人教版数学七年级下册-实数(基础)知识讲解
人教版数学七年级下册 6.3 .1实数 课件(共21张PPT)
9,
•
0.6,
64, 0, 3
0.13
（5）正实数数集合：
9 , 3 5,
64,
,
0.
•
6,
3,
0.13
（6）负实数集合： 3 ,
4
(7) 实数集合： 9 , 3 5, 64,
,
•
0.6,
3, 4
0,
3, 0.13
解:
课堂小结
1. 无理数及实数的概念 无限不循环小数叫做无理数；有理数与无理数统称实数. 2. 实数的分类
5 , 3 , 27 ,11, 9 2 5 4 9 11
它们都可以化 成有限小数或 无限循环小数 的形式
思考1:(1)整数能写成小数的形式吗？3可以看成是3.0吗？
可以 (2)由此你可以得到什么结论？
任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数; 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 思考2:除了有限小数和无限循环小数，还有什么其他类 型的小数吗？
无限不循环小数 叫做无理数
它们都是无限 不循环小数， 是无理数
π
练一练
把下列各数分别填入相应的集合内：
17 , 4
π
3,
4,
0.101，
, 3
2, 5
64, 2.121, 0.3737737773（相邻两个3之间7的个数逐渐加1）
．．．
有理数集合
．．．
无理数集合
有理数和无理数统称实数，实数的分类如下：
（1）按定义分
整数
有理数：
有限小数或无限循环小数
实
分数
数
无理数： 无限不循环小数
含开方开不尽的数
π 含有 的数
人教版七年级数学下册实数知识点
一、本章共3小节共8个课时（3.10～3.21第5、6周）章节内容课时备注第六章实数8 86.1 平方根 36.2 立方根 26.3 实数 2单元小结 1二、本章概念1.算术平方根2.被开方数3.平方根（二次方根）4.开平方5.立方根（三次方根）6.开立方7.根指数8.无理数9.实数10.实数与数轴上的点一一对应.三、分类的数学思想1.2.四、估算下列各数分别界于哪两个整数之间1.282.2713.399【知识要点】1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”.2. 如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±a”（a称为被开方数）.3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.4. 平方根和算术平方根的区别与联系：区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个.联系：（1）被开方数必须都为非负数；（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根.（3）0的算术平方根与平方根同为0.5. 如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“3a”（a称为被开方数）.6. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根.7. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）.8. 立方根与平方根的区别：一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0.9. 一般来说，被开放数扩大（或缩小）n倍，算术平方根扩大（或缩小）n倍，例如=.25=50,5250010.平方表：（自行完成）题型规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1.2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同.3≥0a≥0.4、公式：⑴)2=a（a≥0）=（a取任何数）.5、区分2=a （a ≥0），与 2a =a6.非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）.【典型例题】1.下列语句中，正确的是（ D ）A ．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数B ．负数没有立方根C ．一个实数的立方根不是正数就是负数D ．立方根是这个数本身的数共有三个2. 下列说法正确的是（ C ）A ．－2是2的算术平方根B ．3是－9的算术平方根C ．16的平方根是±4D ．27的立方根是±33. 已知实数x ，y 满足(y ＋1)2=0，则x －y 等于解答：根据题意得，x －2=0，y ＋1=0，解得x=2，y=－1，所以，x －y=2－（－1）=2＋1=3．4.求下列各式的值（1）81±；（2）16-；（3）259；（4）2)4(-解答：（1）因为8192=，所以±81=±9.（2）因为1642=，所以－416-=.（3）因为253⎪⎭⎫⎝⎛=259，所以259=53.（4）因为22)4(4-=，所以4)4(2=-.5. 已知实数x ，y 满足(y ＋1)2=0，则x －y 等于解答：根据题意得，x －2=0，y ＋1=0，解得x=2，y=－1，所以，x －y=2－（－1）=2＋1=3．6. 计算（1）64的立方根是 4（2）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832±=±.其中正确的有 （ B ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个7.易混淆的三个数（自行分析它们）（1）2a （2）2)(a （3）33a综合演练一、填空题1、（－0.7）2的平方根是2、若2a =25,b =3,则a ＋b=3、已知一个正数的两个平方根分别是2a －2和a －4，则a 的值是4、ππ-+-43＝ ____________5、若m 、n 互为相反数，则n m +-5＝_________6、若 a a -=2，则a______07、若73-x 有意义，则x 的取值范围是8、16的平方根是±4”用数学式子表示为9、大于－2，小于10的整数有______个.10、一个正数x 的两个平方根分别是a ＋2和a －4，则a=__ ___，x=___ __.11、当_______x 时，3x -有意义.12、当_______x 时，32-x 有意义.13、当_______x有意义.14、当________x 时，式子2x -有意义. 15、若14+a 有意义，则a 能取的最小整数为二、选择题1． 9的算术平方根是（ ）A ．－3B ．3C ．±3D ．812．下列计算正确的是（ ）A±2 B C.636=± D.992-=-3．下列说法中正确的是（ ）A ．9的平方根是3 B224． 64的平方根是（ ）A ．±8B ．±4C ．±2 D5． 4的平方的倒数的算术平方根是（ ）A ．4B ．18C ．－14D ．146．下列结论正确的是（ ） A 6)6(2-=-- B 9)3(2=- C 16)16(2±=- D 251625162=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 7．以下语句及写成式子正确的是（ ）A 、7是49的算术平方根，即749±=B 、7是2)7(-的平方根，即7)7(2=-C 、7±是49的平方根，即749=±D 、7±是49的平方根，即749±=8．下列语句中正确的是（ ）A 、9-的平方根是3-B 、9的平方根是3C 、 9的算术平方根是3±D 、9的算术平方根是39．下列说法：(1)3±是9的平方根；(2)9的平方根是3±；(3)3是9的平方根；(4)9的平方根是3，其中正确的有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．4个10．下列语句中正确的是（ ）A 、任意算术平方根是正数B 、只有正数才有算术平方根C 、∵3的平方是9，∴9的平方根是3D 、1-是1的平方根三、利用平方根解下列方程．（1）（2x －1）2－169=0； （2）4（3x ＋1）2－1=0；四、解答题1、求972的平方根和算术平方根.2、计算33841627-+-+的值3、若0)13(12=-++-y x x ，求25y x +的值.4、若a 、b 、c 满足01)5(32=-+++-c b a ，求代数式a c b -的值.5、已知052522=-++-x x x y ，求7（x ＋y ）－20的立方根.6、阅读下列材料，然后回答问题. 在进行二次根式去处时，我们有时会碰上如35，32，132+一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：35＝3533333＝⨯⨯；（一） 32＝363332＝⨯⨯（二）132+＝））（（）－（1313132-+⨯＝131313222---＝）（）（（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化.132+还可以用以下方法化简： 132+＝131313131313131322-+-++-+-＝））（（＝）（＝（四） （1）请用不同的方法化简352+： ①参照（三）式得352+＝__________________； ②参照（四）式得352+＝___________________. （2）化简：12121...571351131-+++++++++n n。
人教版数学七年级下册-实数的性质及运算
例2 求下列各数的相反数和绝对值：
3，π 3.14. 解: 因为 ( 3) 3， (π 3.14) 3.14 π，
所以 3，π 3.14 的相反数分别为
3，3.14 π.
由绝对值的意义得
3 3，π 3.14 π 3.14.
练一练
（1）求 3 2的7 相反数； （2）已知 | a | = 3，求 a.
解：(1)∵ 3 64 ＝－4，
∴3 (2)∵
64 的相反数是4，倒数是 225 ＝15，
1 4
，绝对值是
4.
∴
225
的相反数是－15，倒数是
1 15
，绝对值是15.
(3)
11 的相反数是－ 11，倒数是
1 ，绝对值是 11 .
11
练一练 1. 3 的相反数是 3 ，
π 的相反数是 π ， 3 27 的 相反数是 -3.
(2) 因为 3 3， 3 3，所以 a 的值是 3 和 3.
实数的运算
填空：设 a，b，c 是任意实数，则
（1）a + b = b + a （加法交换律）；
（2）(a + b) + c = a + (b + c) （加法结合律）；
（3）a + 0 = 0 + a = a ；
（4）a + (-a) = (-a) + a = 0
；
（5）ab = ba （乘法交换律）； （6）(ab)c = a(bc) （乘法结合律）； （7） 1 ·a = a ·1 = a ；
（8）a(b + c) = ab + ac （乘法对于加法的分配律），
典例精析 例4 计算下列各式的值： (1)( 3 2) 2；
人教版七年级下册数学第六章实数课件：6.3 实数
正有理数
正实数
实数
正无理数
0 负实数
负有理数
负无理数
4.实数与数轴上的点是一一对应的.
教学课件 七年级数学下册（RJ）
第六章 实数
6.3 实根(2)
课前预习
带着问题自学课本P54“思考”
1.无理数也有相反数吗？怎么表示？ 2.有绝对值吗？怎么表示？ 3.有倒数吗？怎么表示？
探究新知
(1) 2的相反数是 ____2___ -π的相反数是____π_____ 0的相反数是____0_____
无理数的概念
所有的数都可以写成有限小数和无限循 环小数的形式吗？
2 =1.41421356237309504880168… 3 5 =1.70997594667669698935310…
π=3.1415926535897932384626…
1.01001000100001…（两个1之间依次多一个0）
解：- 的相反数是 π -3.14的相反数是3.14-π
（2）指出 - 5 ，1- 3 3 分别是什么数的相反数；
（2）- 是 的相反数； 1- 是 -1 的相反数；
例题讲解
（3）求 3 64 的绝对值；
|
|=|-4|=4.
（4）已知一个数的绝对值是 3 ，求这个数。
绝对值为 的数是 或-
实数的运算
35
9
3 4
0.6
（6）实数集合： 9 3 5
0.6
3 4
3 9 3 0.13
64
0.6
3
3
4
0.13
3 9
64 3
3 9
人教版七年级下册数学实数知识点
人教版七年级下册数学实数知识点1. 实数的概念：- 自然数：正整数，即1、2、3、4...- 整数：包括正整数、零和负整数，即...-3、-2、-1、0、1、2、3...- 有理数：可以表示为两个整数比值的数，分为有限小数和循环小数。
- 无理数：不能表示为两个整数比值的数，如π（圆周率）、√2（根号2）等。
2. 实数之间的关系：- 实数的比较：对于任意两个实数a、b，可以比较大小，满足：- a > b：表示a大于b；- a < b：表示a小于b；- a = b：表示a等于b。
- 实数的加法和减法：对于任意两个实数a、b，可以进行加法和减法运算，满足： - 加法：a + b = b + a；- 减法：a - b ≠ b - a（减法不满足交换律）。
- 实数的乘法和除法：对于任意两个实数a、b，可以进行乘法和除法运算，满足： - 乘法：a × b = b × a；- 除法：a ÷ b ≠ b ÷ a（除法不满足交换律）。
- 实数的绝对值：对于任意实数a，可以求出其绝对值，表示为|a|，满足：- 当a ≥ 0时，|a| = a；- 当a < 0时，|a| = -a。
3. 实数的运算性质：- 加法和乘法的结合律：对于任意三个实数a、b、c，满足：- 加法的结合律：(a + b) + c = a + (b + c)；- 乘法的结合律：(a × b) × c = a × (b × c)。
- 加法和乘法的分配律：对于任意三个实数a、b、c，满足：- 加法的分配律：a × (b + c) = a × b + a × c；- 乘法的分配律：(a + b) × c = a × c + b × c。
- 加法的单位元和逆元：对于任意实数a，存在0使得：- 加法的单位元：a + 0 = a；- 加法的逆元：存在一个实数-b，满足a + (-b) = 0。
七年级数学人教版下册第六章6.3.1实数及其分类课件
正有理数
有
理
数
0
负 有 理 数
8， ，-4.
限小数或无限循环小数的形式.
正数：{ ，…}；
∵
，∴
是有理数．∵
，
8， ，…}；
合作探究
知识点 1 无理数
探究 我们知道有理数包括整数和分数，请把下列分数写成 小数的形式，你有什么发现？
3
2
(相邻两个1之间0的个数逐次加1)， 3 9
，－
.
有理数：{ －7，0.32， 1 ，3.14·，0，…}； 2
3
无理数：{ 8 ， 1 ，0.101 001 000 1…(相邻两个1 2
之间0的个数逐次加1)， 3 9 ，－ ，…}； 2
正实数：{ 0.32，1 3
，3.14·，
8
，
1 2
这样的无限不循环小数．
例1 下列各数：3.141 59， 3 8 ，0.131 131 113…(每相
邻两个3之间依次多1个1)，－π，
2 5 ，
1 7
中，无
理数有( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
导引：∵3.141 59是有限小数，∴3.141 59是有理数．
∵ 3 8 2 ，∴ 3 8 是有理数．∵ 25 5 ，
人教版数学七年级下册
第六章
6.3.1 实数及其分类
学习目标
1.了解无理数和实数的概念以及实数的分 类。
2.知道实数与数轴上的点具有一一对应的 关系。
复习导入
…}；
(1)如图，OA=OB,数轴上点A对应的数是什么？它介
第六章 实数(单元解读)七年级数学下册(人教版)
本章内容属于“数与代数”领域，主要包括算术平方根、平方根、立 方根、实数的有关概念、运算以及实数在数轴.上的表示等内容，
教材内容 ---地位与作用
关于数的内容，整个初中阶段有有理数和实数，它们是“数与代数”领 域的重要内容.整个初中教材安排了三章内容，分别在七年级上册第一章 “有理数”，七年级下册第六章“实数”和八年级下册第十六章“二次根 式”.本章是在学习了“有理数”的基础上认识实数.除本章外，还要在“二 次根式”一章中通过研究二次根式的运算进一步认识实数的运算.
教材内容 ---教学目标
★能用有理数估计一个无理数的大致范围. ★了解无理数和实数概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相 反数和绝对值. ★了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号，表示数的平方根、 算术平方根、立方根. ★了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用 立方运算求百以内整数(对应的负整数)的立方根，会用计算器求平方根和立 方根.
教学建议 ---5.关注实数的文化价值
无理数的发现引发了数学史上的第一次危机，是数学发展史上的重要里程碑.引入 无理数经历了一个漫长而艰苦的过程，这个过程体现了人类为追求真理而不懈努力的精 神.因此，教学时可以结合无理数的发现和引入,挖掘数学知识的文化内涵，使学生感受 丰富的数学文化，开阔他们的眼界，增长他们的见识.
教学建议 算器进行比较复杂的运算，可以使学习的重点更好地集中到理解数学的本质 上来，估算是一种具有实际应用价值的运算能力.提倡使用计算器进行复杂运算，加强 估算，综合运用笔算计算器和估算等方式培养学生的运算能力，是本章的一个教学要求. 为了达到这个教学目的，本章专门安排了利用计算器求数的平方根和立方根以及利用有 理数估计无理数的大致范围等内容.因此，教学中应结合具体内容，综合利用各种途径 培养学生的运算能力.
人教版七年级数学下册15.实数全章复习与巩固(基础)典型例题(考点)讲解+练习(含答案).doc
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】实数全章复习与巩固（基础）责编：康红梅【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围. 【知识网络】【要点梳理】【：389318 实数复习，知识要点】 类型项目平方根 立方根 被开方数 非负数任意实数符号表示a ±3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零； 负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零；重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22a a a a a a a a a333333)(aa a a aa -=-==要点二：实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2532等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。
6.3.1实数的概念-人教版七年级数学下册教案
3.加强对讨论环节的引导，确保学生们围绕主题展开讨论，提高讨论效果。
4.关注沉默的学生，鼓励他们积极参与讨论，提高他们的自信心。
5.在教学过程中，注意观察学生的反应，及时调整教学方法，以提高教学效果。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“实数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
6.3.1实数的概念-人教版七年级数学下册教案
一、教学内容
本节课选自人教版七年级数学下册第六章第三节，标题为“6.3.1实数的概念”。教学内容主要包括以下三个方面：
1.实数的定义：介绍实数的概念，让学生了解实数是包含有理数和无理数的全体数，是数轴上的所有点对应的数。
2.实数的分类：将有理数和无理数进行分类，并举例说明。有理数包括整数、分数等，无理数如π、√2等。
-实数的精确表示：学生在表示无理数时可能会遇到困难，如何用有限的小数或分数精确表示无理数。
-实数运算的规则：尤其是无理数参与运算时，如何进行合理化简和计算。
-实数在数轴上的定位：在数轴上准确地找到无理数的位置，以及理解无理数与有理数之间的关系。
举例解释：
-对于无理数的理解，可通过π的近似值3.14的由来，说明π是无限不循环的小数，从而引出无理数的概念。
3.增强学生的空间观念：结合数轴，让学生在实际操作中感受实数与数轴的关系，提高空间想象力和直观感知能力。
人教版数学七年级下册第六章实数基础知识点讲解+典型例题讲解.doc
【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】平方根（基础）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a a a 的算术平方根”，a 叫做被开方数.要点诠释：a a a 0，a ≥0. 2.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为(0)a a ≥a 是a 的算术平方根.知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：a a2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质20||000a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20a aa =≥知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.62500250=62525= 6.25 2.5=0.06250.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根B.l 是l 的一个平方根C.()24-的平方根是－4 D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C ；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A.因为25＝5，所以本说法正确；B.因为±1＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；C.因为±()24-＝±16＝±4，所以本说法错误；D.因为0±＝0，0＝0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题． 举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）9-没有平方根．（ ）（2）164=±．（ ） （3）21()10-的平方根是110±．（ ） （4）25--是425的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √； ×， 提示：（2）164=；（4）25是425的算术平方根． 2、 填空：（1）4-是 的负平方根． （2116表示 的算术平方根，116= ． （3181的算术平方根为 ． （43x =，则x = ，若23x =，则x = ．【思路点拨】（3）181就是181的算术平方根＝19，此题求的是19的算术平方根. 【答案与解析】(1)16；(2)11;164(3)13 (4) 9；±3【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（ ）：①3是9的平方根． ② 9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④ 8-是64的负的平方根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B ；提示：①④是正确的.【变式2】求下列各式的值：（1）325 （2）8136+（3）0.040.25- （4）40.36121⋅【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）6553、使代数式1x +有意义的x 的取值范围是______________． 【答案】x ≥1-；【解析】x ＋1≥0，解得x ≥1-.【总结升华】当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0. 举一反三：【变式】（2015春•中江县期中）若+（3x+y ﹣1）2=0，求5x+y 2的平方根．【答案】解：∵+（3x+y ﹣1）2=0， ∴，解得，，∴5x+y 2=5×1+（﹣2）2=9，∴5x+y 2的平方根为±=±3．类型二、利用平方根解方程4、（2015春•鄂州校级期中）求下列各式中的x 值（1）169x2=144（2）（x﹣2）2﹣36=0．【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）先将（x﹣2）看成一个整体，移项后，根据平方根定义求解．【答案与解析】解：（1）169x2=144，两边同时除以169，得1442x=169开平方，得x=（2）（x﹣2）2﹣36=0，移项，得（x﹣2）2=36开平方，得x﹣2=±6，解得：x=8或x=﹣4．【总结升华】本题考查了平方根，根据是一个正数的平方根有两个．类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为x，长为3x，由题意得，x·3x＝132332x＝1323x=±21x＝－21(舍去)答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】立方根【学习目标】1. 了解立方根的含义；2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.【要点梳理】要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果3=，那么x叫做a的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.x a要点诠释：一个数a3a a是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 要点三、立方根的性质33a a -=-33a a =()33a a =要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，30.000 2160.06＝，30. 2160.6＝，3 2166＝，3216000 60＝. 【典型例题】 类型一、立方根的概念1、（2016春•吐鲁番市校级期中）下列语句正确的是（ ） A ．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0 B ．一个数的立方根不是正数就是负数 C ．负数没有立方根D ．一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0 【思路点拨】根据立方根的定义判断即可. 【答案】D ；【解析】A ．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0或1或-1，故错误；B ．一个数的立方根不是正数就是负数，错误，还有0；C ．负数有立方根，故错误；D ．正确.【总结升华】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义. 举一反三：【变式】下列结论正确的是（ ）A ．64的立方根是±4B ．12-是16-的立方根 C ．立方根等于本身的数只有0和1D ．332727-=-【答案】D.类型二、立方根的计算2、求下列各式的值：（1）327102-- （2）3235411+⨯ （3）336418-⋅ （4）23327(3)1-+--- （5）10033)1(412)2(-+÷-- 【答案与解析】解：（1）310227-- （2）3321145⨯+ （3）331864⋅-3642743==33=116425=729=9⨯+ 1=241=2⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-（4）23327(3)1-+---=331=1-++（5）310031(2)2(1)4--÷+-3=21247=1=33÷++【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方.举一反三：【变式】计算：（1）30.008-=______；（2）=364611______； （3）=--312719______．（4）=-33511)(______. 【答案】（1）－0.2；（2）54；（3）23；（4）45. 类型三、利用立方根解方程3、（2015春•北京校级期中）（x ﹣2）3=﹣125．【思路点拨】利用立方根的定义开立方解答即可． 【答案与解析】 解：（x ﹣2）3=﹣125， 可得：x ﹣2=﹣5， 解得：x=﹣3．【总结升华】此题考查立方根问题，关键是先将x ﹣2看成一个整体． 举一反三：【变式】求出下列各式中的a ：（1）若3a ＝0.343，则a ＝______；（2）若3a －3＝213，则a ＝______； （3）若3a ＋125＝0，则a ＝______；（4）若()31a -＝8，则a ＝______．【答案】（1）a ＝0.7；（2）a ＝6；（3）a ＝－5；（4）a ＝3． 类型四、立方根实际应用4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为643cm ，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了169πcm ．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？【思路点拨】铁块排出的643cm 水的体积，是铁块的体积，也是高为169πcm 烧杯的体积. 【答案与解析】解：铁块排出的643cm 的水的体积，是铁块的体积．设铁块的棱长为y cm ，可列方程364,y =解得4y =设烧杯内部的底面半径为x cm ，可列方程216649x ππ⨯=,解得x =6. 答：烧杯内部的底面半径为6cm ，铁块的棱长 4cm .【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合. 举一反三：【变式】将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为____________.(不计损耗) 333a b +.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】实数（基础）【学习目标】1. 了解无理数和实数的意义；2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 . 【要点梳理】要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如5.要点二、实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.要点三、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 要点四、实数的运算有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【典型例题】类型一、实数概念1、指出下列各数中的有理数和无理数： 332222,,,9,8,9,0,,12,55,0.1010010001 (7)3π-【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数.【答案与解析】有理数有3222,9,8,0,,73--无理数有32,,9,12,55,0.1010010001π-……【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.1010010001…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如55，39，2，12-.举一反三： 【变式】（2015春•聊城校级月考）在下列语句中： ①无理数的相反数是无理数； ②一个数的绝对值一定是非负数； ③有理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数． 其中正确的是（ ）A ．②③B ．②③④C ．①②④D ．②④ 【答案】C ；解：①因为实数包括有理数和无理数，无理数的相反数 不可能式有理数，故本选项正确； ②一个数的绝对值一定≥0，故本选项正确；③数的大小，和它是有理数还是无理数无关，故本选项是错误的； ④无限循环小数是有理数，故本选项正确．类型二、实数大小的比较2、比较520.5的大小． 【答案与解析】解：作商，得5250.5=51>，即5210.5>50.5>． 【总结升华】根据若a ，b 均为正数，则由“1a b >，1a b =，1ab<”分别得到结论“a b >，a b =，a b <，”从而比较两个实数的大小．比较大小的方法有作差法和作商法等，根据具体情况选用适当的方法.举一反三：【变式】比较大小___ 3.14π-- 7___54__2323___32 32 9___0－ 3___10-- |43|___(7)--- 【答案】＜； ＞； ＜； ＜； ＜； ＞； ＜.3、（2015•枣庄）实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A ．ac ＞bcB ．|a ﹣b|=a ﹣bC ．﹣a ＜﹣b ＜cD ．﹣a ﹣c ＞﹣b ﹣c【答案】D ；【解析】解：∵由图可知，a ＜b ＜0＜c ， ∴A 、ac ＜bc ，故A 选项错误； B 、∵a ＜b ， ∴a ﹣b ＜0，∴|a ﹣b|=b ﹣a ，故B 选项错误； C 、∵a ＜b ＜0，∴﹣a ＞﹣b ，故C 选项错误； D 、∵﹣a ＞﹣b ，c ＞0，∴﹣a ﹣c ＞﹣b ﹣c ，故D 选项正确． 故选：D ．【总结升华】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．类型三、实数的运算4、化简：(1)|2 1.4|－ (2)|7|74||－－ (3)|12|+|23|+|32|－－－ 【答案与解析】 解：|2 1.4|－2 1.4=-|7|74||－－ =|74+7|－ =274-|12|+|23|+|32|－－－2132231=-+-+-=.【总结升华】有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及运算性质等同样适用.5、若2|2|3(4)0a b c ---=，则a b c -+=________．【思路点拨】由有限个非负数之和为零，则每个数都应为零可得到方程中a ，b ，c 的值.【答案】3； 【解析】解：由非负数性质可知：203040a b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，即234a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴ 2343a b c -+=-+=．【总结升华】初中阶段所学的非负数有|a |，2,a a ，非负数的和为0，只能每个非负数分别为0 . 举一反三：【变式】已知2(16)|3|30x y z ++++-=，求xyz 的值．【答案】解：由已知得1603030x y z +=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得1633x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩．∴xyz ＝(16)(3)312-⨯-⨯=.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】实数全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围. 【知识网络】【要点梳理】类型项目平方根 立方根 被开方数 非负数任意实数符号表示a ±3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零； 负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零；重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22a a a a a a a a a333333)(aa a a aa -=-==要点二：实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2532等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。
人教版七年级数学下册第六章第三节实数说课稿(第一课时)
5.最后，我会让学生参与讨论，探讨实数在实际生活中的应用，如测量、建筑等，以此加深学生对实数概念的理解。
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习和实践活动：
1.设计一些填空题和选择题，让学生独立完成，测试他们对实数定义、分类和性质的理解。
3.角色扮演：通过角色扮演活动，让学生模拟实数在数轴上的移动和运算过程，增强学生的参与感和学习兴趣。
这些互动方式旨在促进学生的积极参与和合作，通过实践和讨论，加深对实数概念的理解，提高学生的合作能力和沟通能力。
四、教学过程设计
（一）导入新课
新课导入是激发学生兴趣和注意力的关键环节。我将采用情境导入法开始本节课的教学。首先，我会展示一张包含不同长度线段的图片，并提问学生：“你们能比较这些线段的长度吗？如果用数字来表示它们，会遇到什么问题？”通过这个问题，引发学生对实数概念的好奇心。接着，我会讲述一个关于古代数学家在研究几何图形时遇到的问题，如毕达哥拉斯学派发现无法用整数比例表示直角三角形斜边与两直角边的关系，从而引出无理数的概念。这样的导入方式能够快速吸引学生的注意力，激发他们对新课内容的兴趣。
（二）学习障碍
学生在学习本节课之前，已经具备了一定的整数和分数的基础知识，了解了一些基本的数学运算规则。然而，对于实数的概念，特别是无理数的理解，可能是一个学习障碍。学生可能对无理数的抽象概念感到难以理解，对于实数与数轴的关系建立也可能感到困惑。此外，学生可能缺乏将抽象数学概念应用于具体问题的能力，这也会成为学习本节课的障碍。
1.让学生回顾本节课所学内容，自我评估对新知识的掌握程度。
实数(知识讲解)-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题6.7 实数（知识讲解）【学习目标】1. 了解无理数和实数的意义；2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .【要点梳理】要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.特别说明：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….5.要点二、实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.要点三、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.要点四、实数的运算有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.【典型例题】类型一、实数➽➼概念的理解✬✬分类1． 把下列各数写入相应的集合内：12-，22，364-，0.26，7π，0.10，5.12，33-，327+．(1) 有理数集合：{ }； (2) 正实数集合：{ }； (3) 无理数集合：{ } 【答案】(1) 12-，364-，0.26， 0.10，5.12(2) 22，0.26，7π，0.10，5.12，33-，327+(3) (3) 22，7π， 33-，327+【分析】（1）根据有理数的定义进行作答即可； （2）根据正数的定义进行判断即可； （3）根据无理数的定义进行判断即可． 解：(1)有理数有：12-，3644-=-，0.26， 0.10，5.12故答案为：12-， 364-，0.26， 0.10，5.12(2)12-，3644-=-是负数，33-绝对值是正数正实数有：22，0.26，7π，0.10，5.12，33-，327+ 故答案为：22，0.26，7π，0.10，5.12，33-，327+ (3)无理数有：22， 7π， 33-，327+故答案为：22， 7π， 33-，327+【点拨】本题考查了实数的分类，即实数分为正实数，零，负实数；实数还可以分为有理数和无理数，有理数包括正数和分数，无理数是无线不循环小数，熟练掌握有理数、无理数的定义是解题的关键．举一反三：【变式1】 把下列各数填入相应的集合内．32π、－5222034905380.3737737773…（相邻两个3之间的7逐次加1个），(1)有理数集合{…}(2)无理数集合{…}(3)负实数集合{… }【答案】(1) －52，49，0，38-(2) 32，π，2，203，-5，0.3737737773（3）－52，-5，38-.【分析】（1）根据有理数的定义进行判定即可得出答案；（2）根据无理数的定义进行判定即可得出答案；（3）根据负实数的定义进行判定即可得出答案．解：（1）有理数集合：{－52，49,0，38-…}（2）无理数集合：{32，π，2，203，-5，0.3737737773……}（3）负实数集合：{－52，-538-【点拨】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类进行求解是解决本题的关键.把下列各数序号分别填入相应的集合内：32① 14，10，①π-，①52-，15203①6-①38-①0.979779777···（相邻两个9之间7的个数逐次增加1）【答案】有理数集合：①①①；无理数集合：①①①①①①①；负实数集合：①①①①【分析】根据实数的性质即可分类．解：有理数为14，52-，38-；无理数为32，10，π-，15，203，6-，0.979779777···（相邻两个9之间7的个数逐次增加1）；负实数为π-，52-，38-，6-，①有理数集合：①①①；无理数集合：①①①①①①①；负实数集合：①①①①．【点拨】此题主要考查实数的分类，解题的关键是熟知实数的分类方法及特点．类型二、实数➽➼实数性质✬✬实数与数轴➽➼运算✬✬化简3 50.2-11-327825-3π-相反数倒数绝对值【分析】根据相反数、倒数、绝对值的定义依次即可得出答案．解：3 50.2-11-327825-3π-相反数350.21132-52-3π-倒数53-51111-2325--13π-绝对值350.2113252-3π-【点拨】本题考查实数的分类，立方根、分母有理化．对于分母中是二次根式的要分母有理化．举一反三：【变式1】实数a，b，c2a|a－b|＋|c－a|．【答案】a b c --+【分析】先判断0a b c <<<，进而得到0a b -<，0c a ->，再化简即可． 解：由数轴上点的位置可得 0a b c <<<，①0a b -<，0c a ->， ①2a a b c a --+- a a b c a =-+-+-a b c =--+．【点拨】本题考查了求一个数的算术平方根，化简绝对值，整式的加减运算，实数与数轴，根据数轴及运算法则判断0a b -<，0c a ->是解本题的关键．【变式2】 我们在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为‘1’的线段作一个正方形，然后以原点O 为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A ”，请根据图形回答下列问题：(1) 线段OA 的长度是多少?(要求写出求解过程) (2) 这个图形的目的是为了说明什么?(3) 这种研究和解决问题的方式体现了 的数学思想方法(将下列符合的选项序号填在横线上)A ．数形结合B ．代入C ．换元D ．归纳【答案】(1) OA =2；(2)数轴上的点和实数是一一对应关系；(3)A【分析】（1）首先根据勾股定理求出线段OB 的长度，然后结合数轴的知识即可求解； （2）根据数轴上的点与实数的对应关系即可求解； （3）本题利用实数与数轴的对应关系即可解答． 解：(1) OB 2＝12+12＝2①OB ＝2 ①OA ＝OB =2(2)数轴上的点和实数是一一对应关系(3) 这种研究和解决问题的方式，体现的数学思想方法是数形结合．故选A【点拨】本题主要考查了实数与数轴之间的关系，此题综合性较强，不仅要结合图形，还需要熟悉平方根的定义．也要求学生了解数形结合的数学思想．类型三、实数➽➼估算✬✬无理数的整数（小数）部分✬✬➽➼运算✬✬化简3．[阅读材料]459253，①151＜251的整数部分为15152(1)91的小数部分是．(2)已知a21b21a）3＋（b＋4）2的值．【答案】(1)91﹣9 (2)-43【分析】（1）估算出91的范围99110<<，可得到91的整数部分，进而得到91的小数部分；（2）估算出21的范围4215<<，可得到21的整数部分，进而得到21的小数部分，从而得到a，b的值，再求代数式的值即可．<<，(1)解：①8191100①99110<<，①91的整数部分是9，①91的小数部分91﹣9，故答案为：91﹣9；<<，(2)解：①162125①4＜21＜5，①21的整数部分是4，小数部分是21﹣4， ①a ＝4，b ＝21﹣4，①原式＝（﹣4）3+（21-4+4）2 ＝﹣64+21 ＝﹣43．∴代数式的值为43-．【点拨】本题考查了实数的大小比较，代数式求值，无理数估算知识．解题的关键在与正确的计算求值．举一反三：【变式1】 比较下列各组数的大小： （1356；（2325-3-；（3513 【答案】（1）356<；（2）3253->-；（3）3512-> 【分析】（1）直接化简二次根式进而比较得出答案； （2）直接估算无理数的取值范围进而比较即可； （3）直接估算无理数的取值范围进而比较即可． 解：（1）①366=，①356<； （2）①33252-<-<-，①3253->-； （3）①132<<，①13122<<， ①253<<， ①1512<-<， ①3512->． 【点拨】本题主要考查了实数比较大小，正确估算无理数取值范围是解题关键．【变式2】2212221来表2（129的整数部分是，小数部分是；（2）如果55a，55b，求a5的值．【答案】（1）5，29﹣5；（2）35﹣2【分析】（1）估算29的近似值，即可得出29的整数部分和小数部分；（2）求出a、b的值，再代入计算即可．解：（1）①25＜29＜36，①5＜29＜6，①29的整数部分为5，小数部分为29﹣5，故答案为：5，29﹣5；（2）①2＜5＜3，①7＜5＋5＜8，①5＋5的小数部分a＝5＋5﹣7＝5﹣2，①2＜5＜3，①﹣3＜﹣5＜﹣2，①2＜5﹣5＜3，①5﹣5的整数部分为b＝2，①a＋5b＝5﹣2＋25＝35﹣2.【点拨】本题考查了无理数的估算，正确估算无理数的取值范围是解题的关键．类型四、实数➽➼实数的混合运算➼运算✬✬化简4．计算：（13325181276464 （23226511274⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】（1）558；（2）112-． 【分析】直接利用立方根的性质及平方根的性质分别化简，然后根据实数的运算法则求得计算结果解：（1）原式=519384-⨯- ，=152988-- ， =558（2）原式=3151274-+- ， =1134-+ ， =112-【点拨】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 举一反三：【变式1】 计算题：（1）233111(2)2789⎛-+-⨯-- ⎝ （2238321253 【答案】（1）-3；（2）11【分析】（1）根据有理数的乘方，求一数的立方根和算术平方根进行计算； （2）根据求一数的立方根和算术平方根，化简绝对值，进行实数的混合运算． 解：（1）原式11183111383⎛⎫=--⨯+⨯-=---=- ⎪⎝⎭；（2）2383212538235311--+-=-++-=．【点拨】本题考查了实数的混合运算，求一数的立方根和算术平方根，掌握实数的运算法则是解题的关键．【变式2】 计算： (1)3112548(2) ()20223912712-【答案】(1)5 (2)22-【分析】对于（1），由1142=，255=，31182=，再计算即可；对于（2），由93=，(-1)2022=1，3273=，1221-=-，再计算即可． 解：(1)原式=115522+-=；(2)原式=3132122--+-=-．【点拨】本题主要考查了实数的运算，求出各数的平方根和立方根是解题的关键．类型五、实数➽➼实数的运算➼程序设计✬✬新定义5． 一个数值转换器，如图所示：(1) 当输入的x 为81时．输出的y 值是_________；(2) 若输入有效的x 值后，始终输不出y 值，请写出所有满足要求的x 的值； (3) 若输出的y 2，请写出两个满足要求的x 值．【答案】(1)3； (2)0x =，1； (3)4x =，2x =（答案不唯一） 【分析】（1）根据运算规则即可求解；（2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数． （1）解：当81x =时，取算术平方根81=9，不是无理数，继续取算术平方根93=，不是无理数，继续取算术平方根得3，是无理数，所以输出的y 值为3；（2）解：当0x =，1时，始终输不出y 值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；（3）解：4的算术平方根为2，2的算术平方根是2，①4x =，2x =都满足要求．【点拨】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键．举一反三：【变式】思考与探究：（1）在如图所示的计算程序中，若开始输入的数值是4，则最后输出的结果是___________．（2）在如图所示的计算程序中，若最后输出的结果是58，则开始输入的数值是___________．（3）按下面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为1621，则满足条件的x的不同值最多有多少个？【答案】（1）17；（2）6或－10；（3）6个【分析】（1）根据程序运算图可得算式4×3+5，按运算顺序进行求解即可；（2）设输入的数字为m，根据题意可得关于x的方程，解方程即可求得答案；（3）根据最后输出的结果，可计算出它前面的那个数，依此类推，可将符合题意的正数求出．解：（1）由题意得：4×3+5=17，故答案为：17；（2）设输入的数字为m，则有（m+2）2-6=58，解得：m=6或m=-10，故答案为：6或--10；（3）①最后输出的数为1621，①4[(x+5)-(-2)2]-3=1621，解得：x=405>0，又①4[(x+5)-(-2)2]-3=405，解得：x=101>0，又①4[(x+5)-(-2)2]-3=101，解得：x=25>0，又①4[(x+5)-(-2)2]-3=25，解得：x=6>0，又①4[(x+5)-(-2)2]-3=6，解得：x=54>0， 又①4[(x+5)-(-2)2]-3=54， 解得：x=116>0， 又①4[(x+5)-(-2)2]-3=116， 解得：x=1564-<0，（不符合题意） ①符合题意的正数最多有6个.【点拨】本题考查了程序运算，涉及了一元一次方程，利用平方根的解方程等知识，正确审题，弄清程序运算中的运算顺序，熟练掌握相关和运算法则和解题方法是解此类问题的关键．6． 对于两个不相等的实数a 、b ，定义一种新的运算如下，(0)a b a b a b a b+*=+>-，如：323*2532+==-，求()654**的值． 【答案】1【分析】根据已知条件先求出5*4的值，再求出6*（5*4）的值即可求出结果． 解：①(0)a b a b a b a b +*=+>-， ①545*4354+==-， ①()636*5*46*3163+===-． 【点拨】此题主要考查实数的运算，解题的关键是根据新定义运算法则进行求解． 举一反三：【变式】 定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有2a b a b =+※，例如2747423=+=※．（1）求54※的值．（2）求(712※※的平方根． 【答案】（1）21；（2）±4【分析】（1）根据定义新运算即可求54※的值；（2）根据定义新运算求()712※※的值，再计算平方根即可得出答案． 解：（1）由定义新运算得：2545451621=+=+=※；（2）由定义新运算得：()7127(12)737916=+==+=※※※※， ①()712※※的平方根为164±=±． 【点拨】本题考查新定义的有理数运算，掌握新定义的运算法则是解题的关键． 类型六、实数➽➼实数的运算➼实际运用✬✬规律7． 数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题：问题情境：设a ，b 是有理数，且满足2322+=-a b ab 的值．解：由题意得(3)(2)20-++a b ，①a ，b 都是有理数，①3,2a b -+也是有理数，2①30,20a b -=+=，①3,2a b ==-，①(2)36ab =-=-解决问题：设x ，y 都是有理数，且满足22585x y -+=+x y +的值．【答案】8或0【分析】根据题目中例题的方法，对所求式子进行变形，求出x 、y 的值，从而可以求得x +y 的值．解：①225845x y y -+=+，①（x 2-2y -8）+（y -4）5=0，①x 2-2y -8=0，y -4=0，解得，x =±4，y =4，当x =4，y =4时，x +y =4+4=8，当x=-4，y=4时，x+y=（-4）+4=0，即x+y的值是8或0．【点拨】本题考查实数的运算，解题的关键是明确题目中例题的解答方法，然后运用类比的思想解答所求式子的值．举一反三：【变式】如图1，有5个边长为1的小正方形组成的纸片，可以把它剪拼成一个正方形．（1）拼成的正方形的面积是，边长是；（2）仿照上面的做法，你能把下面这十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成一个大正方形吗？若能，在图2中画出拼接后的正方形，并求边长；若不能，请说明理由．【答案】（1）5；5（2）10【分析】（1）一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5，边长为5的算术平方根；（2）一共有10个小正方形，那么组成的大正方形的面积为10，边长为10的算术平方根，在所给图形中截取两条长为10的且互相垂直的线段，进而拼合即可．解：（1）拼成的正方形的面积是：5，边长为：5．（2）如图所示，能，正方形的边长为10．【点拨】本题考查了图形的剪拼、勾股定理、正方形的面积和正方形的有关画图，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键.8． 阅读下列材料：设：0.30.333x ==，①则10 3.333x =.①由①-①，得93x =，即13x =. 所以10.30.3333==. 根据上述提供的方法.把0.7•和1.3•化成分数，并想一想.是不是任何无限循环小数都可以化成分数？ 【答案】70.70.7779•=⋯=，41.33•=.任何无限循环小数都可以化成分数. 【分析】设0.70.777x ==⋯①则107.777x =⋯，①；由-②①，得97x =；由已知，得10.30.3333==，所以11.310.31.3=+=+任何无限循环小数都可以这样化成分数. 解：设0.70.777x ==⋯①则107.777x =⋯，①由①-①，得97x =，即79x =.所以70.70,7779=⋯=. 由已知，得10.30.3333==， 所以141.310.3133=+=+=. 任何无限循环小数都能化成分数.【点拨】考核知识点：无限循环小数和有理数.模仿，理解材料是关键.举一反三：【变式】（2020春·山西太原·八年级太原师范学院附属中学校考阶段练习）阅读下列解题过程：231111()4422-===； 254221()9933-=； 279331()161644-===；… （111136-=________． （2）按照你所发现的规律，请你写出第n 个等式：________．（335799(1)(1)(1)(1)49162500----【答案】（1）56；（2）2211(1)1n n n n +-=++；（3）150 【分析】（1）仿照已知等式确定出所求即可；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）原式变形后，仿照上式得出结果即可．解：（1）11255136366-==； 故答案为：56； （2）观察上面的解题过程，发现的规律为：2222221(1)211(1)(1)(1)1n n n n n n n n n ++---===++++， 故答案为：2211(1)1n n n n +-=++； （3）35799(1)(1)(1)(1)49162500---- 149240149162500=⨯⨯⨯⨯ 12500=150=． 【点拨】本题考查了实数的运算，规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．中考真题专练【1】（2020·重庆·统考中考真题）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“差一数”．定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”．例如：14524÷=，14342÷=，所以14是“差一数”；19534÷=，但19361÷=，所以19不是“差一数”．（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；（2）求大于300且小于400的所有“差一数”．【答案】（1）49不是“差一数”，74是“差一数”，理由见分析；（2）314、329、344、359、374、389【分析】（1）直接根据“差一数”的定义计算判断即可；（2）解法一：根据“差一数”的定义可知被5除余4的数个位数字为4或9，被3除余2的数各位数字之和被3除余2，由此可依次求得大于300且小于400的所有“差一数”；解法二：根据题意可得：所求数加1能被15整除，据此可先求出大于300且小于400的能被15整除的数，进一步即得结果．解：（1）①49594÷=；493161÷=，①49不是“差一数”，①745144÷=；743242÷=，①74是“差一数”；（2）解法一：①“差一数”这个数除以5余数为4，①“差一数”这个数的个位数字为4或9，①大于300且小于400的符合要求的数为304、309、314、319、324、329、334、339、344、349、354、359、364、369、374、379、384、389、394、399，①“差一数”这个数除以3余数为2，①“差一数”这个数的各位数字之和被3除余2，①大于300且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、374、389．解法二：①“差一数”这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，①这个数加1能被15整除，①大于300且小于400的能被15整除的数为315、330、345、360、375、390，①大于300且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、374、389．【点拨】此题主要考查了带余数的除法运算，第（2）题的解法一是用逐步增加条件的方法依此找到满足条件的所有数；解法二是正确得出这个数加1能被15整除，明确方法是关键．【2】（2019·重庆·统考中考真题）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数—“纯数”．定义；对于自然数n ，在计算n+（n +1）+（n +2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n 为“数”，例如：32是”纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24＋25时，个位产生了进位．（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；（2）求出不大于100的“纯数”的个数． 【答案】（1）2019不是“纯数”，2020时“纯数”，见分析；（2）13个.【分析】（1）根据题目中的新定义可以解答本题，注意各数位都不产生进位的自然数才是“纯数”；（2）根据题意可以推出不大于100的“纯数”的个数，本题得以解决.解：（1）当2019n =时，12020n +=，22022n +=∵计算时，个位为90110++=，需要进位，∴2019不是“纯数”；当2020n =时，12021n +=，22022n +=∴个位为0123++=，不需要进位：十位为226++，不需要进位：百位为0000++=，不需要进位：千位为2226++=，不需要进位：∴2020是“纯数”；综上所述，2019不是“纯数”，2020时“纯数”.（2）由题意，连续的三个自然数个位不同，其他位都相同；并且，连续的三个自然数个位为0、1、2时，不会产生进位；其他位的数字为0、1、2、3时，不会产生进位；①当这个数为一位的自然数的时候，只能是0、1、2，共3个；②当这个数为二位的自然数的时候，十位只能为1、2、3，个位只能为0、1、2，共9个；③当这个数为100时，100是“纯数”；∴不大于100的“纯数”有39113++=个.【点拨】本题考查整式的加减、有理数的加法、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新定义解答.。
2020人教版七年级数学下册第六章6.3实数(1)实数的概念课件(共32张PPT)
6,
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, 1. 2 3,
22 , 36
2
7
1.232232223 (两个3之间依次多一个 2)
有理数是：1.
•
2
•
3
22
,7
36
无理数是： 6
,,
2
1.232232223 ,(两个3之间依次多一个 2)
思考：无理数一般有哪些形式?
（1）像 7, 3, 12 的开不尽方的数是无理数。
020
002
000
02…是无
理数吗？
1.57079632679...
2
它们都是无限 不循环小数，
2.02002000200002…
是无理数
常见的一些无理数：
(1)含 π 的一些数；
(2)含开不尽方的数； (3)有规律但不循环的小数,如1.01001000100001…
例：判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？
人教版七年级数学 下册
6.3 实 数 第1课时 实数的概念
1.了解实数的意义，并能将实数按要求进 行准确的分类；
2.熟练掌握实数大小的比较方法；（重点） 3.了解实数和数轴上的点一一对应，能用 数轴上的点 表示无理数.（难点）
认真阅读课本中6.3 实数的 内容，完成下面练习并体验知 识点的形成过程。
• 这个矛盾说明， 2 不能写成分数的形式， 即 2 不是有理数。
• 实际上， 2 是无限不循环小数。
实数的概念：
在前面的学习中,我们知道,许多数的平方根和 立方根都是无限不循环小数,它们不能化成分数.我 们给无限不循环小数起个名字，叫“无理数”.有理 数和无理数统称为实数.
思考：
人教版七年级下册第六章实数知识点
人教版七年级下册第六章实数知识点
实数是数学中非常重要的一个概念，其涉及到数学中的各个领域。
在七年级下册的第六章中，我们主要学习了实数的相关知识。
1. 实数的概念
实数是指所有可以表示成有限小数、无限循环小数或无限不循环小数的数。
简单来说，实数包括整数、分数、小数、无理数等。
2. 实数的分类
根据实数的性质，可以将实数分为有理数和无理数两类。
有理数是可以表示成分数形式的实数，包括整数、分数和循环小数。
无理数是不能表示成分数形式的实数，例如根号2、π等。
3. 实数的运算
实数的运算包括加、减、乘、除四种基本运算。
对于任意两个实数a和b，它们的和、差、积、商分别为：
a+b，a-b，ab，a÷b（b≠0）
此外还有实数的乘方运算，即a的n次方（n为正整数），表示a 连乘n次的结果。
4. 实数的比较
实数之间可以进行大小比较。
对于任意两个实数a和b，若a>b，则a称为大于b，b称为小于a。
若a=b，则a与b相等。
若a<b，则a称为小于b，b称为大于a。
5. 实数的表示
实数可以用数轴上的点表示。
数轴是一条直线，上面的每个点都
与一个实数一一对应。
数轴上的原点表示0，向右表示正数，向左表示负数。
以上就是七年级下册第六章实数的相关知识点。
实数是数学中非常基础的概念，掌握好实数的相关知识对于后续的学习非常重要。
七年级-人教版-数学-下册-第1课时-实数的概念与表示
归纳 常见的无理数的形式：
（1）开方开不尽的数的方根，如 2，3 5 等； （2） π 及化简后含 π 的数，如 π＋1等； （3）具有特殊结构的数，如 0.303 003 000 3…（相邻两个 3 之间 依次多一个 0）．
像有理数一样，无理数也有正负之分．例如， 3 是正无理数， － 3 是负无理数．
归纳
事实上，如果把整数看成小数点后是 0 的小数（例如， 将 3 看成 3.0），那么任何一个有理数都可以写成有限小 数或无限循环小数的形式．反过来，任何有限小数或无限 循环小数也都是有理数．
思考 所有的数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式吗？ 不是．如： 2 ＝1.414 213 56… 3 5 ＝1.709 975 94… π ＝3.141 592 653 589 793 238 462… 1.010 010 001 000 01…（两个 1 之间依次多一个 0）
实数（第1课时）
探究
我们知道有理数包括整数和分数，请把下列分数写成小数的
形式，你有什么发现？
5 ， 3 ， 27 ， 11 ， 9 ．
2
54
9 11
5 2.5 ， 3 0.6 ， 27 6.75 ， 11 1.2 ， 9 0.81 ．
2
5
4
9
11
上面的分数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式．
B －3 －2 －1 0
C
1
2
A
3
4
其中点 A 表示 π，点 B 表示 5 ，点 C 表示 3， 所以 5 ＜ 3＜ π．
归纳
用数轴上的点表示实数的注意事项 1．数轴上的任何一点表示的数不是有理数就是无理数． 2．在数轴上表示无理数时，一般只能通过估算标出其近 似位置，而不能标出其准确位置．
人教版七年级下册数学知识点归纳：第六章实数
人教版七年级下册数学知识点归纳第六章 实数6.1 平方根1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根．（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
（3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3（4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果； 一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算；0的平方根是0.（5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．（6）a x =2 <—> a x ±=a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的平方根 a 的平方根是x2、算术平方根（1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x =。
（2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。
（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小 （5）a x =2 (x≥0) <—> a x =a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0） 0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥0（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
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实数（基础）
撰稿：康红梅 责编：吴婷婷
【学习目标】
1. 了解无理数和实数的意义；
2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .
【要点梳理】
【高清课堂：389317 立方根、实数，知识要点】
要点一、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，
不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，
如：1.313113111…….
③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如
要点二、实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
按与0的大小关系分：
实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩
正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
要点三、实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
要点四、实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【典型例题】
类型一、实数概念 1、指出下列各数中的有理数和无理数：
332222,,,9,8,9,0,,12,55,0.1010010001 (73)
π- 【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数.
【答案与解析】有理数有3222,9,8,0,,7
3- 32,,9,12,55,0.1010010001π……
【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：
0.1010010001…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如5539，2，
12
举一反三：
【高清课堂： 389318 实数复习 ，巩固练习3】
【变式】下列说法错误的是（ ）
①无限小数一定是无理数； ②无理数一定是无限小数；
③带根号的数一定是无理数；④不带根号的数一定是有理数.
A ．①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④
【答案】C ；
类型二、实数大小的比较
2、比较52和0.5的大小． 【答案与解析】 解：作商，得5
250.5
=． 因为51>，即5
210.5
>，所以50.52>． 【总结升华】根据若a ，b 均为正数，则由“1a b >，1a b =，1a b <”分别得到结论“a b >，a b =，a b <，”从而比较两个实数的大小．比较大小的方法有作差法和作商法等，根据具体情况选用适当的方法.
举一反三：
【变式】比较大小
___ 3.14π-- 7___5 4__23
23___32 32 9___0－ 3___10-- |43|___(7)---
【答案】＜； ＞； ＜； ＜； ＜； ＞； ＜.
3、如图，数轴上点P 表示的数可能是
A. 3.2-
B. 7-
C. 7
D. 10-
【答案】B ；
【解析】－3＜7-＜－2.
【总结升华】关键是估计出7-的大小.
类型三、实数的运算
4、化简：
(1)|2 1.4|－ (2)|7|74||－－ (3)|12|+|23|+|32|－－－
【答案与解析】 解：|2 1.4|－2 1.4=-
|7|74||－－ =|74+7|－ =274-
|12|+|23|+|32|－－－2132231=-+-+-=.
【总结升华】有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
5、若2|2|3(4)0a b c ---=，则a b c -+=________．
【思路点拨】由有限个非负数之和为零，则每个数都应为零可得到方程中a ，b ，c 的值.
【答案】3； 【解析】
解：由非负数性质可知：203040a b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，即234a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，∴ 2343a b c -+=-+=．
【总结升华】初中阶段所学的非负数有|a |，2,
a a ，非负数的和为0，只能每个非负数分
别为0 .
举一反三：
【变式】已知2(16)|3|30x y z +++-=xyz 【答案】
解：由已知得1603030x y z +=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得1633x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩
．
xyz (16)(3)312-⨯-⨯=.。