保险精算第三章

2)
qx
dx lx
lx
lx1 lx
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另：
s(x) s(x 1)
qx
s(x)
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(6) px:生存率，表示x岁的人在1年后仍生存的概率。 即到x +1岁时仍生存的概率。
1) px 表示x岁的人经过1年后仍生存的概率。
2)
px
1 qx
lx1 lx
3) px qx 1
（7）npx表示x岁的人在n年后仍生存的概率。
为998人，22岁的生存人数为992人。试求20岁的人在2l岁那 年死亡的概率1|q20 (0.06)
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[例3.2.6] 已知40岁的死亡率为0.04，41岁的死亡率为0.06， 而42岁的人生存至43岁的概率为0.92。如果40岁生存人数为 100人，求43岁时的生存人数。
生命表的特点 构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分 布假定（非参数方法）
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3.2.2 生命表的内容
在生命表中，首先要选择初始年龄且假定在该年龄生存的一 个合适的人数，这个数称为基数。一般选择0岁为初始年龄， 并规定此年龄的人数，通常取整数如10万、100万、1000万 等。 在生命表中还规定最高年龄，用w表示，满足lw+1=0。 一般的生命表中都包含以下内容： (1) x: 年龄. (2)lx: 生存数，是指从初始年龄至满x岁尚生存的人数。 例：l25表示在初始年龄定义的基数中有l25人活到25岁。 1) lx表示自出生至满x岁时尚存活人数的期望值。 2) lx为连续函数，随年龄x增加而递减。但生命表中则以
年数共lx+1年，同理，第2年全体生存年数为lx+2年。依此类 推，此x岁的人的总生存年数为
lx1 lx2 lx3 L l
ex
(lx1 lx2 lx3 L lx
l )
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但事实上这一现象并不合理，因为不可能所有的人都在年 初死亡，于是假定1年内死亡人数呈均匀分布，或可假定于 年中死去，即每人应该比年初死亡多活半年，
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如图所示：
当n=1时，用m| qx表示x岁的人在生存m年后的那一年(m+1年) 中内死亡的概率。则：
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(10)ex：平均余命或生命期望值 1) ex表示现年x岁的人尚可再生存若干年的平均数，即每
一个到达x岁的人，今后仍生存的平均年数。 2) 假定死亡者都在年初死亡，则x岁后第1年全体生存的
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p p p mn x m x n mx 意义： (x)在 x+m+n年后仍
生存的概率等于x在m年后仍生存的概率，乘以至x+m岁时 又生存了n年的概率，因为两者是相依事件，所以要用乘法。
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（8）nqx: x岁的人在n年内死亡的概率。如下图
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（9）m|nqx：x岁的人在x+m岁与x+m+n岁的n年内死亡的 概率。
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整数年龄表示，在0岁附近死亡率变化较大，从而生存人数在 短期内也有显著差异。 3) 通常以l0=10 000 000人为基数，表示出生时的人数，若存活 函数s(x)为生存至x岁时的生存概率，则所有l0人在x岁时有l0 *s(x)人仍生存，此即为在x岁时的所有生存人数lx ，故 lx= l0 *s(x) (3) dx：死亡数，是指x岁的人在一年内死亡的人数,即指x岁的 生存数lx人中，经过1年死亡的人数。 1) dx表示x岁的生存人数lx中，经过整1年所死亡的人数，亦即 lx中自x岁至x+1岁间1年内死亡的人数，称为x岁的死亡人数。
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知识回顾
生命的分布函数、生存函数、余命、T的分布函数、 T的生 存函数、概率密度函数
Kwenku.baidu.comx)、 K(x)与T(x)的关系 死力的定义，计算公式，与生存函数的关系，与T的概率密
度函数的关系。
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学习目标
掌握生命表中生存数的表示方法，含义。 掌握死亡数，死亡率的含义，计算。 掌握生存率的含义，计算。 掌握n年内生存概率，n年内死亡概率的计算公式， 掌握平均余命或生命期望值的计算。 掌握完全平均余命的计算
o
所以定义， ex ex 0.5 并称此为完全平均余命或完全
生命期望值。 例3.2.4 下表为某个生命表的一部分
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根据这部分生命表，我们可以算出各种有用的概率。例如， 查表可得34岁的人在35岁以前死亡的概率为q34=0.00150
34岁的人在35岁仍活着的概率为p34=1- q34=0.99850 两年后仍活着的概率为2p34= p34 *p35=p34 *(1- q35) =0.99691 在两年内死亡的概率为2q34 =1- 2p34=0.00309 在36岁~37岁之间死亡的概率为2|q34 =2p34 *q36=0.00169 [例3.2.5] 已知20岁的生存人数为1 000人，21岁的生存人数
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§ 3.2 生命表
生命表是寿险精算的科学基础,它是寿险费率和责任准备金 计算的依据，也是寿险成本核算的依据。
3.2.1 生命表的含义： 生命表是根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制 的由每个年龄死亡率所组成的汇总表。生命表是过去经验 的记录，通常用于预测那些将来和过去情况大致相同的未 来事件 。生命表中最重要的就是设计产生每个年龄的死亡 率。影响死亡率的因素很多，主要有年龄、性别、职业、 习性、以往病史、种族、居住环境等。一般情况下，在设 计生命表时，只注重考虑年龄和性别。
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生命表可分为：(1) 国民生命表。国民生命表是根据全体国 民或者以特定地区人口的死亡统计数据编制的生命表，主 要来源于人口普查的统计资料。(2) 经验生命表。经验生命 表是根据人寿保险、社会保险以往的死亡记录(经验)所编制 的生命表。保险公司使用的是经验生命表，主要因为国民 生命表是全体国民生命表，没有经过保险公司的风险选择， 一般情况下与保险公司使用的生命表中的死亡率不同。
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2) dx lx lx1 lx
例3.2.1 d40 l40 l41 9 292 079 -9 259 817 =32 262(人)
(4) 极限年龄,即生命的最高年龄，以w表示，lw+1=0.
(5) qx:死亡率，表示x岁的人在1年内死亡的概率。 1) qx表示x岁的人在1年内死亡的概率。