2005年考研数学四真题及参考答案(点击查看)

（13）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为
应选(A).
4
XY 0
1
0
0.4
a
1
b
0.1
已知随机事件{X = 0}与{X + Y = 1}相互独立，则
(A) a=0.2, b=0.3
(B) a=0.4, b=0.1
(C) a=0.3, b=0.2 【答】 [ B] 【详解】 由题设，知
(D) a=0.1, b=0.4 a+b=0.5
又事件{X = 0}与{X + Y = 1}相互独立，于是有
P{X = 0, X + Y = 1} = P{X = 0}P{X + Y = 1} ，
即 a= (0.4 + a)(a + b) ,
由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故应选(B).
（14） 设 X1, X 2 ,", X n ,"为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为 λ(λ > 1) 的 指数分布，记 Φ(x) 为标准正态分布函数，则
故
f(0)是极小值，
f
π (
) 是极大值，应选(B).
2
（11）以下四个命题中，正确的是
(A) 若 f ′(x) 在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界.
（B）若 f (x) 在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界.
（C）若 f ′(x) 在（0，1）内有界，则 f(x)在（0，1）内有界.
D
D
D
其中 D = {(x, y) x 2 + y 2 ≤ 1} ，则
(A) I 3 > I 2 > I1 .
（B） I1 > I 2 > I 3 .
(C) I 2 > I1 > I 3 .
(D) I 3 > I1 > I 2 .
【答】 [ A ]
【详解】 在区域 D = {(x, y) x 2 + y 2 ≤ 1} 上，有 0 ≤ x 2 + y 2 ≤ 1，
n
∑ X i − nλ
(A) lim P{ i=1
≤ x} = Φ(x) .
n→∞
λn
n
∑ X i − nλ
(B) lim P{ i=1
≤ x} = Φ(x) .
n→∞
nλ
n
n
λ∑ Xi − n
∑Xi −λ
(C) lim P{ i=1
≤ x} = Φ(x).(D) lim P{ i=1
≤ x} = Φ(x).
n→∞
n
n→∞
nλ
【答】[ C ]
【详解】
由题设， EX i
=
1 λ
,
DX
i
=
1 λ2
，i
= 1,2,", n,"，于是
∑ ∑ n
E
i =1
Xi
=
n λ
，
n
D
i =1
Xi
=
n λ2
，
根据中心极限定理，知
∑ ∑ n
i =1
Xi
−
n λ
n
λ Xi −n
= i=1
其极限分布服从标准正态分
n
n
λ2
布，故应选(C).
∂z
=
xe x+ y
+
x +1
,
∂y
1+ y
于是 dz = 2edx + (e + 2)dy . (1,0) （4）设行向量组 (2,1,1,1) ， (2,1, a, a) ， (3,2,1, a) ， (4,3,2,1) 线性相关，且 a ≠ 1 ，则
a=
.
【答】 1 2
【详解】 由题设，有
2111
.
【答】 xy = 2 .
【详解】 原方程可化为 (xy)′ = 0 ，积分得 xy = C ，
代入初始条件得 C=2，故所求特解为 xy=2.
（3）设二元函数 z = xe x+ y + (x + 1) ln(1 + y) ，则 dz
=
.
(1,0)
【答】 2edx + (e + 2)dy
【详解】 ∂z = e x+ y + xe x+ y + ln(1 + y) , ∂x
如果 A = 1 ，那么 B = .
【答】 2 【详解】 由题设，有
B = (α 1 + α 2 + α 3 , α 1 + 2α 2 + 4α 3 , α 1 + 3α 2 + 9α 3 )
于是有
⎡1 1 1⎤ = (α1,α 2 ,α 3 )⎢⎢1 2 3⎥⎥ ，
⎢⎣1 4 9⎥⎦
11 1 B = A ⋅ 1 2 3 = 1× 2 = 2.
21aa = (a −1)(2a −1) = 0 ,
321a
4321
得 a = 1, a = 1 ，但题设 a ≠ 1 ，故 a = 1 .
2
2
1
（5）设α1,α 2 ,α 3 均为 3 维列向量，记矩阵
A = (α1,α 2 ,α 3 ) ，B = (α 1 + α 2 + α 3 , α 1 + 2α 2 + 4α 3 , α 1 + 3α 2 + 9α 3 ) ，
= 1 × (0 + 1 + 1 + 1) = 13 .
4
2 3 4 48
二、选择题
（7）当 a 取下列哪个值时，函数 f (x) = 2x3 − 9x 2 + 12x − a 恰好有两个不同的零点.
(A) 2. 【答】 [ B ]
(B) 4.
(C) 6.
(D) 8.
【详解】 f ′(x) = 6x2 −18x + 12 = 6(x −1)(x − 2) ，
D
【详解】 记 D1 = {(x, y) x 2 + y 2 ≤ 1, (x, y) ∈ D} ，
D2 = {(x, y) x 2 + y 2 > 1, (x, y) ∈ D}，
于是 ∫∫ x2 + y 2 −1dσ = − ∫∫ (x2 + y 2 −1)dxdy + ∫∫ (x2 + y 2 −1)dxdy
从而有
π >1≥ x2 + y2 ≥ x2 + y2 ≥ (x2 + y2)2 ≥ 0 2 由于 cosx 在 (0, π ) 上为单调减函数，于是
2
0 ≤ cos x 2 + y 2 ≤ cos(x 2 + y 2 ) ≤ cos(x 2 + y 2 )2
因此 ∫∫ cos ∫∫ x2 + y 2 dσ < cos(x2 + y 2 )dσ <
求 f(x,y)= x 2 − y 2 + 2 在椭圆域 D = {(x, y) x 2 + y 2 ≤ 1} 上的最大值和最小值. 4
.【详解】 令 ∂f = 2x = 0, ∂f = −2 y = 0ຫໍສະໝຸດ Baidu
∂x
∂y
得可能极值点为 x=0,y=0.
且 A = ∂2 f ∂x 2
= 2，
(0,0)
B = ∂2 f
7
解
⎧ ⎪ Fx′ ⎪⎪⎨Fy′ ⎪
= =
∂f ∂x ∂f ∂y
所以
x2
∂2g ∂x 2
−
y2
∂2g ∂y 2
2y
=
f ′( y ) +
y2
f ′′( x ) + x 2
f ′′( x ) −
y2
f ′′( y ) − x 2
f ′′( x )
x x x2 y y y x2 x y y
= 2 y f ′( y ). xx
6
（17）（本题满分 9 分）
∫∫ 计算二重积分 x2 + y 2 −1dσ ，其中 D = {(x, y) 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1}.
无界，排除(D). 故应选(C). （12）设 A,B,C 均为 n 阶矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 B=E+AB,C=A+CA，则 B-C 为
(A) E. 【答】 [ A ]
（B）-E.
（C）A.
(D) -A
【详解】 由 B=E+AB,C=A+CA，知
(E-A)B=E, C(E-A)=A,
可见，E-A 与 B 互为逆矩阵，于是有 B(E-A)=E. 从而有 (B-C)(E-A)=E-A, 而 E-A 可逆，故 B-C=E.
5
三 、解答题
（15）（本题满分 8 分）
求
1+ x
lim( x→0 1
−
e
−
x
−
1 ). x
【详解】
lxi→m0 (11−+ex− x
−
1) x
= lim x→0
x + x2 −1+ e−x x(1 − e−x )
x + x2 −1+ e−x
1+ 2x − e−x
= lim
= lim
x→0
x2
x→0
D
D1
D2
π
∫ ∫ ∫∫ ∫∫ = − 2 dθ 1 (r 2 −1)rdr + (x2 + y 2 −1)dxdy − (x2 + y 2 −1)dxdy
0
0
D
D1
∫ ∫ ∫ ∫ π
=+
1
dx
1(x2
+
y2
−1)dy −
π
2 dθ
1(r 2 −1)rdr = π − 1 .
80 0
0
0
43
（18）（本题满分 9 分）
知可能极值点为 x=1,x=2，且 f (1) = 5 − a, f (2) = 4 − a ，
可见当 a=4 时，函数 f(x) 恰好有两个零点，故应选(B).
2
∫∫ ∫∫ ∫∫ （8）设 I1 = cos x2 + y 2 dσ , I 2 = cos(x2 + y 2 )dσ , I3 = cos(x2 + y 2 )2dσ ,
∂ 2 g = 2 y f ′( y ) + y 2 f ′′( x ) + 1 f ′′( x ) ， ∂x 2 x3 x x 4 y y y
∂g = 1 f ′( y ) + f ( x ) − x f ′( x ) ，
∂y x x
yy y
∂ 2 g = 1 f ′′( y ) − x f ′( x ) + x f ′( x ) + x2 f ′′( x ) ， ∂y 2 x 2 x y 2 y y 2 y y 3 y
2x
= lim 2 + e−x = 3 .
x→0 2
2
（16）（本题满分 8 分）
设 f(u)具有二阶连续导数，且 g(x, y)
=
f (y)+ x
yf ( x ) ，求 x2 y
∂2g ∂x 2
−
y2
∂2g . ∂y 2
【详解】 由已知条件可得
∂g ∂x
=− y x2
f ′( y ) + x
f ′( x ) ， y
2005 年全国硕士研究生入学统一考试
经济数学四试题详解及评析
一、填空题
（1）极限
lim
x→∞
x sin
2x
x2
=
+1
.
【答】 2
【详解】 lim x sin 2x = lim x 2x = 2.
x→∞
x 2 + 1 x→∞ x 2 + 1
（2） 微分方程 xy′ + y = 0 满足初始条件 y(1) = 2 的特解为
149
（6）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 X, 再从1,2,", X 中任取一个数，记为 Y, 则
P{Y = 2} =
.
【答】 13 48
【详解】 P{Y = 2} = P{X = 1}P{Y = 2 X = 1}+ P{X = 2}P{Y = 2 X = 2}
+ P{X = 3}P{Y = 2 X = 3}+ P{X = 4}P{Y = 2 X = 4}
故应选(D).
（10）设 f (x) = x sin x + cos x ,下列命题中正确的是
3
(A) f(0)是极大值， f (π ) 是极小值. 2
（B） f(0)是极小值， f (π ) 是极大值. 2
（C） f(0)是极大值， f (π ) 也是极大值. (D) f(0)是极小值， f (π ) 也是极小值.
= 0，C = ∂2 f
= −2 ，
∂x∂y (0,0)
∂y 2 (0,0)
∆ = B 2 − AC = 4 > 0 ，所以点(0,0) 不是极值点，从而也非最值点.
再考虑其在边界曲线 x 2 + y 2 = 1 上的情形：令拉格朗日函数为 4
F (x, y, λ) = f (x, y) + λ(x2 + y 2 −1) ， 4
2
2
【答】 [ B ]
【详解】 f ′(x) = sin x + x cos x − sin x = x cos x ，
显然 f ′(0) = 0, f ′(π ) = 0 ，又 f ′′(x) = cos x − x sin x ， 2
且 f ′′(0) = 1 > 0, f ′′(π ) = − π < 0 ， 22
+∞
dx
1
收敛，
dx
发散.
1 x(x + 1)
0 x(x + 1)
1 x(x + 1)
0 x(x + 1)
【答】 [D]
∫ 【详解】 +∞ dx = ln x
+∞
= ln 2 ，积分收敛，
1 x(x + 1) x + 1 1
∫1 dx
x
= ln
1
= 0 − (−∞) = +∞ ，积分发散.
0 x(x + 1) x + 1 0
(D) 若 f (x) 在（0，1）内有界，则 f ′(x) 在（0，1）内有界.
【答】 [ C ]
【详解】
设
1
f(x)=
x
,
则
f(x)及
f
′( x)
=
−
1 x2
均在（0，1）内连续，但
f(x)在（0，1）
内无界，排除(A)、(B); 又 f (x) = x 在（0，1）内有界，但 f ′(x) = 1 在（0，1）内 2x
D
D
∫∫ cos(x2 + y 2 )2dσ ，
D
故应选(A).
（9）下列结论中正确的是
∫ ∫ ∫ ∫ (A)
+∞
dx
1
与
dx
+∞
都收敛. （B）
dx
1
与
dx
都发散.
1 x(x + 1) 0 x(x + 1)
1 x(x + 1) 0 x(x + 1)
∫ ∫ ∫ ∫ (C)
+∞
dx
1
发散，
dx
收敛. (D)