课题：求曲边梯形的面积

课题：求曲边梯形的面积

授课班级：高二（12）班 主讲老师：曹祖志 授课时间：2012年5月23日（星期三第6节） 地点：史地室

一．教学目标

1．知识与技能：了解求简单曲边梯形（x 轴上方）的面积的一般求法（即“分割以直

代曲

作和

逼近”），在“以直代曲”方案比较中建构出定积分的概念，初步理解定积分的

几何意义，能利用定积分的几何意义求曲边梯形的面积．

2．过程与方法：在解决问题（求曲边梯形）的过程中，体会“以直代曲”的方法和极限的思想；在方案比较中建构数学知识；初步体会数学的思维过程，学会猜想、比较、验证．

3．情感态度与价值观：培养学生主动探求知识、合作交流的意识，培养借助信息技术探究数学问题的意识，感受数学思维的全过程，改善数学学习信念．能够让90%的学生会用“以直代曲”方法求简单曲边梯形的面积。

二．教学重点 “以直代曲”求曲边梯形的面积步骤。 三．教学难点 分割方法及极限思想。 四．教学过程 １．情境创设

已知“嫦娥一号”升空做直线运动，设经过t s 后的运动速度为)(t v （单位：m/s ），若()v t 的图象分别如图（1）（2）（3）中曲线所示，试求a t b ≤≤内物体运动的总路程．

由物理学知识可知，S 即对应曲线下方的“曲边梯形”的面积．因此，问题即转化为如何求曲边梯形的面积，如果说图（2）中“曲边梯形”面积可分解为三个梯形的面积，那么图（3）中“曲边梯形”面积又该如何求呢？

２．操作探究

为了便于研究问题，我们不妨将问题简化，求直线0,1,0x x y ===和曲线2y x =所围成的图形（曲边三角形）的面积S ．

活动① 方案提出

通过计算机演示，启发学生将曲边梯形细分为若干小曲边梯形，并能提出以矩形面积近似替代曲边梯形面积，初步形成“分割⇒以直代曲⇒作和⇒逼近”的问题解决方案，在具体“以直代曲”过程中能通过小组讨论的形式提出多种方案．

活动② 方案落实

以左端点对应的函数值为矩形的边长为例（本过程教师讲授为主）． 1．分割

把区间[]0,1等分成n 个小区间（思考：为什么要等分区间？分多少段？）：

10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，…，1,n n n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 每个区间的长度为11

i i x n n n

-∆=

-=. 过各区间端点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作1S ∆，

2S ∆，…，i S ∆，…，n S ∆．即12...n S S S S =∆+∆++∆．

2．以直代曲

对区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的小曲边梯形，以区间左端点1i n -对应的函数值2

11()i i f n n --⎛⎫= ⎪⎝⎭

为一边的长，以1

x n

∆=

为邻边的长的小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积， 即2

111()i i i S f x n n n

--⎛⎫∆≈∆=⋅ ⎪⎝⎭．

3．作和

因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形的面积之和

n S 就是所求曲边三角形面积S 的近似值，其中

2

2222

31111[012...(1)n

n i i S n n n n =-⎛⎫=⋅=++++- ⎪⎝⎭∑]．

4、逼近

当分割无限变细，即0x ∆→（亦即n →+∞）时，n S S →.

S 的求法包括：

方法1、计算机计算（一个大致结果）． 方法2、体积构造法:

2

111n

n i i S n n =-⎛⎫=⋅

⎪⎝

⎭∑.

将单位正方体每条棱n 等分，得到n 个长方体，其体积之和即为n S ；当n →+∞时，该几何体无限逼近四棱锥A ABCD '-，又13A ABCD V '-=

，从而13

S =． 方法3、公式法:

由222

1

12...(1)(21)6

n n n n +++=

++（公式推导见教材第二章推理与证明P 72）有

222233111111[012...(1)](1)(21)(1)(2)66n S n n n n n n n n

=

++++-=⋅--=--， 当n →+∞时，32161=⋅⋅→n S ，从而1

3

S =．

活动③ 实践检验

学生借助于公式法检验另一方案（以右端点的函数值为近似矩形的边长），通过真实的验证过程感受最后总结探究中的曲边梯形面积与具体的“以直代曲”方案无关，从而感受极限思想．

活动④过程回顾

“分割⇒以直代曲⇒作和⇒逼近”四个过程可用如下图（1）至图（4）描述：

活动⑤总结探究

学生通过讨论可得到以上常见的三种方案，即分别以矩形ABCD 、矩形ABEF 、梯形ABDE （方案3如果学生提不出，可不予考虑）来近似代替相应曲边梯形的面积．

以下用计算机演示检验当n →+∞时，其和式均无限趋近于同一结果．其实具体方案中虽

然面积会有差异，即ABCD ABED ABEF S S S <<，但当n →+∞时，其和式均无限趋近于同一结果，即均能用来求曲边梯形的面积（一方面让学生操作电脑感受，同时借助简单的公式推导强化认识）．从而可将“以直代曲”的方案加以拓展，即可以取小区间内任意一点i x 所对应的函数值()i f x 作为小矩形一边的长，和式()()()12...n n S f x x f x x f x x =∆+∆++∆近似表示曲边梯形面积．

三．初步应用

1．计算直线0,1,0===y x x 和曲线3x y = 围成的阴影图形的面积．

2．火箭发射后t s 的速度为)(t v (单位:m/s),假定100≤≤t ,对函数)(t v 按上式所作的和具有

(1) (2) (3) (4)