2020中考数学专题复习课件-24 圆的基本性质

题图
证明：
证法一：如解图①，连接AO、CO，
由圆周角定理得：
∠B＝1∠1，∠D＝1∠2，
2
2
∵∠1＋∠2＝360°，
∴∠B＋∠D＝12∠1＋12∠2＝
12(∠1＋∠2)＝180°.
解图①
证法二： 如解图②，连接CA、BD， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠ADC＝∠1＋∠3＝∠2＋∠4， ∴∠ADC＋∠ABC＝∠2＋∠4＋∠ABC＝180°.
3. 圆与正多边形
如图，设正n边形的边长为a，则边心距r＝
R2
a 2
2
；正n边形的周长L＝na；
正n边形的面积S＝ 1 Lr＝1 nar；中心角θ＝ 360。.
22
n
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证明：圆内接四边形对角互补．
已知：如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．
求证：∠B＋∠D＝180°.
【自主解答】
所在的直线，对称中心是_圆__心_____．
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考点 2 垂径定理及其推论
1. 定理：垂直于弦的直径_平__分___弦，并且_平__分___弦所对的两条弧；
CD⊥AB 如图，在⊙O中， CD是直径
⇒
AM＝BM＝___12___AB, ¼AC＝ B»C ,
»AD＝B»D
2. 推论：平分弦(不是直径)的直径_垂__直___于弦，并且_平__分___弦所
第4题图
第5题图
5. (2016陕西9题3分)如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、
OC.若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为( B )
A.3 3
B.4 3
C. 5 3
D. 6 3
6. (2017陕西9题3分)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径
为5.若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB＝AB，则PA的长为( D )
∠BAC＝45°，∠B＝75°，则下列等式成立的是( B )
A. AB＝2CD C. AB＝ 3 CD
2
B. AB＝ 3CD D. AB＝ 2CD
第8题图
命题点 3 与圆有关的最值问题（2015.14，近4年填空题未考查此题型，
但在第25题利用辅助圆解题时会涉及）
9. (2015陕西14题3分)如图，AB是⊙O的弦，AB＝6，点C是⊙O上的一个动点， 且∠ACB＝45°.若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN长的最大值是3 _2___．
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考点 3 弦、弧、圆心角的关系
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1. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相__等__，所对的弦也_相__等___；
如图，在⊙O中，∠AOB＝∠COD⇒
»AB＝ C»D , AB＝_C_D___
2. 推论：(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_相__等___，
解图②
典例“串”考点
例 如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上异 于A，B的点． (1)如图①，∠ACB＝____9_0___°. (2)如图①，连接OC，若∠COB＝110°，则∠CAB＝__5_5_°. (3)如图②，点D为⊙O上异于A、B、C的一点，且位于AB上方， 连接AD、BD、CD，并延长BD至点E，若∠ABC＝30°. ①∠CDE＝____6_0___°； ②连接OC，OD，若AC＝BD，则∠COD＝____6_0___°；
第1题图
2. (2019陕西9题3分)如图，AB是⊙O的直径，EF、EB是⊙O的弦，且EF＝EB，
EF与AB交于点C，连接OF.若∠AOF＝40°，则∠F的度数是( B )
A. 20°
B. 35°
C. 40°
D. 55°
第2题图
第3题图
3. (2017陕西副题9题3分)如图，矩形ABCD内接于⊙O，点P是»AD上一点，连接PB、
第24课时 圆的基本性质
圆的有关概念
圆的有关 圆的性质 概念及性质
定理 推论
定理 推论
弦、弧、 圆心角的
关系
圆周角定 理及其推论
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ圆的基本 概念及性质
垂直定理 垂直定理 及其推论 垂直定理的推论
定义
三角形的外接圆 圆心 性质
圆与多边形
考点 1 圆的有关概念及性质
1. 定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．其中定点称为 __圆__心__，定长称为半径．如图，以点O为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径．
所对的弦_相__等___； 如图，在⊙O中，»AB＝C»D ⇒
∠AOB＝∠COD, ；
AB＝_C__D__
(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角_相__等___，所对的优 弧与劣弧分别_相__等___；
∠AOB＝∠COD, AB＝CD⇒
»AB＝__C»__D__ 【提分要点】(1)理解圆心角、弧、弦三者之间的关系时，注意一条弦对着两条 弧，一条弧对应无数个圆周角．(2)在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两 条弧中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也相等．
③若点D为弧
»AB的中点，连接OD，cos∠ABC＝
4 5
，AC＝6，则BD的长为__5__2__，
CD的长为__7__2__．
陕西5年真题、副题“明”考法
命题点 1 垂径定理及圆周角定理的相关（5年4考） 类型一 圆周角定理的相关计算(5年2考)
1. (2018陕西9题3分)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°， 作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为( A ) A. 15° B. 35° C. 25° D. 45°
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考点 4 圆周角定理及其推论
1. 定理
内容
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_一__半___
常见图形
结论
∠APB＝_12_∠__A_O_B
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2. 推论 (1)同弧或等弧所对的圆周角相__等__；如图，在⊙O中，∠A和_∠__D_是 B»C所对的圆 周角⇒∠A＝__∠__D；B»C＝ B»D⇒∠A＝__∠__B__C；D
2. 确定圆的条件： (1)圆心确定圆的位置，__半__径____确定圆的大小； (2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
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3. 圆的有关概念：
(1)弦：连接圆上任意两点的__线__段____叫做弦，如AC、BC；
(2)直径：经过__圆__心____的弦叫做直径，直径等于半径的2倍；
(3)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧叫做_优__弧___，
例题图
③若点C是弧»AD 的中点，连接OC交AD于点F，AD＝8，则∠CAD＝__3_0_____°， ⊙O的半径为__8___3___．
3 (4)如图③，点D为⊙O上异于A、B、C的一点，且位于AB下方，连接BD、CD.
①若∠CAB＝50°，CD＝BD，则∠ABD＝__2_5___°；
②若AB⊥CD于点E，CD＝8，AE＝2，则⊙O的半径为__5____；
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考点 6 圆与多边形
1. 圆内接四边形的概念：如图，四边形ABCD的所有顶点都在同一个圆上，这 个四边形叫做圆内接四边形．
2. 圆内接四边形的性质：(如图)
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(1)圆内接四边形的对角_互__补___，如∠A＋∠BCD＝_1_8_0_°_，∠B＋∠D＝_1_8_0_°_；
(2)圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的_内__对__角_，如∠DCE＝_∠__A___．
对的两条弧；
AM＝BM 如图，在⊙O中，CD是直径
CD⊥AB ⇒ ¼AC＝B»C
»AD＝B»D
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【提分要点】垂径定理及其推论的延伸：根据圆的对称性，在以下五个结论中： ① ¼AC ＝B»C；② »AD＝B»D ；③AM＝BM；④AB⊥CD；⑤CD是直径，只要满 足其中两个结论，另外三个结论一定成立，即“知二推三”．
PC.若AD＝2AB，则sin∠BPC的值为( B )
A. 5 5
B. 2 5 5
C. 3 5
D. 3 5 10
类型二 垂径定理与圆周角定理结合的相关计算(5年2考)
4. (2016陕西副题9题3分)如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D.若点 P是⊙O上异于点A、B的任意一点，则∠APB＝( D ) A．30°或60° B．60°或150° C．30°或150° D．60°或120°
A. 5
B. 5 3
C. 5 2
2
D.5 3
第6题图
第7题图
7. (2019陕西副题9题3分)如图，⊙O的半径为5，△ABC内接于⊙O，且BC＝8，
AB＝AC，点D在¼AC上．若∠AOD＝∠BAC，则CD的长为( B )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
命题点 2 圆内接四边形
8. (2018陕西副题9题3分)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD＝BC.若
第9题图
第10题图
10. (2015陕西副题14题3分)如图，A、B是半圆O上的两点，MN是直径，
OB⊥MN.若AB＝4，OB＝5，P是MN上的一动点，则PA＋PB的最小值为2___2_1_．
如¼ ABC ，小于半圆的弧叫做_劣__弧___，如 »AB 、¼AC 、B»C ；
(4)圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，如∠ACB；
(5)圆心角：顶点在__圆__心____的角叫做圆心角，如∠AOB；
(6)弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距，如OD.
4. 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴是任意一条_直__径_
(2)半圆(或直径)所对的圆周角是直__角__(_或__9_0_°__)，90°的圆周角所对的弦是_直__径___；
如图，在⊙O中，AB是直径⇒∠ACB＝__9_0_°__． 【提分要点】在遇到与直径有关的问题时，一般要构造直径所对的圆周角，由
直径转化出直角．
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考点 5 三角形的外接圆
1. 定义：经过三角形的三个顶点形成的圆． 2. 圆心：外心(三角形外接圆的圆心或三角形 _三__边__垂__直__平__分__线_____的交点)． 3. 性质：三角形的外心到三角形_三__个__顶__点___的距离相等．