初中平方根知识讲解

平方根（基础）

【学习目标】

1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．

2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】

知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义

如果一个正数x 的平方等于a ，即2

x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a

，读作“a 的算术平方根”，a 叫做被开方数.

要点诠释：

a

≥0，a ≥0. 2.平方根的定义

如果2

x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)

的平方根的符号表达为0)a ≥

a 的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2

）结果不同：

2．联系：（1）平方根包含算术平方根；

（2）被开方数都是非负数；

（3）0的平方根和算术平方根均为0．

要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没

有平方根．

（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方

根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.

知识点三、平方根的性质

||0

00

a

a a a a a >??

===??-

()2

0a

a =≥

知识点四、平方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.

250=

25=

2.5=

0.25=. 【典型例题】

类型一、平方根和算术平方根的概念

1、下列说法错误的是（ ）

A.5是25的算术平方根

B.l 是l 的一个平方根

C.()2

4-的平方根是－4 D.0的平方根与算术平方根都是0

【答案】C ；

【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．

A.因为25＝5，所以本说法正确；

B.因为±1＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；

C.因为±

()

2

4-＝±16＝±4，所以本说法错误；

D.因为0±＝0，0＝0，所以本说法正确；

【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题． 举一反三：

【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：

（1）9-没有平方根．（ ）

（2）164=±．（ ） （3）21()10-

的平方根是1

10±．

（ ） （4）25--

是4

25

的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √； ×， 提示：（2）164=；（4）

25是4

25

的算术平方根． 2、 填空：

（1）4-是 的负平方根． （2116

表示 的算术平方根，

1

16= ． （31

81

的算术平方根为 ． （43x =，则x = ，若23x =，则x = ． 【思路点拨】（3181181的算术平方根＝19，此题求的是1

9

的算术平方根.

【答案与解析】(1)16；(2)

11

;164

(3)13 (4) 9；±3

【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.

举一反三：

【变式1】下列说法中正确的有（ ）：

①3是9的平方根． ② 9的平方根是3．

③4是8的正的平方根．④ 8-是64的负的平方根．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 【答案】B ；

提示：①④是正确的.

【变式2】求下列各式的值：

（1）325 （2）8136+ （3）0.040.25- （4）40.36121

?

【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）

6

55

3、使代数式1x +有意义的x 的取值范围是______________． 【答案】x ≥1-；

【解析】x ＋1≥0，解得x ≥1-.

【总结升华】当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0. 举一反三：

【变式】代数式y ＝3-x 有意义，则x 的取值范围是 ． 【答案】3x ≥.

类型二、利用平方根解方程

4、求下列各式中的x .

（1）2

3610;x -= （2）()21289x +=； （3）()2

932640x +-=

【思路点拨】表面上看本题是一元二次方程，但是本题可以通过开平方的方法（2）小题将()1x +看作一个整体，（3）小题将()32x +看作一个整体，求出它们的解后，再求x . 【答案与解析】

解：（1）∵23610x -= ∴2361x = ∴36119x ==±

（2）∵()2

1289x += ∴1289x += ∴x ＋1＝±17 x ＝16或x ＝－18. （3）∵()2

932640x +-= ∴()2

64329x +=

∴8323x +=± ∴214

99

x x ==-或 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中

运用了整体思想分散了难度. 类型三、平方根的应用

5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？

【答案与解析】

解：设宽为x ，长为3x ， 由题意得，x ·3x ＝1323 32

x ＝1323

21x =±

x ＝－21(舍去) 答：长为63米，宽为21米.

【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.

（提高）【典型例题】

类型一、平方根和算术平方根的概念

1、若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值．

【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m －4＝－（3m －1），解方程即可求解． 【答案与解析】

解：依题意得 2m －4＝－（3m －1），

解得m ＝1； ∴m 的值为1．

【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 举一反三：

【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值.

【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数. 解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()2

2

212111a -=?-=

②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1，所以()()2

2

2

21[2(1)1]39a -=?--=-=

2、x 为何值时，下列各式有意义？

2x 4x -11x x +-1

x -． 【答案与解析】

解：(1)因为2

0x ≥，所以当x 2x

(2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥4x -

(3)由题意可知：10

10x x +≥??-≥?

解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤11x x +-

(4)由题意可知：10

30

x x -≥??

-≠?，解得1x ≥且3x ≠．

所以当1x ≥且3x ≠时，

1

3

x x --有意义． 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义． 举一反三：

【变式】已知4322232b a a =-+-+，求11

a b

+的算术平方根． 【答案】

解：根据题意，得320,230.

a a -≥??

-≥?则23a =，所以b ＝2， ∴1131

222a b +=+=，

∴

11

a b

+的算术平方根为

112a b +=． 类型二、平方根的运算

3、求下列各式的值． (1)22

22252434-+；(2)111

20

0.36900435

--． 【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.

【答案与解析】 解：(1)22

22252434-+49257535==?=；

(2)111811120

0.369000.630435435--=-?-?90.26 1.72

=--=-． 【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据2(0)a a a =>来解． 类型三、利用平方根解方程

4、求下列各式中的x .

（1）2

3610;x -= （2）()21289x +=； （3）()2

932640x +-=

【答案与解析】

解：（1）∵23610x -= ∴2

361x = ∴36119x ==±

（2）∵()2

1289x += ∴1289x += ∴x ＋1＝±17 x ＝16或x ＝－18.

（3）∵()2932640x +-= ∴()2

64329x +=

∴8323x +=± ∴21499

x x ==-或 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中

运用了整体思想分散了难度. 举一反三：

【变式】求下列等式中的x ：

（1）若2

1.21x =，则x ＝______； （2）2

169x =，则x ＝______；

（3）若2

9,4

x =

则x ＝______； （4）若()2

22x =-，则x ＝______． 【答案】（1）±1.1；（2）±13；（3）3

2

±；（4）±2.

类型四、平方根的综合应用

5、已知a 、b 是实数，且26|2|0a b ++-=，解关于x 的方程2

(2)1a x b a ++=-．

【答案与解析】

解：∵a 、b 是实数，26|2|0a b ++-=，260a +≥，|2|0b -≥，

∴260a +=，20b -=． ∴a =－3，2b =．

把a =－3，2b =

代入2(2)1a x b a ++=-，得－x ＋2＝－4，∴x ＝6．

【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出a 、b 的值，再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可． 举一反三： 【变式】若2110x y -++=，求20112012x y +的值．

【答案】 解：由2110x y -+

+=，得210x -=，10y +=，即1x =±，1y =-．

①当x ＝1，y ＝－1时，2011

2012201120121(1)2x

y +=+-=． ②当x ＝－1，y ＝－1时，2011

201220112012(1)(1)0x

y +=-+-=．

6、小丽想用一块面积为4002

cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为3002

cm 的长方形纸片，使它长宽之比为2:3，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.

【答案与解析】

解：设长方形纸片的长为3x (x ＞0) cm ，则宽为2x cm ，依题意得 32300x x ?=. 2

6300x =.

250

x=.

∵ x＞0，

x=.

∴ 50

∴ 长方形纸片的长为350cm.

∵ 50＞49,

>.

∴507

>, 即长方形纸片的长大于20cm.

∴ 35021

cm, 可知其边长为20cm,

由正方形纸片的面积为400 2

∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.

答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.

【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20cm的正方形纸片裁出长方形纸片.