初中平方根知识讲解
七年级上册平方根的知识点
七年级上册平方根的知识点介绍
平方根是数学中经常使用的一种运算方法，对于我们学习数学也有重要的意义。
本文将为大家详细介绍七年级上册平方根的知识点。
一、平方根的定义
平方根是指一个数的平方等于另一个数，那么这个数就是这个数的平方根。
比如，3的平方根是√3，因为3的平方是9，√3也就是3的一个正平方根。
二、平方根的性质
1. 正数的平方根是一个正数，而负数则没有平方根。
2. 一个正数的平方根可以有两个解，即正根和负根。
例如，4的平方根可以是正的2或负的-2。
3. 如果是一个实数的平方根，则必须要求这个实数大于或等于0。
三、平方根的运算
1. 运用乘方的方法来计算平方根。
比如，在计算4的平方根时，可以表示为4^(1/2)，结果为2。
2. 可以运用除法法来计算平方根。
例如，√2可以化成2/√2，结果为√2。
3. 可以间接求解平方根，通过乘积进行计算。
比如，求解12
的平方根，在1-12中找到两个数相乘可以得到12的最小数，可以得到2×6或3×4，因此12的平方根为2√3或2×2。
四、应用实例
1. 用平方根来计算三角形的面积，就可以先求出三角形周长，
然后运用海伦公式来求得三角形面积。
2. 平方根也常常被用来计算人口增长率、股票的涨跌幅度等。
结语
以上便是七年级上册平方根的知识点介绍，本文尽可能详尽地介绍了平方根的定义、性质、运算以及应用实例等方面。
希望这篇文章能够帮助各位同学更好地掌握平方根的概念和使用方法。
(完整版)八年级下册数学--二次根式知识点整理
二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。
如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。
如25 可以写作 5 。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。
练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。
二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。
（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。
初中数学易考知识点平方根的计算方法
初中数学易考知识点平方根的计算方法初中数学易考知识点：平方根的计算方法平方根是数学中的常见概念，它在初中数学中也是一个非常重要的知识点。
在学习平方根的计算方法之前，我们首先需要了解平方根的定义。
一、平方根的定义平方根是指一个数的平方等于另一个数的运算。
设a为一个非负实数，若存在一个非负实数x，使得x²=a，则称x为a的平方根。
二、开方运算开方运算是平方根的一种常见运算方式，用符号√表示。
1. 正数的正平方根对于一个正数a，它的正平方根可以通过以下方式计算：- 如果a是一个完全平方数，则√a = a的平方根。
- 如果a不是一个完全平方数，则可以使用近似方法或手算方法计算。
近似方法是通过查表法，找到离a最近的平方数的平方根作为近似值。
2. 零的平方根对于0这个特殊的数，在实数范围内，它的平方根为0。
即√0 = 0。
3. 负数的平方根对于负数a，它的平方根在实数范围内是不存在的。
因为无论取任何非负数的平方根，都不能使平方的结果等于一个负数。
因此，负数的平方根通常用虚数单位i来表示。
三、平方根的计算方法1. 试除法试除法是一种常见且简便的计算平方根的方法。
具体步骤如下：(1) 首先，将待开方的数进行分解，每两个数字一组，由右至左，不足两位的补零。
(2) 找出一个最大的整数d，使得d乘以自己不超过当前的两位数，将d作为商的整数部分。
(3) 将上一步得到的商与商下边的数字相连，作为新的被除数。
(4) 在商下边的数字后面添加一个未用数字作为新的被除数。
(5) 将上一步得到的商与新的被除数相连，作为新的除数。
2. 短除法短除法是试除法的简化版，适用于只有两位数的平方根计算。
具体步骤如下：(1) 将待开方的数分为若干个组，每组两个数字，由右至左依次编号。
(2) 从左向右地找出各组的平方根的个位数，并将它们按顺序排列在一起，即得到平方根的个位数。
(3) 判断待开方数能否再分一组，如果可以，则继续进行下一组的计算。
七年级下数学根号知识点
七年级下数学根号知识点数学中，根号是常见的符号之一。
它的使用非常广泛，包括平方根、立方根、三次方根等等。
在初中数学中，同学们要学会如何使用根号，掌握根号的基本概念和计算方法。
本文将为大家详细介绍七年级下数学根号知识点。
一、根号的定义在初中数学中，根号通常表示“平方根”。
一个数的平方根就是另一个数的平方。
例如，数值为9的平方根是3，因为3×3=9。
数值为25的平方根是5，因为5×5=25。
数值为x的平方根可以用符号√x表示。
二、根号的基本性质根号有许多基本性质。
以下是几个常见的根号的性质：1.对于任何非负实数x和y，有√（xy）=√x × √y。
2.对于任何非负实数x和y，有√（x/y）=√x / √y。
3.对于任何非负实数x和y，有√x ± √y ≠ √（x±y）。
4.对于任何非负实数x，有√x²=x。
这些基本性质可以帮助同学们更好地理解根号运算的规律。
三、根号的计算方法1.整数的平方根对于整数的平方根，如果是完全平方数，则很容易求得它的平方根。
例如，数值为16的平方根是4，因为4×4=16。
如果一个数不是完全平方数，则需使用纵横相乘法求取它的近似值。
例如，如果要求数值为17的平方根，可以使用如下方法：- 以一个合适的整数P为基准值，如P = 4；- 将17与P的平方做差，得到3；- 求出（4+17÷4）÷2=4.25；- 将4.25的平方做差，得到0.0625；- 重复步骤3和4，得到更精确的根号近似值。
2.分式的根号对于类似√（a/b）这样的分式，可以采用以下方法化简：- 化简分子和分母；- 将原来存在于分式内的根号分别移到分母和分子；- 继续用已知的根号性质来化简。
例如，化简√（8/50）可以按照以下步骤进行：- 8的质因数分解为2×2×2，50的质因数分解为2×5×5；- 将2的因子分别移到分母和分子，得到√（2/25）；- 将根号移至分母，得到2/√25=2/5。
初中数学平方根知识点归纳
初中数学平方根知识点归纳数学中的平方根是许多初中生在学习中常常接触到的知识点之一。
平方根可以说是代表着数学中的一种特殊运算，它可以帮助我们解决一些平方数的性质和问题。
在本文中，我将为您归纳总结初中数学中与平方根相关的知识点。
首先，让我们明确平方根的概念。
平方根是指一个数的平方等于另一个数的时候，这个数就是另一个数的平方根。
以数学符号表示，如果a²=b，那么a为b的平方根。
例如，4的平方根是2，因为2²=4。
接下来，我们可以讨论一下平方数和非平方数。
平方数是指等于一个数的平方的数字，而非平方数则是指不是平方数的数字。
以平方根的概念来理解，平方数的平方根一定是一个整数，而非平方数的平方根则是一个无理数，即无法用两个整数比值来表示的数。
在初中数学中，我们还需要了解一些关于求平方根的基本方法。
最常见的方法是通过计算器求平方根。
大多数科学计算器都有求平方根的功能，只需要按下相应的按钮，即可得到平方根的近似值。
另外一种方法是通过各种数值逼近方法来计算平方根，例如牛顿迭代法和二分法。
这些方法是更加高级的方法，初中阶段一般不需要深入学习。
了解了基本方法后，我们可以进一步探讨平方根在代数中的运算规则。
首先是平方根的乘法和除法规则。
如果a和b都是正数，那么(a√b)的平方等于a²乘以b。
例如，2√3的平方等于2²乘以3，即12。
另外，a√b除以a等于√b。
例如，4√7除以4等于√7。
这些规则可以帮助我们简化平方根的运算。
在初中数学中，我们还会遇到一些关于平方根的应用问题。
例如，通过求平方根可以帮助我们计算一些几何图形的边长。
以正方形为例，如果已知正方形的面积，我们可以通过求平方根来计算出正方形的边长。
同样地，在解决勾股定理的应用问题时，平方根也是一个重要的工具。
勾股定理告诉我们，一个直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
当我们已知两个直角边的长度时，可以通过求平方根来计算出斜边的长度。
八年级上册平方根知识点
八年级上册平方根知识点在八年级的数学学习中，平方根是一个非常重要的知识点。
平方根是指一个数的平方等于原数的数值，可以用符号√表示，例如√9=3，√16=4。
在本文中，我将详细介绍八年级上册平方根的相关知识点。
一、平方根的符号及表示方法平方根用符号√来表示，如√9表示9的平方根，读作“根号9”或“9的根号”。
平方根还可以用字母表示，例如a的平方根可以表示为√a。
当a为正整数完全平方数时，√a是有理数，否则是无理数。
例如√4=2，√9=3，但√2是无理数，不是有理数。
二、简化√n的步骤当n是一个正整数时，n的因数中，相同的因子成对出现，例如16的因数为1、2、4、8、16。
而且它们都是成对出现的，其中2与8、4与4配对，所以可以得到以下简化√n的步骤：1.将n进行质因数分解，使因数中每个质数的指数都为2的倍数。
2.把每个根号内部成对的质因数提取出来，得到这个数的基本根式。
例如：√36=√(2²×3²)=√2²×√3²=2√3。
三、平方根的运算法则1.平方根的分配律：对于任意正实数a和b，有√(a×b)=√a×√b。
例如：√20=√(4×5)=√4×√5=2√5。
2.平方根的合并同类项：对于任意正实数a和b，有√a±√b=√(a±b)。
例如：√7+√5=√(7+5)=√12。
3.平方根的乘法公式：对于任意非负实数a和b，有√a×√b=√(ab)。
例如：√7×√5=√(7×5)=√35。
4.平方根的倒数法则：对于任意正实数a，有1/√a=√a/√(a×a)=√a/a。
例如：1/√5=√5/√25=√5/5。
四、平方根的应用平方根除了在数学中的运算中有着广泛的应用外，在我们的日常生活中也经常会遇到。
例如：1.计算三角形的斜边长度。
设三角形两个直角边分别为a和b，则三角形的斜边长度为√(a²+b²)。
初中数学平方根知识点整理
初中数学平方根知识点整理平方根是数学中的一个重要概念，它是指一个数的平方根是另一个数，即被开方的数。
在初中数学中，平方根是一个基础知识点，学生需要掌握平方根的计算方法和相关性质。
下面我们来整理一下初中数学中关于平方根的知识点。
一、平方根的定义1.正数的平方根：如果a的平方等于b，那么b就是a的平方根，记为√b=a。
例如，√9=3，因为3的平方等于92.负数的平方根：负数的平方根可以写成√-a=i√a，其中i是虚数单位。
例如，√-9=3i，因为3i的平方等于-9二、平方根的计算1.简化平方根：将一个数写成两个数的积的形式，其中一个数是能被开方的完全平方数，这样就可以简化平方根的计算。
例如，√75=√25×3=5√32.估算平方根：对于不是完全平方数的数，可以通过估算来计算它的近似值。
例如，√13≈3.6，因为3.6的平方约等于13三、平方根的性质1.非负性：平方根是非负数，即√a≥0。
2.奇函数：平方根函数是奇函数，即√(-a)=-√a。
3. 开平方的性质：如果a≥0，b≥0，则√(ab)=√a×√b。
4.套用公式：如果√a=√b，则a=b；如果√a=-√b，则a=-b。
四、平方根的应用1.平方根定理：平方根定理是一个在初中数学中广泛应用的公式，它是勾股定理的推广，用于解决关于直角三角形的问题。
2.模型问题：平方根在数学建模中有着广泛的应用，例如在物理学中用于求解速度、加速度等问题。
3.几何问题：平方根在几何图形中也有着重要的应用，例如用于求解正方形的对角线长度。
总结：平方根是初中数学中重要的知识点之一，学生要熟练掌握平方根的计算方法和性质，灵活运用平方根解决各种问题。
希望以上整理的知识点能够帮助学生更好地理解和掌握平方根的概念。
七年级数学下册【平方根】知识点
七年级数学下册【平方根】知识点1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根．即：如果x2=a，那么x叫做a的平方根．（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
（3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3（4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算；0的平方根是0.（5）符号：正数a的正的平方根可用表示，也是a的算术平方根；正数a的负的平方根可用-表示．（6）<—>a是x的平方 x的平方是ax是a的平方根 a的平方根是x2、算术平方根（1）算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式(x≥0)中，规定x=。
（2）的结果有两种情况：当a是完全平方数时，是一个有限数；当a不是一个完全平方数时，是一个无限不循环小数。
（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小（5）(x≥0)<—>a是x的平方x的平方是ax是a的算术平方根 a的算术平方根是x（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
初中数学知识点精讲精析 平方根知识讲解
13·1 平方根要点精讲1. 平方根的概念（1）如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根．即：x 2＝a ，x 叫a 的平方根．（2）数a （a ≥0）的平方根记作±a ，读作“正负根号下a ”，其中a 表示a 的正的平方根，－a 表示a 的负的平方根；“a ”实际上省略了2a 中的2，2叫做根指数，a 叫做被开方数．2. 平方根的性质（1）正数有两个平方根，它们互为相反数．（2）0的平方根只有一个，还是0．（3）负数没有平方根．3. 算术平方根一个正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，0的算术平方根还是0．（1）算术平方根的定义表明，只要是非负数就一定有算术平方根．（2）算术平方根是平方根的一种．（3）非负数的算术平方根还是非负数．a (a ≥0)， a ≥0常见的非负数的类型：︱a ︱，a 2，a (a ≥0)注：（1）要加强对平方根和算术平方根概念的理解，进一步明确非负数a 的算术平方根是a ，而平方根是±a ．（2）计算化简时要谨慎细心，如求81的平方根，需先算出81＝9，求81的平方根就是求9的平方根，而不是求81的平方根．（3）真正领会负数没有平方根．典型例题例1.求下列各数的平方根和算术平方根（1）12149（2）0.0081 （3）(－45)2 （4）14解析：（1）平方根是：±117，算术平方根是：117（2）平方根是：±0.09，算术平方根是：0.09（3）平方根是：±45，算术平方根是：45（4）平方根是：±14，算术平方根是：14例2.求下列各式中的x ．（1）9x 2－256＝0（2）4(2x －1)2＝25解析：（1）x 2＝2569，x ＝±163（2）把2x －1作为一个整体，则2x －1＝±52．当2x －1＝52时，x ＝74；当2x －1＝－52时，x ＝－344. ∵（1－2a ）2≥0，b －2≥0，又（1－2a ）2＋b －2＝0，∴（1－2a ）2＝0，b －2＝0，∴1－2a ＝0，b －2＝0，∴a ＝12，b ＝2，∴ab ＝1．例3.如果一个正数的平方根是a ＋3和2a －15，求a 的值和这个正数．分析：由平方根的意义可知a ＋3和2a －15互为相反数，故有a ＋3＋（2a －15）＝0，从而可以解得a ，进而求出这个正数．解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以（a ＋3）＋（2a －15）＝0，解得a ＝4．当a ＝4时，a ＋3＝7，2a －15＝－7．即这个正数的平方根分别是＋7和－7，所以原数为49．评析：解决本题的关键是利用一个正数的平方根是互为相反数的关系得到a 的一元一次方程，解方程求出a 的值，从而求出这个正数．例4.在交通事故的处理中，警察往往用公式v ＝16df 来判断该车辆是否超速，其中v 表示车速（单位：千米/时），d 表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f 表示摩擦系数.某日，在一段限速60千米/时的公路上，发生了一起两车追尾事故，警察赶到后经过测量，得出其中一辆车的d ＝18，f ＝2. 请问：该车超速了吗？分析：运用公式，求出该车的速度，再与60千米/时进行比较，看是否超速便可解决. 解：把d ＝18，f ＝2代入公式v ＝16df 得v ＝1618×2＝16×6＝96（千米/时）.而96＞60，所以该车超速了.评析：平方根和立方根的知识在实际生活中应用非常广泛，因此数的发展与现实需要密不可分.例5.求下列各式中的x 的值．（1）x 2－676＝0；（2）9（3x ＋1）2＝64．分析：这是一道求平方根的题目．（1）x 2－676＝0可化为x 2＝676，x 的值就是676的平方根．（2）可将3x ＋1看作一个整体来解，即（3x ＋1）2＝649，所以3x ＋1是649的平方根，从而可求出x ．解：（1）∵x 2－676＝0，∴x 2＝676．∴x ＝±676＝±26．（2）∵9（3x ＋1）2＝64，∴（3x ＋1）2＝649，∴3x ＋1＝±649＝±83， 当3x ＋1＝83时，x ＝59； 当3x ＋1＝－83时，x ＝－119． 评析：解带有平方的方程时，首先应将方程化为一边是完全平方，另一边是一个非负数的形式，然后两边同时开平方，开方时一定要注意不要漏掉负的平方根，同时根据题目的特点，本题利用了一个重要的数学思想——整体思想．例6.对于题目：“化简并求值：1a ＋(1a －a )2，其中a ＝15”，甲、乙两人的解答不同． 甲的解答是：1a ＋(1a －a )2＝1a ＋1a －a ＝2a －a ＝495， 乙的解答是：1a ＋(1a －a )2＝1a ＋a －1a ＝a ＝15． 阅读后你认为谁的解答是错误的？为什么？分析：将a ＝15代入便知谁的解答正确． 解：乙的解答是错误的，因为当a ＝15时，1a＝5． a －1a ＝15－5＜0，所以(1a －a )2≠a －1a ，而应是(1a －a )2＝1a－A. 评析：在化简a 2时，一定要注意a 的符号，并且根据算术平方根的意义，a 2的结果应为非负数．例7.利用计算器计算： …，0.0625，0.625， 6.25，62.5，625，6250，62500，…计算后，分析结果，你发现了什么规律？分析：可分析开方前和开方后小数点的变化规律．解：用计算器计算结果如下：…，0.25，0.7906，2.5，7.906，25，79.06，250，…分析计算结果可以发现：被开方数的小数点每向右（左）移动两位，算术平方根的小数点相应地向右（左）移动一位．评析：可利用开平方时小数点的这一变化规律对一些数开平方．。
初中根号知识点总结
初中根号知识点总结一、根号的概念根号是指数运算的一种, 在数学中，根号是指代开立方或开平方根的数学符号。
它代表的是一个数的特殊值，这个数是给定值的平方根。
一般来说，根号是一个数学符号，用来表示正数平方根。
当我们看到根号时，我们可以知道这是一个开方的符号，也就是一个数的平方根。
二、根号的性质1. 非负性质对于任意实数a，有a≥0，则对于所有实数a，有 \sqrt{a} ≥ 0。
2. 互逆性质如果b≥0 则\sqrt{b^2} = b如果b<0 则\sqrt{b^2} = -b3. 分解质因数法对于正整数 n 的分解质因数的质因子只有两种情况：1. n 是平方数则可以写成 m^2的形式2. n 不是平方数，则可以写成n = m^2 * p1*p2*...pn的形式。
根号化简技巧：1. 用除法因子的方法\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} 当b≠0时。
\sqrt{\frac{a}{b}} = \pm \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} 当b≠0且a≥b>0。
\sqrt{\frac{a}{b}} = \pm \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} 当a>0且a≤b>0。
2. 用乘积化简法则的方法\sqrt{ab} = \sqrt{a}*\sqrt{b}。
由此的推广：\sqrt{a^n} = |a^{\frac{n}{2}}| 当n是偶数时。
\sqrt{a^n} = a^{\frac{n}{2}} 当n是偶数时。
3. 用约分代入或因数分解原理的方法例：当n是素数时用\sqrt{an} = a^{\frac{n}{2}}。
当n是分数时用 \sqrt{a^n} = a^{\frac{n}{2}}。
例：<a_1,a_2,a_3,a_4,...a_n> 可以考虑使用乘积或除法可以化简。
比如：\sqrt{a_1a_2a_3a_4}= \sqrt{a_1a_3}* \sqrt{a_2a_4}。
平方根计算初中数学知识点之平方根的计算方法
平方根计算初中数学知识点之平方根的计算方法平方根是初中数学中重要的概念之一，在解决实际问题和进行数学运算中都起到重要作用。
平方根的计算方法有多种，接下来将介绍几种常见的计算平方根的方法。
一、试算法试算法是最常见的计算平方根的方法之一，适用于小数的平方根计算。
下面以√13为例，介绍试算法的步骤：步骤一：找到最大的整数m，使得m的平方≤13，这里m=3。
步骤二：假设所求平方根为x，即x的平方≈13。
步骤三：将13除以3得到商4和余数1。
步骤四：将余数1放在商的右侧，得到41。
步骤五：在4的右侧添上一位，假设为a，即使（4*10+a）与平方的结果接近13，所以（4*10+a）的平方≈13，解这个方程：(4*10+a)^2=130+a^2+8a≈130。
步骤六：解得a=5。
所以所求平方根为3.5，即√13≈3.5。
二、图解法图解法是通过坐标系上的几何方法来计算平方根，适用于大数的平方根计算。
步骤一：首先，在坐标系上画出一个正方形。
假设我们要计算√170的平方根，则坐标系中的正方形边长为170。
步骤二：从原点开始，用直线将正方形一分为二，形成两个矩形。
步骤三：在这两个矩形中，通过调整，使得其中一个矩形的面积尽量接近170。
步骤四：再次将这个近似的正方形一分为二，在这两个矩形中，再次通过调整，使得一个矩形的面积尽量接近170。
步骤五：重复步骤四，直到无法再次分割为止。
步骤六：最后，通过测量近似正方形的边长，即可得到所求平方根的近似值。
三、借位法借位法是一种通过不断借位的方式来计算平方根的方法。
下面以√31为例，介绍借位法的步骤：步骤一：将所求平方根按十分位为界，分为两个数，个位数和十位数，即3和1。
步骤二：先计算十位数的候选值，从1开始，假设为x，即10x。
步骤三：判断10x与√31的乘积是否小于等于当前的被开方数，若小于等于，则将其作为十位数。
步骤四：再计算个位数的候选值，假设为y，即y^2。
步骤五：判断（10x+x）的平方与（当前被开方数-（10x））之差，是否小于等于y。
平方根总结知识点
平方根总结知识点一、平方根的定义平方根是指一个数的平方等于另一个数的操作，比如数a的平方根就是满足等式：x^2= a的x，记作√a。
1. 正数的平方根当a是非负实数时，存在一个非负实数x，使得x^2 = a成立，这个非负实数就是a的平方根。
如果a=0，则a的平方根为0；如果a>0，则a的平方根有两个，一个是正数，一个是负数。
比如，√9=3，-3。
2. 负数的平方根当a是负实数时，不存在任何实数x，使得x^2 = a成立，因此负数没有实数域内的平方根，这在实数范围内是没有意义的。
3. 复数的平方根如果a是负数，则我们可以在复数域内寻找a的平方根，因为复数域中规定了i^2 = -1，即虚数单位i的平方为-1。
因此，负数a的平方根可以表示为√a=i√|a|，其中|a|表示a的绝对值。
二、平方根的性质平方根具有一系列性质，这些性质对于平方根的运算和性质分析都有着重要的作用。
1. 非负实数的平方根性质（1）正数的平方根是非负实数，即√a≥0。
（2）如果a<b，则√a<√b。
（3）平方根的运算性质：a) √(ab) = √a * √bb) √(a/b) = √a / √b （其中b≠0）2. 负实数与复数的平方根性质（1）负实数的平方根是复数且成对出现，例如√-4 = 2i。
（2）负实数的平方根满足共轭关系：如果z是负数a的平方根，那么z的共轭z*也是负数a的平方根。
3. 平方根的运算规律（1）平方根的加减法计算：a) √a + √b = √(a + 2√ab + b)b) √a - √b = √(a - 2√ab + b)（2）平方根的乘除法计算：a) √ab = √a * √bb) √(a/b) = √a / √b （其中b≠0）三、平方根的计算方法1. 精确计算如果已知某个数的精确值，可以直接通过平方根的定义来计算，即求解方程x^2 = a。
但是这种方法对于大数来说较为繁琐，且无法精确计算出其平方根。
平方根和立方根知识点总结
平方根和立方根知识点总结数字运算是数学中的基础内容，而平方根和立方根是其中常见且重要的概念。
它们用来求解数字的根号运算，能够帮助我们计算数字的次方根。
本文将对平方根和立方根进行知识点总结，帮助读者更好地理解和运用这两个概念。
一、平方根平方根是一个数学运算符号，用symbol √ 表示。
它表示一个数的平方根。
对于一个非负数 a，其平方根记作√a，表示满足 b² = a的正数 b。
例如，√25 = 5，因为 5² = 25。
1. 平方根的性质平方根有一些基本的性质，包括：（1）非负性质：一个非负数的平方根是非负的。
例如，√25 = 5，√0 = 0。
（2）保号性质：如果两个非负数 a 和 b 满足 a < b，则有√a < √b。
例如，√9 = 3 < √16 = 4。
（3）开方法则：对于任意非负数 a 和 b，有以下等式成立：√(a × b) = √a × √b。
例如，√(4 × 9) = √4 × √9 = 2 × 3 = 6。
2. 平方根的应用平方根在数学和实际生活中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：形的斜边长度等。
（2）物理学公式：平方根可以用于求解物理学公式中的问题，如求解速度、加速度等。
（3）统计学问题：平方根可以用于求解统计学问题，如计算方差、标准差等。
二、立方根立方根是另一种常见的根号运算，用 symbol ∛表示。
它表示一个数的立方根。
对于一个实数 a，其立方根记作∛a，表示满足 b³ = a 的实数 b。
例如，∛8 = 2，因为 2³ = 8。
1. 立方根的性质立方根与平方根一样，也有一些基本的性质。
其中包括：（1）非负性质：一个实数的立方根可以是正数、负数或零。
（2）保号性质：如果两个实数 a 和 b 满足 a < b，则有∛a < ∛b。
例如，∛1 = 1 < ∛8 = 2。
数学平方根的计算方法知识点总结
数学平方根的计算方法知识点总结在数学中，平方根是一个重要的概念，它指的是一个数的平方等于给定数的值。
计算平方根有多种方法和技巧，以下是数学平方根的计算方法的知识点总结。
一、算术平方根算术平方根是最常见的平方根计算方法，它可以用于求解整数和小数的平方根。
算术平方根的计算方法如下：1. 估算：首先，我们可以估算给定数的平方根。
找到一个较小的整数作为估算值，使得估算值的平方大于或等于给定数，但又尽可能的接近给定数。
2. 迭代求解：利用迭代的方法不断逼近给定数的平方根。
假设我们的估算值为x，我们可以通过以下公式来迭代求解更精确的平方根值： x = (x + (给定数/x))/2使用上述公式，不断迭代计算，直到得到一个足够满意的平方根值。
3. 精确计算：在计算算术平方根时，我们可以使用现代计算器或计算机程序进行精确计算。
通过使用数值计算方法，我们可以得到给定数的精确平方根值。
二、开平方公式开平方公式是一种用于计算平方根的代数方法，它适用于求解某些特定类型的数的平方根。
开平方公式的计算方法如下：1. 完全平方数：如果给定的数是一个完全平方数，即可以表示为两个相同因子的乘积，那么它的平方根就是这个因子。
例如，给定数为16，它是一个完全平方数，因为16 = 4 * 4。
所以它的平方根是4。
2. 二次方程：开平方公式还可以用于解决某些二次方程的平方根问题。
对于形如ax^2 + bx + c = 0的二次方程，可以使用以下开平方公式计算其平方根：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)其中，±表示取正负号。
三、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种用于求解函数零点的数值方法，也可以用于计算平方根。
牛顿迭代法的计算方法如下：对于给定的数a，考虑方程f(x) = x^2 - a = 0。
我们可以通过迭代的方式逼近方程的解，即平方根。
1. 初始猜测：选择一个初始猜测值x0，通常可以选择给定数的一半作为初始猜测值。
平方根(知识梳理与考点分类讲解)2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破(北师大版)
专题2.3平方根（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】算术平方根1.定义一般地，如果一个正数x 的平方根等于a,即：2,x a =那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记作，读作“根号a ”,2.表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a,3.性质：（1）正数只有一个算术平方根，并且恒为正；（2）0的算术平方根为0，即0=；（3）负数没有算术平方根，当式子有意义时，a 一定是一个非负数。
【知识点2】平方根4.定义一般地，如果一个正数x 的平方根等于a,即：2,x a =那么数x 就叫做a 的平方根，记作±读作“正负根号a ”,5.表示方法：一个数a （a ≧0）的平方根记作±≧0)，读作根号a,“正负根号a ”,6.性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。
【知识点3】开平方7.定义求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，a 叫做被开方数；8.2(0)a ≥的性质：（1(0),0(0),(0).a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩（2）2(0)a a =≥（32的区别与联系中a 为任意实数；2中a 0≥；中被开方数为2a ；2中被开方数为a ；先平方再开方；2先开方再平方。
结果为非负数；2中a ≧0=29.性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。
【考点一】算术平方根➼➻求一个数的算术平方根【例1】求以下各数的算术平方根：121，925，1.96，610．【答案】11，35，1.4，310【分析】根据求一个数的算术平方根求解即可．平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫a 的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．解()2222363911121,,1.4 1.96,1010525⎛⎫==== ⎪⎝⎭∴335【点拨】本题考查了求一个数的算术平方根，理解算术平方根的定义是解题的关键．【举一反三】【变式】求以下各数的算术平方根：36，916，17，0.81，410．【答案】6，34，0.9，210【分析】根据算术平方根的定义求解即可．如果一个非负数x 的平方等于a ，即()20x a a =≥，那么这个非负数x 叫做a 的算术平方根．解：366=；91634=；17；0.810.9=；410210=．【点拨】此题考查了算术平方根的定义，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义．如果一个非负数x的平方等于a ，即()20x a a =≥，那么这个非负数x 叫做a 的算术平方根．【考点二】算术平方根➼➻非负性【例2】已知x ，y ，z 是有理数，且满足2(2)30x z --=，求()3zx y +的值．【答案】1-【分析】根据数的平方，数的算术平方根和绝对值的非负性，可知()22x -，3z -都是非负数．结合()2230x z --=，可得20x -=，10y +=，30z -=，从而可得答案．解：根据数的平方，数的算术平方根和绝对值的非负性，可知()22x -3z -都是非负数．又因为()2230x z --=，所以20x -=，10y +=，30z -=，解得2x =，1y =-，3z =，所以3(3)(23)1z x y +=-=-．【点拨】本题考查的是偶次方，算术平方根，绝对值的非负性的应用，求解代数式的值，理解非负数的含义是解本题的关键．【举一反三】【变式1】若4m x =，求m 的算术平方根．【答案】m 的算术平方根为2．【分析】根据算术平方根的非负性确定x 的值，进而求得m 的值，最后求得m 的算术平方根即可．解：由题意得10x -≥且10x -≥，∴1x ≥且1x ≤，∴1x =，∴44m x ==，2=，∴m 的算术平方根为2．【点拨】本题考查了算术平方根的非负性以及求一个数的算术平方根，掌握算术平方根的相关性质是解题的关键．【变式2】已知|2020|a a -=，求22020a -的值．【答案】2022【分析】根据算术平方根的非负性确定a 的范围，进而化简绝对值，在根据平方根的定义求得代数式的值．解：∵20220a -≥，∴2022a ≥．∴20200a -<，∴原式化简为2020a a -=，2020=，∴220222020a -=，故220202022a -=．【点拨】本题考查了算术平方根的非负性，化简绝对值，平方根的定义，根据算术平方根的非负性确定a 的范围化简绝对值是解题的关键．【考点三】算术平方根➼➻整数部分与小数部分【例3】设的整数部分和小数部分分别是x 、y ，试求x 、y 的值与x-1的算术平方根．介于哪两个整数之间，从而找到整数部分，小数部分让原数减去整数部分，然后代入求值即可．解：因为4＜6＜9，所以2＜3，的整数部分是2，所以4，小数部分是-2，即x=4，-2=考点：1．估算无理数的大小；2．算术平方根．【举一反三】【变式】已知21a -的算术平方根是3，1b -的平方根是4±，c 2a b c +-的平方根．【答案】6±【分析】根据平方根与算术平方根的定义分别求出a b c 、、的值；进而得出2a b c +-的值，求出它的平方根即可；解：∵21a -的算术平方根是3；1b -的平方根是4±，∴219a -=，b -=116，∴5a =，17b =．∵c 34<，∴3c =．∴a b c +-=+⨯-=25172336．∵36的平方根是6±．∴2a b c +-的平方根为6±．【点拨】本题考查了考查了平方根与算术平方根；熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键．【考点四】算术平方根➼➻规律问题【例4】探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：(1)表格中x ＝；y ＝；(2)从表格中探究a规律：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________①3.16≈≈；② 1.8=180=，则=a．【答案】(1)0.1，10(2)规律见解析，①31.6；②32400【分析】（1）观察表格确定出x 与y 的值即可；（2）根据表格中的规律“算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍”，据此分别计算①②可得答案．解：（1）0.1x =，10y =；故答案为：0.1，10；（2）根据表中数据可得：算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍；31.6=≈；② 3.241000032400a =⨯=．故答案为：①31.6；②32400．【点拨】本题考查了算术平方根的知识，根据表格的数据发现规律是解题的关键．【举一反三】【变式】利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：(1)分析发现：被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大倍；(2)若一块长方形纸片的面积是400cm 2，长与宽之比为2：1，求这块长方形纸片的长与宽（精确到0.1，1.414≈1.732≈）．【答案】(1)10(2)这块长方形纸片的长为28.2cm ，宽为14.1cm【分析】（1）根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位，小数点的移动方向保持一致；（2）设这块长方形的纸片的宽为x ，则长为2x ，根据题意列出方程，进而根据（1）的结论，即可求解．解（1）被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大10倍；故答案为：10．（2）设这块长方形的纸片的宽为x ，则长为2x ，∴2400x x ⨯=，即2200 x=，∴x1.414≈，14.1≈，14.1228.2cm⨯=，答：这块长方形纸片的长为28.2cm，宽为14.1cm．【点拨】本题考查了算术平方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．【考点五】算术平方根➼➻实际应用【例5】．小明按如图的方法把每个小正方形沿一条对角线裁成两个三角形，然后再把这四个三角形拼成一个大正方形．(1)这个大正方形的边长为___________cm；(2)小明要在所拼成的大正方形中沿边的方向裁出一个长宽比为5:3且面积为280cm3的长方形，问能否成功，试说明理由．【答案】(2)不能裁出，理由见解析．【分析】（1）一直两个正方形的面积之和就是大正方形的面积，根据面积公式即可求出大正方形的边长；（2）先设未知数，根据面积212(cm)=列方程，求出长方形的边长，将长方形的长与正方形边长比较大小再判断即可．（1）解：两个正方形的面积之和为：222=42cm⨯（），∴拼成的大正方形的面积=422cm（），∴；．（2）解：设所裁长方形的长为5x cm，宽为3x cm，则80533x x⋅=，2169x=，解得：43 x=，∴长为203cm，宽为4cm，203<，∴不能裁出．【点拨】本题考查了算术平方根实际应用，能跟据题意列出算式是解此题的关键．【举一反三】【变式】的小正方形纸片沿中间对角线剪开，拼成一个大正方形．(1)大正方形的边长是______cm．(2)丽丽同学想用这块大正方形纸片裁剪出一块面积为212cm且长和宽之比为3:2的长方形纸片，她能裁出来吗？请说明理由．【答案】(1)4；(2)不能裁出，理由见解析【分析】（1）已知两个正方形的面积之和就是大正方形的面积，根据面积公式即可求出大正方形的边长；（2）先设长方形纸片的长为()3x cm，宽为：()2x cm，根据面积公式列方程，求出长方形的边长，将长方形的长与正方形边长进行比较即可判断．（1）解：两个正方形的面积之和为：()22216cm⨯=，∴拼成的大正方形的面积为：()216cm，∴大正方形的边长为：4cm，故答案为：4；（2）解：设长方形纸片的长为()3x cm，宽为：()2x cm，∴3212x x⋅=，解得x=，∴34x=>，∴不能使裁下的长方形纸片的长宽之比为：3:2，且面积为()212cm ．【点拨】本题考查算术平方根的实际应用，能根据题意列出算式是解题的关键．【考点六】平方根➼➻概念的理解【例6】若某个正数的两个平方根分别为32a +和10a -，求这个正数的值．【答案】64【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程求出a 的值，进而求出这个数即可．解：依题意，得：()()32100a a ++-=，解得：2a =，∴323228a +=⨯+=，∴这个正数为：2864=．【点拨】此题主要考查了平方根，正确把握平方根的定义是解题关键【举一反三】【变式】已知1234x a y a =-=-，．(1)已知x 的算术平方根为3，求a 的值；(2)如果x ，y 都是同一个数的平方根，求这个数．【答案】(1)4a =-；(2)这个数为1或25【分析】（1）由x 的算术平方根为3得到129a -=，解方程即可得到答案；（2）分x y =和0x y +=两种情况分别进行求解即可．（1）解：∵x 的算术平方根为3，∴129a -=，解得4a =-；（2）①当x y =时，即1234a a -=-，解得1a =，∴121x a =-=-，341y a =-=-，∴这个数为()211-=；②当0x y +=时，即12340-+-=a a ，解得3a =，∴125x a =-=-，345y a =-=，∴这个数为2525=，综上所述，这个数为1或25．【点拨】此题考查了平方根和算术平方根，读懂题意并正确计算是解题的关键．【考点七】平方根➼➻求一个数的平方根【例7】求下列各数的平方根．(1)196；(2)25169；(3)124；(4)()24-．【答案】(1)14±；(2)513±；(3)32±；(4)4±【分析】（1）-（4）根据()20x a a =≥称x 是a 的平方根，且)0x a =≥计算即可．解（1）∵()214196±=，（2）∵225151369⎛⎫= ⎪⎝⎭±，∴14=±．∴513±．（3）∵21924342⎛⎫±== ⎪⎝⎭，（4）∵()()22416,416-=±=，∴32==±．∴4==±．【点拨】本题考查了平方根的计算，熟练掌握平方根的意义是解题的关键．【举一反三】【变式】求下列各数的平方根：(1)121；(2)0.01；(3)729；(4)()213-．【答案】(1)11±；(2)0.1±；(3)53±；(4)13±。
初中根号入门讲解
初中根号入门讲解初中阶段是学习数学的重要时期，而根号是数学中的一个重要概念，是初中数学中的基础知识之一。
本文将以初中根号入门讲解为题，详细介绍根号的概念、性质和计算方法。
一、根号的概念根号是数学中一种特殊的符号，用来表示某个数的平方根。
平方根是一个数的平方等于该数的情况下的非负解。
根号的符号是一个放在被开方数上方的开方号√。
例如，√9表示9的平方根，可以简写为3，因为3的平方等于9。
二、根号的性质1. 非负数的平方根是非负数，即对于任意非负实数a，√a ≥ 0。
2. 平方根的平方等于被开方数，即对于任意非负实数a，(√a)^2 = a。
3. 根号运算满足乘法分配律，即对于任意非负实数a和b，√(a*b) = √a * √b。
4. 根号运算满足乘方运算法则，即对于任意非负实数a和b，(√a)^b = √(a^b)。
三、根号的计算方法1. 简化根号：当被开方数中存在完全平方因子时，可以将其提取出来。
例如，√36 = √(6^2) = 6。
2. 合并根号：当被开方数中存在相同的因子时，可以合并在一起。
例如，√(4*9) = √(2^2 * 3^2) = 2*3 = 6。
3. 化简根号：当被开方数是一个分数时，可以将其化简为最简形式。
例如，√(1/4) = 1/√4 = 1/2。
四、根号的运算规则1. 加减法：根号与根号之间不能直接进行加减运算，但可以通过化简根号的方法将其转化为同类项进行计算。
2. 乘法：根号与根号之间可以进行乘法运算，即√a * √b = √(a*b)。
3. 除法：根号与根号之间可以进行除法运算，即√a / √b = √(a/b)。
五、根号的应用根号在几何学中有广泛的应用。
例如，根号可以表示线段的长度。
在勾股定理中，根号可以用来计算直角三角形的斜边长度。
此外，在物理学和工程学中，根号也常用于计算电流、电压等物理量的大小。
六、根号的拓展除了平方根，还存在其他次方根，如立方根、四次方根等。
七年级根号知识点
七年级根号知识点在初中数学教学中，根号（√）是一个很重要的知识点。
在七年级阶段，学生需要掌握根号的含义、运算、化简等基本知识。
本文将详细介绍七年级根号知识点，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、根号的含义根号表示一个数的正平方根，例如√9=3，意思是3是一个数的正平方根，3的平方等于9。
在初中数学中，根号表示的是非负实数，即√a≥0。
二、根号的运算1.乘法运算当两个数都有根号时，可以先化简再运算，例如√2×√3=√6。
如果根号中有相同的数，则可以直接运算，例如√2×√2=2。
2.除法运算当根号的分母为1时，可以将分母去掉，例如√8÷√2=√4=2。
如果分母不为1，则可以将分子分母乘以分母的共轭数，例如(3+√2)÷(2-√2)=3√2+2。
3.加减运算当相同根号之间进行加减运算时，可以将根号外面的系数相加减，例如√3+√3=2√3。
如果根号内的数不同，则不能直接化简，例如√3+√2。
三、根号的化简根号的化简是指将根号中的数写成两个数的积的形式，例如√18=√9×√2=3√2。
当根号内部有完全平方数时，可以直接化简，例如√36=6。
四、根号方程根号方程是指方程中含有根号的方程，例如√x+2=4。
解根号方程的基本思路是，将根号或者分母移到一个方程的一边，然后两边平方，最后解方程得出结果。
五、根号在几何中的应用根号在几何中的应用非常广泛，例如勾股定理就是一个根号定理，即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边平方。
另外，在面积计算中，根号也经常出现，例如矩形的面积为长乘宽，而正方形的面积可以表示为边长的平方，这些都需要涉及到根号的计算。
综上所述，根号是初中数学中的重要知识点之一，学生需要掌握根号的含义、运算、化简和方程解法等基本知识，以及根号在几何中的应用。
希望本文能够帮助学生更好地理解和掌握七年级根号知识点，为后续学习奠定坚实的基础。
湘教版2024七年级数学下册2.1 第1课时 平方根和算术平方根 课件
例2 已知一个正数的两个平方根分别是 2a－2 和 a－4，则 a 的值是___2_____．
解析：因为一个正数的两个平方根分别是 2a－2 和 a－4， 所以2a－2＋a－4＝0，解得 a＝2.
方法总结：本题考查了平方根的概念．一个正数有 两个平方根，它们是互为相反数，两个数互为相反数， 它们的和为 0.
这块正方形画布的边长应取多少？
请你说一说解决问题的思路．
填一填: （1）若正方形画布的面积如下，请填表：
正方形的面积/dm2 1
4 9 16 36
25
正方形的边长/dm 1
3
4
2
6
5
（2）你能指出它们的共同特点吗？
都是已知一个数的平方， 求这个数的问题.
问题 如果一个数的平方等于 9，那么这个数是多少？
0 的平方根 →（就是 0 本身）
负数的平方根 →（没有）
解：每块正方形地垫的面积是 10.8÷30 = 0.36 (m2). 即边长×边长 = 0.36. 由于 0.62 = 0.36， 因此面积为 0.36 m2 的正方形地垫的边长是 0.6 m.
探究新知
1 平方根
问题引导
学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为
25 dm2 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，
类似地，边长小于 2 的正方形，
它的面积一定小于 4，因此， 比 2 小的正数都不是 4 的平方根.
<>
边长为 2 边长为 4
总结归纳
如果 r 是正数 a 的一个平方根，那么 a 的平方 根有且只有两个：r 与 -r.
我们把正数 a 的正平方根记作 a ，读作“根号a”；
把正数 a 的负平方根记作 - a，读作“负根号 a”.
平方根知识讲解
平方根【学习目标】1. 了解平方根、算术平方根的含义；2. 会表示、计算一个数的平方根、算术平方根.【要点梳理】【高清课堂：平方根、算术平方根知识要点】知识点一、算术平方根的定义一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为√a，读作“根号a”.a叫做被开方数.要点诠释：①算术平方根一定是正数.②负数没有算术平方根.③0的算术平方根是0.知识点二、算术平方根的性质特征：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.知识点三、平方根的定义一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.要点诠释：①正数有两个平方根，它们互为相反数.② 0的平方根是0.③负数没有平方根【典型例题】类型一、算术平方根的概念1、求下列各数的算术平方根（1）100 （2）4964（3） 2. 计算下列各式的值（1）√1（2）√925（3）−√0.493. 判断下列各式是否有意义？为什么？（1）-√3（2）√−3（3）√（−3）2（4）√0练 1、求下列各数的算术平方根（1）（2）81（3）322.计算下列各式的值（1）√9（2）√22（3）±√64 813.求下列x的取值范围，使得式子有意义. （1）√x（2）√x−1（3）√x2类型二、算术平方根的比较大小1、比较下列各组数的大小：（1）与 （2）与8类型三、平方根的概念1、 求下列各数的平方根．（1）100 （2）4964 （3） (4)32 2.判断下列说法是否正确（1）0的平方根是0；（2）1的平方根是1；（3）-1的平方根是-1；（4）是的一个平方根.练 1. 求下列各数的平方根．（1）49 （2）425 （3） (4)0 2. 判断下列说法是否正确（1）5是25的算术平方根；（2）56是2536的一个平方根； （3）(−4)2的平方根是-4；（4）0的平凡根与算术平方根都是0. 类型四、解方程（1）x 2=25；（2）x 2−81=0；（3）25x 2=36．。
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平方根（基础）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a，读作“a 的算术平方根”，a 叫做被开方数.要点诠释：a≥0，a ≥0. 2.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为0)a ≥a 的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质||000aa a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20aa =≥知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.250=25=2.5=0.25=. 【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根B.l 是l 的一个平方根C.()24-的平方根是－4 D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C ；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A.因为25＝5，所以本说法正确；B.因为±1＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；C.因为±()24-＝±16＝±4，所以本说法错误；D.因为0±＝0，0＝0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题． 举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）9-没有平方根．（ ）（2）164=±．（ ） （3）21()10-的平方根是110±．（ ） （4）25--是425的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √； ×， 提示：（2）164=；（4）25是425的算术平方根． 2、 填空：（1）4-是 的负平方根． （2116表示 的算术平方根，116= ． （3181的算术平方根为 ． （43x =，则x = ，若23x =，则x = ． 【思路点拨】（3181181的算术平方根＝19，此题求的是19的算术平方根.【答案与解析】(1)16；(2)11;164(3)13 (4) 9；±3【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（ ）：①3是9的平方根． ② 9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④ 8-是64的负的平方根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B ；提示：①④是正确的.【变式2】求下列各式的值：（1）325 （2）8136+ （3）0.040.25- （4）40.36121⋅【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）6553、使代数式1x +有意义的x 的取值范围是______________． 【答案】x ≥1-；【解析】x ＋1≥0，解得x ≥1-.【总结升华】当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0. 举一反三：【变式】代数式y ＝3-x 有意义，则x 的取值范围是 ． 【答案】3x ≥.类型二、利用平方根解方程4、求下列各式中的x .（1）23610;x -= （2）()21289x +=； （3）()2932640x +-=【思路点拨】表面上看本题是一元二次方程，但是本题可以通过开平方的方法（2）小题将()1x +看作一个整体，（3）小题将()32x +看作一个整体，求出它们的解后，再求x . 【答案与解析】解：（1）∵23610x -= ∴2361x = ∴36119x ==±（2）∵()21289x += ∴1289x += ∴x ＋1＝±17 x ＝16或x ＝－18. （3）∵()2932640x +-= ∴()264329x +=∴8323x +=± ∴21499x x ==-或 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度. 类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为x ，长为3x ， 由题意得，x ·3x ＝1323 32x ＝132321x =±x ＝－21(舍去) 答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.（提高）【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值．【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m －4＝－（3m －1），解方程即可求解． 【答案与解析】解：依题意得 2m －4＝－（3m －1），解得m ＝1； ∴m 的值为1．【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 举一反三：【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值.【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数. 解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22212111a -=⨯-=②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1，所以()()22221[2(1)1]39a -=⨯--=-=2、x 为何值时，下列各式有意义？2x 4x -11x x +-1x -． 【答案与解析】解：(1)因为20x ≥，所以当x 2x(2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥4x -(3)由题意可知：1010x x +≥⎧⎨-≥⎩解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤11x x +-(4)由题意可知：1030x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥且3x ≠．所以当1x ≥且3x ≠时，13x x --有意义． 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义． 举一反三：【变式】已知4322232b a a =-+-+，求11a b+的算术平方根． 【答案】解：根据题意，得320,230.a a -≥⎧⎨-≥⎩则23a =，所以b ＝2， ∴1131222a b +=+=，∴11a b+的算术平方根为112a b +=． 类型二、平方根的运算3、求下列各式的值． (1)2222252434-+；(2)111200.36900435--． 【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】 解：(1)2222252434-+49257535==⨯=；(2)1118111200.369000.630435435--=-⨯-⨯90.26 1.72=--=-． 【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据2(0)a a a =>来解． 类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的x .（1）23610;x -= （2）()21289x +=； （3）()2932640x +-=【答案与解析】解：（1）∵23610x -= ∴2361x = ∴36119x ==±（2）∵()21289x += ∴1289x += ∴x ＋1＝±17 x ＝16或x ＝－18.（3）∵()2932640x +-= ∴()264329x +=∴8323x +=± ∴21499x x ==-或 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度. 举一反三：【变式】求下列等式中的x ：（1）若21.21x =，则x ＝______； （2）2169x =，则x ＝______；（3）若29,4x =则x ＝______； （4）若()222x =-，则x ＝______． 【答案】（1）±1.1；（2）±13；（3）32±；（4）±2.类型四、平方根的综合应用5、已知a 、b 是实数，且26|2|0a b ++-=，解关于x 的方程2(2)1a x b a ++=-．【答案与解析】解：∵a 、b 是实数，26|2|0a b ++-=，260a +≥，|2|0b -≥，∴260a +=，20b -=． ∴a =－3，2b =．把a =－3，2b =代入2(2)1a x b a ++=-，得－x ＋2＝－4，∴x ＝6．【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出a 、b 的值，再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可． 举一反三： 【变式】若2110x y -++=，求20112012x y +的值．【答案】 解：由2110x y -++=，得210x -=，10y +=，即1x =±，1y =-．①当x ＝1，y ＝－1时，20112012201120121(1)2xy +=+-=． ②当x ＝－1，y ＝－1时，2011201220112012(1)(1)0xy +=-+-=．6、小丽想用一块面积为4002cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为3002cm 的长方形纸片，使它长宽之比为2:3，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3x (x ＞0) cm ，则宽为2x cm ，依题意得 32300x x ⋅=. 26300x =.250x=.∵ x＞0，x=.∴ 50∴ 长方形纸片的长为350cm.∵ 50＞49,>.∴507>, 即长方形纸片的长大于20cm.∴ 35021cm, 可知其边长为20cm,由正方形纸片的面积为400 2∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20cm的正方形纸片裁出长方形纸片.。