高考数学专题复习：三角函数的图像

像这样，先描出这五个点，然后用光滑的曲线将它们连结起来， 就得到在相应区间内正弦函数、余弦函数的简图，这种方法叫五点法．
注意 1°描点法不易描出对应点的精确位置，因此作出的图象 不够精确．
2°几何法作图较为精确，但作图过程较为复杂． 3°五点法是画三角函数图象的基本方法，要切实掌握好． 4°作图时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为 实数，从而在 x 轴、y 轴上可以统一单位，作出的图象正规，便于 应用．
教材面面观 1．利用“五点法”作 y＝sinx 图象的五点是_________，作 y＝ cosx 图象的五点是_____________________________.
答案 (0,0)，(π2，1)，(π，0)，(32π，－1)，(2π，0) (0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(32π，0)，(2π，1)
长(当 0＜ω＜1 时)到原来的ω1 倍(纵坐标不变)而得到的．
③相位变换：函数 y＝sin(x＋φ)，x∈R(其中 φ≠0)的图象，可 以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当 φ＞0 时)或向右(当 φ＜0 时) 平行移动|φ|个单位长度而得到的．
函数 y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中 A＞0，ω＞0)的图象，可以看 作用下面的方法得到：先把正弦曲线上的所有点，向左(当 φ＞0 时) 或向右(当 φ＜0 时)平行移动|φ|个单位长度，再把所得各点的横坐标
缩短(当 ω＞1 时)或伸长(当 0＜ω＜1 时)到原来的ω1 倍(纵坐标不变)， 再把所得各点的纵坐标伸长(当 A＞1 时)或缩短(当 0＜A＜1 时)到原 来的 A 倍(横坐标不变)，这一过程步骤如下：
4．给出图象上的点，求解析式 y＝Asin(ωx＋φ) 给出图象确定解析式 y＝Asin(ωx＋φ)的题型，有时从寻找“五 点法”中的第一零点(－ωφ，0)作为突破口，要从图象的升降情况找 准第一零点的位置． 这类问题主要是依据三角函数的图象，确定出相关的 A、ω 和 φ 的值．其中求 φ 的值是难点．一般求 φ 的值常代入波峰或波谷处点 的坐标去判定 φ 的值．
5．对称问题 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象与 x 轴的每一个交点均为其对称中 心，经过该图象上坐标为(x，±A)的点与 x 轴垂直的每一条直线均为 其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周
期(或两个相邻平衡点间的距离) (1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线 x＝xk(其中 ωxk＋φ＝kπ
(2)变换法作函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象除用“五点法”作出外，还可由函 数 y＝sinx 的图象经过若干变换而得到，这些变换是： ①振幅变换：函数 y＝Asinx，x∈R(其中 A＞0 且 A≠1)的图象， 可以看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长(当 A＞1 时)或缩短(当 0 ＜A＜1 时)到原来的 A 倍(横坐标不变)而得到的． ②周期变换：函数 y＝sinωx，x∈R(其中 ω＞0，且 ω≠1)的图 象，可以看作是把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(当 ω＞1 时)或伸
2．正切函数的图象
(1) 由 诱 导 公 式
tan(x
＋
π)
＝
sinπ＋x cosπ＋x
＝
－sinx －cosx
＝
tanx(
其
中
x∈R，且 x≠π2＋kπ，k∈Z)，从而正切函数是周期函数，且最小正 周期为 π.
(2)图象作法：先作图象 y＝tanx，x∈(－π2，π2)内的图象．利用 单位圆中的正切线，通过平行移动，即可是 y＝tanx，x∈(－π2，π2) 的图象，再利用正切函数的周期性向左、右扩展，得 y＝tanx，x∈R， 且 x≠kπ＋π2(k∈Z)的图象，并把它叫做正切曲线．如图所示．
＋π2，k∈Z)成轴对称图形．也就是说过波峰或波谷处且与 x 轴垂直 的直线为其对称轴．
(2)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(xj,0)(其中 ωxj＋φ＝kπ， k∈Z)成中心对称图形．也就是说函数图象与 x 轴的交点(平衡位置 点)是其对称中心.
典例对对碰
题型一 作函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的图象 例 1 用“五点法”作 y＝2cos2x－2 3sinxcosx 的图象，说明它 是怎样由 y＝sinx 的图象变换而来． 分析 先对已知的函数解析式进行恒等变形，然后取(ωx＋φ) 为特殊值而推知 x 的值及 y 的值．列表作出一个周期内的图象，再 依周期性作出全部图象来．
答案 平移 伸缩 对称 翻折
考点串串讲 1．正弦函数、余弦函 y＝cosx，x∈R 的图象，如图 所示．
定义：正弦函数 y＝sinx，x∈R 和余弦函数 y＝cosx，x∈R 的 图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
(2)正弦函数、余弦函数图象的画法 ①几何法 利用单位圆中的正弦线、余弦线来作出正弦函数、余弦函数的图 象． ②五点法 观察正弦函数的图象可知，下面五个点在确定正弦函数图象的形
3．函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象 (1)用“五点法”作函数 y＝Asin(ωx＋φ)的简图，采用变量代换 的方法，设 z＝ωx＋φ，由 z 取 0，π2，π，32π，2π 来求出相应的 x 值， 通过列表计算出五点坐标，再利用描点法即得到 y＝Asin(ωx＋φ)的 简图．用“五点法”作图每两点之间的横坐标相差T4 个周期．
2 ． 利 用 “ 五 点 法 ” 作 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 图 象 的 五 点 是 ___________.
答案 (－ωφ，0)，(π2－ω φ，A)，(π－ω φ，0)，(32πω－φ，－A)，(2πω－φ，0)
3．图象的变换主要有：________变换、________变换、________ 变换、________变换．
状时起关键作用，(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(32π，－1)，(2π，0)． 这五点描出后，正弦函数 y＝sinx，x∈[0,2π]的图象就基本上确定
了，而(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(32π，0)，(2π，1)这五点描出后，余 弦函数 y＝cosx，x∈[0,2π]的图象的形状也基本上就确定了．