时，A不可逆D. A的行列式不为0时，A可逆答案：D4. 如果矩阵A和B相似，那么（）。
A. A和B的秩相等B. A和B的行列式相等C. A和B的特征值相同D. A和B的迹相等答案：C二、填空题（每题5分，共20分）5. 设A是一个3×3矩阵，其行列式|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵的行列式|adj(A)|=______。
答案：86. 如果矩阵A的特征值为λ1=3，λ2=-2，λ3=5，则矩阵A的迹tr(A)=______。
答案：67. 矩阵A=[1 2; 3 4]的逆矩阵A^(-1)=______。
答案：[-2 1; 1.5 -0.5]8. 若向量α=(1,2,3)和β=(4,5,6)线性相关，则α和β的线性相关系数为______。
答案：2三、解答题（每题20分，共60分）9. 已知矩阵A=[1 2; 3 4]，求矩阵A的秩。
解：首先计算矩阵A的行列式|A|=1×4-2×3=-2≠0，所以矩阵A 为满秩矩阵，其秩为2。
10. 设矩阵A和B满足AB=0，证明A和B至少有一个是奇异矩阵。
证明：假设A和B都不是奇异矩阵，则它们都是可逆矩阵。
由于AB=0，两边同时左乘A^(-1)，右乘B^(-1)，得到I=0，这与单位矩阵的性质矛盾。
所以A和B至少有一个是奇异矩阵。
11. 已知矩阵A的特征值为λ1=2，λ2=-1，λ3=3，求矩阵A^2的特征值。
线性代数模拟题及答案
模拟试题一一. 填空题 （将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1．n 阶行列式D 的值为c, 若将D 的所有元素改变符号, 得到的行列式值为 .2．设矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101020101 ，矩阵X 满足 E AX + = X A +2 ，则X = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2010301023．设n 阶矩阵A 满足 E A A 552+- = 0 ，其中E 为n 阶单位阵，则 1)2(--E A =4．设A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为 1，2，3，则EA +*= .5．当 λ 满足条件 时线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-++-=-++-=+--00004321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x λλλλ 只有零解．二、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案, 将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共20分)1．131211232221333231333231232221131211222333 d a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---=则=( ).① 6d ② ―6d ③ 4d ④ ―4d 2. 向量组 s ααα,,,21 的秩为s 的充要条件是（ ）。
① 向量组不含零向量② 向量组没有两个向量的对应分量成比例 ③ 向量组有一个向量不能由其余向量线性表示 ④向量组线性无关3. 当t =（ ）时，向量组 ),4,5( , )5,2,3( , )0,1,2(321t ===ααα线性相关。
① 5 ② 10③ 15 ④ 204．已知向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组（ ）线性无关。
① α1+2α2+α3, 2α1+4α2+α3, 3α1+6α2 ② α1, α1+α2, α1+α2+α3 ③ α1+α2, α2+α3, α1+2α2+α3 ④ α1-α2, α2-α3, α3-α15. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=63322211t A , B 为三阶非零矩阵且AB = 0, 则( ). ① 当t = 4时,B 的秩必为1 ② 当t = 4时,B 的秩必为2 ③ 当t ≠ 4时,B 的秩必为1 ④ 当t ≠ 4时,B 的秩必为26．设非齐次线性方程组A X = b 中未知量个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，则 ．① r = m 时，方程组A X = b 有解 ② r = n 时，方程组A X = b 有唯一解 ③ m = n 时，方程组A X = b 有唯一解 ④ r ＜ n 时，方程组A X = b 有无穷多解7． 设矩阵A 和B 等价，A 有一个k 阶子式不等于零，则B 的秩（ ）k.① < ② = ③ ≥ ④ ≤8. 一个向量组的极大线性无关组（ ）. ① 个数唯一 ② 个数不唯一③ 所含向量个数唯一 ④ 所含向量个数不唯一9. 下列关于同阶不可逆矩阵及可逆矩阵的命题正确的是( ). ① 两个不可逆矩阵之和仍是不可逆矩阵 ② 两个可逆矩阵之和仍是可逆矩阵 ③ 两个不可逆矩阵之积仍是不可逆矩阵 ④ 一个不可逆矩阵与一个可逆矩阵之积必是可逆矩阵10．已知任一n 维向量均可由n ααα,,,21 线性表示，则n ααα,,,21（ ）。
《线性代数》期末考试题及详细答案(本科A、B试卷)
XXX 学年期末考试试卷《线性代数》期末考试题及详细答案（本科A 、B 试卷）A 卷一、填空题 （将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）。
1、设1D =3512， 2D =345510200，则D =12DD OO=_____________。
2、四阶方阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。
3、三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。
4、若n 阶方阵A 满足关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。
5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。
二、单项选择题 （每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表内，每小题2分，共20分）。
1、若方程13213602214x x xx -+-=---成立，则x 是：课程代码： 适用班级：命题教师：任课教师：（A ）-2或3； （B ）-3或2； （C ）-2或-3； （D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶方阵，则下列正确的公式为： （A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+； B ）()()22A B A+B =A B --； （C ）()()2A E=A E A+E --； （D ）()222AB =A B ； 3、设A 为可逆n 阶方阵，则()**A=？（A ）A E ； （B ）A ； （C ）nA A ； （D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵：（A ）100002⎛⎫ ⎪⎝⎭； （B ）100010011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭； （C ）011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； （D ）010002100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；5、下列命题正确的是：（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++=，则1,α2α，，m α 线性无关； （B ）向量组1,α2α，，m α 若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α 的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关； （D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。
重庆市2024届高三下学期高考数学模拟试题(二模)含答案
重庆市2024届高三下学期高考数学模拟试题（二模）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．─、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．等差数列满足，，则（ ）{}n a 134a a +=48a =3a =A ．4B ．5C ．6D ．72．已知集合，，若，则a 的取值范{}2230A x x x =-->()(){}20B x x a x =-+<A B =R 围为（ ）A ．B ．()3,+∞[)3,+∞C ．D ．()1,3-(),1-∞-3．2023年10月4日，在杭州亚运会跳水男子10米台决赛中，中国选手杨昊夺得金牌．中国跳水队包揽杭州亚运会跳水项目全部10枚金牌．跳水比赛的评分规则如下，7位裁判同时给分，去掉两个最高分，去掉两个最低分，剩下的3个分数求和再乘以难度系数，就是该选手本轮的得分，下表就是杨昊比赛中的第一轮得分表，则（ ）1号裁判2号裁判3号裁判4号裁判5号裁判6号裁判7号裁判难度系数本轮得分a 9.59.010.09.510.010.0 3.292.80A ．这7个数据的众数只能是10.0B ．这7个数据的中位数只能是9.0C ．a 可能是10.0D ．a 可能是9.54．已知双曲线的方程为，则不因m 的变化而变化的是（ ）()2255R,0mx my m m -=∈≠A ．顶点坐标B ．渐近线方程C ．焦距D ．离心率5．已知角θ满足，则（ ）1tan 2024tan θθ+=sin 2θ=A ．B ．C ．D ．15061101212024140486．已知球O 的半径为2cm ，平面α截球O 产生半径为1cm 的圆面，A ，B ，C ，D 均在圆O '面的圆周上，且为正四棱锥，则该棱锥的体积为（ ）O 'O ABCD -A ．B ．C ．D ．33cm 3323cm 333cm 323cm 7．已知函数，其中是锐角的两个内角，则下列结论一定正确的是()sin x f x x =,A B ABC （ ）A ．B ．()()sin sin f A f B >()()cos cos f A f B >C ．D ．()()cos sin f A f B >()()sin cos f A f B >8．设，，，则（ ）2024log 2023a =2023log 2022b =0.2024log 0.2023c =A ．B ．c<a<b b<c<aC ．D ．b a c<<a b c <<二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．9．已知z 为复数，，则（ ）2122i z =-z =A ．B ．2iz =+2i z =-C ．D ．2iz =-+2i z =--10．已知定义在R 上的奇函数满足：，则（ ）()f x ()()()21f x f x f +=+-A ．B ．()10f =13022f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．D ．()()4f x f x +=-()12f x f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭11．记数列的前n 项和为，则下列说法错误的是（ ）{}n a n S14．已知函数()(1sin cos 02f x a x x a =+>距离为，若，25π+x ∀∈R ()()0f x f x ≥四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为ABC ．2π2cos sin cos 12222A B B b b a ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1)求角A 的大小；(1)证明：；2PM BM =(1)求椭圆C 的方程；4MF NF +(2)设集合．元素个数为2的集合M 为的子集，(){}{}7127,,,|0,1,1,2,,7i U a a a a i =⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅7U 且满足对于任意，都存在唯一的使得，则称M 为“的优集”．证明：7A U ∈B M ∈()3d AB ≤7U “的优集”M 存在，且M 中两不同点的“距离”是7．7U1．B【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解.{}n a d 1,a d 【详解】设等差数列的公差为，因为，，{}n a d 134a a +=48a =可得，解得，所以.1112438a a d a d ++=⎧⎨+=⎩11,3a d =-=31235a =-+⨯=故选：B.2．A【分析】根据不等式的解法，求得或，分类讨论求得集合，结合{|1A x x =<-3}x >B ，利用集合的运算，即可求解.A B =R 【详解】由不等式，解得或，所以或，2230x x -->1x <-3x >{|1A x x =<-3}x >又由不等式，()()20x a x -+<当时，不等式解集为空集，不满足，不符合题意，舍去；2a =-A B =R 当时，解得，即，2a <-2a x <<-{|2}B x a x =<<-此时不满足，不符合题意，舍去；A B =R 当时，解得，即，2a >-2x a -<<{|2}B x x a =-<<要使得，则满足，A B =R 3a >综上可得，实数的取值范围为.a (3,)+∞故选：A.3．D【分析】根据评分规则，结合众数、中位数的定义进行求解即可.【详解】当时，由题意可知：，符合题意，此时众数为09.5a ≤≤()109.59.5 3.292.8++⨯=10或（此时），中位数为9.5，因此选项AB 不正确，D 正确；9.59.5a =当时，由题意可知：，舍去，因此选项C 不正9.510a <≤()109.5 3.292.89.5a a ++⨯=⇒=确，故选：D4．B【分析】根据题意，分与讨论，结合双曲线的标准方程代入计算，即可判断.0m >0m <【详解】将双曲线方程化为标准式可得，22115x y m m -=当时，双曲线表示焦点在轴的双曲线，0m >22115x y m m -=x 且，222156,,a b c m m m ===此时顶点坐标为，渐近线方程为，1,0m ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭5y x =±焦距，离心率；262c m =221156b e a =+=+=当时，双曲线表示焦点在轴的双曲线，0m <22115x y m m -=y 且，222516,,a b c m m m =-=-=-此时顶点坐标为，渐近线方程为，5,0m ⎛⎫±- ⎪ ⎪⎝⎭5y x =±焦距，离心率；262c m =-221301155b e a =+=+=综上可得，不因m 的变化而变化的是渐近线方程.故选：B5．B【分析】切化弦，得到，利用正弦二倍角公式求出答案.4s 2in 1cos 20θθ=【详解】，221sin cos sin cos 1tan 2024tan cos sin sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθ++=+===故，4s 2in 1cos 20θθ=则.21sin 22sin cos 20241012θθθ===故选：B6．B【分析】画出图形根据球的半径和截面圆的半径即可求出，根据四棱锥的体积公式求出OO '体积。
重庆大学2013线性代数试卷答案
线性代数练习题及答案
线性代数练习题及答案线性代数是数学中的一个重要分支，它在工程、物理、计算机科学等多个领域都有广泛应用。
下面是一些线性代数的练习题及答案，供同学们学习和参考。
练习题1：向量空间的基与维数设向量空间V由以下向量构成：{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}。
请确定这个向量空间的基和维数。
答案1：这个向量空间的基就是给定的向量集合{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}。
因为这些向量线性无关，并且任何向量空间中的向量都可以表示为这些向量的线性组合。
所以，这个向量空间的维数是3。
练习题2：矩阵的行列式给定矩阵A如下：\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \]计算矩阵A的行列式。
答案2：矩阵A的行列式可以通过公式\( \text{det}(A) = a_{11} \cdota_{22} - a_{12} \cdot a_{21} \)来计算。
将矩阵A的元素代入公式，得到：\[ \text{det}(A) = (2)(3) - (1)(4) = 6 - 4 = 2 \]练习题3：线性方程组的解解线性方程组：\[ \begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases} \]答案3：使用消元法，我们可以将第二个方程乘以2，然后从第一个方程中减去得到：\[ 3x = 9 \]解得 \( x = 3 \)。
将 \( x \) 的值代入第一个方程，得到 \( y = 2 \)。
所以，方程组的解为 \( (x, y) = (3, 2) \)。
练习题4：特征值与特征向量给定矩阵B：\[ B = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \]求矩阵B的特征值和对应的特征向量。
答案4：设特征值为λ，特征向量为 \( \begin{bmatrix} a \\ b\end{bmatrix} \)。
重大社2024教材样章-线性代数习题集(第二版)
目 录第一章 行列式1第一节 行列式的概念2 第二节 行列式的性质9 第三节 行列式按行(列)展开15 第四节 行列式的计算19 第五节 克莱姆法则21 历年考研真题集锦23第二章 矩阵及其运算25第一节 矩阵的概念及运算26 第二节 逆矩阵33 第三节 矩阵分块法42 历年考研真题集锦45第三章 矩阵的初等变换与线性方程组47第一节 矩阵的初等变换51 第二节 矩阵的秩57 第三节 线性方程组的解62 历年考研真题集锦69第四章 向量组的线性相关性71第一节 向量组及其线性组合73 第二节 向量组的线性相关性76 第三节 向量组的秩80㊃Ⅰ㊃P1 6 ih第四节 线性方程组的解的结构85 第五节 向量空间89 历年考研真题集锦91第五章 相似矩阵及二次型93第一节 向量的内积、长度及正交性97 第二节 方阵的特征值与特征向量101 第三节 相似矩阵107 第四节 对称矩阵的对角化111 第五节 二次型及其标准形113 第六节 用配方法化二次型成标准形115 第七节 正定二次型116 历年考研真题集锦120综合测试题一123 综合测试题二127 综合测试题三131㊃Ⅱ㊃第一章 行列式知识要点1.排列:i 1,i 2, ,i n 的逆序数N (i 1i 2 i n )=i 1后面比i 1小的个数+i 2后面比i 2小的个数+ +i n -1后面比i n -1小的个数.2.n 个元素所有排列的种数为P n =n (n -1)3㊃2㊃1=n !.3.n 阶行列式的定义:a 1a 2a n a n a 2a n ︙︙a n a n a 2a n= i 1i n(-1)N (i 1 i j )a i 1 a i n.4.对角行列式λ1λ2⋱λn=λ1λ2 λn .5.关于代数余子式的重要性质: nk =1a ki A k j =D ㊃δi j =D ,i =j ,0,i ʂj ,{nk =1a i k A j k =D δi j =D ,i =j ,0,i ʂj ,{其中δi j =1,i =j0,i ʂj{为原行列式的值.6.行列式的计算方法:(1)行列式定义法;(2)用行列式的性质将行列式化为上/下三角行列式;1P1 6 ih(3)行列式按一行㊁列展开降阶法;(4)递推公式法.7.范德蒙德行列式:111x 1x 2x nx 21x 22 x 2n ︙︙︙x n -1n x n -1nx n -1n=Π1ɤj ɤi ɤn (x i -x j ).8.克莱姆法则:n 元线性方程组a 11x 1+a 12x 2+ +a 12x n =b 1,a 21x 1+a 22x 2+ +a 2n x n =b 2, a n 1x 1+a 22x 2+ +a m x n =b n ,ìîíïïïïïï 若方程组系数行列式D ʂ0,则方程组有唯一解x 1=D 1D ,x 2=D 2D , ,x n =D n D.其中D j (j =1,2, ,n )是把系数行列式D 中第j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 阶行列式.第一节 行列式的概念(A )基础练习一㊁选择题1.排列145362879的逆序数为().A.8B .7C .10D.922.下列排列中,()是偶排列.A.54312B .51432C .38162754 D.6543213.下列各项中,()为某4阶行列式中带正号的项. A.a 14a 23a 31a 42B .a 11a 23a 32a 44C .a 12a 23a 34a 41D.a 13a 24a 31a 424.若行列式λ2λ31的值为0,则λ=( ). A.-1或3 B .0或3 C .1或-3D.-1或-35.行列式0101101001000011的值是( ).A.-1 B .-2C .1D.26.行列式000λ100 λ20︙︙︙︙λn的值为( ).A.0B .λ1λ2 λnC .(-1)n (n -1)2λ1λ2 λnD.-λ1λ2 λn二㊁填空题1.34215352152809229092=.2.行列式1000020000300004=.3.行列式10002300456078910=.3 第一章行列式P1 6 ih4.行列式12000200120020-10200300-12004 0002005=.5.行列式0001003005007000=.三㊁计算题1.用对角线法则计算二阶行列式. (1)1314(2)21 -12(3)1l o g b al o g a b1(4)a ba2b242.用对角线法则计算三阶行列式. (1)011101110 (2)111314895(3)1233212315 第一章行列式P1 6 ih(B )提高练习一㊁填空题1.要使排列(3729m 14n 5)为偶排列,则m =,n =.2.若a 1i a 23a 35a 5ja 44是五阶行列式中带有正号的一项,则i =,j =.3.关于x 的多项式-x11x -x x 12-2x 中含x 3,x 2项的系数分别是,.4.31x 4x 010xʂ0,则x 应满足的条件是.二㊁用对角线法则计算三阶行列式1.a b c b c a c a b.62.x y x+y y x+y xx+y x y.3.111 a b ca2b2c2.三㊁利用行列式的定义计算行列式1.00 0100 20︙︙︙︙0n-1 00n0 00.7第一章行列式P1 6 ih2.010 00020︙︙︙︙000 n -1n.3.a 11a 12a 13a 14a 15a 21a 22a 23a 24a 25a 31a 32000a 41a 42000a 51a 52.4.1110010101110010.8第二节 行列式的性质(A )基础练习一㊁选择题1.行列式3a 1b 1c 1a 2b 2c 2a 3b 3c 3=().A.3a 1b 1c 1a 23b 2c 2a 3b 33c 3B .3a 13b 13c 13a 23b 23c 23a 33b 33c 3C .3a 1-3b 13c 1a 2b 2c 2a 3b 3c 3D.3a 13b 13c 1a 2b 2c 2a 3b 3c 32.已知四阶行列式A 的值为2,将A 的第3行元素乘以-1加到第4行的对应元素上去,则现行列式的值为(). A.2 B .0C .-1 D.-23.设D =a +m c +e b +nd +f,则D =().A.a c b d +m en f B .a c b d +m c n d +a e b f +m en f C .a c n d +m e b fD.m a b n +c ed f 4.设行列式D 1=abc +aa 1b 1c 1+a 1a 2b 2c 2+a 2,D 2=abca 1b 1c 1a 2b 2c 2,则D 1=().A.0 B .D 2C .2D 2D.3D 25.设行列式x y z403111=1,则行列式2x 2y 2z 4301111=().A.23B .1C .2D.836.设行列式D =a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33=3,D 1=a 115a 11+2a 12a 13a 215a 21+2a 22a 23a 315a 31+2a 32a 33,则D 1的值为().A.-15 B .-6C .6D.157.214-13-12-1123-256-2的值为().A.1B .2C .0 D.-1二㊁计算下列行列式1.4251625170929092.2.a +b c 1b +c a 1c +a b 1.3.D=246427327 1014543443 -342721621.4.D=1234124314234123.5.a 100-1b 100-1c1-1d.6.a 1-b 1a 1-b 2a 1-b n a 2-b 1a 2-b 2a 2-b n ︙︙︙a n -b 1a n -b 2a n -b n.7.1+x 11111-x 11111+y 11111-y .(B )提高练习一㊁选择题1.设D =a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33=1,则D =4a 114a 11-3a 12a 134a 212a 21-3a 22a 234a 312a 31-3a 32a 33=( ). A.0 B .-12 C .12D.12.方程111112-2x144x218-8x 3=0的根为(). A.1㊁2㊁-2 B .1㊁2㊁3 C .1㊁-1㊁2 D.0㊁1㊁23.三阶行列式1+a 11111+a 21111+a 3的值为(),其中a 1,a 2,a 3均不为0.A.(1+a 1)(1+a 2)(1+a 3)B .a 1a 2a 31+1a 1+1a 2+1a 3æèçöø÷C .a 1a 2a 31a 1+1a 2+1a 3æèçöø÷D.以上均不对二㊁计算题1.设f (x )=x 1233x 1223x 1123x,求f (4).2.计算D =1+a 111111+a 211111+a 311111+a 4的值(其中a 1a 2a 3a 4ʂ0).三㊁证明题1.a 2a b b22a a +b 2b 111=(a -b )32.a x +b y a y +b z a z +b x a y +b z a z +b x a x +b y a z +b x a x +b y a y +bz =(a 3+b 3)x y z y z x z x y第三节 行列式按行(列)展开(A )基础练习一㊁选择题1.设A =208-315297éëêêêêùûúúúú,则代数余子式A 12=(). A.-31 B .31 C .0 D.-112.行列式a b c d e f g h k中元素f 的代数余子式是().A.d eg hB .-a b g hC .a bg hD.-d e g h3.已知四阶行列式D 中第3列元素依次为-1,2,0,1,它们的余子式依次分别为5,3,-7,4,则D =( ). A.-15 B .15 C .0D.14.四阶行列式D 4=1020020330400401的值为().A.20B .-20 C .10 D.-10二㊁计算题1.求D =-3045032-21中元素a 23,a 31的余子式和代数余子式.2.设行列式D =a b c b a c d b c,求代数余子式A 11+A 21+A 31.3.计算D6=a30000b3 0a200b20 00a1b100 00c1d100 0c200d20 c30000d3.4.计算行列式2c o sθ100 12c o sθ10 012c o sθ1 0012c o sθ.(B)提高练习1.设B=1-523000114-262351,计算B41+B42+B43+B44,B i j为B的(i,j)位元素的代数余子式.2.计算行列式D=1-11x-1 1-1x+1-1 1x-11-1 x+1-11-1.3.计算行列式123 n -103 n -1-20 n ︙︙︙︙-1-2-3 0.第四节行列式的计算1.计算行列式D=2-512 -37-14 5-927 4-612.2.计算行列式D=406-3 7091 -8-2710 5055.3.计算行列式D=2+x22222-x22222+y22222-y.4.计算行列式D n=1+x21x1x2x1x3 x1x n x2x11+x22x2x3 x2x n x3x1x3x21+x23 x3x n ︙︙︙︙x n x1x n x2x n x3 1+x2n.5.计算行列式D n=a b b bb a b b b b a b ︙︙︙︙b b b a.6.计算行列式D n =a 011 11a 10 010a 20︙︙︙︙1a n,其中a 1a 2 a 0ʂ0.第五节 克莱姆法则1.用克莱姆法则解方程组:5x 1+6x 2=1x 1+5x 2+6x 3=0x 2+5x 3+6x 4=0x 3+5x 4+6x 5=0x 4+5x 5=1ìîíïïïïïïïï2.用克莱姆法则解方程组:x 1+x 2+x 3+x 4=5x 1+2x 2-x 3+4x 4=-22x 1-3x 2-x 3-5x 4=-23x 1+x 2+2x 3+11x 4=0ìîíïïïïïï3.问λ取何值时,齐次线性方程组(1-λ)x 1-2x 2+4x 3=02x 1+(3-λ)x 2+x 3=0x 1+x 2+(1-λ)x 3=0ìîíïïïï有非零解?4.问λ,μ取何值时,齐次线性方程组λx 1+x 2+x 3=0x 1+μx 2+x 3=0x 1+2μx 2+x 3=0ìîíïïïï有非零解?历年考研真题集锦1.(1996数一)四阶行列式a 10b 10a 2b 200b 3a 30b 400a 4的值等于().A.a 1a 2a 3a 4-b 1b 2b 3b 4B .a 1a 2a 3a 4+b 1b 2b 3b 4C .(a 1a 2-b 1b 2)(a 3a 4-b 3b 4)D.(a 2a 3-b 2b 3)(a 1a 4-b 1b 4)2.(1992数二)记行列式x -2x -1x -2x -32x -22x -12x -22x -33x -33x -24x -53x -54x4x -35x -74x -3为f (x ),则方程f (x )=0的根的个数为().A.1B .2C .3D.43.(2001数四)设行列式D =304022220-753-22,则第4行各元素余子式之和的值为.4.(1996数四)五阶行列式D =1-aa000-11-a a0b -11-a a 000-11-a a0-11-a=.5.(1999西安电子科大)计算n +1阶行列式D n +1=011 11a 10 010a 20︙︙︙︙1a n.其中,a i ʂ0,i=1,2, ,n.6.(1998西安电子科大)计算行列式Δ=a a a a -a a x x -a-a x x -a-a-a x.。
段正敏主编《线性代数》习题解答重庆大学版
（ ) ； ( ） .
解: ,故( )正确.
（８）设 ,
, ,若 可逆,则 （ )
( ) ；（ ) ；
( ） ; （ ） .
解: ，则 ,其中
, ，
对初等方阵有:
故
,故( )正确.
(9）设 是 矩阵, 是 矩阵,则( )
（ ) 时必有 =０; （ ) 时必有 =0;
( ) 时必有 0; ( ） 时必有 0.
解:方法一：令 ,
则 ,
证明：根据行列式性质2和5，将行列式 变成下三角行列式，得到：
行列式 、 的变换和行列式 的变换完全相同,得到:
分别将 、 第一次按第一行展开( 变成第一行）,第二次按第二行展开（ 变成第一行）,……，总共进行m次第一行展开，得到：
;
证毕.
方法二:设 ， ,
其中:
那么：
中 依次与 对换,使得 在 下面；
线性代数习题解答
张应应 胡佩
2013-３-1
第一章ﻩ行列式１
第二章矩阵ﻩ22
第四章ﻩ线性方程组ﻩ６9
第五章矩阵的相似对角化91
第六章二次型ﻩ１14
附录：习题参考答案ﻩ129
第一章
1.填空题：
(１)3421的逆序数为5;
解：该排列的逆序数为 .
（2）51７924的逆序数为7;
解:该排列的逆序数为 .
（３）设有行列式
解: .
（1２）如 =2，则 =-16，
=-４， =－4；
解：
．
（１3)设 阶行列式 = ,且 中的每列的元素之和为 ,则行列式 中的第二行的代数余子式之和为= ;
解：
实际上，由上述证明过程可知任意行代数余子式之和 .
重庆大学高等数学II2第3次
第3次作业一、填空题〔本大题共40分，共10 小题，每题 4 分〕1. 写出级数的通项为：______。
2. 级数的敛散性为______。
3. 函数的定义域为______。
设平面通过点〔1，3，-2〕，且垂直于向量，求该平面的方程。
5. 由曲线绕y轴一周所得的旋转面方程为______。
6. 设，且函数f可微，那么______7.D由及x轴围成，那么______。
8.过点(3,0,－1)且与平面平行的平面方程为______。
9.一平面通过两点和且垂直于平面，求它的方程。
10.设，其中具有连续的二阶偏导数，____________。
二、计算题〔本大题共40分，共8小题，每题5分〕2. 1.判断级数的敛散性。
3.利用二重积分的性质估计(其中是矩形区域)的值。
3.求曲面在点(1,1,2)处的切平面和法线方程。
4.求两平面，的夹角。
5.三角形ABC的顶点是A(1,2,3),B(3,4,5),C(2,4,7)，求三角形的面积。
6.求微分方程满足的特解。
7.求的所有二阶偏导数。
把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中L为(1)在xOy面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)；(2)沿抛物线从点(0,0)到点(1,1)；(3)沿上半圆周从点(0,0)到点(1,1)。
三、证明题〔本大题共20分，共2小题，每题10分〕1.证明：假设数列收敛于a,那么级数。
2.设级数和收敛,证明级数收敛。
答案：一、填空题〔40分，共10题，每题4分〕1.参考答案：解题方案：评分标准：2.参考答案：发散解题方案：评分标准：3.参考答案：解题方案：评分标准：4.参考答案：解题方案：评分标准：5.参考答案：解题方案：评分标准：6.参考答案：解题方案：评分标准：7.参考答案：2解题方案：评分标准：8.参考答案：解题方案：评分标准：9.参考答案：解题方案：评分标准：10.参考答案：解题方案：评分标准：二、计算题〔40分，共8题，每题5分〕1.参考答案：该级数尽管是一个交错级数，但是容易验证，该级数的通项极限为1，根据级数收敛的必要条件可知，该级数是发散的。
线性代数考试和答案解析
线性代数考试和答案解析一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 向量组的线性相关性是指（）。
A. 至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合B. 所有向量都是零向量C. 向量组中不存在非零向量D. 向量组中所有向量都线性无关答案：A解析：向量组的线性相关性是指至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合。
这是线性相关的定义，其他选项都不符合线性相关的定义。
2. 矩阵的秩是指（）。
A. 矩阵中非零行的个数B. 矩阵中非零列的个数C. 矩阵中线性无关的行向量的最大个数D. 矩阵中线性无关的列向量的最大个数答案：C解析：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行向量的最大个数，也可以是矩阵中线性无关的列向量的最大个数。
这是矩阵秩的定义，其他选项都不符合矩阵秩的定义。
3. 线性方程组有解的充分必要条件是（）。
A. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩B. 系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩C. 系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩D. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且等于未知数的个数答案：D解析：线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且等于未知数的个数。
这是线性方程组有解的条件，其他选项都不符合有解的条件。
4. 二次型可以表示为（）。
A. 一个二次多项式B. 一个二次多项式，其中变量的系数是对称矩阵C. 一个二次多项式，其中变量的系数是反对称矩阵D. 一个二次多项式，其中变量的系数是任意矩阵答案：B解析：二次型可以表示为一个二次多项式，其中变量的系数是对称矩阵。
这是二次型的定义，其他选项都不符合二次型的定义。
5. 正交矩阵是指（）。
A. 一个方阵，其转置矩阵等于其逆矩阵B. 一个方阵，其转置矩阵等于其伴随矩阵C. 一个方阵，其逆矩阵等于其伴随矩阵D. 一个方阵，其转置矩阵等于其伴随矩阵的转置答案：A解析：正交矩阵是指一个方阵，其转置矩阵等于其逆矩阵。
这是正交矩阵的定义，其他选项都不符合正交矩阵的定义。
6. 矩阵的特征值是指（）。
重庆大学线性代数答案
习题一解答1、 填空 （3）设有行列式2311187001234564021103152----=D 含因子453112a a a 的项为 答：144038625)1(54453123123-=⋅⋅⋅⋅-=-a a a a a 或018605)1(53453124124=⋅⋅⋅⋅=-a a a a a（5）设328814412211111)(x x x x f --=，0)(=x f 的根为解：根据课本第23页例8得到)2)(2)(1)(22)(12)(12()(+-------=x x x x f 0)(=x f 的根为2,2,1-（6）设321,,x x x 是方程03=++q px x 的三个根，则行列式132213321x x x x x x x x x =解：根据条件))()((3213x x x x x x q px x ---=++，比较系数得到0321=++x x x ， q x x x -=321；再根据条件q px x --=131，q px x --=232，q px x --=333；原行列式=-++333231x x x =3213x x x 033)(321=+-++-q q x x x p（7）设 )(3214214314324321iJ a D ∆==，则44342414432A A A A +++=解：44342414432A A A A +++相当于)(iJ a ∆中第一列四个元素分别乘以第四列的代数余子式，其值为0.（8）设)(iJ a c dbaa cb d a d bcd c b a D ∆==，则44342414A A A A +++=解 将D 按第四列展开得到44342414cA aA aA dA +++=c d b a acbda dbcd c b a ，第四列的元素全变成1，此时第四列与第二列对应成比例，所以44342414A A A A +++=0.=a ，b b b b b b b b b b nnn n nn212222111211，则1112121222121111211112121222212221212000000000m mm m mm m n m n n n nm n n nna a a a a a a a a D abc c c b b b c c c b b b c c c b b b ==； 1112121222122111211112121222212221212000000000(1)m mm m mmmn n m nmn n nn n n nma a a a a a a a a D ab b b bc c c b b b c c c b b b c c c ==-证 因为任何一个行列式根据性质5可以变成三角行列式，假设第一个行列式变成：111212122212m m m m mm a a a a a a a a a a ==121212000mm m a a a a a a '''=12m a a a行列式12D D ，的变换和行列式a 的变换完全相同，同样假设行列式1D 变成121212111211112121222212221212000000000m m m m n m n nnnmn n nna a a a a a c c cb b bc c c b b b c c c b b b ''''''''''''23a a 第1次按第1行展开(变成第1行)第2次按第1行展开(变成第1行)第m 次按第1行展开12ma a a 111212122212n n n n nnb b b b b b abb b b =121212211121111212122221222121200000000000m m mn m n m n n nnnnnma a a a a a Db b bc c c b b b c c c b b b c c c '''='''''''''23m a a a 第1次按第1行展开(变成第1行、第n+1列)第2次按第1行展开(变成第1行、第n+1列)第m-1次按第1行展开(变成第1行、第n+1列)第m 次按第1行展开==ab mn)1(-或将2D 的第(1)n +列连续经过n 次对换（依次和其前面的列对换）而成为第1列，第(2)n +列连续经过n 次对换而成为第2列，如此下去，第()n m 列连续经过n 次对换而成为第m 列，2D 共经过mn 次列对换而变成1D ，所以2D =ab mn )1(-。
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其解为（为任意实数）
或写为（为任意实数）
（3）当时，，此时原方程无解。
2．解:(1)因,
相似,故有相同的特征多项式,即,解得
(2)当时,求解齐次方程组,其基础解系为
当时,求解齐次方程组,其基础解系为
令,则有
五．证明题（每小题7分，共14分）
三、计算题（一）（每小题8分，共32分）
1．值为120（答案错误可适当给步骤分）。
2．解：由化简得，可逆，所以。
3．
解：∽
故或为一个最大线性无关组（或其他正确答案）。
4．解：利用分块矩阵
，则
四、计算题（二）（每小题12分，共24分）
1．解：方程组的系数得列式
（1）当时，方程组有惟一解；
（2）当时，原方程组的三个方程成为
重庆大学线性代数ⅡA卷试题
答案
一、填空题（每小题3分，共18分）
1．i = 5 , k = 4；2．40；3．；4．；
5．；6.充分。
二、简答题（每小题4分，12分）
1．举出任何反例皆可。当时，等式成立
。
2．一定不为零。若的特征值，则存在使得
即方程有非零解，所以，即不可逆，与已知矛盾。
3．不相似。否则有可逆阵C使C-1AC=B,即A=B,矛盾。
1．证明：由，所以可逆。
由，左乘得，所以
2．证明：必要性
反证法，设线性相关，则有不全ห้องสมุดไป่ตู้零的数，使得
线性表出，设表示式为
两式相加得：
因不全为零，故与是两组不同的数，
这与线性表示且表示法惟一矛盾。
充分性：设有两种表示
则两式相减，得
由线性无关知，故表示法惟一。