保险精算模型寿险精算---熊福生

生命表
原理
在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群 的生存概率。（用频数估计频率）
常用符号
新生生命组个体数：l0
年龄：x 极限年龄：
生命表
l0 个新生生命能生存到年龄X的期望个数：lx
lx l0 பைடு நூலகம் s(x)
l0 个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望
K(X ) k, k T (x) k 1, k 0,1, K (x)
整数余命K的概率函数
Pr(K ( X ) k) Pr(k T (x) k 1) q k 1 x k qx k px p k 1 x k px qxk k qx
t
px
寿命与生存分布
剩余寿命的生存函数 t px ：
t px Pr(T (x) t) Pr( X x t X t)
s(x t) s(x)
Sx (t)
特别： S0 (x) x p0 s(x)
寿命与生存分布
px ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率
1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出生与下葬 统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用 了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因 而把Halley称为生命表的创始人。
生命表的特点
构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总 体分布假定（非参数方法）
k 0
k 0
整值剩余寿命的方差

Var(K (x)) E(K 2 ) E(K )2 (2k 1) k1 px ex2 k 0
第一章
生存分布 理论基础
寿命与生存分布 生命表
死亡力 非整数年龄的生存分布假设
生命表
至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。
使用参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的

o2
Var(T (x)) E(T (x)2) E(T (x))2 2 t t pxdt ex
0
寿命与生存分布
期望整值剩余寿命：(x) 整值剩余寿命的期望值(均
值),简记 ex


ex E(K (x)) k k px qxk p k1 x
数：Tx

Tx x lydy

o
ex

Tx lx
生命表
n dx ：在 x ~ x n 死亡的人数。
d0
d1
dx
l0 l1 l2 lx lx1
1
l0 dx x0
n qx ：x岁的人在 x ~ x n 死亡的概率。
lxqx dx

n
px

lxn lx
：是一个
x ~ x n 的存活函数
生命表
Tx :x岁人群的未来累积生存年数
x1
Tx
Lx1
t0
0
ex , ex 分别表示未来寿命和未来整值寿命的平
均值,是未来存活年龄的平均值,表示未来平
均存活时间.
误差
寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是
使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分 布。
生命表
生命表的定义
根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成 的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.
生命表的发展历史
1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡 名单,写过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表 的最早起源。
第一章
生存分布 理论基础
寿命与生存分布 生命表
死亡力 非整数年龄的生存分布假设
寿命与生存分布
定义 F(x) Pr(X x)
意义：新生儿在 x 岁之前死亡的概率。
与密度函数的关系：f (x) dF (x)
dx
新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率： Pr(x X z) F(z) F(x)
寿命与生存分布
平均余命：(x) 剩余寿命的期望值(均值),简记
o


d
ex E(T (x)) td (1 t px ) t t pxxtdt t
0
0
0
t px dt


t pxt 0 0 t pxdt 0 t pxdt
剩余寿命的方差
个数：n d x
特别：n=1时，记作 d x
n dx lx lxn lx n qx dx lx lx1 lx qx
生命表
l0 个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数：t Lx
xt
t Lx x lydy
特别：n=1时，记作 Lx
l0 个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿命总
寿命与生存分布
定义 S(x) Pr(X x)
意义：新生儿能活到 x 岁的概率。
与分布函数的关系： S(x) 1 F(x) 与密度函数的关系：f (x) S(x) 新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：
Pr(x X z) s(x) s(z)
寿命与生存分布
定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存
活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)，T(x)=X-x， 如新生儿的剩余寿命T(0)=X。
T的分布函数 t qx ：
t qx Pr(T ( X ) t) pr(x X x t X x)
s(x) s(x t) 1 s(x t)
s(x)
s(x)
Fx (t)
寿命与生存分布
T ( x)的概率密度函数：f x (t)

d t qx dt
对t求导
d (1 S ( x t) )

S ( x)
dt
S '(x t) S '(x t) S (x t)
S ( x)
S(x t) S(x)


S '(x t) S(x t)
px 1 px
qx ：x岁的人将在1年内去世的概率
qx 1qx
t u qx ：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间
去世的概率
t u qx q tu x t qx t px tu px
t px qu xt
寿命与生存分布
定义：(x)未来存活的完整年数，简记