保险精算第三章
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保险精算第3章(3)
s(x t)
t px
1 ty px t px
1
pxt y pxt
1
p
y x
y p xt pxy
26
例：在常数死力下求： q5 75.25
l75 56799 l76 54239 l80 43180 l81 40208
p 5 75.25 p 0.75 75.25 4 p76 0.25 p80
5 p20 0.2 p25 (10.8 p25.2 2 p26 0.6 p28 )
l25 l20
(1
0.2q25 )[1
(1
0.8q25 1 0.2q25
)
l28 l26
(1
0.6q28 )
0.00248
24
二、年龄内常数死力假设(几何插值法)
还可以怎么写？
• 令： s(x t) s(x)1t s(x 1)t 0 t 1
p0.75 75
l80 l76
p 0.25 80
0.75545
q5 75.25 0.24455
27
三、调和插值法（Balducci假设）
• 令： 1 1 t t
s(x t) s(x) s(x 1)
0t 1
• 生存函数：
t
px
s(x t) s(x)
1 1t t s(x) s(x 1)
0 t 1
1.t qx
lx
lxt lx
td x lx
tqx
2.t px
lxt lx
lx tdx lx
1 tqx
3. y qxt
lxt
lxt y lxt
yd x lx tdx
yqx 1 tqx
21
保险精算 第三章 生命表基础(一)
s ( x) s ( x t ) t qx s ( x)
(3.1.8)
s( x t ) t px s ( x)
(3.1.9)
s( x t ) s( x t u ) t |u qx t px t u px s ( x)
(3.1.10)
9/17
s( x t ) s( x t u ) t |u qx s ( x) s( x t ) s( x t ) s( x t u ) t px u qx t s ( x) s( x t )
t |u
qx 和 t p x 分别表示T(x)的分布函数和(x)的生存函数
qx Pr[t T ( x) t u ] t|u qx t qx t px t|u px
8/17
当u=1时，t | qx 表示 (x)在(x+t)岁与(x+t+1)岁之间死亡的概率。 用生存函数表示死亡率和生存率：
0
14/17
3.1.6 s(x)的解析表达式 x De Moivre模型假设(1729) s ( x) 1
,
0 x
式中，w为人的极限年龄，即假定所有人都在w岁之前死亡。 Gompertze模型假设(1825)
x Bc x
B x s( x) exp{ (c 1)} , B 0,c 1,x 0 ln c
11/17
概率函数
Pr ( K ( x) k ) Pr (k T ( x) k 1)
k 1
qx k qx k px k 1 px
k qx k px qx k
保险精算李秀芳1-5章习题答案
6.这题so easy就自己算吧
7.设一个人数为1000的现年36岁的群体，根据本章中的生命表计算（取整）
（1）3年后群体中的预期生存人数（2）在40岁以前死亡的人数（3）在45-50之间挂的人
(1)l39=l36×3P36=l36(1-3q36)=1500×（1-0.0055）≈1492
（2）4d36=l36×4q36=1500×（0.005+0.00213）≈11
29.
第二章趸缴纯保费
1.设生存函数为 (0≤x≤100)，年利率 =0.10，计算(保险金额为1元)：(1)趸缴纯保费 的值。(2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z的方差Var(Z)。
2.设利力 ， ， ，求 。
5. 设 , , , 试计算：（1） （2）
6.试证在UDD假设条件下：(1) (2)
=397.02
第三章年金精算现值
1.设随机变量T＝T(x)的概率密度函数为 (t≥0)，利息强度为δ＝0.05 。(1)计算精算现值 (2)基金 足够用于实际支付年金的概率
2．设 , , 。试求：（1） ；（2） 。
3.设 ， 。试求 ：1） ；2） 。
5．某人现年50岁，以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金，试求其每年所得年金额。
13.设 ， ， ，…， ， ，求：1）人在70岁至80岁之间死亡的概率；2）30岁的人在70岁至80岁之间死亡的概率；3）30岁的人的取整平均余命。
18.
19.
20.
24.答：当年龄很小时，性别差异导致的死亡率差异基本不存在，因此此时不能用年龄倒退法。
27. 28.设选择期为10岁，请用生存人数表示概率5|3q[30]+3
解：定义X=1+Y,则X为x期签单的每期起初支付1元的生存年金的给付现值随机变量
7.设一个人数为1000的现年36岁的群体，根据本章中的生命表计算（取整）
（1）3年后群体中的预期生存人数（2）在40岁以前死亡的人数（3）在45-50之间挂的人
(1)l39=l36×3P36=l36(1-3q36)=1500×（1-0.0055）≈1492
（2）4d36=l36×4q36=1500×（0.005+0.00213）≈11
29.
第二章趸缴纯保费
1.设生存函数为 (0≤x≤100)，年利率 =0.10，计算(保险金额为1元)：(1)趸缴纯保费 的值。(2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z的方差Var(Z)。
2.设利力 ， ， ，求 。
5. 设 , , , 试计算：（1） （2）
6.试证在UDD假设条件下：(1) (2)
=397.02
第三章年金精算现值
1.设随机变量T＝T(x)的概率密度函数为 (t≥0)，利息强度为δ＝0.05 。(1)计算精算现值 (2)基金 足够用于实际支付年金的概率
2．设 , , 。试求：（1） ；（2） 。
3.设 ， 。试求 ：1） ；2） 。
5．某人现年50岁，以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金，试求其每年所得年金额。
13.设 ， ， ，…， ， ，求：1）人在70岁至80岁之间死亡的概率；2）30岁的人在70岁至80岁之间死亡的概率；3）30岁的人的取整平均余命。
18.
19.
20.
24.答：当年龄很小时，性别差异导致的死亡率差异基本不存在，因此此时不能用年龄倒退法。
27. 28.设选择期为10岁，请用生存人数表示概率5|3q[30]+3
解：定义X=1+Y,则X为x期签单的每期起初支付1元的生存年金的给付现值随机变量
保险精算教学大纲丶习题及答案
保险精算教学大纲本课程总课时：课程教学 周，每周 课时第一章：利息理论基础本章课时：一、学习的目的和要求1、要求了解利息的各种度量2、掌握常见利息问题的求解原理二、主要内容第一节：实际利率与实际贴现率一、 利息的定义二、 实际利率三、 单利和复利四、 实际贴现率第二节：名义利率和名义贴现率第三节：利息强度第二章 年金本章课时：一、学习的目的和要求1、要求了解年金的定义、类别2、掌握年金问题求解的基本原理和常用技巧二、主要内容第一节：期末付年金第二节：期初付年金第三节：任意时刻的年金值一、在首期付款前某时刻的年金值二、在最后一期付款后某时刻的年金积累值三、付款期间某时刻的年金当前值第四节：永续年金第五节：连续年金第三章 生命表基础本章课时：一、学习的目的与要求1、理解常用生命表函数的概率意义及彼此之间的函数关系2、了解生存函数与生命表的关系并掌握寿险生命表的特点与构造原理3、掌握各种分数年龄假定下，分数年龄的生命表函数的估计方法二、主要内容第一节 生命函数一、分布函数二、生存函数三、剩余寿命四、取整余命五、死亡效力六、生存函数的解析表达式第二节 生命表一、生命表的含义二、生命表的内容第四章 人寿保险的精算现值本章课时：一、教学目的与要求1、掌握寿险趸缴纯保费的厘定原理2、理解寿险精算现值的意义，掌握寿险精算现值的表达方式及计算技巧3、认识常见的寿险产品并掌握各种产品趸缴纯保费的厘定及寿险精算现值方差的计算4、理解趸缴纯保费的现实意义二、主要内容第一节 死亡即付的人寿保险一、精算现值的概念二、n年定期保险的精算现值（趸缴纯保费）三、终身寿险的趸缴纯保费四、延期寿险的趸缴纯保费五、生存保险与两全保险的趸缴纯保费第二节 死亡年末给付的人寿保险一、定期寿险的趸缴纯保费二、终身寿险的趸缴纯保费三、两全保险的趸缴纯保费四、延期寿险的趸缴纯保费第三节 死亡即刻赔付保险与死亡年末赔付保险的精算现值的关系第四节 递增型人寿保险与递减型人寿保险一、递增型寿险二、递减型寿险三、两类精算现值的换算第五章 年金的精算现值本章课时：一、学习目的与要求1、理解生存年金的概念2、掌握各种场合计算生存年金现时值的原理和技巧。
第三章 人寿保险的精算现值
0 ,
其他
趸缴净保费
n 1
(D A ) 1 x :n |( n k ) v k 1 kp x q x k A 1 x :1 | A 1 x :2 | L A 1 x :n | k 0
一般变额寿险
给付现值随机变量
Zb K 1 vK 1 K 0 ,1 ,2 ,L
趸缴净保费
E(Z) bk1vk1k|qx k0
趸缴净保费
m n 1
m |A 1 x:n |E (Z ) vk 1k|q xA 1 x:m n |A 1 x :m | k m
几个关系式
m |A x v m m p xA x m m E xA x m
m |A 1 x :n | v m m p xA 1 x m :n | m E xA 1 x m :n | m |A x :n | v m m p xA x m :n | m E xA x m :n |
11
1000
1.03-1
970.87
22
2000
1.03-2
1885.19
33
3000
1.03-3
2745.43
44
4000
1.03-4
3553.95
55
5000
1.03-5
4313.04
例3.1答案
100张保单的未来赔付支出总现值 10001.03120001.03230001.033 40001.03450001.035 13468.48
实务中，多采用连续给付的方式（被保人死亡到 保险金的赔付时间很短，计算时，把被保险人的 死亡和保险金的给付看作在同一时间发生，即认 为是立即赔付）
人寿保险给付上的两大特点
不确定性： 是否发生给付不确定 给付的时间不确定
寿险精算第三章
生存模型就是对此过程建立的一个数学模型， 生存模型就是对此过程建立的一个数学模型， 用数学公式进行清晰的描述， 用数学公式进行清晰的描述，从而对死亡率的 额问题作出了一些解释。 额问题作出了一些解释。
生存模型可以回答的几个问题的例子： （1）、一个45岁的人在下一年中死亡的概率是多少？ （2）、若有1000个45岁的人，那么他们当中有多少人 可能在下一年中死亡？ （3）、如果一个45岁的男性公民投保了一个10年的定 期的某种人寿保险，那么应该向他收取多少保费？ （4）、一个45岁的男性公民将可能继续生存的年数？ （5）、由许多45岁的男性公民组成的一组人，其死亡 概率分布是怎样的？
4，S0 ( x ) 与 S x ( t )之间的联系：
S0 ( x + t ) S x ( t ) = P {T0 > x + t T0 > x} = S0 ( x )
S x ( t + u ) = S x ( t ) S x +t ( u ) = S x ( u ) S x +u ( t )
S0 ( x + t ) = S 0 ( x ) S x ( t )
d d f x ( t ) = Fx ( t ) = P {Tx ≤ t} dt dt 1 = lim × { P {Tx ≤ t + h} − P {Tx ≤ t}} h → 0+ h = S x ( t ) × µ x +t
f x ( t ) =t p x × µ x + t
) 例4、如果 µ x = 0.01908 + 0.001( x − 70，其中 x ≥ 55 ，请计算 5 q60 和 10 p65 。
• 从数学角度看生存状况是一个简单的过程。 这一过程有如下的特点 特点： 特点 （1）、存在两种状态：生存和死亡。 （2）、单个的人—经常称作为生命个体—可 被划分为生存者和死亡者。 （3）、生命个体可从“生存”状态到“死亡” 状 态，但反过来不能成立。 （4）、任何个体的未来生存时 生存时间都是未知 生存时 的，所以我们应从生存或死亡概率的探讨开始 生存状况的研究。
第三章 人寿保险的精算现值
1
则
A 1 =E(Zt ) =v .n px =e .n px
n xn :
−δn
寿险精算
23
5.赔付现值变量的方差 赔付现值变量的方差
Var ( Z ) = E ( Z ) − [ E ( Z )] = E ( Z ) − ( A 1 )
2 2 2 x:n
2
E (Z ) = v .n px = e
x t
∫
0 t T
t
=∫ v t pxµx+tdt
t 0
∞
=∫ e t pxµx+tdt
−δt 0
寿险精算 19
∞
5.赔付现值变量的方差 赔付现值变量的方差
Var ( Z ) = E ( Z ) − [ E ( Z )] = E ( Z ) − ( Ax )
2 2 2
2
E (Z ) =
2
∫
∞ 0
z t2 f T ( t ) d t
= =
2 ∞
∫ ∫
∞ 0 ∞ 0
v 2t t p x µ x+t d t e −2δ t t p x µ x + t d t
记 Ax = ∫ e−2δ t t px µx+t dt ，则 0
Var(Z) = Ax −(Ax )
2
寿险精算
2
20
6.用替换函数表示趸缴纯保费 引入替换函数： 引入替换函数：
寿险精算 5
• 保费净均衡原理的思想很好理解，但在保 险经营过程中要落实这条原理，保险公司 必须要解决以下几个问题： 1.什么时候会发生索赔事件？ 2.发生索赔的概率有多大？ 3.发生的索赔额等于多少？ 4.钱的时间价值如何测量？
则
A 1 =E(Zt ) =v .n px =e .n px
n xn :
−δn
寿险精算
23
5.赔付现值变量的方差 赔付现值变量的方差
Var ( Z ) = E ( Z ) − [ E ( Z )] = E ( Z ) − ( A 1 )
2 2 2 x:n
2
E (Z ) = v .n px = e
x t
∫
0 t T
t
=∫ v t pxµx+tdt
t 0
∞
=∫ e t pxµx+tdt
−δt 0
寿险精算 19
∞
5.赔付现值变量的方差 赔付现值变量的方差
Var ( Z ) = E ( Z ) − [ E ( Z )] = E ( Z ) − ( Ax )
2 2 2
2
E (Z ) =
2
∫
∞ 0
z t2 f T ( t ) d t
= =
2 ∞
∫ ∫
∞ 0 ∞ 0
v 2t t p x µ x+t d t e −2δ t t p x µ x + t d t
记 Ax = ∫ e−2δ t t px µx+t dt ，则 0
Var(Z) = Ax −(Ax )
2
寿险精算
2
20
6.用替换函数表示趸缴纯保费 引入替换函数： 引入替换函数：
寿险精算 5
• 保费净均衡原理的思想很好理解，但在保 险经营过程中要落实这条原理，保险公司 必须要解决以下几个问题： 1.什么时候会发生索赔事件？ 2.发生索赔的概率有多大？ 3.发生的索赔额等于多少？ 4.钱的时间价值如何测量？
中国海洋大学寿险精算讲义[3]
![中国海洋大学寿险精算讲义[3]](https://img.taocdn.com/s3/m/1c71e7e0172ded630b1cb6c7.png)
第一节
生存年金简介 introduction of life annuities
1、生存年金的定义
生存年金的定义： 以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半年、季、 月）支付一次保险金的保险类型 (life annuity is a series of payments made continuously or at equal intervals(year, semi-year,quarter,month )while a given life survives) 分类 初付年金/延付年金(annuities-due /annuities-immediate) 连续年金/离散年金(annuities-continuous /annuities-discrete) 定期年金/终身年金(term annuities/whole life annuities) 非延期年金/延期年金(non-deferred annuities/deferred annuities)
第三章中英文单词对照
生存年金 初付年金 延付年金 确定性年金 当期支付技巧 综合支付技巧
Life annuity Annuities-due Annuities-immediate Annuities-certain Current payment technique Aggregate payment technique
2、终身连续生存年金精算现值的估计一 ——综合支付技巧
步骤一：计算到死亡发生时间T为止的所有已支 付的年金的现值之和（record the interest only present value of all paymnet to be made by the auunity if death occurs at time t) 1 vT Y aT
保险精算第3章(1)
• T(x)表示(x)的剩余寿命，也是一个连续型随机变量
且分布函数为t q，x 生存函数为 t，px
t qx
s( x) s( x s( x)
t)
t
px
s( x t) s( x)
20
生命函数总结
• t u qx 表示x岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的
概率， t u qx q tu x t qx t px tu px t px qu xt
或 FX (30) FX (10) 0.0587
s(25) s(30)
(4) 5|5 q20
s(20)
0.1303
或 Pr5 T(20) 10 FT (10) FT (5)
或 Pr5 T(20) 10
10
5 fT (t )dt
19
生命函数总结
• X表示新生儿未来的寿命，是一个连续型随机变量， 分布函数为F(x)，生存函数为s(x)，密度函数为f(x)；
t px Pr(T( x) t) Pr( X x t X t) s( x t) s( x)
• 特别： x p0 s( x)
8
符号介绍
• px：x岁的人至少能活到x+1岁的概率 px 1 px
• q x：x岁的人将在1年内去世的概率 qx 1qx • t u q：x x岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的概
0
• 死亡效力表示剩余寿命的密度函数 g(t)
G(t)
1
t
px
s( x) s( x s( x)
t)
g(t)
d G(t) dt
d dt
s(
x)
s(x s( x )
且分布函数为t q，x 生存函数为 t，px
t qx
s( x) s( x s( x)
t)
t
px
s( x t) s( x)
20
生命函数总结
• t u qx 表示x岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的
概率， t u qx q tu x t qx t px tu px t px qu xt
或 FX (30) FX (10) 0.0587
s(25) s(30)
(4) 5|5 q20
s(20)
0.1303
或 Pr5 T(20) 10 FT (10) FT (5)
或 Pr5 T(20) 10
10
5 fT (t )dt
19
生命函数总结
• X表示新生儿未来的寿命，是一个连续型随机变量， 分布函数为F(x)，生存函数为s(x)，密度函数为f(x)；
t px Pr(T( x) t) Pr( X x t X t) s( x t) s( x)
• 特别： x p0 s( x)
8
符号介绍
• px：x岁的人至少能活到x+1岁的概率 px 1 px
• q x：x岁的人将在1年内去世的概率 qx 1qx • t u q：x x岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的概
0
• 死亡效力表示剩余寿命的密度函数 g(t)
G(t)
1
t
px
s( x) s( x s( x)
t)
g(t)
d G(t) dt
d dt
s(
x)
s(x s( x )
保险精算第3章
lx+n n px = lx
n
px + n qx =1
5.
n
岁的人在x～ 岁生存的人年数， 岁的人在 岁生存的人年数 Lx : x岁的人在 ～x+n岁生存的人年数，简记
1 x
L = Lx
人年数是表示人群存活时间的复合单位。 人年数是表示人群存活时间的复合单位。 在死亡均匀分布假设下， 在死亡均匀分布假设下，有
100 T0 x 2. e0 = = ∫ (1− )dx = 50 0 l0 100 o
3.4 几个常用的生存模型
3.4.1 均匀分布（De Moivre分布） 均匀分布（ 分布） 分布 由法国数学家Abraham De Moivre在1724年提出） 年提出） （由法国数学家 在 年提出
f (x) =
0 1
Tx = ∫ lx+t dt
0
+∞
ex = E(T) = ∫ t ⋅ t px ⋅ µx+t dt
0
o
+∞
e0 = E( X ) = ∫
o
o
+∞
0
x ⋅ f (x)dx
+∞ l ∞ Tx x+t ex = = ∫ dt = ∫ t pxdt 0 0 lx lx
填空: 填空:
x
0 1 2 3 4 5 6
它正是 x 岁的人在 t 时间内死亡的概率 t qx
t
qx = Pr[x < X ≤ t + x X > x] F(t + x) − F(x) S(x) − S(t + x) = = 1− F(x) S(x)
1− F(t + x) S(t + x) − = t px =1 t qx = 1− F(x) S(x)
保险精算课件第3章寿险精算现值
解：
fT
Z 0,
k n, n 1,
精算现值以 A1 表示，有 x:n
n1
A1 E(Z ) x:n
vk1 k qx
k 0
Z的方差为
其中
Var(Z ) 2 A1 ( A1 )2
x:n
x:n
n1
2 A1 E(Z 2 ) x:n
v2(k 1) k qx
10
e t
fT
(t)dt
e0.06t 0.04e0.04t dt
10
0.04e0.1tdt 0.4e1（万元） 10
2.定期寿险
1单位元死亡即付n年定期寿险的精算现值为
A1 x:n
n 0
vt
fT
(t)dt
n 0
vt
t
px
x t dt
①在死亡均匀分布假设下，有
k 0
qx
1 lx
x 1
d xk v k 1
k 0
●赔付现值随机变量的方差：
Var(Z ) E(Z 2 ) [E(Z )]2
E(Z 2)
v2(k1) k qx
e q 2 (k 1) kx
k 0
k 0
E(Z 2) 相当于以计算趸缴净保费利息力
A1 x :n j
k 1
j0
例：计算保险金额为10000元的下列保单，在 30岁签发时的趸缴净保费。假设死亡给付发生 在保单年度末，利率为6%。
（1）终身寿险
（2）30年定期寿险
（3）30年两全保险。
例：现年35岁的人购买了一张终身寿险保单。 该保单规定，被保险人在第1年内死亡，给付 1000元，以后每年的死亡赔付额以6%的增长 率递增。假设死亡给付发生在保单年度末，利 率为6%。试求其趸缴纯保费。
保险精算人寿保险趸缴纯保费-PPT精品文档
常见概念中英文单词对照(2)
定期人寿保险 终身人寿保险 两全保险 生存保险 延期保险 变额受益保险
Term life insurance Whole life insurance Endowment insurance Pure endowment insurance Deferred insurance Varying benefit insurance
人寿保险的分类
受益金额是否恒定
定额受益保险 变额受益保险
保障标的的不同
保单签约日和保障期 期始日是否同时进行
人寿保险（狭义） 生存保险 两全保险 定期寿险 终身寿险
保障期是否有限
即期保险 延期保险
人寿保险的特点
保障的长期性
这使得从投保到赔付期间的投资收益（利息）成为 不容忽视的因素。 人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的 生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。 这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量， 它依赖于被保险人剩余寿命分布。 这意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算 出平均赔付并可预测将来的风险。
主要险种的趸缴纯保费的厘定
终身寿险 n年期定期寿险 n年期生存保险 n年期两全保险 延期m年的终身寿险 延期m年的n年期的两全保险 递增终身寿险 递减n年定期寿险
1、终身寿险
定义 保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任 范围内的死亡均给付保险金的险种。 假定： ( x ) 岁的人，投保保额bt=1元终身寿险 基本函数关系
力 和 fT(x)( t) 、 fX( t) 的关系是怎样的 x
《寿险精算学(第3版)》 PPT-ch3
函数为
0 , 0 t n Zt vn ,t n
• 定期生存险趸缴净保费
A 1 x:n
E(Zt )
n
vn
fx
(t)dt
vn
n
px
• 现时值方差
Var(Zt )
A 2 1 x：n
A1 x:n
2
其中：2
A1 x:n
=
v2n
n
px
例3.4
• （30）购买10年定期生存险，10年末生存给付1。假设复 利计息，年实质利率为5%，寿命服从（0,100）的de Moivre分布。请计算：
140 ln1.05
（3）对于定期寿险而言，赔付现时值是一个分段函数，因 为 v10=1.0510 0.6139 A310:10，也就是说只要是在10年内发生理赔的 被保险人他们所缴纳的趸缴净保费都小于赔付现时值，他们 保费不足的部分是由那些活过10年，没有发生任何赔付的被 保险人补齐的，即
Pr(Zt
(
x)
1
x 100
例3.2解
,0 x 100 ，所以
f30
(t)
1 70
, 0 t 70
且已知复利计息，年实质利率为5%，则 δ = ln(1+ i) = ln1.05
所以趸缴净保费为
A30 E(Zt )
e 70 t
1
e t dt =
0 70 70
0
1
1 1.0570 =
0.2832
• 赔付现值变量是未来寿命的单调减函数。未来寿命短的被保险 人, 由于贴现时期短,赔付现值会大于平均赔付成本。 反之, 未 来寿命长的被保险人, 由于贴现时期长, 赔付现值会小于平均赔 付成本。 本例中, 收支平衡的时间点出现在未来寿命为25.8577 年的时刻点上。未来寿命长于25.8577 年的被保险人（63%） 会补贴哪些未来寿命短于25.8577年的被保险人（37%）。
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2) dx lx lx1 lx
例3.2.1 d40 l40 l41 9 292 079 -9 259 817 =32 262(人)
(4) 极限年龄,即生命的最高年龄，以w表示，lw+1=0.
(5) qx:死亡率，表示x岁的人在1年内死亡的概率。 1) qx表示x岁的人在1年内死亡的概率。
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p p p mn x m x n mx 意义： (x)在 x+m+n年后仍
生存的概率等于x在m年后仍生存的概率，乘以至x+m岁时 又生存了n年的概率，因为两者是相依事件，所以要用乘法。
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（8）nqx: x岁的人在n年内死亡的概率。如下图
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（9）m|nqx：x岁的人在x+m岁与x+m+n岁的n年内死亡的 概率。
生命表的特点 构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分 布假定（非参数方法）
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3.2.2 生命表的内容
在生命表中，首先要选择初始年龄且假定在该年龄生存的一 个合适的人数，这个数称为基数。一般选择0岁为初始年龄， 并规定此年龄的人数，通常取整数如10万、100万、1000万 等。 在生命表中还规定最高年龄，用w表示，满足lw+1=0。 一般的生命表中都包含以下内容： (1) x: 年龄. (2)lx: 生存数，是指从初始年龄至满x岁尚生存的人数。 例：l25表示在初始年龄定义的基数中有l25人活到25岁。 1) lx表示自出生至满x岁时尚存活人数的期望值。 2) lx为连续函数，随年龄x增加而递减。但生命表中则以
年数共lx+1年，同理，第2年全体生存年数为lx+2年。依此类 推，此x岁的人的总生存年数为
lx1 lx2 lx3 L l
ex
(lx1 lx2 lx3 L lx
l )
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但事实上这一现象并不合理，因为不可能所有的人都在年 初死亡，于是假定1年内死亡人数呈均匀分布，或可假定于 年中死去，即每人应该比年初死亡多活半年，
o
所以定义， ex ex 0.5 并称此为完全平均余命或完全
生命期望值。 例3.2.4 下表为某个生命表的一部分
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根据这部分生命表，我们可以算出各种有用的概率。例如， 查表可得34岁的人在35岁以前死亡的概率为q34=0.00150
34岁的人在35岁仍活着的概率为p34=1- q34=0.99850 两年后仍活着的概率为2p34= p34 *p35=p34 *(1- q35) =0.99691 在两年内死亡的概率为2q34 =1- 2p34=0.00309 在36岁~37岁之间死亡的概率为2|q34 =2p34 *q36=0.00169 [例3.2.5] 已知20岁的生存人数为1 000人，21岁的生存人数
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§ 3.2 生命表
生命表是寿险精算的科学基础,它是寿险费率和责任准备金 计算的依据，也是寿险成本核算的依据。
3.2.1 生命表的含义： 生命表是根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制 的由每个年龄死亡率所组成的汇总表。生命表是过去经验 的记录，通常用于预测那些将来和过去情况大致相同的未 来事件 。生命表中最重要的就是设计产生每个年龄的死亡 率。影响死亡率的因素很多，主要有年龄、性别、职业、 习性、以往病史、种族、居住环境等。一般情况下，在设 计生命表时，只注重考虑年龄和性别。
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如图所示：
当n=1时，用m| qx表示x岁的人在生存m年后的那一年(m+1年) 中内死亡的概率。则：
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(10)ex：平均余命或生命期望值 1) ex表示现年x岁的人尚可再生存若干年的平均数，即每
一个到达x岁的人，今后仍生存的平均年数。 2) 假定死亡者都在年初死亡，则x岁后第1年全体生存的
为998人，22岁的生存人数为992人。试求20岁的人在2l岁那 年死亡的概率1|q20 (0.06)
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[例3.2.6] 已知40岁的死亡率为0.04，41岁的死亡率为0.06， 而42岁的人生存至43岁的概率为0.92。如果40岁生存人数为 100人，求43岁时的生存人数。
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知识回顾
生命的分布函数、生存函数、余命、T的分布函数、 T的生 存函数、概率密度函数
K(x)、 K(x)与T(x)的关系 死力的定义，计算公式，与生存函数的关系，与T的概率密
度函数的关系。
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学习目标
掌握生命表中生存数的表示方法，含义。 掌握死亡数，死亡率的含义，计算。 掌握生存率的含义，计算。 掌握n年内生存概率，n年内死亡概率的计算公式， 掌握平均余命或生命期望值的计算。 掌握完全平均余命的计算
2)
qx
dx lx
lx
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
lx1 lx
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另：
s(x) s(x 1)
qx
s(x)
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(6) px:生存率，表示x岁的人在1年后仍生存的概率。 即到x +1岁时仍生存的概率。
1) px 表示x岁的人经过1年后仍生存的概率。
2)
px
1 qx
lx1 lx
3) px qx 1
（7）npx表示x岁的人在n年后仍生存的概率。
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整数年龄表示，在0岁附近死亡率变化较大，从而生存人数在 短期内也有显著差异。 3) 通常以l0=10 000 000人为基数，表示出生时的人数，若存活 函数s(x)为生存至x岁时的生存概率，则所有l0人在x岁时有l0 *s(x)人仍生存，此即为在x岁时的所有生存人数lx ，故 lx= l0 *s(x) (3) dx：死亡数，是指x岁的人在一年内死亡的人数,即指x岁的 生存数lx人中，经过1年死亡的人数。 1) dx表示x岁的生存人数lx中，经过整1年所死亡的人数，亦即 lx中自x岁至x+1岁间1年内死亡的人数，称为x岁的死亡人数。
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生命表可分为：(1) 国民生命表。国民生命表是根据全体国 民或者以特定地区人口的死亡统计数据编制的生命表，主 要来源于人口普查的统计资料。(2) 经验生命表。经验生命 表是根据人寿保险、社会保险以往的死亡记录(经验)所编制 的生命表。保险公司使用的是经验生命表，主要因为国民 生命表是全体国民生命表，没有经过保险公司的风险选择， 一般情况下与保险公司使用的生命表中的死亡率不同。