诱导公式专题学案(含详细解析)
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解(1)∵sin＝－，α∈(0，π)，
∴cosα＝－，sinα＝.
∴＝＝－.
(2)∵cosα＝－，sinα＝，
∴sin2α＝－，cos2α＝－，
cos＝－cos 2α＋sin 2α＝－.
变式练习2设f(α)＝
(1＋2sinα≠0)，则f的值？
解析∵f(α)＝
＝＝＝，
∴f＝
＝＝＝.
☆专题3：综合应用
例3在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cosA＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
解由sinx＋cosx＝得，
1＋2sinxcosx＝，则2sinxcosx＝－.
∵－<x<0，∴sinx<0，cosx>0，
即sinx－cosx<0.
则sinx－cosx
＝－
＝－＝－.
(1)sin2x－cos2x＝(sinx＋cosx)(sinx－cosx)
＝×＝－.
(2)由，
得，则tanx＝－.
即＝＝.
∴sinA－cosA＝，②
∴由①，②得sinA＝，cosA＝－，
∴tanA＝＝－.
4、强化练习
1．(2010·全国Ⅰ)cos 300°等于()
A．－B．－
C.D.
2．(2009·陕西)若3sinα＋cosα＝0，则的值为()
A.B.
C.D．－2
3．(2010·福建龙岩一中高三第三次月考)α是第一象限角，tanα＝，则sinα等于()
解(1)∵sinA＋cosA＝，①
∴两边平方得1＋2sinAcosA＝，
∴sinA·cosA＝－.
(2)由(1)sinA·cosA＝－<0，且0<A<π，
可知cosA<0，∴A为钝角，
∴△ABC为钝角三角形．
(3)∵(sinA－cosA)2＝1－2sinA·cosA＝，
又sinA>0，cosA<0，∴sinA－cosA>0，
变式练习1已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值．
(1)；(2)sin2α＋sin 2α.
解∵sin(3π＋α)＝2sin，
∴－sinα＝－2cosα.
∴sinα＝2cosα，即tanα＝2.
方法一(直接代入法)：
(1)原式＝＝－.
(2)原式＝＝＝.
方法二(同除转化法)：
(1)原式＝＝＝－.
A.<x<B.<x<π
C.<x<πD.<x<π
3．已知α为第三象限的角，则所在的象限是()
A．第一或第二象限B．第二或第三象限
C．第一或第三象限D．第二或第四象限
4．若1弧度的圆心角所对弦长等于2，则这个圆心角所对的弧长等于()
A．sinB.
C.D．2sin
5．已知θ∈且sinθ＋cosθ＝a，其中a∈(0,1)，则关于tanθ的值，以下四个答案中，可能正确的是()
②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如 ，
，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法及方程思想的运用.
例1已知－<x<0，sinx＋cosx＝.
(1)求sin2x－cos2x的值；
(2)求的值．
解题导引学会利用方程思想解三角函数题，对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，已知其中一个式子的值，就可以求出其余二式的值，但要注意对符号的判断．
1.(2013四川，文17)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(A－B)cosB－sin(A－B)sin(A＋C)＝ .
(1)求sinA的值；
(2)若 ，b＝5，求向量 在 方向上的投影．
.解：(1)由cos(A－B)cosB－sin(A－B)sin(A＋C)＝ ，得
第二讲诱导公式
时间：年月日刘老师学生签名：
一、兴趣导入
二、学前测试
1.1．(2011·宣城模拟)点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q，则Q的坐标为（）
A．(－，)B．(－，－)
C．(－，－)D．(－，)
2．若0<x<π，则使sinx>和cosx<同时成立的x的取值范围是()
A.B.
C．－D．－
4．cos(－π)－sin(－π)的值是()
A.B．－
C．0D.
5．(2011·清远月考)已知cos(－α)＝，则sin(α－)＝________.
如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m.
五、训练辅导
☆专题4：高考真题
解题导引先利用诱导公式化简已知条件，再利用平方关系求得cosA．求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．诱导公式在三角形中常用结论有：A＋B＝π－C；＋＋＝.
解由已知得
①2＋②2得2cos2A＝1，即cosA＝±.
(1)当cosA＝时，cosB＝，
又A、B是三角形的内角，
“偶不变”是指所涉及的轴上角为 的偶数倍时（包括5组： ）,函数名称不变，其主要功能在于：求任意角的三角函数值，化简及某些证明问题.
（2）诱导公式的引申：
【例2】
1.（2001全国文，1）tan300°+ 的值是（）
A．1＋ B．1－ C．－1－ D．－1＋
解析：答案：B tan300°＋ ＝tan(360°－60°)＋ ＝－tan60°＋ ＝1－ 。
sin
（1）先负角化正角
（2）将较大的角减去 的整数倍
（3）然后将角化成形式为 （ 为常整数）；
（4）然后根据“奇变偶不变，符号看象限”化为最简角；
要点诠释：
（1）两类诱导公式的记忆，经常使用十字口决：“奇变偶不变，符号看象限”。
“奇变”是指所涉及的轴上角为 的奇数倍时（包括4组： ， ）函数名称变为原来函数的余函数；其主要功能在于改变函数名称.
(2)原式＝sin2α＋2sinαcosα
＝＝＝.
☆专题2：利用诱导公式化简求值
可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。
诱导公式一： ， ，其中
诱导公式二： ；
诱导公式三： ；
诱导公式四： ；
诱导公式五： ；
－
sin
－sin
sin
－sin
－sin
sin
cos
cos
cos
－cos
－cos
cos
cBiblioteka Baidus
2．(2011·合肥)已知sin＝－，α∈(0，π)．
(1)求的值；
(2)求cos的值．
解题导引三角诱导公式记忆有一定规律：的本质是：奇变偶不变(对k而言，指k取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时可把α看成是锐角)．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：(1)负角变正角，再写成2kπ＋α，0≤α<2π；(2)转化为锐角三角函数．
∴A＝，B＝，∴C＝π－(A＋B)＝π.
(2)当cosA＝－时，cosB＝－.
又A、B是三角形的内角，
∴A＝π，B＝π，不合题意．
综上知，A＝，B＝，C＝π.
变式练习3已知△ABC中，sinA＋cosA＝，
(1)求sinA·cosA；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tanA的值．
A．－3B．3或
C．－D．－3或－
1．A2.B3.D4.C5.C
三、方法培养
☆专题1：利用同角三角函数的基本关系进行化简求值
1．平方关系： .
2．商数关系： .
3．倒数关系：
要点诠释：
①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式.
∴cosα＝－，sinα＝.
∴＝＝－.
(2)∵cosα＝－，sinα＝，
∴sin2α＝－，cos2α＝－，
cos＝－cos 2α＋sin 2α＝－.
变式练习2设f(α)＝
(1＋2sinα≠0)，则f的值？
解析∵f(α)＝
＝＝＝，
∴f＝
＝＝＝.
☆专题3：综合应用
例3在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cosA＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
解由sinx＋cosx＝得，
1＋2sinxcosx＝，则2sinxcosx＝－.
∵－<x<0，∴sinx<0，cosx>0，
即sinx－cosx<0.
则sinx－cosx
＝－
＝－＝－.
(1)sin2x－cos2x＝(sinx＋cosx)(sinx－cosx)
＝×＝－.
(2)由，
得，则tanx＝－.
即＝＝.
∴sinA－cosA＝，②
∴由①，②得sinA＝，cosA＝－，
∴tanA＝＝－.
4、强化练习
1．(2010·全国Ⅰ)cos 300°等于()
A．－B．－
C.D.
2．(2009·陕西)若3sinα＋cosα＝0，则的值为()
A.B.
C.D．－2
3．(2010·福建龙岩一中高三第三次月考)α是第一象限角，tanα＝，则sinα等于()
解(1)∵sinA＋cosA＝，①
∴两边平方得1＋2sinAcosA＝，
∴sinA·cosA＝－.
(2)由(1)sinA·cosA＝－<0，且0<A<π，
可知cosA<0，∴A为钝角，
∴△ABC为钝角三角形．
(3)∵(sinA－cosA)2＝1－2sinA·cosA＝，
又sinA>0，cosA<0，∴sinA－cosA>0，
变式练习1已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值．
(1)；(2)sin2α＋sin 2α.
解∵sin(3π＋α)＝2sin，
∴－sinα＝－2cosα.
∴sinα＝2cosα，即tanα＝2.
方法一(直接代入法)：
(1)原式＝＝－.
(2)原式＝＝＝.
方法二(同除转化法)：
(1)原式＝＝＝－.
A.<x<B.<x<π
C.<x<πD.<x<π
3．已知α为第三象限的角，则所在的象限是()
A．第一或第二象限B．第二或第三象限
C．第一或第三象限D．第二或第四象限
4．若1弧度的圆心角所对弦长等于2，则这个圆心角所对的弧长等于()
A．sinB.
C.D．2sin
5．已知θ∈且sinθ＋cosθ＝a，其中a∈(0,1)，则关于tanθ的值，以下四个答案中，可能正确的是()
②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如 ，
，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法及方程思想的运用.
例1已知－<x<0，sinx＋cosx＝.
(1)求sin2x－cos2x的值；
(2)求的值．
解题导引学会利用方程思想解三角函数题，对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，已知其中一个式子的值，就可以求出其余二式的值，但要注意对符号的判断．
1.(2013四川，文17)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(A－B)cosB－sin(A－B)sin(A＋C)＝ .
(1)求sinA的值；
(2)若 ，b＝5，求向量 在 方向上的投影．
.解：(1)由cos(A－B)cosB－sin(A－B)sin(A＋C)＝ ，得
第二讲诱导公式
时间：年月日刘老师学生签名：
一、兴趣导入
二、学前测试
1.1．(2011·宣城模拟)点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q，则Q的坐标为（）
A．(－，)B．(－，－)
C．(－，－)D．(－，)
2．若0<x<π，则使sinx>和cosx<同时成立的x的取值范围是()
A.B.
C．－D．－
4．cos(－π)－sin(－π)的值是()
A.B．－
C．0D.
5．(2011·清远月考)已知cos(－α)＝，则sin(α－)＝________.
如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m.
五、训练辅导
☆专题4：高考真题
解题导引先利用诱导公式化简已知条件，再利用平方关系求得cosA．求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．诱导公式在三角形中常用结论有：A＋B＝π－C；＋＋＝.
解由已知得
①2＋②2得2cos2A＝1，即cosA＝±.
(1)当cosA＝时，cosB＝，
又A、B是三角形的内角，
“偶不变”是指所涉及的轴上角为 的偶数倍时（包括5组： ）,函数名称不变，其主要功能在于：求任意角的三角函数值，化简及某些证明问题.
（2）诱导公式的引申：
【例2】
1.（2001全国文，1）tan300°+ 的值是（）
A．1＋ B．1－ C．－1－ D．－1＋
解析：答案：B tan300°＋ ＝tan(360°－60°)＋ ＝－tan60°＋ ＝1－ 。
sin
（1）先负角化正角
（2）将较大的角减去 的整数倍
（3）然后将角化成形式为 （ 为常整数）；
（4）然后根据“奇变偶不变，符号看象限”化为最简角；
要点诠释：
（1）两类诱导公式的记忆，经常使用十字口决：“奇变偶不变，符号看象限”。
“奇变”是指所涉及的轴上角为 的奇数倍时（包括4组： ， ）函数名称变为原来函数的余函数；其主要功能在于改变函数名称.
(2)原式＝sin2α＋2sinαcosα
＝＝＝.
☆专题2：利用诱导公式化简求值
可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。
诱导公式一： ， ，其中
诱导公式二： ；
诱导公式三： ；
诱导公式四： ；
诱导公式五： ；
－
sin
－sin
sin
－sin
－sin
sin
cos
cos
cos
－cos
－cos
cos
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2．(2011·合肥)已知sin＝－，α∈(0，π)．
(1)求的值；
(2)求cos的值．
解题导引三角诱导公式记忆有一定规律：的本质是：奇变偶不变(对k而言，指k取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时可把α看成是锐角)．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：(1)负角变正角，再写成2kπ＋α，0≤α<2π；(2)转化为锐角三角函数．
∴A＝，B＝，∴C＝π－(A＋B)＝π.
(2)当cosA＝－时，cosB＝－.
又A、B是三角形的内角，
∴A＝π，B＝π，不合题意．
综上知，A＝，B＝，C＝π.
变式练习3已知△ABC中，sinA＋cosA＝，
(1)求sinA·cosA；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tanA的值．
A．－3B．3或
C．－D．－3或－
1．A2.B3.D4.C5.C
三、方法培养
☆专题1：利用同角三角函数的基本关系进行化简求值
1．平方关系： .
2．商数关系： .
3．倒数关系：
要点诠释：
①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式.