圆的方程圆的标准方程
圆的标准方程和一般方程
圆的标准方程和一般方程圆是平面上一点到定点的距离等于定长的点的集合，是平面几何中非常重要的图形之一。
在代数几何中，我们通常会用方程来描述圆的性质和特点。
本文将介绍圆的标准方程和一般方程，帮助读者更好地理解和掌握圆的代数表达方法。
首先，让我们来看看圆的标准方程。
对于平面上的一个圆，假设圆心坐标为（a，b），半径为r，则圆的标准方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = r²。
其中，（x，y）为平面上任意一点的坐标。
这个方程描述了平面上任意一点到圆心的距离平方与半径平方之间的关系，从而确定了圆的位置和形状。
接下来，我们来讨论圆的一般方程。
一般方程的形式为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0。
其中D、E、F为常数。
通过一般方程，我们可以得到圆的圆心和半径。
具体来说，可以通过以下步骤完成：1. 将一般方程化为标准方程的形式，即完成平方项的配方。
2. 通过比较标准方程和一般方程的系数，得到圆心的坐标（a，b）和半径的值r。
需要注意的是，一般方程中的系数D、E、F的取值会影响到圆的位置和形状，因此在使用一般方程时需要格外小心，确保计算的准确性和可靠性。
在实际问题中，我们经常需要根据已知条件来确定圆的方程。
例如，已知圆上的三点坐标，我们可以通过代数方法求解出圆的标准方程或一般方程。
这需要运用到代数方程的解法和圆的性质，是对数学知识的综合运用和实际问题的抽象化处理。
总之，圆的标准方程和一般方程是描述圆形在代数上的重要工具，它们可以帮助我们更好地理解和分析圆的性质。
在学习和工作中，我们需要熟练掌握这些方程的推导和运用，从而更好地解决实际问题。
希望本文能够帮助读者更好地理解圆的代数表达方法，对圆的标准方程和一般方程有更清晰的认识。
让我们共同努力，提高数学水平，更好地应用数学知识解决实际问题。
圆的一般方程和标准方程
圆的一般方程和标准方程圆是一种基本的几何形状，在很多方面都有广泛的应用，其中一个重要的应用就是它能够帮助我们描述和解释几何图形。
在几何学当中，对圆的描述方法主要有两种：一般方程和标准方程。
一般方程是指可以用来描述圆的方程，这种方程的标准形式是：Ax2 + By2 +Cxy +Dx +Ey +F= 0，其中A，B，C，D，E，F都是实数，A和B不能同时为零。
可以看出，一般方程由三部分组成：高次平方项的部分，二次乘积项的部分，一次项的部分，可以根据这三部分构成不同的一般方程。
如果一个圆的中心点和半径都是知道的，那么圆的一般方程可以表示为：(x - x0)2 + (y - y0)2 = r2，其中（x0，y0）是圆心坐标，r是圆的半径。
从上式可以看出，当A＝1，B＝1，C＝0，D＝-2x0，E ＝-2y0，F＝x0^2 + y0^2-r^2时，这就是一个完整的圆的一般方程了。
标准方程是指可以用来描述圆的另一种方程，它的标准形式是：(x-a)2 + (y-b)2 = r2，其中（a，b）是圆心坐标，r是圆的半径。
从上式可以看出，标准方程由三部分组成：两个二次平方项的部分，一个常数r^2。
标准方程比一般方程更容易操作，因为它只有三个参数（a，b，r），只要知道圆心坐标和半径，就可以很轻松地求出标准方程。
因此，标准方程在描述几何结构方面非常有用。
总之，圆的一般方程和标准方程可以有效地帮助我们描述和解释几何图形，它是几何学的基本工具。
一般方程由三部分组成：高次平方项的部分，二次乘积项的部分，一次项的部分，而标准方程只有三个参数（a，b，r），只要知道圆心坐标和半径，就可以求出标准方程。
只要理解它们的原理，就可以更方便地解决几何学问题。
圆的标准方程式
圆的标准方程式圆是平面几何中的重要图形之一，其标准方程式是描述圆的一种数学表达方式。
通过圆的标准方程式，我们可以清晰地了解圆的性质和特点，进而在数学问题中灵活运用。
本文将详细介绍圆的标准方程式及其相关知识点。
首先，我们来看圆的定义，圆是平面上到定点距离等于定长的所有点的集合。
在平面直角坐标系中，圆可以由一个定点为圆心、一个正数为半径来描述。
根据这一定义，我们可以得出圆的标准方程式。
圆的标准方程式为，(x a)² + (y b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。
这个方程式的推导可以通过圆的定义和距离公式得出，具体推导过程略。
通过圆的标准方程式，我们可以得出一些重要结论：1. 圆的半径为正数，表示圆的大小；2. 圆心坐标(a, b)表示圆的位置；3. 圆心到圆上任意一点的距离都等于半径r。
在实际问题中，我们可以利用圆的标准方程式来解决一些几何和代数问题。
例如，给定圆心和半径，我们可以方便地求出圆上任意一点的坐标；或者给定圆上的某点，可以判断该点是否在圆内或者在圆上。
除了标准方程式外，圆还有其他几种常见的方程式，如一般方程式和参数方程式。
这些方程式在不同的问题中有着各自的优势和适用范围，需要根据具体情况进行选择和运用。
总之，圆的标准方程式是描述圆的重要数学工具，通过它我们可以清晰地了解圆的性质和特点，解决各种数学问题。
在学习和应用过程中，我们需要深入理解圆的定义和相关知识，灵活运用圆的标准方程式，不断提高数学素养和解决问题的能力。
希望本文对圆的标准方程式有所帮助，让我们共同努力，探索数学的奥秘，提高数学应用能力。
圆的标准方程与一般方程
∙圆的定义：
平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆。
定点就是圆心，定长就是半径。
圆的标准方程：
圆的标准方程，圆心（a，b），半径为r；特别当圆心是（0，0），半径为r时，圆的标准方程为。
圆的一般方程：
圆的一般方程
当＞0时，表示圆心在，半径为的圆；
当=0时，表示点；
当＜0时，不表示任何图形。
∙圆的定义的理解：
（1）定位条件：圆心；定形条件：半径。
（2）当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．因此一个圆最基本的要素是圆心和半径．
圆的方程的理解：
(1)圆的标准方程中含有a，b，r三个独立的系数，因此，确定一个圆需三个独立的条件．其
中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件．
(2)圆的标准方程的优点在于明确显示了圆心和半径．
(3)圆的一般方程形式的特点：
a．的系数相同且不等于零；
b．不含xy项．
(4)形如的方程表示圆的条件：
a．A=C≠0；
b．B=0;
c.即 几种特殊位置的圆的方程：。
圆的标准方程
2、写出下列各圆的方程 x2 + y2 = 9 圆心为（ ），半径为 半径为3 （1）圆心为（0，0），半径为3 ( x − 3) 2 + ( y − 4) 2 = 4 圆心为（ ），半径为 半径为2 （2）圆心为（3，4），半径为2
用一用
求过点A(6,0),且圆心 的坐标为（3，2）的圆的 求过点 且圆心B的坐标为（ ， ） 且圆心 的坐标为 方程. 方程 y 解 ：因为圆的半径
用一用
求以直线x - y + 1 = 0和x + y - 1 = 0的交点为 圆心，半径为5的圆的方程.并判断A(4,4), B(3,2), C(5,3)与该圆的位置关系.
解 由方程组 x - y + 1 = 0 x + y - 1 = 0 x = 0 解得 y = 1
即所求圆的圆心坐标为（0， 1），又因为半径为5
所以所求圆的方程为 x 2 + ( y − 1) 2 = 25
用一用
△ ABC的三个顶点坐标是A(4,0), B (0,3), C (0,0)， 求它的外接圆的方程.
用一用
例3：已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B (2， 2), − 且圆心在直线l : x − y + 1 = 0上，求此圆的标准方程.
半径的圆的标准方程为 以 C(a，b)为圆心，以 r 为半径的圆的标准方程为 ， 为圆心，
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 － －
如果圆心在原点，此时 如果圆心在原点，此时a=0，b=0 此时，圆的标准方程就是： 此时，圆的标准方程就是： x2＋y2＝r2
y
ห้องสมุดไป่ตู้
M（x，y） （ ， ） O x
圆的标准方程
圆的标准方程圆是平面上一点到定点距离等于定长的轨迹，是一种非常基础而重要的几何图形。
在数学中，我们经常需要研究圆的性质和方程，其中圆的标准方程是我们研究的重点之一。
本文将详细介绍圆的标准方程及其相关知识。
首先，我们来看一下圆的定义。
圆是平面上到定点距离等于定长的轨迹。
在平面直角坐标系中，设圆心坐标为（a，b），半径为r，则圆上任一点的坐标为（x，y），则圆的标准方程为：（x-a）^2 + (y-b)^2 = r^2。
这就是圆的标准方程。
从这个方程中我们可以看出，圆的标准方程的一般形式是(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中（a，b）表示圆心的坐标，r表示圆的半径。
这个方程的推导可以通过圆的定义和勾股定理来进行，是一个非常重要的数学知识点。
接下来，我们来看一下圆的标准方程的性质。
圆的标准方程可以直观地表示出圆的位置、形状和大小。
通过圆的标准方程，我们可以轻松地求出圆的圆心和半径，从而更好地研究和分析圆的性质。
同时，圆的标准方程也可以方便地与其他几何图形进行联立方程，进行几何分析和证明。
在实际问题中，圆的标准方程也有着广泛的应用。
比如在工程技术中，圆的标准方程可以用来描述和分析圆形结构的性质和变化规律；在物理学中，圆的标准方程可以用来描述和分析圆形运动的轨迹和规律；在计算机图形学中，圆的标准方程可以用来进行图形的绘制和处理等等。
总之，圆的标准方程是我们在数学和实际问题中经常会遇到的重要内容，它具有重要的理论意义和实际应用价值。
通过对圆的标准方程的学习和掌握，可以帮助我们更好地理解和应用圆的相关知识，提高数学分析和解决实际问题的能力。
以上就是关于圆的标准方程的介绍，希望对你有所帮助。
如果你对圆的标准方程还有其他疑问或者想了解更多相关内容，可以继续深入学习和探讨，相信会有更多收获。
祝你学习进步，工作顺利！。
圆的标准方程式
圆的标准方程式圆是平面上一点到另一点距离恒定的点的轨迹，是几何中的重要图形之一。
在数学中，我们可以通过方程式来描述圆的性质和特征。
圆的标准方程式是描述圆的一种常用形式，下面我们将详细介绍圆的标准方程式及其相关知识。
首先，我们来看圆的标准方程式是如何定义的。
圆的标准方程式是指圆的方程可以写成(x-a)²+(y-b)²=r²的形式，其中(a,b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
这种形式的方程叫做圆的标准方程式，它可以清晰地表达圆的位置和大小。
接下来，我们来看一些关于圆的标准方程式的性质。
首先，圆的标准方程式中，圆心的坐标为(a,b)，这表示圆心在坐标系中的位置。
其次，圆的半径r决定了圆的大小，r越大，圆的直径越长，圆的面积也越大。
最后，圆的标准方程式中的(x,y)表示平面上任意一点的坐标，代入方程式后如果等式成立，则该点在圆上，否则不在圆上。
在实际应用中，圆的标准方程式可以帮助我们解决很多问题。
比如，在几何学中，我们可以通过圆的标准方程式来求圆的面积和周长；在物理学中，圆的标准方程式可以帮助我们描述物体的运动轨迹；在工程学中，圆的标准方程式可以用来设计圆形的构件和设备。
此外，圆的标准方程式还有一些特殊情况。
当圆的圆心在坐标系的原点时，圆的标准方程式可以简化为x²+y²=r²的形式；当圆的半径为1时，圆的标准方程式可以简化为(x-a)²+(y-b)²=1的形式。
综上所述，圆的标准方程式是描述圆的一种常用形式，它可以清晰地表达圆的位置和大小。
通过圆的标准方程式，我们可以更好地理解和应用圆的性质和特征，解决实际问题。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
圆的标准方程和一般方程
圆的标准方程和一般方程圆是平面上一组点的集合，这些点到圆心的距离都相等。
圆的标准方程和一般方程是表示圆的两种常用方程形式。
下面将详细介绍这两种方程。
一、圆的标准方程：这个方程的意思是，平面上的一个点(x,y)在圆上，当且仅当这个点到圆心的距离等于半径。
由标准方程可以得到一些重要的信息：1.圆心：方程中的(h,k)给出了圆的圆心坐标。
将方程与标准形式进行比较，可以直接读出圆心的坐标。
2.半径：方程中的r表示圆的半径。
半径是圆心到圆上任意一点的距离，由标准方程可以直接得到半径的值。
3.圆的性质：根据标准方程的形式，可以得出以下性质：（1）所有满足标准方程的点都在圆上；（2）圆心到圆上任意一点的距离都等于半径；（3）与圆心距离相等的两个点在圆上的切线互相垂直。
二、圆的一般方程：圆的一般方程是一种更一般化的圆的代数方程形式，通常写作Ax²+Ay²+Dx+Ey+F=0。
其中A、B、D、E、F都是实数，并且A和B不能同时为0。
这个方程的意思是，平面上的一个点(x,y)在圆上，当且仅当它满足这个方程。
一般方程与标准方程之间的转换：1.一般方程转换为标准方程：要将一般方程转换为标准方程，需要完成以下步骤：（1）将方程展开，同时移动所有项到等号右侧，得到形如Ax²+Ay²+Dx+Ey=-F的方程；（2）提取x和y的系数，得到形如A(x²+y²)+Dx+Ey=-F的方程；（3）将x²+y²用标准形式替代，即(x-h)²+(y-k)²=r²；（4）与一般形式进行比较，解得圆心坐标和半径。
2.标准方程转换为一般方程：要将标准方程转换为一般方程，需要完成以下步骤：（1）将标准方程展开，得到形如(x-h)²+(y-k)²=r²的方程；（2）将方程中的平方项进行拆分，得到形如x² - 2hx + h² + y² - 2ky + k² = r²；（3）将常数项合并，得到形如x² + y² - 2hx - 2ky + (h² + k² - r²) = 0；（4）与一般形式进行比较，解得一般方程的系数A、B、D、E和F。
圆的标准方程
圆的标准方程◆ 圆的标准方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。
定点是圆心，定长是圆的半径2、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=推导过程：设圆心坐标(,)C a b ，半径为r ，圆上任意点坐标为(,)M x y ，则||MC r =由22()()x a y b r -+-=，两边平方得：222()()x a y b r -+-=……①①即为圆的标准方程，圆心(,)C a b ，半径为r 如果圆心在坐标原点，则0,0a b ==，∴222x y r += 考点：点与圆的位置关系如果点00(,)M x y 在圆222()()x a y b r -+-=上，则22200()()x a y b r -+-=如果点00(,)M x y 在圆222()()x a y b r -+-=外，则22200()()x a y b r -+-> 如果点00(,)M x y 在圆222()()x a y b r-+-=内，则22200()()x a y b r -+-< 3、求圆的标准方程例1、（1）圆心在点(2,1)C -，并过点(2,2)A -（2）圆心在点(1,3)C ，并与直线3460x y --=相切（3）过点(0,1)和点(2,1)，半径为5例2、求过点(6,0)A ，(1,5)B ，且圆心在直线:2780l x y -+=上的圆的方程。
例3、求与两坐标轴都相切，且圆心在直线2350x y -+=上的圆的标准方程。
◆ 课堂练习1、圆22(8)(8)10x y ++-=的圆心为 ，半径为 。
2、圆心为(2,3)C -且经过原点的圆的方程为___________________。
3、经过(0,0)，圆心在x 轴负半轴上，半径等于5的圆的方程________________。
4、已知一圆的圆心为点(2,3)A -，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，求圆的方程____________________。
圆的标准式方程
圆的标准式方程圆是平面上一点到固定点的距离等于一个常数的点的集合，这个常数就是圆的半径。
圆是几何中非常重要的图形之一，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在代数几何中，圆也是一个重要的研究对象，我们可以用方程的形式来描述圆。
圆的标准式方程是圆的一种常见表示方法，它可以简洁地描述圆的几何性质，方程形式为：(x a)² + (y b)² = r²。
其中(a, b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
这个方程的推导可以通过圆的定义和距离公式来实现。
我们知道，圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，假设圆心坐标为(h, k)，圆上一点的坐标为(x, y)，根据两点之间的距离公式可得：√((x h)² + (y k)²) = r。
将r²展开得到：(x h)² + (y k)² = r²。
这就是圆的标准式方程的推导过程。
通过这个方程，我们可以很方便地得到圆的几何特征，比如圆心坐标、半径长度等。
在实际应用中，圆的标准式方程可以帮助我们解决很多问题。
比如在几何问题中，我们可以通过方程快速确定圆的位置和性质；在物理问题中，我们可以利用方程描述圆形的运动轨迹；在工程问题中，我们可以通过方程计算圆形的面积和周长等。
除了标准式方程，圆还有其他表示方法，比如参数方程、一般式方程等。
每种表示方法都有其适用的场合，但标准式方程是最常用的一种，因为它简洁明了，直观易懂。
总之，圆的标准式方程是描述圆的一种重要方式，它可以帮助我们快速准确地理解和应用圆的几何特性。
在学习和工作中，掌握这个方程对于解决各种与圆相关的问题都是非常有帮助的。
希望大家能够认真学习和掌握圆的标准式方程，提高数学素养，为今后的学习和工作打下坚实的基础。
1圆的标准方程
3.半径
①圆心到圆上一点 ②圆心到切线的距离
O C
x
3、已知 M
(5,7) 和圆 (x – 2 )2+(y + 3 )2=25
B
，则点M在 （ A 圆内
） C 圆外 D 无法确定
B圆上
判断一个点在不在某个圆上，只需将 这个点的坐标代入这个圆的方程，如果能 使圆的方程成立，则在这个圆上，反之如 果不成立则不在这系 2 2 2 怎样判断点 M 0 ( x0 , y0 ) 在圆 ( x a) ( y b) r
2 2 2
0 (4(b4) b) r (-2) +(y+10.5) =14.5 r (-2) +(y+10.5) =14.5 0 10 (0 b) r 010 (0()b)r 解得：y≈3.86(m) 0(44b b) r r 解得：y≈3.86(m)
2
10 (0 b) r (-2) +(y+10.5) =14.5 ( b) 2 10 －0 r2=14.52 2 r 2 解得：y≈3.86(m) 2 解得：b=10.5－10.52，r r 解得：b=， b) =14.5 解得：b=－0 ，r =14.5 解得：y≈3.86(m) 10 ( 10.5 答：支柱A2P答：支柱A2P22P的长度约为 的长度约为 答： 支柱A 2的长度约为 2 所以这个圆的方程是： 所以这个圆的方程是： 所以这个圆的方程是： 3.86(m) 3.86(m) 3.86(m) 2=14.52 x 解得：b=－10.5，r +(y+105) =14.5
一、引入新课
1、圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合。 定点 圆心 定长 半径
圆的标准式方程
圆的标准式方程圆是平面几何中常见的一种图形，它具有许多特殊的性质和方程形式。
在数学中，我们经常需要用方程来描述圆的位置、形状和大小。
圆的标准式方程就是一种常见的描述方式，下面我们就来详细介绍一下圆的标准式方程及其相关知识。
首先，让我们回顾一下圆的基本定义，圆是平面上到一个固定点距离等于定长的所有点的集合。
这个固定点称为圆心，定长称为半径。
根据这个定义，我们可以得出圆的标准式方程，若圆心坐标为（a，b），半径为r，则圆的标准式方程为(x-a)²+(y-b)²=r²。
在这个方程中，(x，y)代表平面上任意一点的坐标，(a，b)代表圆心的坐标，r代表圆的半径。
通过这个方程，我们可以方便地描述圆的位置和大小。
接下来，让我们来看一些具体的例子，来说明如何使用圆的标准式方程。
例1，已知圆心坐标为(3，4)，半径为5，求圆的标准式方程。
根据圆的标准式方程公式，代入圆心坐标和半径，得到方程为(x-3)²+(y-4)²=25。
例2，已知圆的标准式方程为(x+2)²+(y-1)²=16，求圆心坐标和半径。
通过比较方程和标准式方程的形式，可以得到圆心坐标为(-2，1)，半径为4。
通过以上两个例子，我们可以看到，圆的标准式方程是一种简洁而方便的描述方式，能够准确地表达圆的位置和大小。
在实际问题中，我们经常会遇到需要用方程描述圆的情况，因此掌握圆的标准式方程及其应用是非常重要的。
除了圆的标准式方程，我们还可以通过其他方式来描述圆，比如参数方程、一般式方程等。
每种描述方式都有其特点和适用范围，我们需要根据具体情况选择合适的方式来描述圆。
总之，圆的标准式方程是描述圆的一种重要方式，通过这种方式，我们可以准确地描述圆的位置和大小。
在实际问题中，掌握圆的标准式方程及其应用是非常重要的，希望本文对你有所帮助。
圆的方程标准式的圆心和半径
圆的方程標準式的圆心和半径
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目录
1.圆的定义与性质
2.圆的标准方程
3.圆心与半径的概念
4.圆心与半径的关系
5.圆的方程与几何应用
正文
1.圆的定义与性质
圆是平面上所有到一个固定点距离相等的点的集合。
这个固定点被称
为圆心，而到圆心的距离被称为半径。
圆具有许多重要的性质，如对称性、
旋转不变性以及周长和面积的计算公式等。
2.圆的标准方程
圆的标准方程为：(x - a) + (y - b) = r，其中 (a, b) 是圆心的
坐标，r 是半径。
这个方程描述了一个以圆心为中心、半径为 r 的圆。
3.圆心与半径的概念
圆心是圆上所有点到原点距离相等的点，它可以用坐标表示，例如 (a,
b)。
半径是圆的任意一点到圆心的距离，用 r 表示。
4.圆心与半径的关系
圆心和半径是圆的两个关键要素，它们共同决定了一个圆的位置和大小。
圆心决定了圆的位置，半径决定了圆的大小。
在圆的方程中，圆心和
半径的关系表现为：圆心坐标为 (a, b)，半径为 r。
5.圆的方程与几何应用
圆的方程在几何学中有广泛的应用，例如计算圆的面积、周长、求圆与直线的交点等。
此外，圆的方程还可以用于解决一些复杂的几何问题，如求解圆的切线、圆的内接四边形等。
总之，圆的方程、圆心和半径是几何学中的基本概念，它们在解决各种几何问题中发挥着重要作用。
圆的方程标准式的圆心和半径
圆的方程標準式的圆心和半径圆的方程标准式是指圆心在原点(0,0)的情况下的圆方程，表示为x^2 + y^2 = r^2。
其中，(x, y)为圆上任意一点的坐标，r为圆的半径。
在这种标准式下，圆心坐标为(0,0)，即圆心位于坐标原点。
而半径r则表示了圆的大小，r越大，圆的直径越长，r越小，圆的直径越短。
圆的方程标准式之所以常用，是因为它和直角坐标系密切相关，方便我们对圆进行数学运算和几何分析。
圆的方程标准式的推导如下：考虑圆上任意一点P(x, y)，根据勾股定理，它与原点的距离r满足以下关系：r^2 = x^2 + y^2这个关系可以理解为，点P到原点的距离的平方等于点P的横坐标与纵坐标的平方和。
而对于圆，所有点P都满足这个关系。
因此，我们可以用该方程来表示圆。
圆的方程标准式的特点如下：1.圆的半径为正值。
由圆心至圆上任意一点的距离是半径r，因此r必须是正值。
2.圆心位于坐标原点。
在方程x^2 + y^2 = r^2中，常数项为0，表示圆心坐标为(0,0)。
圆的方程标准式常用于描述具有坐标原点为圆心的圆。
当圆的圆心不位于坐标原点时，我们可以采用平移的方法将圆心平移到坐标原点，从而得到方程标准式。
平移操作只会改变圆心的坐标，而不会改变圆的大小和形状。
因此，圆的方程标准式是描述圆的常用形式之一。
对于圆的方程标准式，我们可以通过它来进行各种数学运算和几何分析。
1.圆的面积和周长计算。
由于圆的半径r已知，根据圆的面积公式和周长公式，我们可以直接计算出圆的面积和周长：面积：S = πr^2周长：C = 2πr其中，π是一个常数，约等于3.14159。
2.圆内外点的判断。
对于给定的点(x, y)，我们可以将其代入圆的方程标准式，计算左边和右边的值。
如果二者相等，则点在圆上；如果左边的值小于右边的值，则点在圆内；如果左边的值大于右边的值，则点在圆外。
3.圆与直线的交点和切线计算。
对于给定的直线方程，我们可以将其代入圆的方程标准式，将两个方程合并为一个方程。
最全面的圆的方程
圆的方程1、圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.2、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()222C 0：x-a y b r r +-=>，（1）点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->； （2）点M 在圆C 内⇔()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<； （3）点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=。
3、 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2422F E D r -+=. 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D . 当0422<-+F E D 时，方程无图形（称虚圆）.注：（1）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且2240D E AF +->.4、圆的直径式方程：已知1122(,)(,)A x y B x y 是圆的直径的两个端点，则圆的方程为 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=5、圆的参数方程及应用对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达形式cos sin x a R y b R θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。
一、求最值例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。
圆的标准方程
4.圆(x+1)2+(y-2)2=3的圆心和半径分别是( D )
（A）(1,-2)， 3
（B）(-1,2),3
（C）(1,-2),3
（D）(-1,2), 3
5.圆(x 2)2 y2 5关于原点（0，0）对称的圆的
标准方程是A
（A）(x 2)2 y2 5
(B)x2 ( y 2)2 5
(2)(x-1)2=8-(y+2)2 (3)y=√1-x2
2.圆心为点（3，4）且经过点（0，0）的
圆的标准方程是 C
( A)x2 y2 25 (B)x2 y2 5 (C)(x 3)2 ( y 4)2 25 (D)(x 3)2 ( y 4)2 25
3.求过点A（-1，0），B（0，2）且以线段 AB为 直径的圆的标准方程。
7. 圆心在y轴，半径为1，且过点（1，2）
的圆的方程是( A ) （A）x2+(y-;2)2=1
（C）(x-1)2+(y-3)2=1 （D）x2+(y-3)2=1
8.圆(x 2)2 ( y 3)2 5关于x轴对称的圆的
标准方程是 (x-2)2+(y-3)2=5
(C)(x 2)2 ( y 2)2 5 (C)x2 ( y 2)2 5
6.过点A(1，-1），B(1,1),且圆心在直线x y 2 0
上的圆的方程是B
( A)(x 3)2 ( y 1)2 4 (C)(x 3)2 ( y 1)2 4
(B（) x 1)2 ( y 1)2 4 (D)(x 1)2 ( y 1)2 4
1.圆心为（a,b），半径为 r的圆的标准方程是：
(x-a)2+(y-b)2=r2
2.圆心在原点，半径为r的圆的标准方程是：
圆的标准方程
得： 整理得： 整理得：
(x − 0) + ( y − 0) = r
2 2
2
x +y =r
2 2
2
典型例题
半径长等于5的 例1 写出圆心为A(2,−3) ，半径长等于 的 圆的方程. 圆的方程 半径长等于5的圆的 解：圆心是 A(2,−3) ，半径长等于 的圆的 标准方程是： 标准方程是： +(y写出圆的标准方程是 例2 写出圆的标准方程是(x+3)2+(y-4)2=25 的圆心和半径. 的圆心和半径. 解：圆的标准方程是(x+3)2+(y-4)2=25的 +(y圆心是（ ），半径是 半径是5 圆心是（-3，4），半径是5
(x − a )2 + ( y − b )2 .
p = {M || MC |= r}
( x − a ) + ( y − b) = r
2 2
（两边同时平方） 两边同时平方）
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2
圆的标准方程
(x − a) + ( y − b) = r
2 2 2
把这个方程称为圆心为C(a, b)，半径 把这个方程称为圆心为 ， 长为r 的圆的方程，把它叫做圆的标准方 长为 的圆的方程，把它叫做圆的标准方 程。
小结
(1)圆的标准方程是 (1)圆的标准方程是 (x − a) + ( y − b) = r (2)从圆的标准方程可以直接地看出圆 (2)从圆的标准方程可以直接地看出圆 的圆心和半径,其中圆心(a,b)定位, (a,b)定位 的圆心和半径,其中圆心(a,b)定位,半径 定形。 定形。 (3)知道圆的圆心和半径可以写出圆的 (3)知道圆的圆心和半径可以写出圆的 标准方程。 标准方程。
求圆的标准方程
求圆的标准方程
圆的标准方程是：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为圆的半径。
这个方程可以用来表示圆的几何性质。
(x - a)^2 + (y - b)^2 表示点(x,y)到圆心(a,b)的距离的平方，等于
r^2表示到圆心距离是r，即这个点在圆上。
具体地，在二维坐标系中，圆心坐标是(a,b)，圆的半径为r的圆的标准方程为：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
例如：圆心坐标为(3,4)，半径为5的圆的标准方程为：(x-3)^2 + (y-4)^2 = 5^2 即：(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25
如果你知道圆上的一个点坐标，可以用这个标准方程来确定圆心坐标和半径。
还有一种圆的标准方程是：x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0，其中g、f、c为常数
这种标准方程需要首先将圆心平移到原点(0,0)，然后再求出g、f、c 的值。
圆心平移到原点后，圆心坐标为(0,0),标准方程为：x^2 + y^2 = r^2 将其带入标准方程x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0，得：x^2 + y^2
+ 2gx + 2fy = -c
将x^2 + y^2 = r^2代入上式，得：r^2 + 2gx + 2fy = -c
根据上面的等式，得出g=-a/2，f=-b/2，c=a^2+b^2-r^2
所以x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0的标准方程为:x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - r^2 = 0
这两种标准方程都可以用来表示圆的几何性质，具体使用哪种方程取决于具体问题。
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故所求圆的:(方 x1程 )2为 (y3)2 9
练 习 ： 1 求 圆 心 在 - 1 ， 2 ， 且 与 y 轴 相 切 的 圆
的 方 程 ；
2求 圆 心 在 直 线 yx 上 ， 且 同 时 和 两 坐
标 轴 相 切 ， 半 径 为 2 的 圆 的 方 程 ；
1 解 ： 因 圆 与 y 轴 相 切 ,故 圆 的 半 径 为 1 ,
记忆： 圆的标准方程有哪些特点？
① 是关于x、y的二元二次方程；
② 方程明确给出了圆心坐标和半径； ③ 确定圆的方程必须具备三个独立条件即
a、b、r。
例1：看图写出下列圆的方程：
y
r
O
rx
x2+y2=r2
y
(x-a)2+(y-a)2=a2
y
C(a,a)
x C(a,b)
(x-a)2+(y-b)2=a2+b2
练 习 ： 求 过 点 C ( 1 ,1 )和 D (1 ,3 ),圆 心 在 x轴 上 的 圆 的 方 程 .
解 ： 依 题 意 设 所 求 圆 的 方 程 为 ( x a ) 2 y 2 r 2 .
解方程组((11a)a2)23212r2r2
得a2,r2 10,
故所求圆的方 (x程 2)2为 y2 10.
解 ： 设 圆 的 方 程 为 ( x 8 ) 2 ( y 3 ) 2 r 2
y
点 P(5,1)在圆 ,代 上 入圆的
C（8,3）
r2 13
P（5,1）
故所求圆的方程为：
0
x
(x8)2 (y3)2 13
也可用两点间距离公式求r
练 习 ： 已 知 A 4 ， 9， B 6 ， 3 ， 求 以 A B 为 直 径
的 圆 的 方 程 .
Y
A(4,9)
解 ： 设 A B 的 中 点 为 (a,b)
0
B(6,3) 则 a465,b936.
X
2
2
设圆(x 的 5 )2 A 方 ( B y (6 6 )2 程 4)r2 2 , 把 (3为 B 9( )6 2点 ,3 )代 210r 入 2 .
故所求圆的 (x方 5)2程 (y为 6)2 10
x
把点P2的横坐标x = -2 代入圆的方程，得 (-2) 2 + (y + 10.5) 2 = 14.5 2
因为P 2 的纵坐标 y > 0 ，所以 y 1.452(2)21.05
≈14.36 -10.5 = 3.86(m) 答：支柱A2P2的长度约为3.86m。
小结
(1)圆心为C(a ,b)，半径为r的圆的标准方程为 (x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2
y C(-1,2)
设所求圆的方程为: (x 1)2 ( y 2)2 r 2
x 所 求 圆 的 方 程 为 :(x 1 ) 2 (y 2 ) 2 1
-1 0
练 习 ： 1 求 圆 心 在 - 1 ， 2 ， 且 与 y 轴 相 切 的 圆
的 方 程 ；
2求 圆 心 在 直 线 yx 上 ， 且 同 时 和 两 坐
y
x
例4 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨
度AB=20 m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一
个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m)
解：建立坐标系如图所示，
y
圆心在y轴上。
设圆心坐标是(0,b), 圆的 半径是r ,
x
则圆的方程是 x 2+( y -b)2 =r 2。
因为P、B都在圆上，所以它们的坐标(0,4)、(10,0)都是
O
x
练习: 写出下列各 y2 = 6
(1,0) 6
(2)(x+1)2 +(y-2)2 = 9
(-1，2) 3
(3)(x+a)2 + y2 = a2
(-a，0) |a|
例 2.已 知 圆 C 经 过 P (5,1 ),圆 心 C 8,3,
求 圆 C 的 方 程 .
12.2 圆的方程
1.圆的标准方程
问题:求圆心是C(a ,b)，半径 y 是r的圆的方程。
回顾
求曲线方程的一般步骤是：
O
建系
设点
列式
化简
r M(x,y)
C
x
证明
圆心是C(a,b)，半径是r的圆的标准方程是 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
圆心是C(a,b)，半径是r的圆的标准方程是 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
当圆心在原点时，a = b = 0，圆的标准方程为： x 2+ y 2= r 2
(2)由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数， 因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；
对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径 或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的 标准方程。
标 轴 相 切 ， 半 径 为 2 的 圆 的 方 程 ；
Y
(2)解：依题意得所求圆的方程为
2
y=x
-2
C(2,2)
(x-2)2+(y-2)2=4
C(-2,-2)
02 -2
X
(x+2)2+(y+2)2=4
例4 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该 圆拱跨度AB=20m， 拱高OP=4m，在建造时 每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长 度（精确到0.01m)
圆的方程的解。所以有
102 (0b)2 r2
02
(4b)2
r2
解之得：b = -10.5 , r2=14.5 2
例4 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨
度AB=20 m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个 支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0y.01m)
（续）
所以圆的方程是：
x2 + (y + 10.5) 2 = 14.5 2
例 3 . 求 以 C (1 ,3 )为 圆 心 ， 并 和 直 线 3 x 4 y 6 0
相 切 的 圆 的 方 程 .
y
C(1,3)
解：设所求圆的方程为: (x1)2(y3)2 r2
圆 心 C(1,3)到 直 线 3x4y60
0
x 的 距 离
3x-4y-6=0
r|31436| 3, 3242