理想气体的压强与温度公式
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曲线
快减
快增
速率分布曲线 有单峰，不对称
两者相乘
速率
恒取正
[讨论]
① v 0, f (v ) 0 v , f (v ) 0
0
f (v)
线，小面积， 大面积的物 理意义？
v0 ②满足归一化条件： f (v)dv 1 o v0 v 1
dv
v 2 dv
v
③ f (v )v N 表示分布在 v v v 区间内的分子
§6-2 麦克斯韦速率分布律
在热动平衡条件下，气体分子的运动是杂乱无章的，若 考虑某一分子在某一时刻的速度大小和方向是随机偶然的， 是不容易也没有必要去掌握的。但就大量分子的整体，在热 平衡时，分子的速率（速度）分布有其统计规律性。
理想气体在热动平衡状态下，各个速率区间 内的分子占总分子数的百分比的规律——速率分 布律。
RT
, 则 n 按指数而减小；
m ol
②分子的摩尔质量 M
RT
越大，重力
P P0 e
M m ol gh
作用越显著，n 的减小就越迅速。 ③T ，分子的无规则热运动越剧 烈，n 的减小就越缓慢。
8 RT v M mol
Байду номын сангаас
o
vp v
v2
v
v2
3RT M mol
[附2] 三种速率 大小的比较
vp : v : v2 1.41:1.60 :1.73
[附1] 变换式
k 1.38 10
23
kT RT P m M mol
M PV RT M mol
P M RT RT V M mol M mol
根据某连续变量 x 的平均值等于该 量与概率密度函数乘积的积分的定义。
注意到
类似
也有 或
方均根速率 方均根速率 （ 的统计平均值的开平方）
即 作为参与统计平均的连续变量
则
注意到
得
回忆 联系
类似
也有
或
速率小结
应 用
大气的组成
地球形成之初，大气中应有大量的氢、氦，但很多 H2 分子和 He 原子的方均根速率超过了地球表面的逃逸速 率 ( 11.2km/s )，故现今地球大气中已没有大量的氢和氦了。 但 N2 和 O2 分子的方均根速率只有逃逸速率的 1/25 ， 故地球大气中有大量的氮气( ～ 大气质量的 76% )和氧气 ( ～ 大气质量的 23% )。
一、Maxwell 速率分布函数
1. 条件：理想气体在热动平衡状态下，不考虑重力。
2. 定义: 如果分子速率在 [v , v v ] 区间内的分子数 占总分子数的百分比为 N / N，设速率分布函数为
N dN f (v) lim N dv v 0 N v dN f (v)dv 即为概率。 N
M 2 0.1 2 P v (200) 2 3V 3 10
1.33 10 ( Pa)
5
例3：某气体在温度为T=273K时，压强为 p=1.0×10-2atm，密度 1.24 10 2 kg / m3 ， 求该气体分子的方均根速率。
解：
M RT V P PV RT , P M mol M mol M
2 RT vP M mol
1. 同一气体
M mol 一定
vP 2 vP1
2. 同一温度
M mol 不同
vP1 vP 2
§6-3 玻尔兹曼速度分布律
Boltemann’s Distribution 重力场中单位体 积内的粒子数按 高度分布 大气压强 按高度分布
推导
n n0 e
①h
M m ol gh
p=1.0×103 Pa
3RT 3P v M mol
2
495 m / s
例4：现有两条气体分子速率分布曲线（1）和（2）， 如图所示。若两条曲线分别表示同一种气体处于不同 的温度下的速率分布，则曲线 （ 2）表示的温度较高。 若两条曲线分别表示同一温度下的氢气和氧气的速率 分布，则曲线 （1） 表示的是氧气的速率分布。
2. 绝对零度不可能实现!
例1：气体分子间的平均距离与压强 p、温度 T的关系为 ，在压强为1atm、温度为 00C的情况下，气体分子间的平均距离？ m。（ k=1.38×10-23 J/K ）
N N 1 解： n 3 P nkT 3 V N 1 kT 3 9 ( ) 3.34 10 P
1 2 t mv 2
如：给自行车打气增加压强， 从微观上讲是增加了分子数密 度；篮球在太阳底下晒一晒后 可以鼓起来，从微观上讲是平 动动能增大了。 压强公式不是单纯的力学规 律，而是统计平均的关系式。
①宏观量p与微观量 t 之间存在对应关系。 ②压强P是统计平均量。
t P是宏观量，平均平动动能 是不可测量的，但据此得到 的各种结果都与实际相一致。
N 数 N Nf (v ) v 占总分子数的百分比。
④速率在 v 1 目
v 2 之间的分子数
v2 v1
f (v ) f (v )
S1=S2时,
大于v0的 分子数?
N N
f (v )dv
o o
S1 S1 S2 S2
v v00
v v
三、三种重要的速率
推导
f (v )
1. 最概然速率: v 2 RT P M mol （最可几速率） 2.平均速率： 3.方均根速率：
氧气摩尔质量 温度
3.20 10
处于平衡态
和
mol
27 C
气体分子的
27
273
300 （ k ）
394 ( m s )
447 ( m s )
483 ( m s )
例 2: 在容积为 10-2m3 的容器中，装有质量 100g 的气体，若气体分子的方均根速率为 200m/s， 求气体的压强? 解： 3RT 3PV 3kT 2 2 v v 2 v 200 M mol M m
玻尔兹曼
(1844-1906)
6.1 理想气体的压强和温度
本节运用统计方法，导出平衡态下理想气体的 压强和温度的统计表述。
一、理想气体的微观模型
1. 理想气体 分子运动的力学假设
①分子本身的大小比起它们之间的平均距离可忽略 不计。 ② 分子不停地运动，分子间以及与器壁的碰撞是完 全弹性的，单个分子运动遵从经典力学。 ③除碰撞瞬间外, 分子之间的作用,重力可忽略不计。
最概然速率
与此函数的极大值对应的速率
令 即
称为最可几速率
易得
因
则
或
不同条件比较
（或 用
） 进行比较
相同
相同
平均速率
在讨论气体分子平均自由程问题时涉及到分子的算术平均 速率概念；在讨论平均平动动能时涉及到方均根速率概念。 麦克斯韦速率分布函数就是计算此类速率的概率密度函数。
平均速率（算术平均速率）
1859年，Maxwell首先推导出理想 气体的速率分布函数。
f (v )
高 f (v )
o
宽 dv
v
3. 麦克斯韦速率分布函数：
dN m f (v ) 4 ( ) e Ndv 2 KT
3 2
mv 2 2 KT
v2
概率对应图 中小矩形的 面积
速率分布函数
玻耳兹曼常数， 若m、T 给定， 函数的形式可概括为
第六章 平衡态的统计规律
The Statistical Law of Equilibrium State
从微观角度研究分子的 热运动必须建立理想的微观 模型。本章将提出理想气体 的模型，推导出压强、温度 与微观量的关系，并介绍麦 克斯韦所导出的分子速率分 布规律。其中重点是压强、 温度公式，三个速率公式。
二、理想气体的压强公式
容器中气体宏观上施于器壁 的压强是大量分子对器壁不断 碰撞的结果。 y 正方向 z
o
单个分子的压 强毫无意义
2 P n t 3
推导
推导
P nkT
分子数密度
m
.
v1
l1
S x
l1
玻尔兹曼常数
N n V R 23 k 1.38 10 N0
分子热运动 平均平动动能
三、理想气体的温度公式
εt 3 kT 2
①揭示了宏观量 与微观量 t之 间的关系。
②温度T是一 个统计平均量。 ③ t 0 ④ 对任何气体 只要T相等，其 平均平动动能就 一定相等。
?
P nkT
2 P n t 3
3 t kT 2
1. 温度的微观本质：
温度是气体分子平均平动动能 大小的量度；它反映着分子做无规 则运动的情况。
v v v
2 x 2 y 2 z
2 2 v 2 vx vy vz2
1 2 v v v v 3
2 x 2 y 2 z
无规则运动的分子不断与器壁相碰，对个别分子它与器壁的碰撞是随机 的断续的，但对大量分子整体而言，每时刻都有许多分子与器壁相碰，所以 宏观上表现为一个恒定的持续的压力，就好比雨天打伞，每一滴雨落在何处， 冲量多大都是不同的，但由于雨滴数众多，每时刻总有许多雨滴落在伞上， 伞面将受到一个持续的压力。
2. 平衡态理想气体分子运动的统计假设 ①分子在容器中的空间分布平均来说是均匀的，分子数
密度：
dN N n dV V N 表示容器体积V内的分子数。
②具有相同速率的分子，向各个方向运动的平均分子数 是相等的：
统 计 结 果
v v v v
2 i 2 ix 2 iy
2 iz
vx v y vz 0
快减
快增
速率分布曲线 有单峰，不对称
两者相乘
速率
恒取正
[讨论]
① v 0, f (v ) 0 v , f (v ) 0
0
f (v)
线，小面积， 大面积的物 理意义？
v0 ②满足归一化条件： f (v)dv 1 o v0 v 1
dv
v 2 dv
v
③ f (v )v N 表示分布在 v v v 区间内的分子
§6-2 麦克斯韦速率分布律
在热动平衡条件下，气体分子的运动是杂乱无章的，若 考虑某一分子在某一时刻的速度大小和方向是随机偶然的， 是不容易也没有必要去掌握的。但就大量分子的整体，在热 平衡时，分子的速率（速度）分布有其统计规律性。
理想气体在热动平衡状态下，各个速率区间 内的分子占总分子数的百分比的规律——速率分 布律。
RT
, 则 n 按指数而减小；
m ol
②分子的摩尔质量 M
RT
越大，重力
P P0 e
M m ol gh
作用越显著，n 的减小就越迅速。 ③T ，分子的无规则热运动越剧 烈，n 的减小就越缓慢。
8 RT v M mol
Байду номын сангаас
o
vp v
v2
v
v2
3RT M mol
[附2] 三种速率 大小的比较
vp : v : v2 1.41:1.60 :1.73
[附1] 变换式
k 1.38 10
23
kT RT P m M mol
M PV RT M mol
P M RT RT V M mol M mol
根据某连续变量 x 的平均值等于该 量与概率密度函数乘积的积分的定义。
注意到
类似
也有 或
方均根速率 方均根速率 （ 的统计平均值的开平方）
即 作为参与统计平均的连续变量
则
注意到
得
回忆 联系
类似
也有
或
速率小结
应 用
大气的组成
地球形成之初，大气中应有大量的氢、氦，但很多 H2 分子和 He 原子的方均根速率超过了地球表面的逃逸速 率 ( 11.2km/s )，故现今地球大气中已没有大量的氢和氦了。 但 N2 和 O2 分子的方均根速率只有逃逸速率的 1/25 ， 故地球大气中有大量的氮气( ～ 大气质量的 76% )和氧气 ( ～ 大气质量的 23% )。
一、Maxwell 速率分布函数
1. 条件：理想气体在热动平衡状态下，不考虑重力。
2. 定义: 如果分子速率在 [v , v v ] 区间内的分子数 占总分子数的百分比为 N / N，设速率分布函数为
N dN f (v) lim N dv v 0 N v dN f (v)dv 即为概率。 N
M 2 0.1 2 P v (200) 2 3V 3 10
1.33 10 ( Pa)
5
例3：某气体在温度为T=273K时，压强为 p=1.0×10-2atm，密度 1.24 10 2 kg / m3 ， 求该气体分子的方均根速率。
解：
M RT V P PV RT , P M mol M mol M
2 RT vP M mol
1. 同一气体
M mol 一定
vP 2 vP1
2. 同一温度
M mol 不同
vP1 vP 2
§6-3 玻尔兹曼速度分布律
Boltemann’s Distribution 重力场中单位体 积内的粒子数按 高度分布 大气压强 按高度分布
推导
n n0 e
①h
M m ol gh
p=1.0×103 Pa
3RT 3P v M mol
2
495 m / s
例4：现有两条气体分子速率分布曲线（1）和（2）， 如图所示。若两条曲线分别表示同一种气体处于不同 的温度下的速率分布，则曲线 （ 2）表示的温度较高。 若两条曲线分别表示同一温度下的氢气和氧气的速率 分布，则曲线 （1） 表示的是氧气的速率分布。
2. 绝对零度不可能实现!
例1：气体分子间的平均距离与压强 p、温度 T的关系为 ，在压强为1atm、温度为 00C的情况下，气体分子间的平均距离？ m。（ k=1.38×10-23 J/K ）
N N 1 解： n 3 P nkT 3 V N 1 kT 3 9 ( ) 3.34 10 P
1 2 t mv 2
如：给自行车打气增加压强， 从微观上讲是增加了分子数密 度；篮球在太阳底下晒一晒后 可以鼓起来，从微观上讲是平 动动能增大了。 压强公式不是单纯的力学规 律，而是统计平均的关系式。
①宏观量p与微观量 t 之间存在对应关系。 ②压强P是统计平均量。
t P是宏观量，平均平动动能 是不可测量的，但据此得到 的各种结果都与实际相一致。
N 数 N Nf (v ) v 占总分子数的百分比。
④速率在 v 1 目
v 2 之间的分子数
v2 v1
f (v ) f (v )
S1=S2时,
大于v0的 分子数?
N N
f (v )dv
o o
S1 S1 S2 S2
v v00
v v
三、三种重要的速率
推导
f (v )
1. 最概然速率: v 2 RT P M mol （最可几速率） 2.平均速率： 3.方均根速率：
氧气摩尔质量 温度
3.20 10
处于平衡态
和
mol
27 C
气体分子的
27
273
300 （ k ）
394 ( m s )
447 ( m s )
483 ( m s )
例 2: 在容积为 10-2m3 的容器中，装有质量 100g 的气体，若气体分子的方均根速率为 200m/s， 求气体的压强? 解： 3RT 3PV 3kT 2 2 v v 2 v 200 M mol M m
玻尔兹曼
(1844-1906)
6.1 理想气体的压强和温度
本节运用统计方法，导出平衡态下理想气体的 压强和温度的统计表述。
一、理想气体的微观模型
1. 理想气体 分子运动的力学假设
①分子本身的大小比起它们之间的平均距离可忽略 不计。 ② 分子不停地运动，分子间以及与器壁的碰撞是完 全弹性的，单个分子运动遵从经典力学。 ③除碰撞瞬间外, 分子之间的作用,重力可忽略不计。
最概然速率
与此函数的极大值对应的速率
令 即
称为最可几速率
易得
因
则
或
不同条件比较
（或 用
） 进行比较
相同
相同
平均速率
在讨论气体分子平均自由程问题时涉及到分子的算术平均 速率概念；在讨论平均平动动能时涉及到方均根速率概念。 麦克斯韦速率分布函数就是计算此类速率的概率密度函数。
平均速率（算术平均速率）
1859年，Maxwell首先推导出理想 气体的速率分布函数。
f (v )
高 f (v )
o
宽 dv
v
3. 麦克斯韦速率分布函数：
dN m f (v ) 4 ( ) e Ndv 2 KT
3 2
mv 2 2 KT
v2
概率对应图 中小矩形的 面积
速率分布函数
玻耳兹曼常数， 若m、T 给定， 函数的形式可概括为
第六章 平衡态的统计规律
The Statistical Law of Equilibrium State
从微观角度研究分子的 热运动必须建立理想的微观 模型。本章将提出理想气体 的模型，推导出压强、温度 与微观量的关系，并介绍麦 克斯韦所导出的分子速率分 布规律。其中重点是压强、 温度公式，三个速率公式。
二、理想气体的压强公式
容器中气体宏观上施于器壁 的压强是大量分子对器壁不断 碰撞的结果。 y 正方向 z
o
单个分子的压 强毫无意义
2 P n t 3
推导
推导
P nkT
分子数密度
m
.
v1
l1
S x
l1
玻尔兹曼常数
N n V R 23 k 1.38 10 N0
分子热运动 平均平动动能
三、理想气体的温度公式
εt 3 kT 2
①揭示了宏观量 与微观量 t之 间的关系。
②温度T是一 个统计平均量。 ③ t 0 ④ 对任何气体 只要T相等，其 平均平动动能就 一定相等。
?
P nkT
2 P n t 3
3 t kT 2
1. 温度的微观本质：
温度是气体分子平均平动动能 大小的量度；它反映着分子做无规 则运动的情况。
v v v
2 x 2 y 2 z
2 2 v 2 vx vy vz2
1 2 v v v v 3
2 x 2 y 2 z
无规则运动的分子不断与器壁相碰，对个别分子它与器壁的碰撞是随机 的断续的，但对大量分子整体而言，每时刻都有许多分子与器壁相碰，所以 宏观上表现为一个恒定的持续的压力，就好比雨天打伞，每一滴雨落在何处， 冲量多大都是不同的，但由于雨滴数众多，每时刻总有许多雨滴落在伞上， 伞面将受到一个持续的压力。
2. 平衡态理想气体分子运动的统计假设 ①分子在容器中的空间分布平均来说是均匀的，分子数
密度：
dN N n dV V N 表示容器体积V内的分子数。
②具有相同速率的分子，向各个方向运动的平均分子数 是相等的：
统 计 结 果
v v v v
2 i 2 ix 2 iy
2 iz
vx v y vz 0