抽样分布与参数估计
抽样分布与参数估计
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抽样分布与参数估计首先,我们来了解什么是抽样分布。
在统计学中,抽样分布是指从总体中多次抽样得到的样本统计量的分布。
假设我们的总体是指所有感兴趣的个体的集合,而样本是从总体中选取的一部分个体。
抽样分布的形状和性质取决于总体的分布和样本的大小。
通过分析抽样分布,可以得到有关总体参数的有用信息。
例如,我们想要知道一些城市成年人的平均年收入。
在实际情况下,我们无法调查每个人的收入情况,因此我们需要从总体中随机抽取一部分个体作为样本,并计算他们的平均年收入。
如果我们多次从总体中抽取样本并计算平均年收入,然后绘制这些平均值的分布图,我们就可以得到平均年收入的抽样分布。
这个抽样分布将给我们提供有关总体平均年收入的估计和推断。
接下来,我们将讨论参数估计。
参数估计是指使用样本数据来估计总体参数的过程。
总体参数是用于描述总体特征的数值,如总体平均值、总体标准差等。
通过从总体中抽取样本,并计算样本统计量,我们可以利用样本统计量来估计总体参数。
常用的参数估计方法有点估计和区间估计。
点估计是指用单个数值来估计总体参数,例如用样本均值来估计总体均值。
点估计给出了一个单一的值,但不能提供关于估计的精度的信息。
因此,我们常常使用区间估计。
区间估计是指给出一个区间,这个区间内有一定的置信水平使得总体参数落在这个区间内的概率最高。
区间估计能够向我们提供关于估计的精确程度的信息。
区间估计依赖于抽样分布的性质。
中心极限定理是制定抽样分布理论的一个重要原则。
根据中心极限定理,当样本容量足够大时,样本均值的抽样分布将近似于正态分布。
这使得我们可以使用正态分布的性质来计算置信区间。
构建置信区间的一种常用方法是使用样本均值的标准误差。
标准误差是样本均值的标准差,它用来衡量样本均值和总体均值之间的误差。
根据正态分布的性质,当样本容量足够大时,样本均值与总体均值之间的误差可以用标准误差来估计。
通过计算标准误差并结合正态分布的性质,我们可以得到样本均值的置信区间。
第5章--抽样分布与参数估计教案资料
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(5)
(5.5)
(6)
(6.5)
(7)
(7.5)
(8)
(8.5)
(9)
9
9,1
9,2
9,3
9,4
9,5
9,6
9,7
9,8
9,9
9,10
(5)
(5.5)
(6)
(6.5)
(7)
(7.5)
(8)
(8.5)
(9)
(9.5)
10
10,1
10,2
10,3
10,4
10,5
10,6
10,7
10,8
10,9
10,10
数是 ,标准差是 ,从这个总体中抽出一 个容量是 n 的样本,则样本平均数 X 也服从 正态分布,其平均数 E( X ) 仍为 ,其标准
差为 。 X 5-19
从正态分布的再生定理可以看出,只要总体 变量服从正态分布,则从中抽取的样本,不管n 是多少,样本平均数都服从正态分布。但是在 客观实际中,总体并非都是正态分布。对于从 非正态分布的总体中抽取的样本平均数的分布 问题,需要由中心极限定理来解决。
第5章--抽样分布与参数估计
第一节 抽样的基本概念与数学原理
一、有关抽样的基本概念 二、大数定理与中心极限定理
5-2
一、有关抽样的基本概念
(一)样本容量与样本个数 1.样本容量。样本是从总体中抽出的部分
单位的集合,这个集合的大小称为样本容量, 一般用n表示,它表明一个样本中所包含的单 位数。
lim
n
1 n
p
n
i 1
X
i
1
(5.5)
5-17
大数定理表明:尽管个别现象受偶然因 素影响,有各自不同的表现。但是,对总体 的大量观察后进行平均,就能使偶然因素的 影响相互抵消,消除由个别偶然因素引起的 极端性影响,从而使总体平均数稳定下来, 反映出事物变化的一般规律。
抽样分布与参数估计
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三、t分布曲线下的面积分布规律
自由度为 的t分布曲线
t 分布曲线下 的整个面积为1, t 分布曲线下从a到b 的面积为t值分布 在此范围内的百分 比,即t值落在此 范围内的概率P。
双侧:由于t分布以0为中心对称,即 P(t≤- t, )= P(t≥ t, )= /2 于是有P(- t, ≤t≤ t, )=1-
sx
u X
X
t X =n-1
s X
u分布 t分布
二、t分布图形的特点
• 1. t分布是一簇曲线。 t分布有一个参数, 即自由度 ,与标准差的自由度一致。
• 2. t分布曲线以0为中心,左右对称; 越小, t变量值的离散程度越大,曲线越扁平。
• 3. t分布曲线较标准正态曲线要扁平些(高 峰低些,两尾部翘得高些), 逐渐增大, t分布曲线逐渐的逼近于标准正态曲线,若 =,则t分布曲线和标准正态曲线完全吻 合。
参数估计在统计方法中的地位
统计方法
描述统计
推断统计
点值估计
参数估计
假设检验
区间估计
一、基本概念
➢ 参数估计:用样本统计量来估计总体参数。
点值估计:不计抽样误差,直接用样本均数来 估计μ。
区间估计:根据抽样误差的规律,按一定的概 率估计总体均数的所在范围。统计上习惯用95% 或99%可信区间表示总体均数可能所在范围。
第一节 均数的抽样误差 第二节 t分布 第三节 总体均数可信区间的估计
一、抽样研究:从总体中随机抽取部分 观察单位构成样本,用样本信息去 推断总体特征的研究方法。
统计推断的过程
总体
样
样本统计量
本
例如:样本均
值、比例
二、抽样误差:在抽样研究中,因抽样造 成的样本统计量与样本统计量、样本统计 量与总体参数的差值。
抽样分布与参数估计
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▪ 某电视台欲在95%的置信度水平下,对电
视节目的收视率作为有效的估计,试考 虑样本量应当为多少?
▪ 问题:若确定估计绝对误差为5%,则样
本为385户,是否可行?
▪ 若考虑估计相对误差为10%,则样本量应
当为多少?
统计学原理
其他样本量估计的情况
▪ 估计样本比例时样本量的确定 ▪ 估计两个总体均值之差时样本量的确定 ▪ 估计两个总体比例之差时样本量的确定 ▪ 以上问题,均可通过参数估计的公式进行
o 比例估计时,方差为:p(1-p) o 可知,p(1-p)的最大值为0.25。
统计学原理
比例估计时的样本量推算
在校园内估计学生拥有手机的比例,希 望在95%的置信水平下,估计的绝对误 差不超过5个百分点(5%),求样本量
n
1.962
0.052
2
, 取
2
Max
0.25
则有n 385
统计学原理
助记方法
统计学原理
统计学原理
一个总体参数—总体均值
▪ 正态总体,方差已知;
o 或非正态总体,大样本,方差已知。
z x ~ N (0,1) X n
置信区间:
(
x
za
2
X
n
,
x
za
2
X
n
)
注意:Z取a/2的原因在于此时置信 区间是最小的。
统计学原理
一个总体参数—总体均值
▪ 正态总体,方差未知
统计学原理
计算结果
▪ 计算样本平均数:X=39.5 ▪ 计算样本标准差:s=7.7736 ▪ 令:总体标准差=样本标准差,计算抽样误差为
1.2956
抽样分布、参数估计和假设检验
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抽样分布一、抽样分布的理论及定理 (一) 抽样分布抽样分布是统计推断的基础,它是指从总体中随机抽取容量为n 的若干个样本,对每一样本可计算其k 统计量,而k 个统计量构成的分布即为抽样分布,也称统计量分布或随机变量函数分布。
(二) 中心极限定理中心极限定理是用极限的方法所求的随机变量分布的一系列定理,其内容主要反映在三个方面。
1.如果总体呈正态分布,则从总体中抽取容量为n 的一切可能样本时,其样本均数的分布也呈正态分布;无论总体是否服从正态分布,只要样本容量足够大,样本均数的分布也接近正态分布。
2.从总体中抽取容量为n 的一切可能样本时,所有样本均数的均数(X μ)等于总体均数(μ)即μμ=X3.从总体中抽取容量为n 的一切可能样本时,所有样本均数的标准差(X σ)等于总体标准差除以样本容量的算数平方根,即n X σσ=中心极限定理在统计学中是相当重要的。
因为许多问题都使用正态曲线的方法。
这个定理适于无限总体的抽样,同样也适于有限总体的抽样。
中心极限定理不仅给出了样本均数抽样分布的正态性依据,使得大多数数据分布都能运用正态分布的理论进行分析,而且还给出了推断统计中两个重要参数(即样本均数X μ与样本标准差X σ)的计算方法。
(三)抽样分布中的几个重要概念1.随机样本。
统计学是以概率论为其理论和方法的科学,概率又是研究随机现象的,因此进行统计推断所使用的样本必须为随机样本(random sample )。
所谓随机样本是指按照概率的规律抽取的样本,2.抽样误差。
从总体中抽取容量为n 的k 个样本时,样本统计量与总体参数之间总会存在一定的差距,而这种差距是由于抽样的随机性所引起的样本统计量与总体参数之间的不同,称为抽样误差。
3.标准误。
样本统计量分布的标准差或某统计量在抽样分布上的标准差,符号SE 或Xσ表示。
根据中心极限定理其标准差为n X σσ=正如标准差越小,数据分布越集中,平均数的代表性越好。
统计学 第 6 章 抽样与参数估计
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第6章抽样与参数估计第6章抽样与参数估计6.1抽样与抽样分布6.2参数估计的基本方法6.3总体均值的区间估计6.4总体比例的区间估计6.5样本容量的确定学习目标理解抽样方法与抽样分布估计量与估计值的概念点估计与区间估计的区别评价估计量优良性的标准总体均值的区间估计方法总体比例的区间估计方法样本容量的确定方法参数估计在统计方法中的地位统计推断的过程6.1抽样与抽样分布什么是抽样推断概率捕样方法抽样分布抽样方法抽样方法概率抽样(probabilitysampling)也称随机抽样特点按一定的概率以随机原则抽取样本抽取样本时使每个单位都有一定的机会被抽中每个单位被抽中的概率是已知的,或是可以计算出来的当用样本对总体目标量进行估计时,要考虑到每个样本单位被抽中的概率简单随机抽样(simplerandomsampling)从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本,每个单位入抽样本的概率是相等的最基本的抽样方法,是其它抽样方法的基础特点简单、直观,在抽样框完整时,可直接从中抽取样本用样本统计量对目标量进行估计比较方便局限性当N很大时,不易构造抽样框抽出的单位很分散,给实施调查增加了困难没有利用其它辅助信息以提高估计的效率分层抽样(stratifiedsampling)将抽样单位按某种特征或某种规则划分为不同的层,然后从不同的层中独立、随机地抽取样本优点保证样本的结构与总体的结构比较相近,从而提高估计的精度组织实施调查方便既可以对总体参数进行估计,也可以对各层的目标量进行估计系统抽样(systematicsainplmg)将总体中的所有单位(抽样单位)按一定顺序排列,在规定的范闱内随机地抽取一个单位作为初始单位,然后按爭先规定好的规则确定其它样本单位先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位,以后依次取r+k,r+2k…等单位优点:操作简便,可提高估计的精度缺点:对估计量方差的估计比较困难整群抽样(clustersampling)将总体中若干个单位合并为组(群),抽样时直接抽取群,然后对中选群中的所有单位全部实施调查特点抽样时只需群的抽样框,可简化工作量调查的地点相对集中,节省调查费用,方便调查的实施缺点是估计的精度较差抽样分布总体中各元素的观察值所形成的分布分布通常是未知的可以假定它服从某种分布总体分布(populationdistribution)一个样本中各观察值的分布也称经验分布当样本容屋n逐渐增大时,样本分布逐渐接近总体的分布样本分布(sampledistribution)抽样分布的概念(samplingdistribution)抽样分布是指样本统计屋的分布,即把某种样本统计量看作一个随机变量,这个随机变屋的全部可能值构成的新的总体所形成的分布即为某种统计量的抽样分布.统计量:样本均值,样本比例,样本方差等样本统计量的概率分布是一种理论概率分布随机变量是样本统计量样本均值,样本比例,样本方差等结果来自容量相同的所有可能样本提供了样本统计量长远稳定的信息,是进行推断的理论基础,也是抽样推断科学性的重要依据对抽样分布的理解抽样分布:即不是总体分布,也不是样本分布,是根据所有可能样本计算的统计量的全部可能取值形成的分布样本均值的抽样分布容量相同的所有町能样本的样本均值的概率分布一种理论概率分布进行推断总体均值的理论基础样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布(例题分析)【例】设一个总体,含有4个元素(个体),即总体单位数N=4。
概率论参数估计和抽样分布
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概率论参数估计和抽样分布
一、极大似然估计MLE
极大似然估计(MLE)是一种用来近似概率分布参数的统计学方法。
它的基本原理是根据样本来估计一组参数,使单独参数的极大似然函数最大化,即最大前提下来达到样本可能性的最大化,这种方法可以让样本观测数据的期望值吻合该参数的假设值。
这种估计方法的优点是简单易行,它不需要指定模型的具体参数,而且参数的估计结果可以很容易地进行验证和分析。
它的缺点是需要多次计算,收敛速度慢,容易受噪声影响,而且模型假设受到限制,可能会有明显的偏离。
二、贝叶斯估计BE
贝叶斯估计(BE)是指在概率论估计中,采用以贝叶斯概率论的原理来估计模型参数的一种方法。
该方法将未知状态作为随机变量,根据贝叶斯公式及赋予先验分布,以最大后验概率的原则估计模型参数。
贝叶斯估计具有优点是可以用来估计模型参数的概率分布,而不仅仅是估计其期望值,可以将主观经验纳入参数估计过程中,也可以迅速得到模型参数的分布。
抽样分布与参数估计
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f
n
X
x
2
f
x
0.79
f
n
即
x
~
N
,
2
n
比较及结论:1. 样本均值的均值(数学期望) 等于总体均值
2. 样本均值的方.差等于总体方差的1/n
样本均值的抽样分布
(数学期望与方差)
1. 样本均值的数学期望
E(X )
2. 样本均值的方差
第一个
第二个观察值
观察值
1
•2
•3
•4
1
1,1
•1,2
1,3
•1,4
2
•2,1
2,2
2,3
2,4
3
•3,1
3,2
3,3
3,4
4
•4,1
4,2
4,3
4,4
.
样本均值的抽样分布
(例题分析)
计算出各样本的均值,如下表。并给出样本均 值的抽样分布
•16个样本的均值(x)
第一个
第二个观察值
观察值 •1 •2 •3 •4
2
x
2π 2
f (x)
f(x) = 随机变量 X 的频数
= 正态随机变量X的均值
= 正态随机变量X的方差
= 3.1415926; e = 2.71828
x = 随机变量的取值 (- < x < )
x ~ N, 2
x
.
正态分布的概率
b
f(x)
P(a x b) a f (x)dx ?
E(P)
2. 样本比例的方差
– 重复抽样
统计学(李荣平)2014-5
![统计学(李荣平)2014-5](https://img.taocdn.com/s3/m/ab2ac206be1e650e52ea996a.png)
P{t>tα(n)}= h(t;n)dt
t (n)
的数tα(n)为t(n)分布的上α分为点。 例:查表求:t0.05(8), t0.95(8)
o
t (n)
第一节 抽样分布
(三)F 分布
设 U ~ 2(n1 ),V ~ 2(n2 ), 且设 U,V 独立,则称随机变量
F U / n1 V / n2
保证质量,规定σ≤0.6mm时,认为生产过程处于良好控制
状态。为此,每隔一定时间抽取20个零件作为一个样本,并
计算样本方差S2。若P{S2≥c } ≤0.01(此时σ=0.6mm),
则认为生产过程失去控制,必须停产检查,问:
(1)C为何值时,S2≥c的概率才小于或等于0.01? (2)若取得的一个样本的标准差S=0.84,生产过程是
第五章 抽样分布与参数估计
主
第一节 抽样分布
要 内
第二节 参数点估计
容
第三节 区间估计
第一节 抽样分布
一、随机样本
总体与个体:试验全部可能的观测值叫总体;试验的 每一个观测值叫个体。
样本容量与样本个数:样本中包含的单位数叫样本容 量;从一个总体中可能抽取多少个样本叫样本个数。
总体容量:总体中所包含的个体数。 有限总体和无限总体:总体容量可数的称有限总体, 不可数的称无限总体。 重置抽样(重复抽样)和无重置抽样(不重复抽样)
X
1 n
n i 1
Xi
为样本均值;称统计量
S 2
1 n1
n i1
(Xi
X )2
为 样本方差 ,称统计量 S
S2
1n
( X X ) 2 为样本标准差 ;统计量
n 1 i1 i
第6章抽样分布与参数估计
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抽样分布反映了依据样本计算出来的统计量数值的概率分布,这是科 学地进行统计推断的基础。例如,在大样本场合,由中心极限定理有样 本均值趋于正态分布。
★ 讨论题 为什么说抽样分布是抽样理论研究的对象,解释三种分布之 间的联系。
/3:22
《统计学教程》
第6章 抽样分布与参数估计
6.1 抽样分布
6.1.4 样本均值的抽样分布 1.大样本场合下的样本均值抽样分布
总体(Population)是指所研究的事物及其现象的全体,由该事物及 其现象的全部个体组成。
个体(Item Unit)是指构成总体的元素。 总体容量(Population Size)是指构成总体的全部个体的数量。
样本(Sample)是指从总体抽取的若干个体构成的集合。 抽样(Sampling)是指按照具体的抽样方法和抽样设计,从总体中抽 取若干个体的过程。 样本容量(Sample size)是指构成样本的全部个体的数量。
ln i mPnnA
PA
1
(6.1)
贝努利定理表明事件发生的频率依概率收敛于事件发生的概率。从而 以严格的数学形式表述了频率的稳定性特征,即n当很大时,事件发生 的频率与概率之间出现较大的偏差的可能性很小。由此,在n充分大的 场合,可以用事件发生的频率来替代事件的概率。
/3:22
《统计学教程》
第6章 抽样分布与参数估计
在反复抽取容量相同的独立同分布样本条件下,所得到的样本均值的 概率分布称为样本均值的抽样分布。在样本容量充分大的情况下,即大 样本场合,样本均值依据中心极限定理趋于正态分布。
所谓独立同分布样本为从无限总体中随机抽取的等概样本,或从有限 总体中以放回方式,随机抽取的等概样本。
所谓大样本是指能够满足中心极限定理要求,使样本均值趋于正态分 布的样本容量。在统计实践中一般称样本容量大于30即为大样本这只是 一个粗略的经验数值。
抽样分布与参数估计总结
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总体参数的估计区间,称为置信区间。
统计学原理
置信度
如果将构造置信区间的步骤重复多次,置信区
间中包含总体真值的次数所占的比例称为置信 水平(Confidence Level)。
也称为置信度或置信系数 (Confidence Coefficient)。
统计学原理
置信度与置信区间的关系
统计学原理
两个总体参数—比例之差
比例之差:大样本下,服从正态分布。 在估计时使用样本标准差替代。
统计学原理
两个总体的方差比
样本方差比的抽样分布为F分布 其中 第一自由度为n1-1,第二自由度为n2-1
2 s12 2 2 ~ F n1 1, n2 1 2 s2 1
统计学原理
例题:关于扑克牌的游戏
从一副扑克牌(52张)中,有放回地抽
出30张,其平均点数的分布规律如何?
如果以点数来赌胜负,什么区间的胜率
是95%?
统计学原理
统计学原理
第二节 参数估计
主要讨论总体平均数的 参数估计
统计学原理
参数估计的一般问题
参数估计:用样本统计量去估计总体的参
数。
统计学原理
计算结果
计算样本平均数:X=39.5 计算样本标准差:s=7.7736 令:总体标准差=样本标准差,计算抽样误差为
1.2956 95%置信度对应的T值为1.96 得总体平均数的置信区间为:
o 上限:39.5+1.96×1.2956=42.04 o 下限:39.5-1.96×1.2956=36.96
N=200时的抽样分布
Std. Dev = 2.23 Mean = 46.24 N = 200.00
第五抽样分布与参数估计第一第二
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类型组的样本单位数。
3、等距抽样(系统抽样、机械抽 样)
概念:将总体各单位标志值按某一标志顺序排
队,然而按一定的间隔抽取样本单位。
排队的方法:①按无关标志 ②按有关标志
抽取样本单位的方法
◦ ①按相等的距离取样 ②对称等距取样
抽取第一个样本单位的方法
◦ ①随机抽取
②居中抽取
4、整群抽样
概念:把总体分为若干群,从总体群中抽取若干样 本群,对抽中的群进行全数登记调查。 如:某水泥厂一昼夜的产量为14400袋,现每隔 144分钟抽取1分钟的水泥(10袋)检查平均每袋 重量和一级品率
例子
根据古典概率定义可算出,抛一枚质地均匀的硬币, 出现正面与出现反面的概率都是0.5。历史上有很
多人都曾经做过抛硬币试验。
试验者
试验次数
正面出现的频率
蒲丰
4040
0.5069
K.皮尔逊
12000
0.5016
K.皮尔逊
24000
0.5005
罗曼诺夫斯基
80640
0.4979
第二节
抽样分布
一、三种分布含义
第五抽样分布与参数估计第一第二
第一节
抽样的基本概念
(二)样本容量与样本个数
1.样本容量
◦ 是一个样本中所包含的单位数。
2.样本个数
◦ 即样本可能数目。是指从一个总体中可能抽取多少个样本。 与抽样方法有关。
(三)抽样方法
1、重复抽样
◦ 从总体的N 个单位中要随机抽取一个容量为n的样本,每次 从总体中抽出一个单位后,经过调查又把它放回到总体中, 重新再参加下一次抽选。
类型组,然后从各类型组中采用简单随机抽样方式或 其它方式抽取样本单位。
第5章抽样分布与参数估计
![第5章抽样分布与参数估计](https://img.taocdn.com/s3/m/6a5f461e3a3567ec102de2bd960590c69ec3d809.png)
第5章抽样分布与参数估计在统计学中,抽样分布与参数估计是重要的概念。
抽样分布是指从总体中随机抽取样本,计算样本统计量,然后将这些统计量进行分布的过程。
参数估计是通过样本数据对总体参数进行估计的方法。
首先,我们来了解抽样分布。
在统计学中,我们通常很难直接获得总体数据,因为总体数据往往很大,难以收集。
因此,我们采用抽样的方式来获取样本数据,并通过样本数据来推断总体特征。
抽样分布是指在重复抽取样本的过程中得到的统计量的分布。
抽样分布的中心趋于总体参数,而抽样分布的形状可以通过中心极限定理进行描述。
中心极限定理认为,当样本数量足够大时,样本均值的抽样分布近似服从正态分布,且均值等于总体均值。
这对于统计推断和参数估计具有重要意义。
其次,我们来了解参数估计的概念及其方法。
参数估计是指根据样本数据对总体参数进行估计的统计方法。
常见的参数包括总体均值、总体方差等。
参数估计可以分为点估计和区间估计两种方法。
点估计是指通过样本数据计算得到的单个数值来估计总体参数。
常用的点估计方法包括最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是基于样本的观测值选择使得观测值出现的概率最大的参数值作为估计值的方法。
矩估计是通过样本矩与总体矩的对应关系来估计总体参数的方法。
区间估计是指对总体参数给出一个区间估计值,该区间包含了真实参数值的概率。
常用的区间估计方法包括置信区间估计和预测区间估计。
置信区间估计是通过样本数据计算得到的一个区间,可以包含真实参数值的概率。
置信区间的置信水平是指在多次重复抽样中,这个区间包含了真实参数值的概率。
预测区间估计是在给定自变量取值的情况下,通过样本数据对应的因变量的取值的一个区间估计。
总之,抽样分布与参数估计是统计学中重要的概念和方法。
通过抽样分布可以了解样本统计量的分布情况,而参数估计可以通过样本数据对总体参数进行估计。
这些概念和方法对于数据分析和决策具有重要的实际应用价值。
抽样分布与参数估计概述
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抽样分布与参数估计概述引言在统计学中,我们经常需要推断整个总体的性质,并据此进行决策或推断。
然而,由于种种原因,我们往往无法直接观察到整个总体的数据。
这时,我们通过对样本的观察和分析来进行总体的推断,这就涉及到了抽样分布和参数估计。
抽样分布抽样分布是指由相同样本大小的一系列独立随机样本所得到的统计量的分布。
在统计学中,我们通常将样本平均值、样本比例或者其他统计量作为总体参数的估计量。
而抽样分布那么将这些统计量的取值范围进行了描述。
中心极限定理中心极限定理是抽样分布的重要定理之一。
它指出,当样本容量足够大时,样本均值的抽样分布将近似于正态分布。
换言之,即使总体分布未知或不是正态分布,样本均值的抽样分布将会趋近于正态分布。
中心极限定理的意义在于,它允许我们利用正态分布的性质来对总体参数进行估计和推断。
通过对样本数据进行观察和分析,我们可以得到样本的均值和标准差,进而利用正态分布的性质来进行置信区间的构造、假设检验等。
参数估计参数估计是指利用样本数据对总体参数进行估计的过程。
常见的参数估计方法包括点估计和区间估计。
点估计点估计是通过单个统计量来估计总体参数的方法。
例如,我们可以用样本均值作为总体均值的估计值,用样本比例作为总体比例的估计值。
点估计能够给出一个具体的数值作为总体参数的估计,但是无法给出估计值的准确性。
区间估计区间估计是通过一个区间来估计总体参数的范围。
而这个区间通常使用置信区间来表示。
置信区间是指总体参数估计值在一定置信水平下的上下限范围。
常用的置信水平有95%和99%等。
置信区间的构造通常基于抽样分布的性质。
利用样本数据和抽样分布的知识,我们可以计算出参数估计值的抽样分布,并根据置信水平选择适当的临界值,从而得到置信区间。
总结抽样分布和参数估计是统计学中重要的概念和方法。
通过对样本数据的观察和分析,我们可以利用抽样分布和参数估计方法来推断总体的性质,并进行统计推断和决策。
中心极限定理告诉我们,当样本容量足够大时,样本均值的抽样分布将近似于正态分布,从而允许我们利用正态分布的性质对总体参数进行估计和推断。
【数据分析师Level1】3.抽样分布及参数估计
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【数据分析师Level1】3.抽样分布及参数估计【数据分析师 Level 1 】3.抽样分布及参数估计1.随机实验随机实验是概率论的⼀个基本概念。
概括的讲,在概率论中把符合下⾯三个特点的试验叫做随机试验可以在相同的条件下重复的进⾏每次试验的可能结果不⽌⼀个,并且能事先明确试验的所有可能结果进⾏⼀次试验之前不能确定哪⼀个结果会出现随机事件在概率论中,随机事件(或简称事件)指的是⼀个被赋予⼏率的事物的集合,也就是样本空间中的⼀个⼦集。
简单来说,在⼀次随机试验中,某个特定时间可能会出现也可能不会出现;但是当试验次数增多,我们可以观察到某种规律性的结果,就是随机事件。
随机变量设随机试验的样本空间S=e,X=X(e)S = {e},X=X(e)S=e,X=X(e)是定义在样本空间S上的单值实值函数,称X为随机变量2.正态分布的图像形式既然介绍变量的分布情况,就要介绍⼀下正态分布。
⾸先,正态分布是关于均值左右对称的,呈钟形,如下图所⽰。
其次,正态分布的均值和标准差具有代表性,只要知道其均值和标准差,这个变量的分布情况就完全知道了。
在正态分布中,均值=中位数=众数3.中⼼极限定理从均值为 µ\muµ,⽅差为σ2\sigma^2σ2的⼀个任意总体中抽取容量为n的样本,当n充分⼤时,样本均值的抽样分布近似服从均值为 µ\muµ ,⽅差为σ2n\frac{\sigma^2}{n}nσ2的正态分布根据中⼼极限定理,我们知道如果做很多次抽样的话会得到很多个样本均值,⽽这些样本均值排列起来会形成正态分布,他们的平均数是µ\muµ,标准差是σn\frac{\sigma}{\sqrt{n}}nσ换句话说,有约68% 的样本均值会落在 µ±σn\mu \pm \frac{\sigma}{\sqrt{n}}µ±nσ之间,有约 95 %的样本均值会落在 µ±2σn\mu \pm 2\frac{\sigma}{\sqrt{n}}µ±2nσ有约 99.7 %的样本均值会落在 µ±3σn\mu \pm 3\frac{\sigma}{\sqrt{n}}µ±3n σ把上述说法稍微转换⼀下就变成:有68 %的 x‾±σn\overline x \pm \frac{\sigma}{\sqrt{n}}x±nσ会包含着 µ\muµ有95 %的 x‾±2σn\overline x \pm 2\frac{\sigma}{\sqrt{n}}x±2nσ会包含着 µ\muµ有99.7 %的 x‾±3σn\overline x \pm 3\frac{\sigma}{\sqrt{n}}x±3nσ会包含着µ\muµ⽽这就是抽样和估计最根本的道理我们从全体之中以随机抽样⽅式抽取n个样本,取得样本观察值,计算它们的平均数 x‾\overline xx ,然后加减两倍的σn\frac{\sigma}{\sqrt{n}}nσ得到⼀组上下区间,然后说:我们有95 % 的信⼼,这个上下区间⼀定会包含着全体的平均数 µ\muµ。
邓铸《心理统计学与SPSS应用》(抽样分布与参数估计)
![邓铸《心理统计学与SPSS应用》(抽样分布与参数估计)](https://img.taocdn.com/s3/m/e9bb22b30066f5335b812105.png)
第4章抽样分布与参数估计4.1 复习笔记一、抽样分布(一)抽样分布与抽样误差估计1.抽样分布的定义(1)定义抽样分布是指样本统计量的概率分布。
如果用字母x指代某一统计量,抽样分布就是指X的概率分布,即样本统计量的概率分布。
(2)形态抽样分布的形态因统计量的不同而不同,常见的有正态分布、t分布、F分布、x2分布等。
2.抽样误差(1)含义样本统计量的标准差反映了抽样过程中随机误差的大小,即抽样误差的大小。
此类标准差反映的是样本统计量之间的差异性,统计学将其称为“标准误差”,简称“标准误”。
(2)性质标准误越小,抽样误差越小,用该样本统计量来估计或推断相应总体参数的可靠性就越高。
(二)样本平均数的抽样分布1.抽样分布的影响因素(1)总体的分布形态(是否正态分布);(2)样本容量n的大小(大样本或小样本);(3)要计算的统计量类型(平均数或方差/标准差等)。
2.正态分布的条件当下列条件之一成立时,的抽样分布为正态或趋于正态:(1)原数据总体为正态分布,且总体方差δ2已知此时不管样本容量n是大还是小,的抽样分布都为正态:①样本平均数的平均数;②样本平均数的标准差;③正态分布的转化可通过公式4-1将样本平均数的抽样分布转换为标准正态分布即Z分布。
(2)原数据总体为正态分布,但总体方差δ2未知此时平均数的抽样分布不完全符合正态分布。
但样本容量足够大(一般n>30)时,该分布趋于正态,可将其看作正态分布:①样本平均数的标准误②正态分布的转化可运用公式4-1进行转化。
(3)原数据总体为非正态分布此时只有当样本容量足够大(一般n>30)时,平均数的抽样分布才会趋于正态。
①样本平均数的平均数a.,(未知的情况);b.,(未知的情况,用样本的标准差估计标准误)。
②正态分布的转化可运用公式4-1进行转化。
(三)t分布1.t分布的概述t分布是戈赛特于1908年提出来的。
当原始数据总体为正态分布,但δ2未知时,的抽样分布为t分布。
应用统计学第6章 抽样分布与参数估计
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μx
6. 3抽样分布
多大是足够的大?
6. 3抽样分布
例子
假设总体的平均数μ = 8 且标准差σ = 3. 假 设选中容量n = 36随机样本。
样本平均数介于7.8和8.2之间的概率是多少?
第6章 6. 3抽样分布
例子
(续)
结论:
即使总体非正态分布, 中心极限定理可以应用 (n > 30)
6.2 抽样误差
样本统计量和对应的总体参数之间的差异,称之为抽 样误差。
抽样误差的产生是由于抽样的非全面性和随机性所引 起的,是偶然性误差。
非抽样误差
抽样框误差 系统性误差 测量误差 登记误差
6. 3抽样分布
6. 3抽样分布
6.3.1 样本均值的抽样分布
6. 3抽样分布
1.样本均值的均值
样)
6. 3抽样分布
p的抽样分布
近乎正态分布分布,如果:
n 5
P( ps)
抽样分布
.3
且
.2
.1
n(1 ) 5
0 0 . 2 .4 .6
p
81
μ 其中 p
π
且
π(1 π)
σp
n
(其中 π = 总体比例)
6. 3抽样分布
比例的Z值
使用公式将p标准化为Z值:
p
Z
σp
p (1 )
n
在判断样本中,我们得到预先选好的专家就主题 发表的意见。
6.1 抽样理由和抽样方法
样本类型:概率样本
在概率样本中, 样本中条目的选择基于已知的概率。
概率样本
简单 随机样本
系统样本
分层样本 群样本
6.1 抽样理由和抽样方法
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• 正态分布
• 如果连续型随机变量X的密度函数为
p x
1
x 2
e 2 2
2
x
• 则称随机变量X服从均值为μ,方差为σ2的正态分布, 记为X~N(μ,σ2)。
• 如果一个正态分布的μ=0,σ=1,则称该正态布为标准 正态分布,相应的随机变量称为标准正态随机变量, 用Z表示,即Z~N(0,1),相应的分布密度函数为
样本平
均数 X
34 36 38 40 42 36 38 40 42 44 38 40 42 44 46
样本
46,34 46,38 46,42 46,46 46,50 50,34 50,38 50,42 50,46 50,50
样本平
均数 X
40 42 44 46 48 42 44 46 48 50
28
PA
m n
A包含的样本点个数 样本点总数
A的有利场合数
样本点总数
5
• 例:设一个袋子中装有白球2个,黑球3个。(1) 从中随机摸出1只球,问刚好是白球的概率有 多大? (2) 从中随机摸出2只球,一问2只球都 是白球的概率有多大? 二问2只球一白一黑的概 率有多大? 三问2只球都是黑球的概率有多大?
重置抽样分布--样本平均数的分布
样本平均数 X 34 36 38 40 42 44 46 48 50
合计
频数
1 2 3 4 5 4 3 2 1
25
E(X)
X
Xf f
42(元)
2(
4
• (二)概率 • 1. 概率的定义 • 概率就是指随机事件发生的可能性,或称为机率,是
对随机事件发生可能性的度量。 进行n次重复试验, 随机事件A发生的次数是m次,发生的频率是m/n,当 试验的次数n很大时,如果频率在某一数值p附近摆动, 而且随着试验次数n的不断增加,频率的摆动幅度越来 越小,则称p为事件A发生的概率,记为:P(A)=p。在 古典概型场合, 即基本事件发生的概率都一样的场合:
• 3.总体是唯一的、确定的,而样本是不确定的、可变
的、随机的。
22
样本容量与样本个数
• 样本容量:一个样本中所包含的单位数,用n 表示。
• 样本个数:又称样本可能数目,指从一个总体 中所可能抽取的样本的个数。对于有限总体, 样本个数可以计算出来。样本个数的多少与抽 样方法有关。(这个概念只是对有限总体有意 义,对无限总体没有意义!)
第六章 抽样分布与参数估计
• 第一节 频率、概率与概率分布 • 第二节 抽样分布 • 第三节 总体参数估计
1
第一节 频率、概率与概率分布
• 一、随机事件与概率 • (一)随机试验与事件 • 随机现象的特点是:在条件不变的情况下,一系
列的试验或观测会得到不同的结果,并且在试验 或观测前不能预见何种结果将出现。对随机现象 的试验或观测称为随机试验,它必须满足以下的 性质: • (1)每次试验的可能结果不是唯一的; • (2)每次试验之前不能确定何种结果会出现; • (3)试验可在相同条件下重复进行。
– 推论2 P( A)=1-P(A), A表示A的对立事件,即它
们二者必有一事件发生但又不能同时发生。
8
• 例:袋中装有4只黑球和1只白球,每次从袋中随机地 摸出1只球,并换入1只黑球。连续进行,问第三次摸 到黑球的概率是多少?
• 解: 记A为“第三次摸到黑球”,则A 为“第三次摸
到白球”。先计算AP( )。
C
n N
n
-
1
(N n-1)! (N -1)!n!
25
重复(置)抽样与不重复(置)抽样
• 不重复抽样:
• 例如从A、B、C、D、E五个字母中随机抽取两个作为样本。N=5,n=2
B AC
D
A
BC D
A B C D
A B DC
A B EC D
E
E
E
E
•
考虑顺序时:样本个数
PNn
N! (N - n)!
P(B1B2 ) P(B1)
36 100 3 5
3 5
• 因此,
,
• 也就是说,B1,B2相互独立。从题目条件看,这一 结论是显然的。
10
二、随机变量
• 随机变量X是定义在样本空间 Ω={ω1,ω2,…,ωn}上的 一个函数,这个函数的取值随试验的结果不同而变化。 这个函数还要求满足条件:对任意的实数x,X<x是随 机事件。如果随机变量所有可能的取值是有限的,或 可排成一列的,这种随机变量称为离散型随机变量; 另一种情况是随机变量的取值范围是一个区间或整个 数轴,这种随机变量称为连续型随机变量。
• (2) pxi 1 i
• 定义: 离散型随机变量X的期望值为
•
EX xi pxi
• 性质:
I
• 其中X1,X2都是随机变量,α,β是任意常数。
EX1 X 2 EX1 EX 2
12
• 定义: 离散型随机变量X的方差为
2 D( X ) EX 2 xi 2 pxi
• 重置抽样与不重置抽样(各有3个特点P90)
• 重复抽样:例如从A、B、C、D、E五个字母中随机抽 取两个作为样本。N=5,n=2
A B AC D E
A B BC D E
A B CC D E
A B DC D E
A B EC D E
– 考虑顺序时:样本个数=Nn=52=25
– 不考虑顺序时:
– 样本个数=
• NOTE:
n
n
n
P(Bk )
C
k n
pk qnk
( p q)n 1
k0
k0
k0
14
• 2. 连续型随机变量的概率分布
• 设X是R.V., x 是一实数. 记
• F(x)=P(X<x)。该函数就是随机变量X的分布函数。分布 函数的导数称为密度函数,记作p(x )。
• 性质
• (1) p(x)≥0
• 这些概念是统计学特有的,体现了统计学
的基本思想与方法。
21
总体和样本(参见第1章)
• 1.总体:又称全及总体、母体,指所要研究对象的全 体,由许多客观存在的具有某种共同性质的单位构成。 总体单位数用 N 表示。
• 2.样本:又称子样,来自总体,是从总体中按随机原 则抽选出来的部分,由抽选的单位构成。样本单位数 用 n 表示。
i
• 方差的平方根σ称为标准差。 • 方差σ2或标准差σ反映随机变量X相对其期望值的 • 离散程度,σ2或σ越小, 说明期望值的代表性越好;σ2
或σ越大,说明期望值的代表性越差。 • 性质:对于任意的α,D(αX)=α2 D(X) 成立
13
• 贝努里试验 与二项分布
• 有时我们只对试验中某事件A是否出现感兴趣,如果A
53 125
9
• 3. 事件的独立性
• 定义 对事件A与B,若p(AB)=p(B)p(A),则称它们是 统计独立的,简称相互独立。
• 例:已知袋中有6只红球, 4只白球。从袋中有放回
地那取么两,次球,每次都取1球。设Bi表示第i次取到红球。
63 P(B1) P(B2 ) 10 5
P(B2
B1)
B
AC
BC
C
D
E
D
D
D
E
E
E
•
不考虑顺序时:样本个数
C
n N
N! (N - n)!n!
E
26
二、抽样分布
• 抽样分布的概念:由样本统计量的全部可能取值和与之 相应的概率(频率)组成的分配数列。(主要求出样本 平均数的期望与方差)
• 包括以下内容 – 重置抽样分布 • 样本平均数的分布 • 样本成数的分布 – 不重置抽样分布 • 样本平均数的分布 • 样本成数的分布
pz
1
z2
e2
2
z
17
• 一般正态分布 与标准正态分布 的关系: • 若随机变量X服从正态分布N (μ,σ2),则随机
• 变量 Z = X 服从标准正态分布,即Z~N(0,1)。
18
• 例:某大学英语考试成绩服从正态分布,已知平均成 绩为70分,标准差为10分。求该大学英语成绩在60—
• 解:(1) 由于摸出的任何1只球都形成一个基本 事件,所以样本点总数为n=5。用A表示摸出的 是白球事件,则A由两个基本点组成,即A={白 球,白球},有利场合数m=2。因此,刚好摸出 白球的概率为P(A)=m/n=2/5=0.4
6
• (2) 由于摸出2只球才成一个基本事件,所以样本点总
数为
C
23
总体参数和样本统计量
• 总体参数:反映总体数量特征的指标。其数值是唯一的、确定的。 • 样本统计量:根据样本分布计算的指标。是随机变量。
总体
样本
☺
☺ ☺
☺☺ ☺☺☺
☺☺ ☺
参数
、2
p
平均数 标准差、方差
成数
统计量
X
S、 S2
P
s2
(x x n 1
)2
s2
(x
f
x)2 1
f
24
重复(置)抽样与不重复(置)抽样
27
重置抽样分布--样本平均数的分布
• 某班组5个工人的日 工资为34、38、42、 46、50元。
• = 42
• 2 = 32
• 现用重置抽样的方法 从5人中随机抽2个构 成样本。共有52=25 个样本。如右图。
样本
34,34 34,38 34,42 34,46 34,50 38,34 38,38 38,42 38,46 38,50 42,34 42,38 42,42 42,46 42,50