电介质物理_徐卓、李盛涛_第二讲(真空中的静电场)[国家精品课程]

E dl 0
4. 将一个单位正电荷沿任一闭合路径移动一周，电场力作功等于零， 静电场是保守场。
电位
电位：
如果选定某一点Q为参考点，则电场中任一点P的电位可表示为：
P E dl
P
Q
参考点电位为： Q E dl 0
Q
Q
对于有限大小的电荷体系，常取无限远处作为参考点，则P点电位为：
P E dl
Q

电位
在实际工程中，选大地作为参考点，故电场中某点电位等于单位 正电荷自该点移至无限远处或接地导体上时电场力所作的功。
位于原点的点电荷q在场点 r 处的电位 位于 r ' 处的点电荷q在场点 r 处的电位
保守性
散度方程
1 E ds dv
0
0
有源场
静电场是保守有源场或无旋有散场
电位
泊松方程和拉普拉斯方程
E
1 E
0
1 2 E
0
得泊松方程：

2
1
0

拉普拉斯 方程
若某处
0
2 0
静电场
其场强为：
' R0 q (r r ) q E (r ) 3 ' 4 0 r r ' 4 0 r r q R0 4 0 R 2
2
几个点电荷的场源在场点
n
处引起的场强为： r
R0 k qk 2 Rk k 1
n
' 1 (r r ) 1 E (r ) qk 3 4 0 k 1 4 0 r r'

s'
（r ' )
R

ds
' 体电荷密度 (r ) ，在场点 r 处的电位 1 （r ' ) ' r dl 4 0 l ' R
电位
电位差叠加原理：
U PQ
Q E dl E dl E dl E dl E dl P Q
• 上式中有：
n21 n12
• 对国际制SI：
K 1 4 0
f 1 f 2
9 10 9 N . m 2 C 2
0
1 8.85 10 12 F m 4K
• 根据库仑作用力可用迭加原理求得：
多个点电荷q1,q2……qk作用在点电荷q上库仑作用力为：
Q P p p Q
等位面：由电位相同的点构成的曲面
r C
等位面与电场线处处正交，等位面密集处，场强就强。
电位
场强的环路积分及微分形式：
将Stocks定理
（ F） ds F dl
s
应用于静电场 （ E） ds E dl 0
r
r


q 4 0 r
' r 位于 k 处的几个点电荷 q（ k k =1… n） 1 r 在场点 r 处的电位 4 0
q q 4 0 R 4 0 r r '

百度文库k 1
n
qk ' 4 R r rk 0 k 1 k 1
s
E 0
静电场是无旋场
i j k x y z
电位
电位梯度与电场强度的关系：
d E dl
d 2 1 (1 2 ) E dl E dl
2 1
设
dl dxi dyj dzk
n
qk
电位
' 体电荷密度 (r ) ，在场点 r 处的电位


' ' 1 （r )dr 1 r ' ' r 4 0 r 4 0 r
' 体电荷密度 (r ) ，在场点 r 处的电位
' （r ) ' ' R dr r


r
1 4 0
S V
V为闭合曲面包围的体积，这就是散度定理。
应用于静电场
1 E
0
在直角坐标系中
E x E y E Z E x y z 0
静电场是一个有源场
电位
真空中静电场的基本方程
旋度方程
E dl 0
E 0
E
F
qn r 2 n 4 0 n1 rn 1
K
静电场
• 什么是静电场？
1. 对观察者来说是静止的；
2. 电量不随时间变化的电荷引起的电场。
• 电场强度定义为：
F (r ) E (r ) lim qt qt 0
试验电荷，电量很小
• 物理意义：电场中某点单位正电荷所受的力
E 线分布的疏密表示电场的强弱。
E 线来描述电场强度的分布，曲线上每一点切线方向就是该点电场方向，
电场分布（例）
电位
电势差——电场强度的线积分：
1. P点到Q点的电位差为：将试验电荷qt沿某一路线从P
点移到Q点电场力所作的功Wpq与qt比值
WPQ qt
E dl
P
Q
E ( x y z ) grad ( x y z ) (r )
任一点电场强度等于该点电位梯度的负值，
即电场强度在数值上等于电位随距离变化的 最大减少率，其方向沿电位最大减少率的方向。
电位
真空中的高斯定理（Gauss定理）及微分形式：
Gauss定理： 点电荷
静电场
对于连续分布的电荷，其电荷元dq： I. 体分布
dq dv '
E
II.
面分布
dq ds '
dq dl '
III. 线分布
R0 dv ' 1 4 0 R 2 ' R0 ds 1 E 4 0 R 2 ' R0 dl 1 E 4 0 R 2
U PQ
E dl
P
Q
2. 静电场中两点间的电位差等于从一点到另一点移动单位 正电荷电场力所作的功
电位
3. 在点电荷q形成的电场中，P 、Q两点电位差
U PQ
1 1 ( ) 4 0 RP RQ
Q点与点电荷的距离
q
P点与点电荷的距离
Upq只与始末位置有关，与积分路径无关
1 e E ds q
0
积分形式：
点电荷系
1 e E ds q k
0
连续分布体电荷
1 e E ds dv
0
高斯定理给出了电场与场源的关系，电场线从正电荷出发，终止于负电荷。
电位
微分形式： 散度公式
F dS F dV
E (r ) E x (r )i E y (r ) j E z (r )k
d ( E x dx E y dy E z dz)
另一方面： d

dx dy dz x y z
电位
比较后：
E ( x y z ) ( dx dy dz) grad ( x y z ) (r ) x y z
电位
以上是两个标量方程，在边界条件确定后，可以求解，容易求解。
在直角坐标系中
2 2 2 2 2 2 x y z
2
在球坐标系中
1 2 1 1 2 2 (r ) 2 (sin ) 2 r r r r sin r sin 2
2
静电场
• 点电荷在真空中距它处的场强，取q位于坐标原点 qr q 1 E (r ) r 2 2 0 4 0 r 4 0 r
为 r 方向的单位矢量
其中
R R (x x' )2 ( y y ' )2 (z z ' )2
其单位矢量
R R0 R
静电场中的电介质
真空中的静电场
库仑力
• 库仑定律：两个点电荷之间力为：
f 1 q1q2 n21 2 4 0 r 1
1
n21是由 q2指向q1沿 r 方向的单位矢量
f 2 q1q 2 n12 2 4 0 r
n12是由 q1指向q2沿 r 方向的单位矢量
库仑力