山东大学 量子力学考研辅导(5)
1995年山东大学考研高量真题
山东大学1995级硕士研究生 《高等量子力学》试题1996年1月14日1)全试题共五大题,每题20分,满分100分; 考试时间3小时,试题与答卷一起上交。
● 一、处于外电场中的带电谐振子,其哈米顿算符为:,212222x e x m mPH εω-+=其中x e H iS ε-= 是薛定鄂绘景中的相互作用哈米顿。
(1)求出相互作用绘景中相互作用哈米顿量的表示; (2)在相互作用绘景时间演变算符满足的方程为: ),()(),(o I Ii o I t t U t H t t U dtd i =,设初条件为0)0,0(=I U , 计算出相互作用会景中的时间演变算符. ●二、设βα,分别表示自旋为21的粒子在z 轴上投影分别为 21±的波函数。
（1） 求证 角动量算符z J J ,2的共同本征态是mj mj m j m j j m j -+-+=βα)!()!()!2(,，已知)(2)(2βααβαββα∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=i J J y x 只需证明满足关系1)1()1(±±-+=±jm m m j j jm J 。
（2）设z '与z 轴成θ角，角动量本征态jm 在z 轴上投影为 m ，求jm 在z '轴上投影也为 m 的几率。
●三、量子散射是在一定边界条件下求解含时薛定薛定鄂方程)()(t H t ti φφ=∂∂ ，式中μ2,200PH H H H i =+=。
方程的解也可以用格林函数表示。
格林函数满足方程是)()(][00t t t t G H ti '-='--∂∂δ。
在坐标表象给出这个方程的形式，并求出格林函数。
●四、考虑全同玻色子系统（设自旋为0），N 个玻色子系统的基态用>0|φ表示。
取单粒子完备系波函数为xK i eVx⋅=1)(ψ,由此可以构造出场算符。
定义坐标空间粒子的密度算符为)(ˆ)(ˆ)(x x xψψρ+= （1） 求)(xρ在基态上的平均值，（2）在x 处找到粒子，同时在x'处也找到粒子的几率为二粒子关联函数，其表示式为>''<++00|)()()()(|φψψψψφx x x x，计算二粒子关联函数。
量子力学课后习题答案
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
山东省考研物理复习资料量子力学核心内容梳理
山东省考研物理复习资料量子力学核心内容梳理量子力学是现代物理学的重要分支，是解释微观世界中粒子行为的理论框架。
随着科技的进步和人们对微观领域的研究不断深入，量子力学的应用越来越广泛。
山东省考研物理复习中，量子力学是一个重要的考点，本文将对量子力学的核心内容进行梳理。
一、波粒二象性量子力学最早引入的一个概念就是波粒二象性。
在经典物理学中，光被认为是一种波动现象，而粒子如电子、质子等则被认为是粒子现象。
然而在量子力学中，粒子也可以表现出波动性质。
著名的双缝干涉实验就是一个例子，实验证明了光和电子都具有波粒二象性。
二、波函数与波函数的统计解释在量子力学中，以波函数描述粒子的状态。
波函数是描述粒子在时间和空间内可能出现的位置和状态的数学函数。
波函数的统计解释则是对波函数的概率解释。
根据量子力学的基本原理，波函数的平方和表示了粒子存在于各个位置的概率。
三、不确定性原理不确定性原理是量子力学的重要原理之一，由海森堡提出。
它指出，在量子力学中，无法同时精确知道粒子的位置和动量。
精确测量一个物理量，就意味着会失去另一个物理量的精确性。
这个原理的提出打破了经典物理学中绝对观测不确定性的概念。
四、量子力学中的运动方程与不连续性经典力学中的运动方程是牛顿第二定律，描述了物体受力产生的加速度。
而在量子力学中，运动方程则由薛定谔方程描述。
薛定谔方程包含了波函数的演化。
与经典力学不同的是，在量子力学中，粒子的运动是不连续的，存在跃迁和跃迁概率的概念。
五、量子力学中的量子态和量子态间的演化量子力学中的量子态是描述系统状态的数学对象。
量子态可以是纯态也可以是混合态。
纯态是指系统处于一个确定的态，而混合态则是多个纯态的叠加。
在量子力学中，量子态的演化由薛定谔方程描述，时间演化可由幺正算符表示。
六、量子力学中的测量与量子测量的理论基础量子测量是量子力学的一个重要概念，与波函数的统计解释相关。
在量子力学中，测量的结果不是确定的，而是以某一概率出现。
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n(r), n1,2,
包含时间在内的定态波函数为
n(r,t)eiE nt n(r)
5
含时Schrödinger方程 的一般解为
(r, t) CneiEnt n (r) n1
即 一般解可以写为定态解的叠加。
其中 C n 为任意常数。如果已知初条件
(r,t0) (r) 则常数 Cn 不再是任意的，它由(r) 唯一地确定：
8
6. 在δ函数势场 V(x)A (xa)中，定态波函数
(x) 在xa点连续，但'(x)在xa点不连续：
(a)(a)2 2A(a)
7. 波函数为( x)的一维运动粒子的动量几率分布
函数为
2
几率流W 密(p度) 为(p)2(21 )12 eip x (x)dx
j 2i*(x)ddx(x)(x)ddx*(x)
a 2a 0
n1,3,5, n2,4,6,
| x|a | x|a
V (x)
I II III I
a 1(x) 0 a
x
5. 势能为V(x) 2x2/2的一维谐振子定态能量和波
函数为 Enn1 2, n0,1,2,
n(x )N n e 2x22H n( x ),N n 12 2 nn !
n(x)具有确定的宇称 (1) n 。
2 (x) Bex , x a
(4)
注意：同一个束缚态波函数的不同部分由不同
区域分别求解并通过边界条件联系起来
由连续条件 1(a) 2(a)与 '1 (a) '2 (a)得
16
Asin ka Bea
(5)
Ak cos ka Bea (6) 以上两式相比得
k c tan ka
(7)
山东大学量子力学 第五章 微扰理论
(0) n
H kn ( 0) ( 0) k ( 0) k n En - Ek
(14)
(13)、(14)式成立的条件（逐步近似法适用的条件）为
| ck | 1,
即
( 0) ( 0) || En | Hkn - Ek |
(15)
(0) 如果紧靠着 En 存在别的 Ek(0) ，即使 H H 0 ，
-
n 2
1 ( 0) n -1 ( 0) (0) E n - E n -1
n1 2
-
e
n 2
1 (0) n -1
1
3
n1 2
1 (0) n1 -
(0) - n n -1
e
2
n 1
(0) n1
微扰论也不适用。
例
带电量为e的一维谐振子，受到恒定弱电场 的微 扰 H -ex 作用 试用微扰论求能级的变化，并与精确解比较。
将 Hamilton 量分成H0 + H’ 两部分，在弱电 场下，上式最后一项很小，可看成微扰。 （1）电谐振子Hamilton 量
2 2 d ˆ H 2 2 dx 1 2
n 1,2,Lk L
(3)
(6)
( 0) ( 0) ˆ ) ( 0) c ( E ( 0) H ˆ ) ( 0) E ( 0) E ( En H c k k n k n n n k k k n k n
用 n
(0)*
左乘（6）式并积分就得到
(0) c k H nk En H nn En k n
ˆ H ˆ ) E (H 0 n n n
(4)
ˆ H ˆ )( ( 0) C ( 0) ) E ( ( 0) c ( 0) ) (H k k k k 0 n n n
山东大学2021-2022学年第一学期《量子力学》(B)卷参考解答及评分标准
山东大学2021-2022学年第一学期《量子力学》（B）卷参考解答及评分标准一、简答题1.束缚态、非束缚态及相应能级的特点。
答：束缚态：粒子在一定范围内运动，时，。
能级分立。
非束缚态：粒子的运动范围没有限制，时，不趋于0。
能级连续分布。
2. 一质量为的粒子在一维无限深方势阱中运动，写出其状态波函数和能级表达式。
解：3.写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。
解：。
4.电子自旋假设的两个要点。
解：（1）电子具有自旋角动量，它在空间任意方向的投影只有两个取值：；（2）电子具有自旋磁矩，它的回转磁比值为轨道回转磁比值的2倍，即自旋回转磁比值，轨道回转磁比值。
二、填充题5.用球坐标表示，粒子波函数表为，则粒子在立体角中被测到的几率为6.的共同本征函数是球谐函数，相应的本征值分别是和。
7.8. 完全描述电子运动的旋量波函数为，则表示电子自旋向上（）、位置在处的几率密度；表示电子自旋向下（）的几率。
三、证明题9.一维运动中，哈密顿量，证明：，。
证：，。
10.在直角坐标系中，证明：，其中为角动量算符，为动量算符。
证：；同理，，所以四、计算题11.设粒子处于一维无限深势阱中，求处于定态中的粒子位置x的平均值。
解：，。
12.一质量为的粒子在一维势箱中运动，其量子态为①该量子态是否为能量算符的本征态？②对该系统进行能量测量，其可能的结果及其所对应的概率为何？③处于该量子态粒子能量的平均值为多少？解：①在此一维势箱中运动的粒子，其波函数和能量表达式为对波函数的分析可知即粒子处在和的叠加态，该量子态不是能量算符的本征态。
②由于是能量本征态和的线性组合，而且是归一化的，因此能量测量的可能值为其出现的概率分别为③能量测量的平均值为13.一维无限深势阱中的粒子，受到微扰的作用，求基态能量的一级修正。
0 解：一维无限深势阱的能量本征值及本征函数为基态，。
作变换：；。
代入上式完成积分：，。
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13
7.7 两个质量为 的粒子处于边长为 a b c 的
立方体盒中,粒子间的相互作用势 V A(r1 r2 )
可视为微扰。在下列条件下，用一级微扰方 法计算体系的最低能量； (1)粒子非全同；
(2)零自旋的全同粒子；
(3)自旋为 ½ 的全同粒子，并处于总自旋 S 1
n1 , n2 , n3 1,2,3,
两个粒子都处于基态 111 态，其能级和波函数 可以表示为
E (0)
2 2 1 1 1 2 2 2 a b c
15
(0)
111(r1 ) 111(r2 )
x1 y1 z1 x2 y2 z2 8 sin sin sin sin sin sin (in ) abc a b c a b c (out ) 0
1 由自旋 ms 引起二重简并 2 3 能量是 容纳 2 个粒子。 2
11
2）第一激发态 | 100 , | 010 , | 001 1 由自旋 ms 引起六重简并 2 5 能量是 2 容纳 6 个粒子。
3）第二激发态
| 110 , | 011 , | 101 , | 200 , | 020 , | 002 1 由自旋 ms 引起十二重简并 2 7 能量是 2 容纳 12 个粒子。 2+6+12=20 个粒子。
1 II [ 1 ( x1 ) 2 ( x2 ) 1 ( x2 ) 2 ( x1 )] | 00 2
7
对应的能量为
A ˆ 2 3 2 5 2 2 3 2 EII E1 E2 S A 2 2 2 2a 4
简并度为
f 1
K829量子力学2020年山东大学
量子力学考试大纲一、考试性质《量子力学》是物理学专业的一门必修课。
量子力学是描写微观粒子运动的理论。
要求学生能够掌握量子力学的基本原理和处理问题的一些重要方法，培养学生运用这些方法解决具体问题的能力，帮助学生建立一种‘全新’的、与经典物理不同的科学观念，为他们进一步深入学习近现代物理和了解当今科学研究的前沿工作奠定基础。
《量子力学》考试要力求反映物理类硕士专业的特点，科学、公平、准确、规范地测评考生的基本素质和综合能力，以利用选拔具有发展潜力的优秀人才入学，为国家的经济建设培养高层次物理类专业人才。
二、考试要求测试考生对于量子力学的基本概念、基础知识的掌握情况和运用能力。
三、考试内容第一章波函数和薛定谔方程1.波函数的统计解释2.自由粒子平面波3.薛定谔方程第二章一维定态问题1.一维束缚定态的性质2.一维方势阱3.一维谐振子4.δ函数势第三章力学量算符1.算符2.力学量与线性厄米算符3.力学量的测量值4.不确定关系5.力学量平均值随时间的变化6.薛定谔绘景与海森堡绘景第四章表象1．坐标表象与动量表象2．本征值是分立的力学量表象3．表象变换4．狄拉克符号第五章三维定态问题1.简单的三维定态问题2.中心力场中粒子运动的一般性质3. 无限深球方势阱4. 氢原子5. 带点粒子在外电磁场中的薛定谔方程，恒定均匀场中带电粒子运动第六章自旋与全同粒子1．自旋与泡里矩阵2. 角动量耦合3.原子光谱的精细结构、塞曼效应4.全同粒子体系、全同性原理5. 粒子占有数表象第七章量子力学中的近似方法1. 定态非简并微扰方法2. 定态简并微扰方法3. 变分法4. 含时微扰方法5. 量子跃迁四、考试方式与分值本科目满分150分，由各培养单位自行命题，全国统一考试。
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﹟
10
二、例题 3.1 在 p 表象求解 势阱 V ( x) ( x) 中的束缚态 能量和波函数( 0 )。 提示：基本思路同在坐标表象，就是换了个表象 不过对δ势采用动量表象好一些。 解：利用在动量表象中的定态方程
将它们依次排列起来得到
S11 S 21 S S 31 : S12 S 22 S32 : S13 S 23 S33 :
注意：陈书中变换矩阵S的定义与教材中略有不同 从而导致了波函数和算符的变换公式不同
7
在教材中，原表象基矢用 | k 表示 新表象基矢用 | 表示 则从原表象到新表象的变换矩阵元可表示为
应该学会把S方程直接从坐标表象变换到动量表象:
2
以一维运动为例，坐标表象中的S. Eq为
p2 i | ( x, t ) V ( x ) | ( x, t ) t 2
方程两边取动量表象，上式成为
p2 i p | ( x, t ) p | V ( x ) | ( x, t ) t 2 2 p dp' p | | p' p' | ( x, t ) dp' p | V ( x) | p' p' | ( x, t ) 2
3/ 2
代入波函数的形式解内，并将其归一化，有
1 p 2 2 2 / 2
不如坐标表象中的解简单 ( x) 1 /
Le | x|/ L
﹟
12
3.2 已知在 势阱 V ( x) ( x) 中的定态归一化波 函数( p表象 )为 A ( p) 2 p 2k 2
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这个能级不止有此一个状态，下述也是。
则要求位置空间波函数是交换反对称的。 此时只有一种情况，即俩个粒子分别在n=1, n=2态，波函数为
5
| 11 1 ' II [ 1 ( x1 ) 2 ( x2 ) 1 ( x2 ) 2 ( x1 )] | 10 2 | 1 1
但由于微扰算符中的δ 函数只对空间部分 起作用，自旋波函数又是相互正交的，故微扰 矩阵的非对角元都是零：
18
ˆ ' | m' ms | H s (r1 , r2 ) (r1 r2 ) (r1 , r2 ) d 1 d 2 1ms | 1m's
~ ms m ' s
可以用非简并微扰来处理能量的一级修正
ˆ ' ( 0) d d E (1) ( 0) H 1 2 ( 0) (0) A (r1 r2 ) d 1 d 2 * * A * * [ 111(r1 ) 211(r2 ) 111(r2 ) 211(r1 )] (r1 r2 ) 2 [ 111(r1 ) 211(r2 ) 111(r2 ) 211(r1 )] d 1 d 2 0
2
能级简并度为
f 1
3
（2） 当s=1/2时，费米子，全波函数交换反对称
1）当自旋波函数反对称时， | 00
则要求位置空间波函数是交换对称的。 由于无外磁场，自旋对能量无贡献。因而要考 虑最低的能量，无非两种情况 ①两个粒子都在n=1态 2 2 EI 2 E1 能量为： a 2 波函数为： I 1 ( x1 ) 1 ( x2 ) | 00 这个能级简并度为：
﹟
9
7.4 设绝对零度时，在三维各向同性谐振子势
1 2 2 V (r ) r 2 中有20个自旋为 S 1 / 2 的质量为 的全同粒子
组成的体系。忽略粒子之间的相互作用，已知 这20个粒子的平均能量为3 eV。 (1)如果同样温度下该势场中有12个这样的粒子 组成的体系，其平均能量是多少？ (2)如果同样温度下该势场中有12个自旋为 S 0 的质量仍为 的全同粒子组成的体系，其平均 能量是多少？
2
1）两个粒子都在n=1态时 对应的对称波函数为 能级简并度
2 2 EI 2 E1 a 2
I 1 ( x1 ) 1 ( x2 )
f 1
2）一个粒子在n=1态，一个粒子在n=2态时 5 2 2 EII E1 E2 2a 2 对应的对称波函数为 1 II [ 1 ( x1 ) 2 ( x2 ) 1 ( x1 ) 2 ( x2 )]
此能级是非简并的，一级修正可由非简并微扰论给出 ( 0) (1) *(0 ) ˆ (0) *(0 ) E H ' d 1 d 2 A (r1 r2 ) d 1 d 2
sin(4 x) 8sin(2 x) 12 x sin x d x 8 故一级近似能量为 2 2 1 1 1 27 A ( 0) (1) E E E 2 2 2 a b c 8abc 16
7.3
中有两 个自旋S 0的全同粒子，粒子间不存在相互 作用，写出体系最低两个能级，指出简并度， 并写出相应的波函数； (2)同(1)，但粒子具有自旋S 1 / 2 ； (3)同(2)，但粒子间存在同自旋有关的相互作用 ˆ S ˆ ( A 0) 。 势 V AS 1 2
这类题要注意： （1）是否全同粒子体系？ （2）何种全同粒子体系、 （3）波函数分成自旋对能量有贡献？贡献多少？
f 1
4
②一个粒子在n=1态，一个粒子在n=2态 5 2 2 能量为： EII E1 E2 2a 2 波函数为：
1 II [ 1 ( x1 ) 2 ( x2 ) 1 ( x2 ) 2 ( x1 )] | 00 2
| 11 2）当自旋波函数对称时， | 10 | 1 1
4
8 A abc 27 A 8abc
2
a
0
sin
4
x1
a
d x1 sin
0
b
4
y1
b
d y1 sin
0
c
4
z1
c
d z1
/
（2）对零自旋的全同粒子，自旋对能级和波函数 都没有贡献。只是要求波函数对交换两个粒子的 位置满足交换对称性要求。 实际上，上述零级波函数是满足这个要求的。 故结论没有变化。 （3）当体系由两个自旋为1/2的粒子组成时，要求 波函数满足交换反对称。 但粒子处在总自旋s=1的自旋三重态，自旋波函 数是交换对称的，故要求位置空间的波函数是交换 反对称的。 问题：两个粒子能否处于同一个单粒子态上？ 回答：显然不行，这样没法构成反对称位置空间 波函数 故当体系处于最低能量态时位置空间波函数可写为 17
E ( 0)
2 2 1 1 1 2 2 4 1 1 2 2 2 2 2 2 2 a b c 2 a b c
2 2 5 2 2 2 2 2 2 a b c 此能级是三重简并的，一般用简并微扰来处理。
1 由自旋 ms 引起二重简并 2 3 能量是 容纳 2 个粒子。 2
11
2）第一激发态 | 100 , | 010 , | 001 1 由自旋 ms 引起六重简并 2 5 能量是 2 容纳 6 个粒子。
3）第二激发态
| 110 , | 011 , | 101 , | 200 , | 020 , | 002 1 由自旋 ms 引起十二重简并 2 7 能量是 2 容纳 12 个粒子。 2+6+12=20 个粒子。
﹟
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7.7 两个质量为 的粒子处于边长为 a b c 的
立方体盒中,粒子间的相互作用势 V A(r1 r2 )
可视为微扰。在下列条件下，用一级微扰方 法计算体系的最低能量； (1)粒子非全同；
(2)零自旋的全同粒子；
(3)自旋为 ½ 的全同粒子，并处于总自旋 S 1
12
上述20个粒子的平均能量是
2 E1 6 E2 12 E3 E 3 3 eV 20 从而算得 1 eV
对于12个这样的粒子组成的体系，其平均能量为
2 E1 6 E2 4 E3 8 8 E eV 12 3 3 (2)对于绝对零度下的12个玻色子，由于它们不受 不相容原理的限制，可以同时处在基态,平均能量 就是基态能量 3 3 E eV 2 2
1
0, (1)在一维无限深势阱V ( x) ,
0 xa x 0, x a
解：先写出单粒子态能量与波函数
2 n x n sin 0 xa En , ( x ) a n a 2 2a x 0, x a 0
2 2 2
（1） 当s=0时，玻色子，全波函数交换对称. 故只需看位置空间的波函数对称性即可。 此时要求位置空间波函数是交换对称的。 由于无外磁场，自旋对能量无贡献。因而要考 虑最低的能量，无非两种情况 1）两个粒子都在n=1态 2）一个粒子在n=1态，一个粒子在n=2态
的态上。 分析：首先可以发现，自旋对能量没有贡献。 但当考虑非零自旋时，自旋对波函数有贡献。
14
解：（1）对非全同粒子，不考虑自旋体系，立方 势阱的单粒子能级与波函数可以写为
8 n3z n1x n2y (in ) n1n2n3 (r ) abc sin a sin b sin c (out ) 0 2 2 n3 2 2 n12 n2 En1n2 n3 2 2 2 2 a b c
1 II [ 1 ( x1 ) 2 ( x2 ) 1 ( x2 ) 2 ( x1 )] | 00 2
7
对应的能量为
A ˆ 2 3 2 5 2 2 3 2 EII E1 E2 S A 2 2 2 2a 4
简并度为
f 1
1 (r1 , r2 ) [ 111(r1 ) 211(r2 ) 111(r2 ) 211(r1 )] 2 而考虑自旋后，体系的波函数可写为 ( 0) (r1 , r2 , s1z , s2 z ) (r1 , r2 ) 1ms (s1z , s2 z ), ms 0,1
8
此时能量为
A ˆ 2 3 2 5 2 2 1 2 E 'II E1 E2 S A 2 2 2 2a 4
简并度为 但显然
f 3
5 2 2 3 2 E 'II EII A 2 2a 4
故 EII 是另一较低能级，非简并。 总之，当两个粒子有相互作用时，两个最低 能级都是非简并的，所对应的自旋态是| 00
n1 , n2 , n3 1,2,3,
两个粒子都处于基态 111 态，其能级和波函数 可以表示为
E (0)
2 2 1 1 1 2 2 2 a b c
15
(0)
111(r1 ) 111(r2 )
x1 y1 z1 x2 y2 z2 8 sin sin sin sin sin sin (in ) abc a b c a b c (out ) 0
6
1)对两个s=1/2的全同费米子，当自旋波函数 取反对称态 | 00 时， S 0 ,位置空间部分取对 称态，此时有两种情况 ①两个粒子都在n=1态，则波函数为 I 1 ( x1 ) 1 ( x2 ) | 00 对应的能量为 A ˆ 2 3 2 2 2 3 2 EI 2E1 S A 2 2 2 a 4 f 1 简并度为 ②两个粒子分别在n=1和n=2态，则波函数为