哈三中高二上学期期末考试试题(数学理)

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黑龙江省哈尔滨三中19-20学年高二上学期期末数学试卷 (附答案解析)

黑龙江省哈尔滨三中19-20学年高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学高一年级的12名体育特长生中选出3人调查学习负担情况．应采用的抽样方法是()A. ①用随机抽样法，②用系统抽样法B. ①用分层抽样法，②用随机抽样法C. ①用系统抽样法，②用分层抽样法D. ①、②都用分层抽样法2.在长为3的线段AB上任取一点P，P到端点A，B的距离都大于1的概率为A. 18B. 12C. 14D. 133.某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8，0.7，0.6，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立，一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为()A. 0.56B. 0.336C. 0.32D. 0.2244.随机变量X服从正态分布N(3,δ2)，且P(X≤6)=0.9，则P(0<X<3)=()A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 0.75.如图1为某省2018年1∼4月份快递业务量统计图，图2为该省2018年1∼4月份快递业务收入统计图，则下列选项中对统计图理解错误的是()A. 2018年1∼4月份快递业务量中3月份最高，2月份最低，差值接近2000万件B. 2018年1∼4月份快递业务量同比增长率均超过50%，在3月份最高，和春节蛰伏后网购迎来喷涨有关C. 从两图中看，增量与增长速度并不完全一致，但业务量与业务收入变化高度一致D. 从1∼4月份来看，业务量与业务收入有波动，但整体保持高速增长6.已知直线l1：x=2，l2：3x+5y−30=0，点P为抛物线y2=−8x上的任一点，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为()A. 2B. 2√34C. 1817√34 D. 1615√347.(x−1x+1)5展开式中的常数项为()A. 1B. 11C. −19D. 518.甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为34，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为()A. 45B. 25C. 23D. 139.袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”、“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为()A. 19B. 318C. 29D. 51810.若某同学连续三次考试的名次(第一名为1，第二名为2，以此类推)不超过3，则称该同学为班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次数据： ①甲同学名次的平均数为2，众数为1; ②乙同学名次的平均数为2，方差小于1; ③丙同学名次的中位数为2，众数为2; ④丁同学名次的众数为2，方差大于1.推断一定是尖子生的是()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁11.安排4名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A. 120种B. 180种C. 240种D. 480种12.如图，双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，A为双曲线C的右支上一点，且|AF1|=2c，AF1与y轴交于点B，若F2B是∠AF2F1的平分线，则双曲线C的离心率e=()A. √5−1B. 1+√52C. 3+√52D. √5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某单位安排7位员工在春节期间大年初一到初七值班，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在初一，丁不排在初七，则不同的安排方案共有．14.某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为23，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是______．15.椭圆x29+y2=1的离心率e=______ ．16.用1，2，3，4，5，6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2不相邻，这样的六位数的个数是_________(用数字作答)．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张标签，依次随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率：(1)标签的选取是无放回的；(2)标签的选取是有放回的．18.某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图示)，在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．P(K2≥k0)0.100.050.0100.005k0 2.706 3.841 6.6357.879附：K2=n(ad−bc)2．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19. 已知动点P 到点F(1,0)的距离等于它到直线l 1：x =−1的距离(Ⅰ)求点P 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)若点M ，N 是直线l 1上两个不同的点，且△PMN 的内切圆方程为x 2+y 2=1，直线PF 的斜率为k ，求|k||MN|的取值范围．20. 某种产品的广告费用支出x 万元与销售额y 万元之间有如下的对应数据：(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂；其中：参考公式：b ̂=∑x i n i=1y i −n⋅x −⋅y−∑x i 2n i=1−n⋅x−2，a ̂=y −−b ̂x ，参考数据：∑x i 25i=1=145，∑x i 5i=1y i =1270(2)据此估计广告费用为10万元时，所得的销售收入．21.交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用(基本保费)是950元，在下一年续保时，实行费率浮动制，其保费与上一年车辆发生道路交通事故情况相联系，具体浮动情况如表：据统计，某地使用某一品牌7座以下的车大约有5000辆，随机抽取了100辆车龄满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保情况，统计得到如下表格：以这100辆该品牌汽车的投保类型的频率视为概率．(1)试估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的该概率；(2)记ξ为某家庭的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求ξ的分布列和数学期望．22.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的半焦距为c，点A(0,b)到渐近线的距离为12c．(1)求双曲线的离心率；(2)若双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为4，双曲线右支上存在一点P，使得PF1⊥PF2，求点P的坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题主要考查抽样方法的特点及适用范围，是基础题．解：①个体有了明显的差异，所以选用分层抽样法，②个体没有差异且总数不多，可用随机抽样法．故选B．2.答案：D解析：由题意可得，属于与区间长度有关的几何概率模型，试验的全部区域长度为3，基本事件的区域长度为1，代入几何概率公式可求本题主要考查了几何概型，解答的关键是将原问题转化为几何概型问题后应用几何概率的计算公式求解．解：设“长为3m的线段AB”对应区间[0,3]“与线段两端点A、B的距离都大于1m”为事件A，则满足A的区间为[1,2]根据几何概率的计算公式可得，P(A)=3−23−0=13故选D．3.答案：D解析：本题考查相互独立事件同时发生的概率，属于基础题．依题意得该选手只闯过前两关的概率为0.8×0.7×(1−0.6)，计算即可．解：该选手只闯过前两关的概率为0.8×0.7×(1−0.6)=0.224，故选D．4.答案：A解析：解析：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题．根据对称性，由P(X≤6)=0.9的概率可求出P(X<0)=P(X>6)=0.1，即可求出P(0<X<3)．解：∵P(X≤6)=0.9，∴P(X>6)=1−0.9=0.1．∴P(X<0)=P(X>6)=0.1，∴P(0<X<3)=0.5−P(X<0)=0.4．故选A．5.答案：D解析：本题考查了对统计图信息的读取，属于基础题．逐项按照统计图进行分析．解：对于A，2018年1∼4月份快递业务量中3月份最高，有4397万件，2月份最低，有2411万件，其差值接近2000万件，所以A正确；对于B，2018年1∼4月份快递业务量的同比增长率分别为55%，53%，62%，58%，均超过50%，在3月份最高，和春节蛰伏后网购迎来喷涨有关，所以B正确；对于C，由题中两图易知增量与增长速度并不完全一致，其业务量从高到低变化是3月→4月→1月→2月，业务收入从高到低变化是3月→4月→1月→2月，保持高度一致，所以C正确；对于D，由题图知业务收入2月相对1月减少，4月相对3月减少，整体不具备高速增长之说，所以D不正确，故选D．6.答案：C解析：解：抛物线的焦点为F(−2,0)，准线为l1：x=2．∴P到l1的距离等于|PF|，∴P到直线l1，l2的距离之和的最小值为F(−2,0)到直线l2的距离d=√9+25=18√3417．故选：C．由抛物线的定义可知P到直线l1，l2的距离之和的最小值为焦点F到直线l2的距离．本题考查了抛物线的性质，属于中档题．7.答案：B解析：本题考查二项式系数的性质，属于基础题．类比二项展开式的通项处理即可．解：依题意，(x −1x +1)5展开式中r 个因式选择x ，s 个因式选择−1x ，则展开项为：T =C 5r x r C 5−r s (−1)s x −s =C 5r C 5−r s(−1)s x r−s ，要使该项为常数，则r =1， ①当r =s =0时，对应常数为1；②当r =s =1时，对应常数为−C 51×C 41=−20； ③当r =s =2时，对应常数为C 52×C 32=30；所以展开式的常数项为1−20+30=11．故选B ．8.答案：D解析：解：甲在每局比赛中获胜的概率均为：34，失败的概率为：14；各局比赛结果相互独立且没有平局，则甲获得冠军的概率为：34×34+34×14×34+14×34×34=5464，比赛进行了三局的概率为：34×14×34+14×34×34=1864，故则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为：1864÷5464=13，故选：D ．分别求出甲比赛获得冠军和比赛三次获胜的概率，在利用条件概率公式计算，即可得出结论．本题考查条件概率，考查学生的计算能力，属于中档题．9.答案：C解析：本题考查了古典概型，随机数的应用，属于基础题．由题意，18组随机数恰好在第三次停止的有021，001，130，031，即可得出结果．解：由题意，18组随机数恰好在第三次停止的有021，001，130，031，所以恰好在第三次停止的概率为418=29，故选C．10.答案：B解析：【分析】本题主要考查了众数，中位数，平均数，方差与标准差的应用，解题的关键是熟练掌握众数，中位数，平均数，方差与标准差的计算，为基础题．根据已知及众数，中位数，平均数，方差与标准差的计算，可知哪种说法符合题意．【解答】解：对于甲同学，名次的平均数为2，众数为1，则有一次名次为4;对于乙同学，名次的平均数为2，设3次考试名次依次为x1，x2，x3，则由方差s2=13[(x1−2)2+(x2−2)2+(x3−2)2]<1，得(x1−2)2+(x2−2)2+(x3−2)2<3，所以x1，x2，x3均不超过3，符合题意;对于丙同学，名次的中位数为2，众数为2，有可能是2，2，4，不合题意;对于丁同学，名次的众数为2，方差大于1，有可能是2，2，5，不合题意．故选B．11.答案：C解析：本题考查排列组合的综合应用，属基础题．根据题意，分2步进行分析：先将5项工作分成4组，再将分好的4组全排列，对应4名志愿者，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理可得答案．解：根据题意，分2步分析：(1)先将5项工作分成4组，有C52=10种方法，(2)将分好的4组全排列，对应4名志愿者，有A44=24种情况，则有10×24=240种不同的安排方式；故选C．12.答案：C解析：本题主要考查双曲线的离心率、及角平分线定理，是中档题．设∠AF2B=θ，根据角相等关系得到线段之间的关系，再由角平分线的性质知|F1F2||AF2|=|BF1||AB|得到a，c关系，解方程可得e．解：设∠AF2B=θ，由F2B是∠AF2F1的平分线，得∠BF2F1=θ，又|AF1|=2c，|F1F2|=2c，所以，又|BF1|=|BF2|，所以∠BF1F2=θ，故∠ABF2=2θ．由|AF1|=2c得|AF2|=2c−2a，所以|AB|=2a．由角平分线的性质知|F1F2||AF2|=|BF1||AB|，即2c2c−2a =2c−2a2a，所以ac=c2−2ac+a2，所以e2−3e+1=0．解得e=3±√52，又因为e>1，所以e=3+√52．故选C．13.答案：1008解析：本题主要考查分类计数原理，分类要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．本题限制条件比较多，容易出错，解题时要注意．解：分两类：甲乙排1、2号或6、7号共有2A22A41A44种方法甲乙排中间，丙排7号或不排7号，共有4A22(A44+A31A31A33)种方法故共有2A22A41A44+4A22(A44+A31A31A33)=1008种不同的排法故答案为1008．14.答案：83解析：本题考查离散随机变量的期望，属于基础题．求解出单次通过的概率，再根据期望公式即可求解．解：由题意，队员甲投篮1次未中的概率为1−23=13，则队员甲在1个轮次中投篮2次均未中的概率为13×13=19，故队员甲在1个轮次通过的概率为1−19=89．故甲3个轮次通过的次数X的期望是E(X)=3×89=83．故答案为：83．15.答案：2√23解析：解：由椭圆x29+y2=1的方程可得a2=9，b2=1，∴a=3，c=√a2−b2=2√2．∴e=ca =2√23．故答案为：2√23．由椭圆x29+y2=1的方程可得a2，b2，可得c=√a2−b2，再利用离心率计算公式即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.答案：32解析：本题考查的是分步计数原理与插空法，属于中档题．利用分步计数原理先求出1和2相邻的情况，分三步计算：第一步：先将3、5排列，第二步：再将4、6插空排列，第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中，再用任何相邻两个数字的奇偶性不同的六位数种数减去1和2相邻的结果即可求出结果．解：先求出1和2相邻的情况：可分三步来做这件事：第一步：先将3、5排列，共有2种排法；第二步：再将4、6插空排列，插空时要满足奇偶性不同的要求，共有2×2种排法；第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有5种排法．由分步乘法计数原理得共有2×2×2×5=40个，同理利用插空法可得任何相邻两个数字的奇偶性不同的个数为3×2×1×3×2×1×2=72，∴1和2不相邻的六位数的个数为72−40=32．故答案为32．17.答案：解：解：(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，无放回地从4张标签随机地选取两张标签的基本事件有：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{2,1}，{3,1}，{4,1}，{3,2}，{4,2}，{4,3}，总数为12个，两张标签上的数字为相邻整数基本事件为{1,2}，{2,3}，{3,4}，{2,1}，{3,2}，{4,3}，总数为6个，∴根据等可能事件的概率公式得到P=612=12；(2)由题意知本题是一个等可能事件的概率，有放回地从4张标签随机地选取两张标签的基本事件有：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{2,1}，{3,1}，{4,1}，{3,2}，{4,2}，{4,3}和{1,1}，{2,2}，{3,3}，{4,4}，共有16个，两张标签上的数字为相邻整数的基本事件为{1,2}，{2,3}，{3,4}，{2,1}，{3,2}，{4,3}总数为6个，∴根据等可能事件的概率公式得到P=616=38．解析：本题考查等可能事件的概率，考查利用列举法求出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，属于基础题．(1)本题是一个等可能事件的概率，无放回地从5张标签随机地选取两张标签的基本事件可以通过列举得到共有12种结果．满足条件的事件也可以通过列举得到结果数，得到概率．(2)本题是一个等可能事件的概率，有放回地从5张标签随机地选取两张标签的基本事件可以通过列举得到结果，两张标签上的数字为相邻整数基本事件，得到概率．18.答案：解：(1)300×450015000=90，所以应收集90位女生的样本数据．------------------(4分)(2)300位学生中有300×0.75=225(位)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：-------(8分)结合列联表可算得K 2=300×(45×60−165×30)2210×90×75×225≈4.762>3.841，(10分)所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.---(12分)解析：(1)根据15000人，其中男生10500人，女生4500人，可得应收集多少位女生的样本数据； (2)写出2×2列联表，求出K 2，与临界值比较，即可得出结论．本题主要考查独立性检验等基础知识，考查数形结合能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等，属于中档题．19.答案：解：(Ⅰ)依题意，点P 到点F(1,0)的距离等于它到直线l 1的距离，…(1分)∴点P 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 1：x =−1为准线的抛物线．…(2分) ∴曲线C 的方程为y 2=4x.…(3分)(Ⅱ)设点P(x 0,y 0)，点M(−1,m)，点N(−1,n)，直线PM 方程为：y −m =y 0−m x 0+1(x +1)，…(4分)化简得，(y 0−m)x −(x 0+1)y +(y 0−m)+m(x 0+1)=0． ∵△PMN 的内切圆方程为x 2+y 2=1， ∴圆心(0,0)到直线PM 的距离为1，即00√(y0−m)2+(x 0+1)2=1.…(5分)故(y 0−m)2+(x 0+1)2=(y 0−m)2+2m(y 0−m)(x 0+1)+m 2(x 0+1)2．易知x 0>1，上式化简得，(x 0−1)m 2+2y 0m −(x 0+1)=0.…(6分) 同理，有(x 0−1)n 2+2y 0n −(x 0+1)=0.…(7分)∴m ，n 是关于t 的方程(x 0−1)t 2+2y 0t −(x 0+1)=0的两根． ∴m +n =−2y 0x−1，mn =−(x 0+1)x 0−1.…(8分)∴|MN|=|m −n|=√(m +n)2−4mn =√4y 02(x−1)2+4(x 0+1)x 0−1.…(9分)∵y 02=4x 0，|y 0|=2√x 0，∴|MN|=√16x 0(x 0−1)2+4(x 0+1)x 0−1=2√x 02+4x 0−1(x 0−1)2．直线PF 的斜率k =yx 0−1，则|k|=|y 0x 0−1|=2√x 0|x 0−1|．∴|k||MN|=√x 0x 02+4x 0−1=√1x 0−1x 0+4.…(10分)∵函数y =x −1x 在(1,+∞)上单调递增，∴x 0−1x 0>1−1=0．∴x 0−1x 0+4>4.∴0<1x 0−1x 0+4<14.…(11分)∴0<|k||MN|<12.∴|k||MN|的取值范围为(0,12).…(12分)解析：(Ⅰ)利用已知条件，结合抛物线的定义，即可求点P 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)设点P(x 0,y 0)，点M(−1,m)，点N(−1,n)，写出直线PM 方程，化简得，(y 0−m)x −(x 0+1)y +(y 0−m)+m(x 0+1)=0.利用△PMN 的内切圆方程为x 2+y 2=1，得到圆心(0,0)到直线PM 的距离为1，求出m +n =−2y 0x 0−1，mn =−(x 0+1)x 0−1，求出|MN|.化简|k||MN|=√x 0x 02+4x 0−1=√1x 0−1x 0+4利用函数的单调性求解范围即可．本题考查轨迹方程的求法，抛物线的定义的应用，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．20.答案：解：(1)x −=2+4+5+6+85=5，y −=20+30+50+50+705=44，∑x i 25i=1=22+42+52+62+82=145，∑x i 5i=1y i =2×20+4×30+5×50+6×50+8×70=1270，b ̂=∑x i 5i=1y i −5×5×44∑x i 25i=1−5x−2=1270−5×5×44145−5×25=8.5，a ̂=y −−b ̂x −=44−8.5×5=1.5，因此回归直线方程为y ̂=8.5x +1.5；(2)当x =10 时，预计y 的值为y =8.5×10+1.5=86.5．故广告费用为10 万元时，所得的销售收入大约为86.5万元．解析：本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．(1)由已知求得b̂与â的值，可得线性回归方程；(2)把x=10代入回归方程求得y值，则答案可求．21.答案：解：(1)由题意估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的该概率：p=40+10+10+20=0.8．100(2)ξ为某家庭的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，则ξ的可能取值为950×(1−30%)=665，950(1−20%)=760，950×(1−10%)=855，950，950(1+10%)=1045，950(1+30%)=1235，P(ξ=665)=10=0.1，100=0.1，P(ξ=760)=10100=0.4，P(ξ=855)=40100P(ξ=950)=20=0.2，100=0.15，P(ξ=1045)=15100=0.05，P(ξ=1235)=5100∴ξ的分布列为：E(ξ)=665×0.1+760×0.1+855×0.4+950×0.2+1045×0.15+1235×0.05=893．解析：(1)由题意能估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的该概率．(2)ξ为某家庭的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，则ξ的可能取值为950×(1−30%)=665，950(1−20%)=760，950×(1−10%)=855，950，950(1+10%)=1045，950(1+30%)=1235，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E(ξ)．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.答案：解：(1)双曲线的渐近线方程为y =±ba x ，化简得bx ±ay =0，由A(0,b)到渐近线的距离为12c ，得√a 2+b 2=12c ，将b =√c 2−a 2代入，得(c2a 2)2−4c 2a 2+4=0，令c 2a 2=x ，则x 2−4x +4=0，解得x =2，∵e =ca ，∴双曲线的离心率为√2； (2)由(1)可得ca =√2，又∵双曲线的焦距为4， ∴c =2，a =√2， ∵a 2+b 2=c 2， ∴b 2=c 2−a 2=2， ∴双曲线方程为x 2−y 2=2，设点P 的坐标为(x 0,y 0)，∵PF 1⊥PF 2，∴x 02+y 02=4，又∵点P 在双曲线上，∴x 02−y 02=2，联立方程组{x 02+y 02=4x 02−y 02=2, 解得{x 0=√3y 0=1，或{x 0=√3y 0=−1，或{x 0=−√3y 0=1,(舍去)或{x 0=−√3y 0=−1,(舍去)，综上，可得点P 的坐标为(√3,1)或(√3,−1)．解析：本题考查双曲线的性质及几何意义，求双曲线上满足条件的点，考查运算化简的能力，属于中档题．(1)由点A(0,b)到渐近线的距离为12c ，建立方程解得即可；(2)由(1)及焦距为4，求得双曲线方程，设点P 的坐标为(x 0,y 0)，再由双曲线右支上存在一点P ，使得PF 1⊥PF 2，得方程组{x 02+y 02=4x 02−y 02=2，解得．。

黑龙江省哈三中2013-2014学年高二上学期期末数学理试题 PDF版含word版答案

且k 0) , S n a1 a2 an .
（Ⅰ）若椭圆 C ：的坐标；（Ⅱ）已知椭圆 C ：
x2 y2 且 P4 为第一象限的点，求点 P4 1 ，P1 (10,0), S 4 300 ， 100 25
x2 y2 1(a b 0)和点 P1 (a,0), 对于给定的正整数 n ，当 k a2 b2

2m 1
B.

2m
C.

2m 1
D.

2m 2
第Ⅱ卷
（非选择题，共 90 分）
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在答题卡相应的位置上) 13. 在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P,则△PBC 的面积大于
S 的概率是 4
14．若 10 件产品中有 4 件不合格，不放回依次取 2 件，事件 A =“第一次取到的是不合格品” ，事件 B =“第二次取到的是合格品” ，则 P B A =
10. 如图用 4 种不同的颜色给图中 5 个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，则不同涂色方法种数为 A.72 B.96 C.144 D.120
11. 在区间 1,5 和 2,6 内分别取一个数，记为 a 和 b ，则方程
x2 y2 1(a b) 表示离心率小于 5 的双曲线的概率为 a2 b2
3 ，椭圆 C 与直线 x y 1 0 交 2
于 P, Q 两点，且以 PQ 为直径的圆过坐标原点，求椭圆方程.
高二理科数学第 4 页共 6 页
20．（本小题满分 12 分）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是

黑龙江省哈尔滨市双城第三中学高二数学理期末试卷含解析

黑龙江省哈尔滨市双城第三中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 给出如下四个命题：①若“”为假命题，则均为假命题；②命题“若,则”的否命题为“若,则”；③命题“任意”的否定是“存在”；④在中，“”是“”的充要条件.其中不正确命题的个数是 ( )A.4B.3C.2D. 1参考答案：D2. 若，则的解集为（)A(0,+∞) B.(－1,0)∪(2,+∞) C. (2,+∞) D. (－1,0)参考答案：C3. 已知某空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为如右图所示的等腰直角三角形，如果该直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体外接球的表面积是（）A．6 B．5 C．4 D．3参考答案：D4. 已知a, b为正数, 且直线(a+1)x+2y-1=0与直线3x+(b-2)y+2=0互相垂直,则的最小值为( )A.12B.C.1D.25参考答案：D略5. 下列命题错误的是 ( )A.命题“若”的逆否命题为“若”B. “”是“”的充分不必要条件C. 若为假命题，则均为假命题D. 对于命题则参考答案：C略6. 命题“若，则是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（）A． 0 B. 1 C. 2 D. 3参考答案：C7. 程序框图如图21－1所示，则该程序运行后输出的B等于()图21－1A．7 B．15C．31 D．63参考答案：D8. 已知一组数据为且这组数的中位数是，那么数据中的众数是（）A. B. C. D.参考答案：D9. 从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（）A．24 B．18 C．12 D．6参考答案：B【考点】计数原理的应用．【分析】分类讨论：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位；从0、2中选一个数字2，则2排在十位或百位，由此可得结论．【解答】解：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有=6种；从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有=6种；2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有=6种；故共有3=18种故选B．10. 复平面内，复数对应点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 将4名新来的学生分配到A，B，C三个班级中，每个班级至少安排一名学生，其中甲同学不能分配到A班，那么共有多少种不同的分法_________________.参考答案：24略12. 现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得﹣1分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立，假设该射手完成以上三次射击，则该射手得3分的概率为_________．参考答案：13. 过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOB的面积为．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】设∠AFx=θ（0＜θ＜π，利用|AF|=3，可得点A到准线l：x=﹣1的距离为3，从而cosθ=，进而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面积．【解答】解：设∠AFx=θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3∴2+3cosθ=3∴cosθ=，∵m=2+mcos（π﹣θ）∴∴△AOB的面积为S=×|OF|×|AB|×sinθ=故答案为：．14. 命题“若，则（）”否命题的真假性为（从“真”、“假”中选填一个）．参考答案：真15. 如图，边长为a 的正△ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知△A ′ED 是△AED 绕DE 旋转过程中的一个图形，现给出下列命题，其中正确的命题有________．(填上所有正确命题的序号)(1)动点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上； (2)三棱锥A ′—FED 的体积有最大值； (3)恒有平面A ′GF ⊥平面BCED ； (4)异面直线A ′E 与BD 不可能互相垂直．参考答案： (1)(2)(3)由题意知AF ⊥DE ，∴A ′G ⊥DE ，FG ⊥DE ，∴DE ⊥平面A ′FG ，DE ?面ABC ， ∴平面A ′FG ⊥平面ABC ，交线为AF ， ∴(1)(3)均正确．当A ′G ⊥面ABC 时，A ′到面ABC 的距离最大．故三棱锥A ′—FED 的体积有最大值．故(2)正确．当A ′F 2＝2EF 2时，EF ⊥A ′E ，即BD ⊥A ′E ，故(4)不正确．16. 若a ，b ，x ，y∈R，则是成立的条件．（从“充分必要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）参考答案：必要不充分【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义结合不等式的解集求出答案即可．【解答】解：由，解得：或，故是成立的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题． 17. 在△ABC 中，是BC 中点，则______参考答案：【分析】用表示后可计算它们的数量积.【详解】因为是中点，所以，而，故，填.【点睛】向量的数量积的计算，有四种途径：（1）利用定义求解，此时需要知道向量的模和向量的夹角；（2）利用坐标来求，把数量积的计算归结坐标的运算，必要时需建立直角坐标系；（3）利用基底向量来计算，也就是用基底向量来表示未知的向量，从而未知向量数量积的计算可归结为基底向量的数量积的计算；（4）靠边靠角，也就是利用向量的线性运算，把未知向量的数量积转化到题设中的角或边对应的向量．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

哈尔滨市高二上学期期末数学试卷(理科)A卷

哈尔滨市高二上学期期末数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019高二下·福州期中) 椭圆C的焦点在 x 轴上，一个顶点是抛物线的焦点，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二上·定远期中) 设命题：“ ，”，则为（）A . ，B . ，C . ，D . ，3. （2分）已知P是正六边形ABCDEF外一点，O为正六边形ABCDEF的中心，则等于（）A .B .C .D . 04. （2分）(2018·全国Ⅲ卷文) 若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（）A . 0.3B . 0.4C . 0.6D . 0.75. （2分） (2017高二上·荆门期末) 如图是某位篮球运动员8场比赛得分的茎叶图，其中一个数据染上污渍用x代替，则这位运动员这8场比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为（）A .B .C .D .6. （2分）若空间向量=（1，﹣2，1），=（1，0，2），则下列向量可作为向量，所在平面的一个法向量的是（）A . （4，﹣1，2）B . （﹣4，﹣1，2）C . （﹣4，1，2）D . （4，﹣1，﹣2）7. （2分）如图所示程序框图中，输出S=（）A . 45B . -55C . -66D . 668. （2分） (2018高二上·南阳月考) 有下列四个命题：①“若 ,则互为相反数”的逆命题；②“若两个三角形全等，则两个三角形的面积相等”的否命题；③“若 ,则有实根”的逆否命题；④“若不是等边三角形，则的三个内角相等”逆命题；其中真命题为（）．A . ①②B . ②③C . ①③D . ③④9. （2分） (2018高三上·丰台期末) 过双曲线的一个焦点作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为为坐标原点，若，则此双曲线的离心率为（）A .B .C . 2D .10. （2分）(2013·湖北理) 直线a、b、c及平面α、β,下列命题正确的是（）A . 若aα，bα,c⊥a,c⊥b 则c⊥αB . 若bα,a//b则a//αC . 若a//α,α∩β=b则a//D . 若a⊥α,b⊥α 则a//二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2017高三下·黑龙江开学考) 已知F1 ， F2是双曲线的左右焦点，点P 在双曲线上不与顶点重合，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A，若|OA|=b，则该双曲线的离心率为________．12. （1分）某校有老师200名，男生1200名，女生1000名，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为240的样本，则从男生中抽取的人数为________13. （1分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如表统计数据表：收入x（万元）8.28.610.011.311.9支出y（万元） 6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程 =a+0.76x，据此估计，若该社区一户家庭年支出为11.8万元，则该家庭的年收入为________万元．14. （1分）在正方形ABCD中，点E为AD的中点，若在正方形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q落在△ABE 内部的概率是________15. （1分）圆E：（x+2）2+y2=4，点，动圆P过点F（2，0），且与圆E内切于点M，则动圆P的圆心P的轨迹方程是________三、解答题 (共6题；共40分)16. （5分） (2016高二上·重庆期中) （Ⅰ）命题“ ”为假命题，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若“x2+2x﹣8＜0”是“x﹣m＞0”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．17. （10分） (2018高二下·永春期末) 近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车流通行业得到迅猛发展．某汽车交易市场对2017年成交的二手车交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到频率分布直方图如图1．图1 图2附注：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；②参考数据：．（1）记“在年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在”为事件，试估计的概率；（2）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图2，其中 (单位：年)表示二手车的使用时间， (单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格．由散点图看出，可采用作为二手车平均交易价格关于其使用年限的回归方程，相关数据如下表（表中，）：①根据回归方程类型及表中数据，建立关于的回归方程；②该汽车交易市场对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格的佣金，对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格的佣金．在图1对使用时间的分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值．若以2017年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金．18. （10分）有一游戏规则是：抛掷一骰子，若掷出1点、2点、3点，则得1分，若是掷出4点、5点，则得2分，若掷出6点，则得3分，（1）写出学生A抛掷一次所得分数的期望；（2）学生A与学生B各掷2次，所得分数分别x，y，求|x﹣y|≥1的概率．19. （5分） (2017高二上·静海期末) 已知曲线在的上方，且曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离都小1.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设，过点的直线与曲线相交于两点.①若是等边三角形，求实数的值；②若，求实数的取值范围.20. （5分）(2017·淮北模拟) 正三棱柱ABC﹣A1B1C1底边长为2，E，F分别为BB1 ， AB的中点．（I）已知M为线段B1A1上的点，且B1A1=4B1M，求证：EM∥面A1FC；（II）若二面角E﹣A1C﹣F所成角的余弦值为，求AA1的值．21. （5分） (2017高二上·成都期中) 已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1、F2 ，离心率，P为椭圆E上的任意一点（不含长轴端点），且△PF1F2面积的最大值为1．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）已知直x﹣y+m=0与椭圆E交于不同的两点A，B，且线AB的中点不在圆内，求m的取值范围．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、答案：略4-1、5-1、答案：略6-1、答案：略7-1、答案：略8-1、9-1、答案：略10-1、答案：略二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共40分)16-1、17-1、答案：略17-2、答案：略18-1、答案：略18-2、答案：略19-1、20-1、答案：略21-1、第11 页共11 页。

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨三中高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样两种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别p1，p2，则（）A．p1＞p2B．p1＜p2C．p1＝p2D．p1≠p22．（5分）把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（）A．对立事件B．互斥但不对立事件C．不可能事件D．以上都不对3．（5分）设随机变量X～N（2，9），P（X＞m）＝P（X＜m﹣4），则m的值为（）A．1B．2C．3D．44．（5分）总体由编号为01，02，03，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A．08B．07C．02D．015．（5分）从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中恰有1个白球的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）总体的样本数据的频率分布直方图如图所示总体中50%的数据不超过a，总体中80%的数据不超过b，则a，b的估计值为（）A．B．C．22，D．7．（5分）（）8的展开式中常数项的二项式系数为（）A．70B．C．D．1058．（5分）一组数据中的每一个数据都乘以2，再减去80，得到一组新数据，若求得的新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（）A．40.6，1.1B．48.8，4.2C．81.2，44.4D．78.8，75.6 9．（5分）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（）A．150种B．180种C．200种D．280种10．（5分）若（1+2x）2（1﹣x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a2+a4+a6＝（）A．32B．16C．15D．011．（5分）某随机模拟的步骤为：①利用计算器或计算机产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；②进行平移和伸缩变换，a＝4a1，b＝4b1﹣2；③共做了N次试验，数出满足条件（x﹣2）2+y2＜2的点（a，b）的个数N1，则≈（）A．B．C．D．12．已知双曲线y2﹣＝1与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于M，N两点，线段MN的中点为P，设直线l的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2＝（）A．B．﹣C．2D．﹣2二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．（5分）若随机变量X～B（3，），则方差D（x）＝．14．（5分）某同学4次三级跳远成绩（单位：米）分别为x，y，11，9，已知这四次成绩的平均数为10，标准差为，则xy的值为．15．（5分）有3名男演员和2名女演员，演出的出场顺序要求2名女演员之间恰有1名男演员，则不同的出场顺序共种．16．（5分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF 2与椭圆的另一个交点为C，若S△ABC＝，则椭圆的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．操场上有5名同学正在打篮球，每位同学投中篮筐的概率都是，且各次投篮是否投中相互独立．（1）求其中恰好有4名同学投中的概率（用最简分数作答）；（2）求其中至少有4名同学投中的概率（用最简分数作答）．18．哈三中群力校区高二、六班同学用随机抽样的办法对所在校区老师的饮食习惯进行了一次调查，饮食指数结果用茎叶图表示如图，图中饮食指数低于70的人是饮食以蔬菜为主：饮食指数高于70的人是饮食以肉类为主．（1）完成下列2×2列联表：能否有99%的把握认为老师的饮食习惯与年龄有关？（2）从群力校区任一名老师设“选到45岁以上老师为事件A，“饮食指数高于70的老师”为事件B，用调查的结果估计P（B|A）及P（B|）（用最简分数作答）；（3）为了给食堂提供老师的饮食信息，根据（1）（2）的结论，能否有更好的抽样方法来估计老师的饮食习惯，并说明理由．附：k2＝19．如图，抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点，点P（1，4），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（1）求抛物线的标准方程；（2）当直线P A与PB的斜率存在且互为相反数时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．20．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如表：（1）求y关于x的回归方程＝x+，并预测该地区2019年的人民币储蓄存款（用最简分数作答）；（2）在含有一个解释变量的线性模型中，R2恰好等于相关系数r的平方，当R2＞0.8时，认为线性回归模型是很有效的，请计算R2并且评价模型的拟合效果（计算结果精确到0.001）．附：＝，＝﹣，r＝．21．小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案．甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前54单没有奖励，超过54单的部分每单奖励20元．（1）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式；（2）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在（，]（n＝1，2，3，4，5）时，日平均派送量为50+2n单，若将频率视为概率，回答下列问题：①估计这100天中的派送量指标的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）：②根据以上数据，设每名派送员的日薪为X（单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪X的分布列及数学期望．请利用数学期望帮助小明分析他选择哪种薪酬方案比较合适？并说明你的理由．22．已知椭C：＝1（a＞b＞0）经过点（，2），离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过坐标原点O作直线PQ交椭圆C于P、Q两点，过点F2作PQ的平行线交椭圆C 于A、B两点．①是否存在常数λ，满足|AB|＝λ|OP|2？若存在，求出这个常数；若不存在，请说明理由．②若△AF2P的面积为S1，△OF2B的面积为S2，且S＝S1+S2，求S的最大值．2018-2019学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即p1＝p2．故选：C．2．【解答】解：根据题意，把红、蓝、黑、白四张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四个人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，则两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”和“丁分得红牌”，则两者不是对立事件．∴事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．故选：B．3．【解答】解：随机变量X服从正态分布N（2，9），∴曲线关于x＝2对称，∵P（X＞m）＝P（X＜m﹣4），∴m﹣4+m＝4，即m＝4．故选：D．4．【解答】解：从随机数表第1行的第3列开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为16，08，02，14，07，01，则第5个个体的编号为07．故选：B．5．【解答】解：从装有3个红球和2个白球的袋中任取3个球，基本事件总数n＝C53＝10，所取的3个球中恰有1个白球包含的基本事件个数：m＝C32C21＝6，∴所取的3个球中恰有1个白球的概率是P＝＝故选：C．6．【解答】解：由于第一组频率为0.02×4＝0.08，第二组频率为0.08×4＝0.32，第三组频率为0.09×4＝0.36，第四，组组频率为0.03×4＝0.12，则a＝18+4×＝，由于0.08+0.32+0.36＝0.76，则b＝22+4×＝，故选：D．7．【解答】解：（）8的展开式的通项公式为T r+1＝••x4﹣r，令4﹣r＝0，求得r＝4，可得展开式中常数项的二项式系数为＝70，故选：A．8．【解答】解：设原来的一组数据是x1，x2…x n，∵每一个数据乘以2，再都减去80 得到新数据且求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，∴又∵数据都减去同一个数，没有改变数据的离散程度，∴2x1，2x2…2x n的方差为：4.4，从而原来数据x1，x2…x n的方差为：×4.4＝1.1．故选：A．9．【解答】解：人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3若是1，1，3，则有＝60种，若是1，2，2，则有＝90种所以共有150种，故选：A．10．【解答】解：对于（1+2x）2（1﹣x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，令x＝0，得a0＝1，令x＝1，可得a0+a1+a2+…+a7＝0，再令x＝1，可得a0﹣a1+a2﹣a3…+a6﹣a7＝32，∴2（a0+a2+a4+a6）＝32，∴a2+a4+a6＝15，故选：C．11．【解答】解：由题意知，a1∈[0，1]，b1∈[0，1]；a＝4a1∈[0，4]，b＝4b1﹣2∈[﹣2，2]；满足条件（x﹣2）2+y2＜2的点（a，b）是图中阴影部分，则≈＝＝．故选：B．12．【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x，y），则x1+x2＝2x，y1+y2＝2yM，N代入双曲线y2﹣＝1两式相减可得：（y1﹣y2）×2y﹣（x1﹣x2）×2x＝0，∵直线l的斜率为k1（k1≠0），直线OM的斜率为k2，∴k1k2＝．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．【解答】解：随机变量X～B（3，），是二项分布，D（X）＝3××＝，故答案为：．14．【解答】解：数据x，y，11，9的平均数为10，标准差为，则，化简，得，∴xy＝×（400﹣206）＝97．故选：97．15．【解答】解：有3名男演员和2名女演员，演出的出场顺序要求2名女演员之间恰有1名男演员，则先拍2名女演员，方法有种；然后插入1名男演员，方法有种；把这3个人当做一个整体，和其他2名男演员进行排列，方法有种，再根据分布计数原理，不同的出场顺序有••＝36种，故答案为：36．16．【解答】解：如图所示，∵S △ABC＝，∴|AF2|＝2|F2C|．A，直线AF2的方程为：y﹣0＝（x﹣c），化为：y＝（x﹣c），代入椭圆方程+＝1（a＞b＞0），可得：（4c2+b2）x2﹣2cb2x+b2c2﹣4a2c2＝0，∴x C×（﹣c）＝，解得x C＝．∵，∴c﹣（﹣c）＝2（﹣c）．化为：a2＝5c2，解得．另解：设A（﹣c，2m），由S △ABC＝，则，可得C的坐标为（2c，﹣m），代入椭圆方程，消去m即可得出．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（1）∵操场上有5名同学正在打篮球，每位同学投中篮筐的概率都是，且各次投篮是否投中相互独立．∴其中恰好有4名同学投中的概率：p＝＝．（2）其中至少有4名同学投中的概率：p＝+＝．18．【解答】解：（1）由K2＝＝10＞6.635即有99%的把握认为老师的饮食习惯与年龄有关，故答案为：有99%的把握认为老师的饮食习惯与年龄有关，（2）P（B|A）＝＝，P（B|）＝＝，故答案为：，（3）为了给食堂提供老师的饮食信息，根据（1）（2）的结论，“选到45岁以上老师“与，“选到45岁以下老师“调查差异较大，为了更科学估计老师的饮食习惯，采用分层抽样的抽样方法更好．故答案为：分层抽样19．【解答】解：（1）由图与题意可设抛物线的标准方程为：y2＝2px，（p＞0）．把点（1，4），代入抛物线方程可得：16＝2p，则p＝8，∴抛物线的方程为：y2＝16x；（2）∵直线P A与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴k1+k2＝+＝＝，化简可得y1+y2＝﹣8，直线AB的斜率k AB＝＝＝﹣2．20．【解答】解：（1）＝（1+2+3+4+5+6）＝，＝（3.5+5+6+7+8+9.5）＝，故＝，＝，故回归方程为：y＝x+，2019对应的x＝8，x＝8时，y＝，故预测存款是千亿元；（2）r＝≈0.99699，故R2≈0.994＞0.8，故模型的拟合效果有效．21．【解答】解：（1）甲方案中派送员日薪y（单位：元）与送单数n的函数关系式为：y＝100+n，n∈N，乙方案中派送员日薪y（单位：元）与送单数n的函数关系式为：y＝，n∈N（2）①（0.1×1+0.3×1.5+0.5×1+0.7×1+0.9×0.5）×0.2＝0.44②所以X甲的分布列为：所以E（X甲）＝152×0.2+154×0.3+156×0.2+158×0.2+160×0.1＝155.4，所以X乙的分布列为：所以E（X乙）＝140×0.5+180×0.3+220×0.2+260×0.1＝176，由以上的计算结果可以看出，E（X甲）＜E（X乙），即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望，所以小明应选择乙方案．22．【解答】解：（1）由题意可得，解得a2＝12，b2＝8，c2＝4，故椭圆C的方程为+＝1，（2）①设直线AB的方程为x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2），由得（2m2+3）y2+8my﹣16＝0，即有y1+y2＝，y1y2＝﹣，|AB|＝•＝•＝8•，设P（x3，y3），Q（x4，y4），由x＝my代入椭圆方程可得消去x，并整理得y2＝，∴x2＝m2•，∴|OP|2＝，∵|AB|＝λ|OP|2，∴8•＝λ•，∴λ＝故存在常数λ＝，使得|AB|＝λ|OP|2；②直线AB与直线PQ的距离d＝，由①可知|AB|＝8•，∵△AF2P的面积为S1，△OF2B的面积为S2，∴S＝S1+S2＝|AB|•d＝×8•×＝，设＝t≥1，则m2＝t﹣1，∴S＝8•＝8•，∵y＝2t+在[1，+∞）为增函数，∴y min＝3，∴S≤，故S的最大值。

哈尔滨高二(上)期末数学试卷(理科)含答案解析.doc

2017-2018学年黑龙江省哈尔滨高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）下列选项叙述错误的是（）A．命题“若x≠l，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”B．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题C．若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p：∃x∈R，x2+x+1=0D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件2．（5分）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（）A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.73．（5分）已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m C．若l∥m，m⊂α，则l∥αD．若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l∥m4．（5分）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）A．B．C．D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的值S=16，则输入自然数n的最小值应等于（）A．7 B．8 C．9 D．106．（5分）福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02…33的33个球组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下）第1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为（）A．23 B．20 C．06 D．177．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=18．（5分）为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（）A．＞，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B．＞，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C．＜，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D．＜，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛9．（5分）如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．11．（5分）三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，平面PAB⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（）A．4 B．3 C．4 D．312．（5分）F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，A是其右顶点，过F2作x轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是△PF1F2的重心，若•=0，则双曲线的离心率是（）A．2 B．C．3 D．二、填空题13．（3分）某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了8名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为．14．（3分）双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2=4x 的焦点重合，则mn 的值为． 15．（3分）若双曲线x 2﹣=1（b ＞0）的一条渐近线与圆x 2+（y ﹣2）2=1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是．16．（3分）△ABC 中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，它所在平面外一点P 到△ABC 三个顶点的距离是14，那么点P 到平面ABC 的距离是：．三、解答题17．某公司的管理者通过公司近年来科研费用支出x （百万元）与公司所获得利润y （百万元）的散点图发现，y 与x 之间具有线性相关关系，具体数据如表所示：（1）求y 关于x 的回归直线方程；（2）若该公司的科研投入从2011年开始连续10年每一年都比上一年增加10万元，预测2017年该公司可获得的利润约为多少万元？（注：线性回归直线方程系数公式==，=．）18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PC，AC，BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．（1）证明：平面GEF∥平面PCB；（2）求直线PF与平面PAB所成角的正弦值．20．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线kl的极坐标方程为cosθ）=3．（1）求C的极坐标方程；（2）射线OM：θ=θ1（θ＜θ1）与圆C的交点为O，P，与直线Ll的交点为Q，求|OP|•|OQ|的范围．21．如图所示三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，AC⊥CD．（Ⅰ）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；（Ⅱ）若A1D与BB1所成角的余弦值为，求二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值．22．已知椭圆C的中心在原点，焦点F在x轴上，离心率，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为k（k≠0）的直线n交椭圆C与A、B两点，且k OA、k、k OB成等差数列，点M（1，1），求S的最大值．△ABM2017-2018学年黑龙江省哈尔滨高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）下列选项叙述错误的是（）A．命题“若x≠l，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”B．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题C．若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p：∃x∈R，x2+x+1=0D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件【解答】解：A原命题为“若p则q，“，则它的逆否命题为“若﹣p则﹣q“．故正确；B当p，q中至少有一个为真命题时，则p∨q为真命题．故错误．C正确．D 由x2一3x+2＞0解得x＜1或x＞2显然x＞2⇒x＜1或x＞2但x＜1或x＞2不能得到x＞2故“x＞2”是“x2一3x+2＞0”的充分不必要条件，故正确．故选B2．（5分）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（）A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.7【解答】解：∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1﹣0.42﹣0.28=0.3，故选C．3．（5分）已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m C．若l∥m，m⊂α，则l∥αD．若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l∥m【解答】解：若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则当m与n相交时，l⊥α，故A错误；若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥β，所以l⊥m，故B正确；若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故C错误；若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l与m相交、平行或异面，故D错误．故选：B．4．（5分）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）A．B．C．D．【解答】解：要使中奖率增加，则对应的面积最大即可，则根据几何概型的概率公式可得，A．概率P=，B．概率P=，C概率P=，D．概率P=，则概率最大的为，故选：A．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的值S=16，则输入自然数n的最小值应等于（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：由程序框图知：第一次循环S=1×2=2，i=2+2=4，k=1+1=2；第二次循环S=×2×4=4，i=4+2=6，k=2+1=3；第三次循环S=×4×6=8，i=6+2=8，k=3+1=4．第四次循环S=×8×8=16，i=8+2=10，k=4+1=5．∵输出的值S=16，∴跳出循环的i值为10，∴判断框的条件i＜n，其中8＜n≤10，∴自然数n的最小值为9．故选：C．6．（5分）福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02…33的33个球组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下）第1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为（）A．23 B．20 C．06 D．17【解答】解：根据随机数的定义，1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字43开始，依次为17，23，20，17，24，06，则第6个红色球的编号为06，故选：C．7．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．8．（5分）为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（）A．＞，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B．＞，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C．＜，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D．＜，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛【解答】解：由茎叶图知，甲的平均数是=82，乙的平均数是=87∴乙的平均数大于甲的平均数，从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，故选D．9．（5分）如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：取BC的中点D，连接D1F1，F1D∴D1B∥DF1∴∠DF1A就是BD1与AF1所成角设BC=CA=CC1=2，则AD=，AF1=，DF1=在△DF1A中，cos∠DF1A=，故选A10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，半个圆锥的体积为××π×1×=；四棱锥的体积为×2×2×=；故这个几何体的体积V=；故选D．11．（5分）三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，平面PAB⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（）A．4 B．3 C．4 D．3【解答】解：根据题意：半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，△ABC为截面为大圆上三角形，设圆形为O，AB的中点为N，ON═=1∵平面PAB⊥平面ABC，∴三棱锥P﹣ABC的体积的最大值时，PN⊥AB，PN⊥平面ABC，PN==，∴三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为×（2）2×=3，故选：B12．（5分）F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，A是其右顶点，过F2作x轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是△PF1F2的重心，若•=0，则双曲线的离心率是（）A．2 B．C．3 D．【解答】解：由题意可得F1（﹣c，0），F2（c，0），A（a，0）．把x=c代入双曲线方程可得y=±，故一个交点为P（c，），由三角形的重心坐标公式可得G（，）．若•=0，则GA⊥F1F2，∴G、A 的横坐标相同，∴=a，∴=3，故选：C．二、填空题13．（3分）某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了8名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为6．【解答】解：∵高一年级有30名，高二年级有40名，∴高一年级的学生中应抽取的人数为x，则满足，即x=6．故答案为：6．14．（3分）双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn的值为．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），则双曲线的焦距为2，而双曲线的离心率为2，则a=，则有解得m=，n=∴mn=故答案为：．15．（3分）若双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（1，2] ．【解答】解：圆x2+（y﹣2）2=1的圆心（0，2），半径r=1．∵双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，∴≥1，化为b2≤3．∴e2=1+b2≤4，∵e＞1，∴1＜e≤2，∴该双曲线的离心率的取值范围是（1，2]．故答案为：（1，2]．16．（3分）△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，它所在平面外一点P到△ABC 三个顶点的距离是14，那么点P到平面ABC的距离是：7．【解答】解析：记P在平面ABC上的射影为O，∵PA=PB=PC∴OA=OB=OC，即O是△ABC的外心，只需求出OA（△ABC的外接圆的半径），记为R，在△ABC中由余弦定理知：BC=21，在由正弦定理知：2R==14，∴OA=7，得：PO=7．故答案为：7．三、解答题17．某公司的管理者通过公司近年来科研费用支出x（百万元）与公司所获得利润y（百万元）的散点图发现，y与x之间具有线性相关关系，具体数据如表所示：（1）求y关于x的回归直线方程；（2）若该公司的科研投入从2011年开始连续10年每一年都比上一年增加10万元，预测2017年该公司可获得的利润约为多少万元？（注：线性回归直线方程系数公式==，=．）【解答】解：（1）根据表中数据，计算可得=×（1.6+1.7+1.8+1.9+2.0）=1.8，=×（1+1.5+2+2.5+3）=2，又=16.3，x i y i=18.5；b==5；a=﹣b=2﹣5×1.8=﹣7，故所求的回归直线方程为=5x﹣7；（2）由题可知到2017年时科研投入为x=2.3（百万元），故可预测该公司所获得的利润为=5×2.3﹣7=4.5（百万元）；答：可预测2017年该公司获得的利润为450万元．18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，∴抽取比例为=，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PC，AC，BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．（1）证明：平面GEF∥平面PCB；（2）求直线PF与平面PAB所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，∴EF∥BC，又BC⊂平面PBC，EF⊄平面PBC，∴EF∥平面PBC，同理可得：GF∥平面PBC，又EF⊂平面GEF，GF⊂平面GEF，GF∩EF=F，∴平面GEF∥平面PBC．（2）以C为坐标原点，以CA，CB，CP为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则P（0，0，1），A（2，0，0），B（0，1，0），F（1，0，0），∴=（2，0，﹣1），=（﹣2，1，0），=（1，0，﹣1），设平面PAB的法向量=（x，y，z），1，2，2），则，∴，令x=1可得=（1，2，2）．∴cos＜，＞===﹣．设PF与面PAB所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=．∴PF与面PAB所成角的正弦值为．20．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线kl的极坐标方程为cosθ）=3．（1）求C的极坐标方程；（2）射线OM：θ=θ1（θ＜θ1）与圆C的交点为O，P，与直线Ll的交点为Q，求|OP|•|OQ|的范围．【解答】（1）圆C的参数方程为（φ参数），转化为圆C的普通方程是（x﹣1）2+y2=1，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以圆C的极坐标方程是：ρ=2cosθ．，θ1），则有，（2）设P（ρ设Q（ρ2，θ2），且直线l的方程是cosθ）=3．则有，所以|OP||OQ|=ρ1•ρ2==，由于：，则：tanθ1＞0，所以0＜|OP||OQ|＜6．21．如图所示三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，AC⊥CD．（Ⅰ）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；（Ⅱ）若A1D与BB1所成角的余弦值为，求二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）若AA1=AC，则四边形ACC1A1为正方形，则AC1⊥A1C，∵AD=2CD，AC⊥CD，∴△ACD为直角三角形，则AC⊥CD，∵AA1⊥平面ABC，∴CD⊥平面ACC1A1，则CD⊥A1C，∵A1C∩CD=C，∴AC1⊥平面A1B1CD；解：（Ⅱ）∵AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，AC⊥CD．∴建立以C为坐标原点，CD，CB，CC1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，如图，设CD=1，则AD=2，AC=，∵A1D与BB1所成角的余弦值为，∴=，又，解得A1D=，∴AA1=，则C（0，0，0），D（1，0，0），A（0，，0），C1（0，0，），A1（1，2，），=（0，﹣2，﹣），=（﹣1，﹣2，﹣），=（﹣1，﹣2，0），设平面A1DC的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，，﹣2），设平面A1DC1的法向量=（a，b，c），则，取a=2，得=（2，﹣，﹣4），设二面角C﹣A1D﹣C1的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值为．22．已知椭圆C的中心在原点，焦点F在x轴上，离心率，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为k（k≠0）的直线n交椭圆C与A、B两点，且k OA、k、k OB成等的最大值．差数列，点M（1，1），求S△ABM【解答】解：（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），则∵椭圆离心率，点在椭圆C上，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆方程为；（2）设直线n的方程为y=kx+m，A（x1，y1），（x2，y2），则∵k OA、k、k OB成等差数列，∴m（x1+x2）=0，∴m=0，∴直线n的方程为y=kx代入椭圆方程得（1+4k2）x2=4，∴|AB|=．∵M到y=kx的距离为d=∴S=•=∴S2=，∴（S2）′=，∴k，（S2）′＞0，﹣＜k＜1，（S2）′＜0，k＞1，（S2）′＞0，∴k=﹣时，S取得最大值．。

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市三中高二上学期期末考试数学试题

哈三中2021—2022学年度上学期高二学年期末考试数学试卷考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷（选择题,共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.经过()()3,0,6,3A B -两点的直线的倾斜角为A ．4πB ．34πC ．2πD ．3π2.在等差数列{}n a 中，若4567890a a a a a ++++=，则39a a +=A ．18B ．30C ．36D ．723.若直线1:230l ax y a +++=，()2:150l x a y +--=平行，则实数a 的值为A ．1-B ．2C ．1或2-D ．1-或24.方程2890x x -+=的两根的等比中项是A ．4-B ．3-和3C ．4-和4D ．35.若椭圆的两个焦点21,F F 与它短轴的一个端点B 是一个等腰直角三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为A ．22B C ．12D ．36.以下结论正确的是A ．事件A 与事件B 的和事件的概率一定大于事件A 的概率B ．事件A 与事件B 是对立事件，则它们一定是互斥的C ．事件A 与事件B 互斥，则有()()1P A P B =-D ．事件A 与事件B 满足()()1P A P B +=，则A ，B 是对立事件7.已知R a ∈，||3a ≥是直线:20l x y -=与圆22:52a C x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭相离的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.2021年某省实施新的“3+1+2”高考改革方案，“3”即为语文、数学、英语3科必选，“1”即为从物理和历史中任选一科，“2”即为从化学、生物、地理、政治中任选2科，则该省某考生选择全理科(物理、化学、生物)的概率是A ．16B ．18C ．110D ．1129.一种卫星接收天线如图（1）所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点F 处，如图（2）所示，已知接收天线的口径AB 为4.8m ，深度为1m .若P 为接收天线上一点，则点P 与焦点F 的最短距离为A ．0.72mB ．1.44mC ．2.44mD ．2.88m10.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，已知24a =-，31a =-，则A ．n S 有最小值，n T 有最小值B ．n S 有最大值，n T 有最大值C ．n S 有最小值，n T 有最大值D ．n S 有最大值，n T 有最小值11.2021年11月，满洲里市再次出现由新型冠状病毒引发的疫情.哈尔滨市派出5个医疗小组前往满洲里市区内三所医院开展抗疫工作，因疫情需要，每所医院至少需要安排一个医疗组，其中甲、乙两个医疗小组必须安排在同一所医院，丙、丁两个小组不能安排在同一所医院，则不同的安排方案的总数为A ．36B ．24C ．30D ．1812.在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，且2,1,2AB AD CD x ===，其中()0,1x ∈，以,A B为焦点且过点D 的椭圆的的离心率为1e ，以,C D 为焦点且过点A 的双曲线离心率为2e ，21e e +的取值范围A ．(B ．)+∞C ．(D ．(第Ⅱ卷（非选择题,共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)13.与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(-的双曲线的方程为__________________．14.等比数列{}n a 中，258,64a a ==，则{}n a 的前7项和7S =_______________．15.()5(12)13x x -+的展开式中2x 项的系数为__________________．16.意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列又称黄金分割数列，因列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用n a 表示斐波那契数列的第n 项，则数列{}n a 满足：11a =，21a =，()*123,n n n a a a n n N --=+≥∈，记121ni n i a a a a ==+++∑ ，则下列结论①32a =②()2233n n n a a a n -+=+≥③202120231i i aa ==∑④20212202120221i i aa a ==⋅∑其中正确的命题序号是．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知数列{}n a 是一个等差数列，且2511,45a S ==．（1）求{}n a 的通项n a ；（2）求{}n a 的前n 项和n S 的最大值．18.已知y x m =+与抛物线x y 42=交于,A B 两点．（1）若28=AB ，求实数m 的值；（2）O 为坐标原点，若OA OB ⊥，求实数m 的值．19.某超市举办有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有1个红球，3个白球的甲箱和装有2个红球、2个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，若都是红球，则可获得现金100元；若只有1个红球，则可获得现金50元；若没有红球，则不获奖.球的大小重量完全相同，每次抽奖后都将球放回且搅拌均匀．（1）若某顾客有1次抽奖机会，求该顾客获得现金100元或50元的概率；（2）若某顾客有2次抽奖机会，求该顾客在2次抽奖中一共获得现金100元的概率．20.在平面直角坐标系xOy 中，已知一个圆的圆心C 在直线20x y +=上，与直线2y x =-相切于点()2,0．（1）求C 的方程；（2）若经过点()5,1的直线l 与圆C 相交于,M N 两点，且MN =求直线l 的方程．21.已知数列{}n a 中，31=a ，且满足11323++⨯+=n n n a a .（1）证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 3为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式;（2）若不等式3842+->n n a n λ，对+∈∀N n 恒成立，求λ的范围.22.如图，已知椭圆()01:2222>>=+b a b y a x M 的离心率为21，以该椭圆上的任意一点和椭圆的左、右焦点21,F F 为顶点的三角形的周长为6.双曲线N 的顶点是椭圆M 的焦点，离心率为2.设P 为双曲线N 椭圆M 的交点分别为B A ,和D C ,.（1）求椭圆M 和双曲线N 的标准方程；（2）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，求证：21k k ⋅为定值；（3）是否存在常数λ，使得·AB CD AB CD λ+=若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.。

2021年黑龙江省哈尔滨市第三高级职业中学高二数学理上学期期末试题含解析

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市第三高级职业中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（d）的立方成正比”，此即V=kd3，与此类似，我们可以得到：（1）正四面体（所有棱长都相等的四面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即V=ma3；（2）正方体的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即V=na3；（3）正八面体（所有棱长都相等的八面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即V=ta3；那么m：n：t=（）A．1：6：4 B．：12：16 C．：1：D．：6：4参考答案：A【考点】F3：类比推理．【分析】求出正四面体、正方体、正八面体的体积，类比推力即可得出．【解答】解：由题意，正四面体的体积V==a3；正方体的体积V=a3；正八面体的体积V=2×=a3，∴m：n：t=1：6：4，故选A．【点评】本题考查了正四面体、正方体、正八面体的体积计算公式、类比推力，属于中档题．22A略3. Rt△ABC的斜边AB等于4，点P在以C为圆心、1为半径的圆上，则的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】结合三角形及圆的特征可得，进而利用数量积运算可得最值，从而得解. 【详解】.注意，，所以当与同向时取最大值5，反向时取小值-3.故选C.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，以及几何图形中向量问题的求解.属于中档题.4. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）C5. （x+﹣2）5展开式中常数项为（）A．252 B．﹣252 C．160 D．﹣160参考答案：B【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】把所给的三项式变为二项式，利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中常数项．【解答】解：（x+﹣2）5的展开式的通项公式为T r+1=??（﹣2）r，0≤r≤5，对于，它的通项为?x5﹣r﹣2k，令5﹣r﹣2k=0，求得r+2k=5，0≤k≤5﹣r，故当r=1，k=2；或r=3，k=1，或r=5，k=0；可得展开式的常数项，故展开式中常数项为?（﹣2）?+?（﹣8）?+（﹣2）5=﹣60﹣160﹣32=﹣252，故答案为：B．6. △ABC中，若cos(2B＋C)＋2sin A sin B＝0，则△ABC一定是A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．等腰三角形参考答案：C略7. 某快递公司的四个快递点A，B，C，D呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将A，B，C，D四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则A. 最少需要8次调整，相应的可行方案有1种B. 最少需要8次调整，相应的可行方案有2种C. 最少需要9次调整，相应的可行方案有1种D. 最少需要9次调整，相应的可行方案有2种参考答案：D【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理即可得解．【详解】（1）A→D调5辆，D→C调1辆，B→C调3辆，共调整：5＋1＋3＝9次，（2）A→D调4辆，A→B调1辆，B→C调4辆，共调整：4＋1＋4＝9次，故选：D【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．8. 在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A 直角三角形B 等腰或直角三角形C 不能确定D 等腰三角形参考答案：B略9. 如下分组正整数对:第1组为第2组为第3组为第4组为依此规律,则第30组的第20个数对是( )A. (12,20)B. (20,10)C. (21,11)D. (20,12)参考答案：C【分析】本题首先可根据题意找出每一组以及每一个数对所对应的规律，要注意区分偶数组与奇数组的不同，然后根据规律即可得出第组的第个数对。

黑龙江省哈尔滨市数学高二上学期理数期末考试试卷

黑龙江省哈尔滨市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二上·武汉期中) 过双曲线的右焦点F，作渐近线的垂线与双曲线左右两支都相交，则双曲线离心率的取值范围为（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二下·辽宁期末) “ ”是“函数在区间内单调递减”的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 既不充分也必要条件3. （2分） (2016高一下·龙岩期中) 有30袋长富牛奶，编号为1至30，若从中抽取6袋进行检验，则用系统抽样确定所抽的编号为（）A . 3，6，9，12，15，18B . 4，8，12，16，20，24C . 2，7，12，17，22，27D . 6，10，14，18，22，264. （2分）椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率（）A .B .C .D .5. （2分）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为（）A .B .C . 36D .6. （2分） (2018高一下·葫芦岛期末) 葫芦岛市交通局为了解机动车驾驶员对交通法规的知晓情况，对渤海、丰乐、安宁、天正四个社区做分层抽样调查.其中渤海社区有驾驶员96人.若在渤海、丰乐、安宁、天正四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则丰乐、安宁、天正三个社区驾驶员人数是多少（）A . 101B . 808C . 712D . 897. （2分） (2018高二上·武汉期末) 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则m=（）A . 8B . 9C . -3D . 168. （2分） (2016高二上·黄石期中) 抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（）A .B . 1C . 2D . 49. （2分）在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大依次构成等比数列{an}，已知a2=2a1 ，且样本容量为300，则对应小长方形面积最小的一组的频数为（）A . 20B . 40C . 30D . 无法确定10. （2分）已知动点M的坐标满足，则动点M的轨迹方程是（）A . 椭圆B . 双曲线C . 抛物线D . 以上都不对11. （2分）下列命题错误的是（）A . 对于命题，使得x2+x+1<0，则为:，均有B . 命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若，则”C . 若为假命题，则p,q均为假命题D . “x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件12. （2分）椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是（）A . x-2y=0B . 2x+y-10=0C . 2x-y-2=0D . x+2y-8=0二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若点A（3，1）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最大值为________．14. （1分）(2014·浙江理) 在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________．15. （1分） (2018高二下·通许期末) 已知随机变量服从正态分布，且，则 ________.16. （1分）(2017·鄂尔多斯模拟) 过抛物线C：y2=8x的焦点F作直线与C交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，则| |=________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分）(2018·河北模拟) 在平面直角坐标系中，已知圆的参数方程为（为参数，）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程是 .（1）若直线与圆有公共点，试求实数的取值范围；（2）当时，过点且与直线平行的直线交圆于两点，求的值.18. （5分） (2016高二上·大连期中) 已知命题p：“ =1是焦点在x轴上的椭圆的标准方程”，命题q：“不等式组所表示的区域是三角形”．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．19. （10分） (2016高一上·荔湾期中) 已知函数 f(x)=x2+2ax-2 ，x∈[−5,5] ．（1）当 a=−1 时，求函数 f(x) 的最大值与最小值．（2）求实数的取值范围，使得在区间上是单调函数．20. （15分） (2015高二上·海林期末) 2014年“五一节”期间，高速公路车辆较多，交警部门通过路面监控装置抽样调查某一山区路段汽车行驶速度，采用的方法是：按到达监控点先后顺序，每隔50辆抽取一辆，总共抽取120辆，分别记下其行车速度，将行车速度（km/h）分成七段[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95）后得到如图所示的频率分布直方图，据图解答下列问题：（1）求a的值，并说明交警部门采用的是什么抽样方法？（2）求这120辆车行驶速度的众数和中位数的估计值（精确到0.1）；（3）若该路段的车速达到或超过90km/h即视为超速行驶，试根据样本估计该路段车辆超速行驶的概率．21. （15分） (2019高三上·铁岭月考) 如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，∥ ，，且，，是棱的中点．（1）求证：∥平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（3）设点是线段上的动点，与平面所成的角为，求的最大值．22. （10分） (2018高二上·湛江月考) 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且椭圆的短轴恰好是圆的一条直径.（1）求椭圆的方程（2）设分别是椭圆的左，右顶点，点是椭圆上不同于的任意点，是否存在直线，使直线交直线于点，且满足，若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。

哈尔滨市第三中学2024年高二数学第一学期期末复习检测试题含解析

2x ln x x
，不正确；
ln x
(ln x)2
(ln x)2
ln2 x
对于
D，)
3x2
1 x2
，正确.
故选：C
6、A
【解题分析】先由 f (0) 0 求出 m 的值，进而可得 f x 的解析式，对 f x 求导，利用基本不等式可判断 f (x) 0
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如果直线 y 2x 与直线 mx y 1 0 垂直，那么 m 的值为（）
A. 1
1 B.
2
2
C. 2
D.2
2．椭圆 x2 y2 1 的焦点坐标是（） 25 9
A.（±4，0）
参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A
【解题分析】根据两条直线垂直列方程，化简求得 m 的值.
【题目详解】由于直线 y 2x 与直线 mx y 1 0 垂直，
所以 2 m 1, m 1 . 2
故选：A 2、A
恒成立，可判断 f x 的单调性，根据单调性脱掉 f ，再解不等式即可.
【题目详解】 f x 的定义域为 R ，因为 f (x) ex mex 2x 是奇函数，
所以 f (0) e0 me0 1 m 0 ，可得： m 1，
所以 f (x) ex ex 2x ，
经检验 f (x) ex ex 2x 是奇函数，符合题意，
B. (x2ex ) (x2 )ex x2 (ex ) 2xex x2ex (2x x2 )ex
C. ( x2 ) ln x

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高二上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样两种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别, 则A．B．C．D．【答案】C【解析】简单随机抽样和系统抽样都是反映概率的,具有等效性【详解】简单随机抽样和系统抽样都是反映概率的,具有等效性,故选C.【点睛】本题考查了简单随机抽样和系统随机抽样,注意这两种抽样所得结果是一致的.2．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（）A．对立事件B．互斥但不对立事件C．不可能事件D．以上都不对【答案】B【解析】试题分析：由题意得，根据互斥事件的概念和对立事件的定义，可知事件甲与事件乙互斥而不对立，故选B．【考点】互斥事件与对立事件的定义．3．设随机变量～，且，则的值为A．B．C．D．【答案】D【解析】本道题考查了正态分布曲线图,概率相等,说明端点值的平均数等于随机变量的平均数,建立等式.【详解】该曲线符合正态分布,两个概率值相等,说明,解得,故选D.本题考查了正态分布图,注意到平均数距离相等的两个点的端点概率是相等的.4．总体由编号为的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．01【答案】B【解析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．【详解】从随机数表第1行的第3列开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为16，08，02，14，07，01，则第5个个体的编号为07．故选：B．【点睛】本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础．5．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是()A．110B．310C．35D．910【答案】D【解析】试题分析：从装有3个红球，2个白球的袋中任取3个球，共有基本事件3 510C=种，则全取红球的基本事件只有一种，所以所取3个球中至少有1个白球的概率为1911010-=，故选D.【考点】古典概型及其概率的计算.6．总体的样本数据的频率分布直方图如图所示.总体中的数据不超过, 总体中的数据不超过. 则的估计值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先求出每一小组的频率，结合体50%的数据不超过a，总体中80%的数据不超过b，即可求出a，b的值．【详解】由于第一组频率为0.02×4＝0.08，第二组频率为0.08×4＝0.32，第三组频率为0.09×4＝0.36，第四，组组频率为0.03×4＝0.12，则a＝18+4，由于0.08+0.32+0.36＝0.76，则b＝22+4，故选：D．【点睛】本题考查了频率分布直方图，属于基础题．7．的展开式中常数项的二项式系数为A．B．C．D．【答案】B【详解】第r项为常数项即为，代入上式子中，得系数为，故选B。

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黑龙江省哈三中2011-2012学年高二上学期期末考试
试题（数学理）
考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分, 满分150分．
考试时间为120分钟；
（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第I 卷（选择题, 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.在二项式()6
1x +的展开式中，含3x 的项的系数是
A.15
B.20
C.30
D.40 2. 从2位男生和3位女生中选出2名代表，其中必须有女生，则不同的选法有（）种
A ．6
B ．8
C ．9
D ．10
3. 若n x
x )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（） A.10 B.20 C.30 D.120
4．由1，2，3，4，5组成没有重复数字的3位数，各位数字之和为奇数的共有（）个
A ．36
B ．24
C ．18
D ．6
5. 盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，则恰有2只是坏的螺丝钉的概率为（）
A ．21B.103C.51D.120
119 6. 将3个不同的小球随意地放入4个不同的盒子中，则3个小球恰在3个不同的盒子内的概率为（） A.43B.54C.83D.10
7
7. 已知双曲线122
22=-b
y a x )0,0(>>b a 的一条渐近线方程为x y 2=, 它的一个焦点在抛物线x y 122
=的准线上，则双曲线的方程为 ( )
A.13622=-y x
B. 16322=-y x
C. 1122422=-y x
D. 124
122
2=-y x 8．先后抛掷两枚均匀正方体骰子，骰子朝上的面的点数分别为x 、y ，则2log 1x y =的概率为（） A.121 B.61 C.41 D.3
1 9. 将[]1,0内的均匀随机数1a ，转化为]6,2[-内的均匀随机数，则需实施的变换为( )
A.)2(1-*=a a
B.8)2
1(1*-=a a C.61*=a a D.281-*=a a
10. 过点)2,1(M 的直线l 将圆9)2(22=+-y x 分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l 的
方程是（） A ．1=x B ．1=y
C ．01=+-y x
D ．032=+-y x
11. 直线x y 22=与椭圆12222=+b
y a x )0(>>b a 的两个交点在x 轴上的射影恰为椭圆的两焦点，则椭圆的离心率为（） A.22 B. 23 C.33 D.2
1 12．把同一排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分
1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（）
A ．168
B ．96
C ．72
D ．144
第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)
13．在()()2
6121-+x x 的展开式中各项系数和为 14.一盒子中有大小相同的球8个，其中红球3个，绿球5个，现不放回地依次从中抽取两个
球，在第一次抽到红球的条件下，第二次抽到绿球的概率为
15. 设倾斜角为4π
的直线l 通过抛物线x y 42=的焦点，且与抛物线相交于N M ,两点,则
=MN
16. 现有8名运动员参加110米栏决赛，共有1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道，其中甲、乙、丙
三名运动员道次各不相邻，丁不在第1道，则安排这8名运动员比赛的方式共有种.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本大题10分）
袋中共有某种产品6件，经质检，其中有一等品3件、二等品3件,从中任取3件产品, （Ⅰ）求至少有一件一等品的概率；
（Ⅱ）设取出的产品中二等品的件数为X ,求X 的分布列及数学期望.
18.（本大题12分）
设关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．
（Ⅰ）若a 是从012，
，三个数中任取的一个数，b 是从0123，，，四个数中任取的一个数，求上述方程没有实根的概率;
（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
19. （本大题12分）
已知过点A （0，1），且斜率为k 的直线与圆C:1)3()2(2
2=-+-y x 相交于M 、N 两个不同
的点.
（Ⅰ）求实数k 的取值范围；
（Ⅱ）若O 为坐标原点，且12,OM ON k ⋅=求的值.
20.（本大题12分）
旅游公司为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．（Ⅰ）求3个旅游团选择3条不同线路的概率；
（Ⅱ）求选择甲线路的旅游团数X 的分布列,数学期望及方差．
21.（本大题12分）
在盒子中有6张卡片，卡片上分别写有1, 2, 3, 4，5，6，六个不同的数字.
（Ⅰ）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的数相加得一个新数，求所得数是奇数的概率；（Ⅱ）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数X的分布列和数学期望．
22. （本大题12分）
已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1)，平行于OM
m m ，l交椭圆于A、B两个不同点.
的直线l在y轴上的截距为(0)
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求证:直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.
哈尔滨三中
数学（理科）答案
一. 选择题:
BCBBBC BADDAD
二. 64,
75, 8, 12960. 三. 解答题: 17. (1)20
19 (2)
X 的数学期望为2
3. 18. (1)
2
1 (2)32
20.解：（Ⅰ）3413A 348
P ==；（Ⅱ）
X 的分布列为：
∴E X=34．方差为16
9 21解：（Ⅰ）53
（Ⅱ）故X 的分布列为 X
1 2 3 4 P
21 103 203 20
1
X 的数学期望为.47
22. 解：（1）设椭圆方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x X
0 1 2 3 P 2764 2764 964 164
则⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩
⎪⎨⎧=+=2811422222b a b a b a 解得∴椭圆方程12822=+y x
（2）设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1，k 2，只需证明k 1+k 2=0即可--9分设21,21),,(),,(2221112211--=--=x y k x y k y x B y x A 则 042222=-++m mx x 由可得
42,222121-=-=+m x x m x x 而)
2)(2()2)(1()2)(1(21,21211221221121----+--=--+--=+x x x y x y x y x y k k )
2)(2()1(4)2)(2(42)2)(2()
1(4))(2()
2)(2()2)(121()2)(12
1(212212*********------+-=----+++=----++--+=x x m m m m x x m x x m x x x x x m x x m x
0)
2)(2(4442422122=--+-+--=x x m m m m ∴k 1+k 2=0
故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.。