四点共圆(一)

第二十四讲 四点共圆（一）

【知识要点】

四点共圆的判定方法：

1、若四个点到一定点的距离相等，则这四个点在同一个圆上（即这四点共圆）。

2、若一个四边形的一组对角的和等于180度，则这个四边形的四个顶点共圆。

3、若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆。

4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。

5、若AB 、CD 两线段相交于P 点，且PD PC PB PA ⋅=⋅，则A 、B 、C 、D 四点共圆。

6、若AB 、CD 两线段延长后相交于P 点，且PD PC PB PA ⋅=⋅，则A 、B 、C 、D 四点共圆。

7、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆。

【典例精讲】

例2、如图，、

、、四点在同一圆上，的延长线与的延长线交于点，且。 （1）证明：AB CD //；

（2）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EG EF =，证明：A 、B 、G 、F 四点共圆.

A

B

例3、如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，设ED 与AF 相交于点G ，若B ，C ，F ，E 四点共圆，求证：GE DG GF AG ⋅=⋅．

例4、已知点)02(，A ，)53(，B ，直线l 过点B 与y 轴交于点)0(c ，C ，若O 、A 、B 、C 四点共圆，则c 的值为（ ） A 、

522 B 、5

28 C 、17 D 、无法求出

例6、如图，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，且不与顶点重合，已知m AE =，n AC =，AD ，AB 为方程0142

=+-mn x x 的两根.

（1）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；

（2）若︒=∠90A ，4=m ，6=n ，求C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径．

A

B

E

D

例7、如图，AB 为圆O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦，垂足为E ，弦BM 与CD 交于点F ． （1）证明：A 、E 、F 、M 四点共圆；（2）证明：2

2

AB BM BF AC =⋅+．

A

B

例8、如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠为钝角，且BC AE ⊥，CD AF ⊥． （1）求证：A 、E 、C 、F 四点共圆；

（2）设线段BD 与（1）中的圆交于M 、N ．求证：ND BM =．

D

例9、如图所示，I 为ABC ∆的内心，求证：BIC ∆的外心O 与A 、B 、C 四点共圆.

例10、A 、B 、C 三点共线，O 点在直线外，1O ，2O ，3O 分别为OAB ∆，OBC ∆，OCA ∆的外心．求证：

例13、如图，，，

，． （1）求证：E 、H 、M 、K 四点共圆；

（2）若EH KE =，3=CE 求线段KM 的长．

C

A

B

例14、在ABC ∆的边AB ，BC ，CA 上分别取D ，E ，F ．使得BE DE =，CE

FE =，又点O 是ADF ∆的外心．

（1）证明：D ，E ，F ，O 四点共圆； （2）证明：O 在DEF ∠的平分线上．

A

例15、如图，CD 为ABC ∆外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E 、F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且AF DC AE BC ⋅=⋅，B 、E 、F 、C 四点共圆． （1）证明：CA 是ABC ∆外接圆的直径；

（2）若EA BE DB ==，求过B 、E 、F 、C 的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值．

D

例16、如图，锐角ABC ∆的内心为D ，过点A 作直线BD 的垂线，垂足为F ，点E 为内切圆D 与边AC 的切点．（1）求证：A ，D ，F ，E 四点共圆；（2）若︒=∠50C ，求DEF ∠的度数．

A

B

C

C

A

【强化训练】

1、 如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD ，CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ． 求证：（1）2

CE CE AC DE BE =⋅+⋅；（2）E ，F ，C ，B 四点共圆．

E

2、如图，已知AP 是⊙O 的切线，P 为切点，AC 是⊙O 的割线，与⊙O 交于B ，C 两点，圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点．（1）证明A ，P ，O ，M 四点共圆；（2）求APM OAM ∠+∠的大小．

A

3、如图，已知AB 为半圆O 的直径，BE 、CD 分别为半圆的切线，切点分别为B 、C ，DC 的延长线交BE 于

F ，AC 的延长线交BE 于E ．DC AD ⊥，D 为垂足．

（1）求证：A 、D 、F 、B 四点共圆；（2）求证：FB EF =． D

F

B

4、如图，已知ABC ∆中的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，︒=∠60B ，F 在AC 上， 且AF AE =．

（1）证明：B ，D ，H ，E 四点共圆； （2）证明：CE 平分DEF ∠．

D B

A

C

5、如图，已知BA 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线，割线BD 、BF 分别交⊙O 于C 、E ，连接AE 、CE ． 求证：BD BC BF BE ⋅=⋅．

B

A

F

6、如图，⊙O 与⊙P 相交于A 、B 两点，圆心P 在⊙O 上，⊙O 的弦BC 切⊙P 于点B ，CP 及其延长线交⊙P 于D ，E 两点，过点E 作CE EF ⊥，交CB 的延长线于点F ．（1）求证：B 、P 、E 、F 四点共圆；