2《重叠问题》案例分析

数学文化课这样上——以《重叠问题》为例

数学文化是数学史、数学与文化学、社会学的交叉学科。数学文化的最主要内涵是一种理性思维方式，在实践过程中的不断探索形成的数学史、数学精神及其应用。

《重叠问题》是第二学段“智慧广场”的教学内容。是以往渗透画直观图方法的延续，引导学生进一步提升解决问题的策略，培养学生善于思考的习惯，不断提高数学素养体现数学的价值。

数学文化体现了数学的人文价值和科学价值，在培养学生数学素养的教育中扮演着重要角色。下面就针对《重叠问题》一课谈谈对数学文化的渗透。

一、渗透数学史知识。

数学是一门层层递进发展的学科。重大的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的，它们不仅不会推翻原有的理论，而且总是包容原先的理论。因此数学史对学生数学素养的培养起着重要的作用。数学史主要包括数学家生平故事、数学史事件、数学名著、数学名题、数学发展的历史等等。《重叠问题》研究的重要方法画直观图——韦恩图就是由十九世纪英国的哲学家和数学家约翰.韦恩发明的。通过对韦恩图来历的介绍，引导学生理解数学、培养学习数学的兴趣起着积极的推动作用，可以让学生感受数学家的探索解决数学问题的过程以及积极探索的研究精神。

二、渗透数学精神。

在教学中渗透数学精神可以从以下几个方面做起：一、体现反思性。二、体现探究性。三、体现独立思考。

《重叠问题》教学片断：

师：这次你发现问题了吗？

生1：有两个人两个课程都报了。

生2：有两个人的名字重复了。

师：这样贴还是不能很好的发现，谁能帮我们来整理一下，一眼就能发现这两位同学。

小组内商量一下，你有什么更好的办法？

学生小组内交流，教师巡视指导。

师：有小组有想法啦，谁上来试一试。

教师找一个学生上台把足球组的李强，张娜的姓名贴，移到了中间。学生解释到这

两个人是既学机器人又学足球的，比较特殊，可以单独拿出来放在中间。

师:其他同学：你们同意吗？

学生纷纷点头同意。

师：按照这种摆法，那还能再找到参加机器人的8人在哪里？

学生上台边圈边说。

师：这位同学用了一个圈把所有学机器人的同学圈起来了，这种方法你感觉怎么样？

师：那能再麻烦你帮我们把学足球的7人也圈出来吧。

学生圈出学足球学生的名字。

师：中间的李强和张娜两次都被圈到了，为什么？

生：2人两项都学习啦

师：也就是说他们两人既学习了机器人又学习了足球。（板书：既......又......）师：左边的这些同学那？

生：只学机器人的。（板书：只）

师：右边这些那？

生：只学足球的。（板书：只）

师：好了，孩子们，对于这样的一个问题，我们用两个圆圈一下就把题意梳理得很清楚。太了不起啦！那如果我把人名贴拿掉，只看图，你还明白它表达的意思吗？（在图中补充重叠部分的数字2）

生：明白

师：厉害了，我的班。大家是不是这样想的，请看大屏幕（课件动态出示图的过程）师：现在借助于图你能解决我们刚才提出的问题：学足球和学机器人的一共有多少人了吗？

学生列出算式，汇报展示，教师适时评价并板书。

生：8+7-2=13（学机器人的有8人，加上学足球的7人，因为这8人中有这2人，这7人中也有这2人，这2人被多加了一次，所以减掉）,

生：6+2+5=13（只学机器人的有6人，既学机器人又学足球的有2人，只学足球的有5人，合起来一共是13人）.

师：这是画图之前列出的算式，不对。这是画图之后列出的算式，不仅对，而且是多种方法。由此可见，同学们创造的这幅图有没有用？

师：我同时也对四年级一班的情况作了调查。

课件演示。（题目：四年级一班参加机器人的学生有10人，参加足球班的同学有6人，一共有多少人参加这两个课程?）

师：有答案了吗？

学生有疑虑无法给出答案，

师：为什么没答案？

生：不知道有没有重复啊！

师：现在大家思考问题又上升了一个新的高度，再求总人数的时候要考虑有没有重复的问题。那我们以小组为单位讨论一下一共会出现几种情况？

学生小组讨论，教师巡视指导。学生汇报

生：一共会出现不重复和有重复两种情况。

师：不重复的时候，图会是什么样子的？总数是多少？

生：10+6=16人

（教师询问此时图的样子，用手比划一下，然后课件出示图，再出算式）

师：那重复的时候最少重复几人？

生：1人（课件出示：有1人既学习了机器人又学习了足球）

教师询问此时图的样子，学生回答有重叠了，而且重叠部分是1。学生口答算式。

接下来，教师继续询问：“如果是2人呢？”

“3人呢？”“4人呢？”“5人呢？”（课件配合学生的回答）

“如果是6人呢？”你能想象出和它对应的图是什么样子的吗？

生1：大圈包含小圈了

生2：小的那个圈全部包在大圈里了。

教师点评：你们说的真形象。并课件演示问道“是这个意思吗？”学生肯定。

师：有没有可能出现有7人既学了机器人又学了足球呢？

生：不可能，因为报足球的只有6个人，怎么可能出现7个人呢。

师：观察这些算式和图，你发现了什么？

生1：减掉的数字就是图上重叠的部分。

生2：减掉的数字越大，中间重叠部分的区域就越大。

生3：用两个组的人数之和，减去中间重叠的部分就是总数。

生4：从这些图中看出两组人数最多的时候是没有重叠的时候，总数也就是两组人数之和。最少的时候是其中少的一组人数全部重叠于另一组，那么总数就是较多那组的人数。

师：大家观察的真仔细有那么多发现。如果我们把机器人组人数看作a，足球组人数看作b，重叠部分看作为C，那么两组的总人数看作N。N应该等于（课件配合）生：N=A+B-C

师：也就是说总人数=第一组的人数+第二组的人数-重叠部分。这里的C有什么范围要求吗？

师：C=0的时候，就是没重叠，这时总数最多。当C和两组中较少的那一组的数一样时，这时人数最少。

在这个教学片断中，学生能深刻体会到数学是学习、培养理性思维的一个重要途径。数学精神及其内涵是人们依靠思维能力对感性材料进行一系列抽象、概括、分析和综合，形成概念、判断或推理的认识过程中反映出来的，重视理性认识活动，以寻找事物的本质规律和内部联系的精神。它表现为一种信念，表现为对真理的追求，表现为一种基于事实的正确合乎逻辑的推理形式。

三、渗透数学应用。

《重叠问题》教学练习设计：

1.写成语练习韦恩图基本题

2.提供一个简单信息的图，学生编一道数学题目，并解答。

3.只提供一个图，学生编一道数学题目，并解答。

4.儿童节文艺汇演中，跳舞的有14人，合唱的有30人，参加这两项演出的一共有35人。两项都参加的有多少人？

让学生观察这个题目与前面题目的不同，然后尝试画出图，先独立思考，然后互相交流做法。教师找学生汇报并点评。