概率论与数理统计期末练习题 (2016)

概率论与数理统计期末练习题
一 填空
1.设A,B 为任意二事件,()0.5,()0.6P A P B ==,A 和B 至少有一个发生的概率为0.8,则()P AB =.
2.设~(1,2)X U -,则(0)P X ≤=.
3.设2~(,)X N μσ,则()P X μ>=.
4. 设~(1,2)X N ,则X 的概率密度函数为.
5.设()1,()4,(,)0.8D X D Y Cov X Y ===-,则()D X Y +=.
6.设总体2~(,)(X N μσσ已知),12,,,n X X X L 为X 的一个样本,对于原假设
00:H μμ=,其检验统计量为.
7. .设事件A 与B 相互独立,P(A)=0.5,P(B)=0.8,则P(AB)=. 8. 已知()0.3,()0.2,()0.8P A P B A P B A ===,则()P B =
9. 已知1122()0.4,()0.3,()0.6,()0.8P A P B A P A P B A ====,则1()P A B =. 10.设()7,()5E X D X ==,则{212}P X <<≥. 二 选择题
1.若()P AB =0,则必有( ).
A. A 与B 互斥(即互不相容)
B. A 与B 相互独立
C. P(A-B)=P(A)
D. P(A-B)=P(A)-P(B)
2.设第i 个部件的寿命为,1,2,3i T i =,将这三个部件并联成一个系统,则该系统的寿命为( ).
A. 123T T T ++
B. 123TT T
C. 123min{,,}T T T
D.123max{,,}T T T 3. 设估计量ˆθ是总体X 的未知参数θ的一个无偏估计量,则必有( ).
A. ˆθ
θ=; B. ˆ()E θθ= C.ˆ()D θθ=; D.ˆ()E θθ= 4. 设X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布,且P(X=2)=P(X=3),则( ). A.1λ=; B. 2λ=; C.3λ=; D.4λ=
5. 设X 的概率密度为cos ,0()20, k x x f x others
π⎧
≤≤⎪
=⎨⎪⎩,则k =( ).
A. 0
B.
2
π
C. 1
D. 3 三 解答题
1.设有共10本不同的书,其中有3本外语书,现将它们随机地排在一层书架上.求三本外语书放在一起的概率.
2.某人投篮的命中率为0.6,独立地投篮5次.记X 为命中的次数.(1)写出X 的分布律;(2)写出E(X)及D(X);(3)求至少命中一次的概率.
求21Y X =+的分布律.
4. 设X 的概率密度为,02()0, Ax x f x others ≤≤⎧=⎨⎩
,(1)求常数A;(2)求P(X ≤1).
5.机械学院由14级,15级部分学生组成一支代表队参加北京理工大学珠海学院长
(1)求旗手为女生的概率;(2)已知该旗手为女生,求她是15级学生的概率. 6.设随机变量X 的概率密度21(),(1)
f x x R x π=
∈+.求2
Y X =的概率密度函数
()Y f y .
7. 设随机变量X 的概率密度函数为1/2,11
()0,X x f x others
-<<⎧=⎨⎩，求2Y X =的概率密
度函数()Y f y 。

求Z=X+Y 的分布律.
9.设(X,Y)的联合概率密度为1,01,()0, x x y x
f x others
≤≤-≤≤⎧=⎨⎩
(1)求X 及Y 的边缘分布密度(),()X Y f x f y ;(2)指出X 与Y 的独立性,并说明理由.
10. 设1X ，2X ，…,100X 为总体X 的简单随机样本,已知EX=2,DX=4,利用独立同分布中心极限定理求100
1150i i Y X ==≤∑的概率.
11.设一批肥料每袋重量为X,E(X)=25(kg),D(X)=1,从中抽取样本1X ，2X ，…,100X ,利用独立同分布中心极限定理求100
12475i i Y X ==≤∑的概率.
四 解答题
1.设12,,,n X X X 为来自X 的一个样本,且X 的概率密度为
2
,0
()0, x
x e x f x others θ
θ-⎧>⎪=⎨⎪⎩
,其中未知参数0θ>. (1)求参数θ的最大似然估计量;(2)当样本均值X 的观察值1000x =时,求θ的最大似然估计值.
2.设某自动化包装机包装每袋重量~(,4)X N μ(单位:g),从中抽取容量为n=9的一组样本,其样本值为:495,492,513,505,502,509,490,489,496.(1)指出样本均值X 服从的分布;(2)求μ的置信水平为0.90的置信区间. (附表略)
3.设成绩服从正态分布,从中抽取36位考生,算得66.5,15x s ==,问在显著性水平
0.05α=下,是否可认为这次考试平均分为70?
参考答案 一 1.0.3; 2.0
11133dx -=⎰; 3.1()1(0)0.5μμσ
--Φ=-Φ=;
2(1)4
,(,)x --
-∞+∞; 5.()()2Cov(,)D X D Y X Y ++=3.4;
6.X z =
;
7.0.4; 8.0.62
9.
0.30.40.20.30.40.80.6⨯=⨯+⨯; 10.254
{75}155P X -<≥-=; 二 1.[不相容()0P AB ⇒=;但()0P AB =,不一定AB =Φ]
()()()()P A B P A P AB P A -=-=,选C. 2.D; 3.B; 4.C; 5.C
三 1.
8!3!1
10!15
⨯=; 2.(1)55{}0.60.4,0,1,,5k
k k P X k C k -=== ;(2)()3;() 1.2E X np D X npq ====;
(3)5{5}1{0}10.40.9898P X P X ≥=-==-=
4.由2021Axdx A ==⎰,得2
A =,1011{1}24P X xdx ≤==⎰
5.记14、15级为12,A A ，男、女生为12,B B ，则12()0.4,()0.6P A P A ==，
2122()0.14,()0.18P B A P B A ==
（1）2()0.140.40.180.60.164P B =⨯+⨯= （2）22222()0.180.6
()0.659()
0.164
P A B P
A B P B
⨯=
=≈
6
．当0y <时，2(){}0,()0Y Y F y P X y f y =≤=∴=
当0y >时，2(
){}{
(Y X
X F y P
X y P X
F F =≤
=≤=-
()[()]Y Y f y F y '∴
=[((X X X X F F f f '=-=
+
故
0()0, Y y f y >=⎩其他。

7. 01
1/()0,
Y y f y others ⎧<<⎪=⎨⎪⎩
(2)2() 1.9,() 3.9;()0.29E X E X D Y ===
9.(1)12,01
()0, x x X dx x x f x -⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩
⎰其他;1111,10()11,010, y
Y y dy y y f y dy y y -⎧=+-≤≤⎪⎪⎪==-<≤⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰其他
(2)不独立。

10. 1(2.5)-Φ 11. 1(2.5)-Φ
四 1.似然函数 1
212
1()()
n
i
i
i x x n
n
i
n i x L e
x x e θ
θ
θθ
θ
=-
--=∑==∏
对数似然函数 11
1
ln ()2ln ln n
n
i i
i i L n x x θθθ
===-+-
∑∑
对数似然方程 21
l n ()21
0n
i i L n x d θθθθ=-=+=∑
解出 1ˆ2
x θ
=;. (*注意到22233
1ln ()222()0n i i L n n x x d θθθθθθ==-=-<∑.(ˆ2x θ=))
所以最大似然估计值 1ˆ2
x θ=. 最大似然估计量 1ˆ2
X θ= (2)ˆ500θ
= 2.(1)4~(,)9
X N μ;
(2)9,10.9,2n ασ=-==,查表得 /20.05 1.645z z α==,计算得499x =. 于是μ的置信水平为0.90的置信区间为
/2()(495.7,502.3)x z α±
=.
3. 01:70;:70H H μμ=≠ 检验统计量 ~(1)
x t t n =
-.拒绝域/2{(1)}t t n α≥-.
查表得 /20.025(1)(35)
2.0301t n t α-==,计算得 1.4 2.0301t =
=<.
所以不拒绝0H ,即可认为这次考试平均分为70.。