南京大学量子力学1998--2013真题
中科院量子力学考研真题及答案详解(19902010共40套真题)
1990年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称： 量子力学（理论型），00分。
、在，氢原子波函数为说明：共五道大题无选择题，计分在题尾标出，满分10t =100210211211一(,0)2r ψψψ=+⎣⎦ 其中右方函数下标表示量子数。
忽略自旋和辐射跃迁。
投影-⎡⎤(1) 此系统的平均能量是多少？nlm 0z L =(2) 这系统在任意时刻处于角动量的几率是多少？ 、利用坐标与动量算符之间的对易投影关系，证明二()2∞00n nE E n x -=∑常数这里是哈密顿量n E 2ˆˆ()2p H V m=+x 的本征能量，相应的本征态为n 。
求出该常数。
、设一质量为μ的粒子在球对称势()(0)V r kr k =>三中运动。
利用测不准关系估算其（束缚态）类似于氢原子，只是用一个正电子代替质子作为核，在非基态的能量。
四、电子偶素e e +-种接触型自旋交换作用相对论极限下，其能量和波函数与氢原子类似。
今设在电子偶素的基态里，存在一8e p ˆˆˆ3H M M π和ˆpM '=-⋅其中ˆe M 是电子和正电子的自旋磁矩ˆˆ(,q )MS q ==e mc±量差，决定哪一个能量更低。
对普通的氢原子，基态波函数： 。
利用一级微扰论，计算此基态中自旋单态与三重态之间的能221137e c 1002,,r a a me ψ-==一质量为= μ的粒子被势场00()(0)r aV r V e V a -=>>所散射，用一级玻恩近似计算微分散射截面。
五、1990年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称：量子力学（实验型）分。
光电效应实验指出：当光照射到金属上，说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分100一、(1) a) 只有当光频率大于一定值0ν时，才有光电子发射出；b) 光电子的能量只与光的频率有关，而与光的强度无关；c) 只要光的频率大于0ν，光子立即产生。
试述：a) 经典理论为何不能解释上述现象，或者说这些实验现象与经典理论矛盾何斯坦假说正确解释上述实验结果。
南京大学2004量子力学考研真题
南京大学 2004 年攻读硕士学位研究生入学考试试题（三小时三小时）） 考试科目名称及代码：适用专业：注意注意：：1. 所有答案必须写在“南京大学研究生入学考试答题纸”上，写在试卷和其他低上无效；2. 本科目允许/不允许使用无字典存储和编程功能的计算器。
3. 本试卷中第一题至第四题为必做题，第五题和第六题中任选一题，做六题者按得分最低的五题计分。
一、已知电子质量为µ，电子电量为()e −，回答以下问题1) 一个电子被限制在宽度为a 的一维无限深势阱中运动，请写出该体系的能级公式；（5分）2) 五个电子被限制在宽度为的一维无限深势阱中运动，不考虑电子和电子之间的库仑相互作用，请写出该体系的基态和第一激发态的能级公式； （10分）3) 一个电子处于一维谐振子势场2221x µω中运动，其中ω是谐振子势的本征圆频率，x 是电子的坐标，请写出该体系的能级公式；（5分）4) 如果电子在上题中的一维谐振子势场中运动，并且假定电子恰好处在某个能量本征态上，求电子的坐标和运量的平均值，这些平均值随时间变化么？ （10分）5) 请写出氢原子体系的能级公式和电子的基态波函数，这里假定原子核是不动的；（10分） 6) 假定氢原子处于基态，求电子势能−r e 2的平均值，其中是电子的径向坐标。
（10分）二、假定电子的波函数在球坐标系下写为()()()r g e r i θθϕθψϕcos sin ,,+=，其中()r g 仅为径向坐标r 的函数。
1) 求角动量平方2L 的可能测量值和相应的几率；（10分） 2) 求角动量的z 分量z L 的可能测量值和平均值。
提示：头几项球谐函数的表达式如下 ()πϕθ41,0,0=Y ，()θπϕθcos 43,0,1=Y ，()()ϕθπϕθi Y ±=±exp sin 83,1,1m， ()()1cos 3165,20,2−=θπϕθY ， ()()ϕθθπϕθi Y ±=±exp cos sin 815,1,2m， ()()ϕθπϕθi Y 2exp sin 3215,22,2±=±。
量子力学习题集(NJU)
h ¯ k2
Note:
∫
∞
−∞
[ ( )] dx exp − α2 x2 + iβx + iγx2 =
(
π α2 + iγ
)1/2
−β 2 (α2 − iγ ) exp 4 (α4 + γ 2 )
[
]
4. 设粒子处于二维无限深势井中， 0, 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b; V (x) = ∞, 其它情况. 求粒子的能量本征值和本征函数，并讨论简并性。 参考答案：由于势阱无限深，在势阱外找到粒子的概率应该为零，因此势阱外的波函数为 ψ (x, y ) = 0. 在势井内部，定态薛定谔方程为 h ¯2 2 h ¯2 ∂2 ∂2 − ∇ ψ (x, y ) = − ( 2 + 2 )ψ (x, y ) = Eψ (x, y ). 2µ 2µ ∂x ∂y 这里，µ为粒子质量。做变量分离 ψ (x, y ) = f (x)g (y ), 我们有 其中，c > 0。 求解上面两个方程，我们有 f (x) = α eikx x + α e−ikx x , 1 2 g (y ) = β1 eiky y + β2 e−iky y ,
b
3
和
f (x) = A sin(k x), x g (y ) = B sin(ky y ). 进行归一化后，有 2 nπx mπx ψn,m (x, y ) = √ sin( ) sin( ). a b ab
而本征能量为 En,m = 当a = b时，则本征能量为 En,m =
2 2
4
h ¯ 2 π 2 n2 . 2ma2
于是， 1 ψ (x, 0) = √ [ψ1 (x) + eiϕ ψ2 (x)]. 2 (2) 1 h h ψ (x, t) = √ [ψ1 (x)e−iE1 t/¯ + eiϕ ψ2 (x)e−iE2 t/¯ ]. 2 |ψ (x, t)|2 = ψ ∗ (x, t)ψ (x, t) E1 − E2 1 2 2 (x) + ψ2 (x) + 2ψ1 (x)ψ2 (x) cos(ϕ + t)]. = [ψ1 2 h ¯ (3) ∫ ⟨x ˆ⟩ = 利用， ∫
量子力学复习题答案与题解
量子力学复习题导致量子论产生的物理现象主要有哪些？p2量子的概念是如何引进的？p5为什么说爱因斯坦是量子论的主要创始人之一？p6写出德布罗意公式并说明其中各量的含义和该公式的意义。
P12什么是波函数的几率解释？p18态的迭加原理。
P22动量算符的定义。
P27写出单粒子薛定谔方程。
P27写出多粒子薛定谔方程。
P28写出单粒子哈密顿算符及其本征值方程。
P33什么条件下可以得到定态薛定谔方程？p32什么是束缚态？p37什么情况下量子系统具有分立能级？p37什么是基态？p37写出线性谐振子的定态薛定谔方程。
P39写出线性谐振子的能级表达式。
P40写出波函数应满足的三个基本条件。
P51写出算符的本征值方程并说明其中各量的含义。
P54量子力学中的力学量算符如何由经典力学中相应的力学量得出？p55写出厄米算符的定义，并解释为什么量子力学中的力学量要用厄米算符来表示。
P56写出轨道角动量算符的各分量表达式。
P60什么是角量子数、磁量子数？写出相应的本征值表达式及其数值关系。
P63解：),()1(),(ˆ22ϕθϕθlm lm Y l l Y L += ),(),(ˆϕθϕθlmlm z Y m Y L = 其中l 表征角动量的大小，称为角量子数，m 称为磁量子数。
对应于一个l 的值，m 可以取（2l +1）个值，从-l 到+l 。
写出波尔半径的值和氢原子的电离能，可见光能否导致氢原子电离？00.52A a =( 3分) 113.6e V E =( 3分)可见光的能量不超过3.26eV , 这个值小于氢原子的电离能，所以不能引起氢原子电离。
( 4分)写出类氢原子体系的定态薛定谔方程。
P65 写出氢原子能级的表达式及其简并度。
P68 s, p, d, f 态粒子是什么含义？p63关于力学量与算符的关系的基本假定。
P83 写出力学量平均值的积分表达式。
P84 两个算符可对易的充要条件是什么？p89 写出X 方向坐标与动量的不确定关系。
量子力学简答100题及答案 1
1、简述波函数的统计解释；2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？3、力学量Gˆ在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系；5、电子在位置和自旋z S ˆ表象下，波函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。
6、何为束缚态？7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。
8、设粒子在位置表象中处于态),(t r ψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,) r t 改写为ψ(,)r t 有何不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。
10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？14、在简并定态微扰论中，如 ()H0的某一能级)0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…，f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H HH'+=ˆˆˆ0的零级近似波函数？ 15、在自旋态χ12()s z 中， S x 和 S y的测不准关系( )( )∆∆S S x y 22•是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解？17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。
18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。
19何谓选择定则。
20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋？21、叙述量子力学的态迭加原理。
22、厄米算符是如何定义的？23、据[aˆ，+a ˆ]=1，a a Nˆˆˆ+=，n n n N =ˆ，证明：1ˆ-=n n n a 。
量子力学习题集及答案
量子力学习题集及答案09光信息量子力研究题集一、填空题1.__________2.设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为6.125A。
XXX的量子化条件为∫pdq=nh，应用这量子化条件求得一维谐振子的能级En=(nωℏ)。
3.XXX假说的正确性，在1927年为XXX和革末所做的电子衍射实验所证实，德布罗意关系为E=ωℏ和p=ℏk。
4.ψ(r)=(三维空间自由粒子的归一化波函数为e^(ip·r/ℏ))，其中p为动量算符的归一化本征态。
5.∫ψ*(r)ψ(r)dτ=(δ(p'-p))，其中δ为狄拉克函数。
6.t=0时体系的状态为ψ(x,0)=ψ_n(x)+2ψ_2(x)，其中ψ_n(x)为一维线性谐振子的定态波函数，则ψ(x,t)=(ψ(x)e^(-iωt/2)+2ψ_2(x)e^(-5iωt/2))。
7.按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w=(|Ψ|^2)，几率流密度j=(iℏ/2μ)(Ψ*∇Ψ-Ψ∇Ψ*)。
其中Ψ(r)描写粒子的状态，Ψ(r)是粒子的几率密度，在Ψ(r)中F(x)的平均值为F=(∫Ψ*F(x)Ψdx)/(∫Ψ*Ψdx)。
8.波函数Ψ和cΨ是描写同一状态，Ψe^(iδ)中的e^(iδ)称为相因子，e^(iδ)不影响波函数Ψ的归一化，因为e^(iδ)=1.9.定态是指能量具有确定值的状态，束缚态是指无穷远处波函数为零的状态。
10.E1=E2时，Ψ(x,t)=Ψ_1(x)exp(-iE1t)+Ψ_2(x)exp(-iE2t)是定态的条件。
11.这时几率密度和几率流密度都与时间无关。
12.粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。
13.无穷远处波函数为零的状态称为束缚态，其能量一般为分立谱。
14.ψ(x,t)=(ψ(x)e^(-iωt/2)+ψ_3(x)e^(-7iωt/2))。
2.15.在一维无限深势阱中，粒子处于位置区间x a，第一激发态的能量为1/13（22222/2ma2），第一激发态的波函数为sin（n x/a）（n=2）/a。
历年南京师范大学839量子力学考研真题试卷与答案详解
历年南京师范大学839量子力学考研真题试卷与答案详解历年南京师范大学839量子力学考研真题试卷与答案详解一、考试解读：part 1 学院专业考试概况：①学院专业分析：含学院基本概况、考研专业课科目:量子力学的考试情况；②科目对应专业历年录取统计表：含南师大物理学专业的历年录取人数与分数线情况；③历年考研真题特点：含南师大考研专业课量子力学各部分的命题规律及出题风格。
part 2 历年题型分析及对应解题技巧：根据南师量子力学各专业考试科目的考试题型（简答题、计算题、证明题、综合题等），分析对应各类型题目的具体解题技巧，帮助考生提高针对性，提升答题效率，充分把握关键得分点。
part 3 近年真题分析：最新真题是南师考研中最为珍贵的参考资料，针对最新一年的南师考研真题试卷展开深入剖析，帮助考生有的放矢，把握真题所考察的最新动向与考试侧重点，以便做好更具针对性的复习准备工作。
part 4 未来考试展望：根据上述相关知识点及真题试卷的针对性分析，提高考生的备考与应试前瞻性，令考生心中有数，直抵南师大考研的核心要旨。
part 5 南师大考试大纲：①复习教材罗列（官方指定或重点推荐+拓展书目）：不放过任何一个课内、课外知识点。
②官方指定或重点教材的大纲解读：官方没有考试大纲，高分学长学姐为你详细梳理。
③拓展书目说明及复习策略：专业课高分，需要的不仅是参透指定教材的基本功，还应加强课外延展与提升。
part 6 专业课高分备考策略：①考研前期的准备；②复习备考期间的准备与注意事项；③考场注意事项。
part 7 章节考点分布表：罗列南师大考研专业课量子力学的专业课试卷中，近年试卷考点分布的具体情况，方便考生知晓南师大考研专业课试卷的侧重点与知识点分布，有助于考生更具针对性地复习、强化，快准狠地把握高分阵地。
二、南师大历年真题与答案详解：整理南师大该科目的1997-2018年考研真题，并配有2010-2018年真题答案详解，本部分包括了（解题思路、答案详解）两方面内容。
量子力学复习及答案(88题)
ψ ( r , = / 2)
K
2
K
2
及
∫
K d 3 r ψ ( r , − = / 2)
物
2
解： ψ (r , = / 2 )
表示电子自旋向上（ s z = = 2 ） 、位置在 r 处的几率密度；
2
18. 二电子体系中，总自旋 S = s1 + s 2 ，写出（ S , S z ）的归一化本征态（即自旋单态与三重态） 。 解： （ S , S z ）的归一化本征态记为 χ SM S ，则
(1) ⎢ x ,
⎡ ⎣
d ⎤ ⎥=? d x⎦
（2） 2 x 。
（2 ） ⎢
⎡ d ⎤ , x2 ⎥ =? ⎣ dx ⎦
解：(1)-1
2. 一维运动中，哈密顿量 H =
p2 + V ( x) ，求 [x , H ] = ? 2m
解：
=2 d [x , H ] = ， m dx
[ z = − = 2 ）的几率。
a 的对易关系式； a 的关系； 20. 给出一维谐振子升、 降算符 a 、 粒子数算符 N 与 a 、 哈密顿量 H 用 N
3
理 学
2
分别表示什么样的物理意义。
K
院
+
⎛1⎞ ⎛0⎞ = = ⎟ , α = χ1 2 (s z ) = ⎜ ； s z = − , β = χ −1 2 ( s z ) = ⎜ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎟。 2 2 ⎝ 0⎠ ⎝ ⎠
学
⎧V , V ( x) = ⎨ 1 ⎩V2 ,
x<a x>a
物
，
4
解：高能粒子散射宜采用玻恩近似方法处理；低能粒子散射宜采用分波法处理。
2014年南京大学博士生入学笔试考题
2014年南京大学博士生入学笔试考题
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2014年南京大学博士生入学试题
一、阐述下面的人物对量子力学发展所做得贡献，要求写出相关的公式。
1. Paul Dirac （10分）
2. Max Born （10分）
二、粒子在δ 势阱0(x)(x)V V δ=-，00V >中运动，求束缚态能级和波函数。
（20分）
三、海森堡运动影像，
1. 自由粒子在海森堡方程中的坐标算子；（10分）
2. 线性谐振子在海森堡方程中的坐标算子和动量算子。
（20分）
四、在球坐标系中，θ 为球半径与x-z 平面的夹角，
1. 求自旋角动量方向的投影??n
S S n =?本征值（15分） 2. 在x S 表象中，测量有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现
（15分）。
北京大学南京大学量子力学考研试题题库
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参 C)haptcΓ 1 0ri胥 :ins OfQuantum Physics
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量子力学真题
中国科学院量子力学真题一、回答下列各问题（共30分）1．计算对易关系ˆ,L μν⎡⎤⎣⎦，其中,,,x y z μν=。
（4分） 2．分别说明什么样的状态是束缚态、简并态和负宇称态（3分）3．粒子自旋处于/2z s =的本征态10α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，试求x s 和y s 的不确定关系：?=。
（5分） 4．粒子在宽为a 的无限深方势阱中运动，估算其基态能量。
（3分）5．写出电子自旋z s 的二本征值和对应的本征态。
（2分）6．设粒子处于(,)lm Y θϕ状态下，求2()x L ∆和2()y L ∆（6分）7．计算下列对易式2(1),?(2),?d d x x dx dx ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
（4分） 8．何谓光的吸收？何谓光的受激辐射？何谓光的自发辐射？给出光学定理的表达式并说明它的意义。
（3分）二、（共10分）两个自旋1/2、质量为m 的无相互作用的全同费米子同处线性谐振子场中，写出基态和第一激发态的能量本征值和本征函数，并指出简并度。
三、（共20分）已知氢原子在0t =时处于状态21311112(,0)()()()000333r r r r ψψψ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ψ=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中，()n r ψ为氢原子的第n 个能量本征态。
求能量及自旋z 分量的取值概率与平均值，写出0t >的波函数。
四、（共20分）一个一维无限深方势阱如图所示，在x =0和x =L 处有两个无限高壁，两个宽为a ，高为0V 的小微扰势垒中心位于/4x L =和3/4x L =处，a 是小量（例如/100a L ）。
试用一级微扰论计算修正后的基态能量值及2n =和4n =的能级差。
五、（共20分）在0t =时，处于势2212V x m x ω=（）中的粒子，由波函数,0()n n x x ψψ∑n （）=A描述，n ψ是能量本征态，()n n nn ψψδ''=，求（1） 归一化常数A ；（2） 给出0t >时，,x t ψ（）的表达式；（3） 证明2,x t ψ（）是一个周期函数，求出其最长的周期；（4） 求出0t =时，体系能量的平均值。
1998中科院量子力学试题理论型
三、一个质量为 m 的粒子在一维势场： , x 3a a x 3a 0, V ( x) x a V0 , 0, 3a x a 中运动。 (1) V0 0 时，求粒子的能谱；
(2) V0 0 时，用一级微扰法求基态能量。
四、设有算符 ai 和 ai† 满足如下对易关系（ ai† 是 ai 的厄密共轭， i, j 1, 2 ） ；
中运动。
(2) 求存在且仅存在一个束缚态的条件。
二、自旋为
(1999 年(理论型)第三题)
的带电粒子（电荷为 q ，质量为 m ）受到均匀磁场 B Be y 的作用（ e y 为 y 2 ˆ eB s ˆy 为自旋算符的 y 分量） ˆy 。 方向的单位矢量） ，其哈密顿量为 H （s ，如果 mc t 0 时粒子的自旋指向正 x 轴方向，求粒子自旋平均值的时间演化。(1999 年(理论 型)第四题)
† † † ai a † ai a j a j ai 0, ai† a † j a j ai a † a i a † a a † a 的能谱。 试求哈密顿量 (0 1 0) H 2 2 0 1 1 1 2 2 1 1
† ˆ 化为二个不耦合的谐振子 （提示：仅利用 a1和a2 , a1†和 a2 之间的线性变换，可将 H
的哈密顿量之和。 ） 五、将上题哈密顿量 中与 有关的部分当作微扰，请用定态微扰论求出第一激发态的 修正。 （第一激发态的二度简并的。 ）
试题名称：1998 量子力学（理论型）
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中国科学院－中国科技大学 1998 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（理论型）
说明：共六道大题，选作五题，每题 20 分。 一、质量为 m 的粒子在一维势场 0, x a (V0 0) V ( x) V0 , x a (1) 求基态能量 E0 满足的方程：
大学物理量子力学习题答案解析
一、简答题（1——8题，每题5分，共40分）1. 用球坐标表示，粒子波函数表为()ϕθψ,,r 。
写出粒子在),(ϕθ方向的立体角Ωd 中且半径在a r <<0范围内被测到的几率。
解：()⎰Ω=adrr r d P 022,,ϕθψ。
2. 写出三维无限深势阱⎩⎨⎧∞<<<<<<=其余区域,0,0,0,0),,(cz b y a x z y x V中粒子的能级和波函数。
解：能量本征值和本征波函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++222222222c n b n a n mE z yx n n n zy x π ，,3,2,1,00,0,0,sin sin sin 8),,(=⎪⎩⎪⎨⎧<<<<<<=n c z b y a x czn b y n a x n abc z y x z y x n n n z y x 其余区域πππψ3. 量子力学中，一个力学量Q 守恒的条件是什么？用式子表示。
解：有两个条件：0],[,0==∂∂H Q t Q。
4.）（z L L ,2 的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？解：()zL L,2的共同本征函数是球谐函数),(ϕθlmY。
),(),(,),()1(),(22ϕθϕθϕθϕθlm lm z lm lm Y m Y L Y l l Y L =+=。
5. 量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开：∑=nn n x c x )()(ψψ，写出展开式系数n c 的表达式。
解： ()dxx x x x c n n n ⎰==)()()(,)(*ψψψψ。
6. 一个电子运动的旋量波函数为()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2,2,,r r s r z ψψψ，写出表示电子自旋向上、位置在r处的几率密度表达式，以及表示电子自旋向下的几率的表达式。
解：电子自旋向上（2 =z s ）、位置在r 处的几率密度为()22/, r ψ；电子自旋向下（2 -=z s ）的几率为()232/,⎰-r r d ψ。
2016年南京大学物理学院博士生量子力学入学考试真题
2015年南京大学物理学院博士生“申请-考核”制入学
专业课程笔试试题
考试科目： 量子力学 考试时间：三小时
本试卷共计五大题
一、基本概念题
简述量子力学的基本原理。
二、设一个质量为m 的粒子处于区域为(0, a )的一维无限深势阱中， 其状态波函数为2=sin cos x
x
a a ππψ ，试求：
1)、一维无限深势阱的本征值问题；
2)、测量到粒子处于不同能量本征态的几率。
三、设两个算子ˆA
与ˆB 满足交换关系式：ˆˆˆˆˆˆ[,]1A B AB BA =-=，试求： 1)、n 为正整数， ˆˆ[,]n A
B ； 2)、()f x 为解析函数，ˆˆ[,()]A
f B 。
四、 已知两个算子ˆa 与ˆa +满足ˆˆˆˆ1a a aa ++=-，令ˆˆˆN a a +=，且有ˆN
n n n =， 求证：n 为实数。
五、量子力学中的韦尔(Weyl)波动方程式为：
(,)(,)i r t c r t t i ψσψ∂
=⋅∇∂
，
其中=x x y y z z e e e σσσσ++
为泡利矩阵所组成的矢量，
(,)r t ψ 为泡利二 分量波函数，其它为量子力学标准符号。
求
1)、该系统的韦尔定态方程式与力学量完全集；
2)、该系统的能量本征值并说明其物理意义；
3)、该系统的本征波函数。
南京大学量子力学1998--2013真题
1 cos kx 描述。求粒子的动量平均值和动 2
能平均值。 （20 分） 二、 粒子被约路障” 进一步限制粒子在 0 0 的一段圆弧上运动， 即 V ， , 0 2
处入射，其透射系数和反射系数各为多少？考虑 E 的所有可能值。 （20 分） 三、有一质量为 的粒子，在一维谐振子势场 V x
p2 1 的非相对 2 x 2 中运动。在动能 T 2 2
1
1 4 2 x 。考虑 T 与 p exp 论极限下，基态能 E 0 ，基态波函数为 0 x 2 2
1 0 x c 2 x ，其中 0 x 和 2 x 分别为一维谐振子的基 3
态和第二激发态的能量本征波函数， c 为待定常数且 c 0 。 1） 根据归一化条件，求待定常数 c ； （5 分） 2） 求 t 时刻粒子所处的状态 x, t ； （5 分） 3） 求测量粒子的能量所能得到的可能值和测到这些值的几率； 4） 求粒子能量的平均值； （5 分） 5） 若在 t 时刻，粒子所处的势场突然变为 V
专业: 理论物理、粒子物理与原子核物理
2 (20 分) 一、 t＝0 时，粒子的状态为 ( x ) A[sin kx] ，求此时动量的可能测值和相应的几
率，并计算动量的平均值。 二、粒子被约束在半径为 r 的圆周上运动 (20 分) (a) 设立“路障”进一步限制粒子在 0 0 的一段圆弧上运动：
ˆ
ˆ
1 或 的几率各为 。 （20 分） 2 2 2
南京大学 2003 年硕士研究生入学考试试题——量子力学
专 业: 理论物理,凝聚态物理 一、一个质量为 的粒子处于一维谐振子势 V x
量子力学经典题目及解答.ppt
00
2 er2 d ( r 2 ) er2 0
0
2
I
,A
1
1/4
,
1
1/4
ex2 /2
<2>
2d xA 2x2 e 2xd x 1 ,(分 部 积 分 )
0
A 2 x 2e 2 xdx
A2
[ x 2e 2 x 2 xe 2 xdx ]
0
2
0 0
A2 [ 1
偶宇称解)。
解：定态schr.eq
2
2
d2 dx2
u(x)
E
(1)
u0
(x) 2(E u) 0 (1)
2
ⅠⅡ
-a
o
Ⅲ a
即,222E(u02E0), 0
xa x a
(2) (3)
令 k 2 2 2 E ,2 2 ( u 0 2 E )， 解 为 : , ( x ( ) x ) A a e e ik x x B b e e i k x x
4
f1 f
sin(
)x
2.试将以下波函数归一化：(1)Aex2/2，(2)Ax0e， xx，x00
(3)(x)Ax(ax)，0xa
解：<1> 2 dx A2 ex2 dx A2I 1
2
I 2 ex2 dx e y2 dy e(x2 y2 )dxdy er2 rdrd
1khTv1c2Tv
decc2 1vv/T 3d v1c c1 2vv3/dT vc c1 2Tv2dv
----R-J公式
2.由玻尔角动量量子化条件导出氢原子能级公式E n
解： 角动量量子化条件，
ers22
Ln
南京大学考研量子力学试题2001-2009
南京大学2001年硕士研究生入学考试试题———量子力学 专业： 理论物理、、凝聚态物理、光学等一、有一质量为μ的粒子处于长度为a 的一维无限深势阱中()⎩⎨⎧<<><∞=a x a x x x V 0,0;0,，在t=0时刻，粒子的状态由波函数()⎩⎨⎧<<-><=a x x a Ax a x x x 0),(;0,0ψ描述。
求： （20分） 1.归一化常数A; 2.粒子能量的平均值； 3.t=0时刻，粒子能量的几率分布； 4. 人艺t>0时刻的波函数的级数表达式。
提示：96145,3,14π=∑⋅⋅⋅=n n二、考虑势能为()⎩⎨⎧<>=0,00,0x x V x V 的一维系统，其中0V 为正常数。
若一能量为E 的粒子从-∞=x 处入射，其透射系数和反射系数各为多少？考虑E 的所有可能值。
（20分）三、有一质量为μ的粒子，在一维谐振子势场()2221x x V μω=中运动。
在动能μ22p T =的非相对论极限下，基态能ω 210=E ，基态波函数为()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=ψ24102exp x x μωπμω。
考虑T 与p 的关系的相对论修正，计算基态能级的移动E ∆至21c 阶。
（c 为光速）（20分） 四、氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子。
可将这些电子看成束缚在一个尺度为晶格常数的三维无限深势阱中。
晶体处于室温，试粗略地估计被这些电子强烈吸收的电磁波的最长的波长。
（20分） 提示：电子质量fm MeV c MeV mc ⋅≈=197,511.02 ，晶格常数01A a ≈ 五、考虑自旋 21=S 的系统， 1．求算符zy S B S A T ˆˆˆ+=的本征值和归一化本征波函数；（A 、B 为实常数） 2．若此时系统正处在T ˆ的某一个本征态上，求此时测量y S ˆ结果为⎪⎭⎫ ⎝⎛+2 的几率。
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(1) 势能的平均值 (2) 动能的几率分布函数 (3) 动能的平均值 提示:
(7 分) (7 分) (7 分)
e ( x i ) dx
2
二. 质量为 m 的粒子在一维势场 V ( x) 0 V 0
(1) 决定束缚态能级的方程式 (2) 至少存在一个束缚态的条件 三. 质量为 m 的粒子在一维势场 V ( x)
ˆ2 是角动量平方算符， ˆ AL ˆ2 B 2 cos2 ，式中 A 和 B 均为常数，且 A B ， L H
试用一级微扰论计算系统的 p 能级（ l 1 ）的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。 （三）20 分求在一维无限深势阱中，处于 n x 态时的粒子的动量分布几率 n p （四）20 分 试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确的结果： （1） e
ˆ i ˆ p ˆ ˆ x j ˆ i ˆ ˆ ˆ x p j1 i 2
2
。
e
e
？式中 iˆ 和 ˆ j 分别是 x 和 y 方向的单位矢量。
ˆx, p ˆ x f x ˆp ˆx （2） p
ˆx ˆ x f ' ( x) ？式中 p p ， i x i
0 V ( )
(10 分)
(0 0 ) ( 0 2 )
求解粒子的能量本征值和本征函数。 (b) 设粒子处在情形(a)的基态，求突然撤去“路障”后，粒子仍然处于最 低能量态的几率是多少?
3 2 2 (20 分) 三、 边长为 a 的刚性立方势箱中的电子， 具有能量 ma 2
2l 1 l m !
4
2 1/ 2 1
cos e l m ! P
m l
im
P x x ； P x 1 x
1
； P2 x 3 1 x 2
1/ 2
x
P x 31 x
2 2 2
南京大学 1999 年硕士研究生考试试题——量子力学
ˆ 三、 设算符 N
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ˆ ˆ, a ˆ ˆ a ˆ且 a a 1 ，证明：如果 是 N 的本征函数，对应的本征值为 ，
ˆ 的本征函数，对应的本征值为 1 ，而波函数 a ˆ 也 ˆ 也是 N 那么，波函数 1 a 2 ˆ 的本征函数，对应的本征值为 1 。 是N （20 分）
2 一、 一维自由粒子的状态由波函数 x sin kx
1 cos kx 描述。求粒子的动量平均值和动 2
能平均值。 （20 分） 二、 粒子被约束在半径为 r 的圆周上运动
0,0 0 1）设立 “路障” 进一步限制粒子在 0 0 的一段圆弧上运动， 即 V ， , 0 2
2
0
五、考虑自旋 S
1 的系统， 2
ˆ BS ˆ 的本征值和归一化本征波函数； ˆ AS 1．求算符 T （A、B 为实常数） y z
ˆ 结果为 ˆ 的某一个本征态上，求此时测量 S 2．若此时系统正处在 T （20 分） 的几率。 y 2
南京大学 2002 年硕士研究生入学考试试题———量子力学
J 0
ˆ 的能量本征值和相应的简并度. 求H s
(20 分)
五．(1) 设氢原子处于沿 z 方向的均匀静磁场 B 中, 不考虑自旋,在弱磁场情形下求 n=2 能级
(10 分) (2) 如果沿 z 方向不仅有均匀静磁场 B ,还有均匀静电场 E , 再用微扰论求 n=2 能级的分 裂情况. 提示: (9 分) 的分裂情况.
ˆ 表示力学量算符 A ˆ 的平均值） p t 0 ? ， （ A 。
0
x 2 e ax dx
2
1 4a a
南京大学 2000 年硕士研究生入学考试试题——量子力学
专业:理论物理,凝聚态物理,光学等
x m 1 2 e 一. 一维谐振子处在 ( x ) 状态 , , 求: 1/ 2
0, x 0; x a 描述。求： Ax (a x),0 x a
（20 分）
归一化常数 A; 粒子能量的平均值； t=0 时刻，粒子能量的几率分布； 人艺 t>0 时刻的波函数的级数表达式。
1 4 提示： 4 96 n n 1, 3, 5
V , x 0 二、 考虑势能为 V x 0 的一维系统， 其中 V0 为正常数。 若一能量为 E 的粒子从 x 0, x 0
分）
| x | a / 2 | x | a / 2
。设粒子的能量 E V0 。试求发生共振透射（即透射系数为 1）的条件。 （30
四、两个自旋为 1/2 的粒子组成的系统由哈密顿量 H A S1z S2 z BS1 S2 描述，其中 S1 和分别是两个 粒子的自旋，而 S1z 和 S 2 z 则分别是这两个粒子自旋的 z 分量， A 和 B 是实常数。求该哈密顿量的所有 能级。 （30 分）
x0 0 x a 中运动,求, xa
(15 分) (5 分)
cx
x 0, xa 中运动,其中 c 是小的实常 0 xa
数，试用微扰论求准到 c 一次方的基态能量. (20 分)
1 四. 两个自旋 的非全同粒子系的哈密顿量 2
ˆ ˆ ˆ H s J [ S (1) S (2)]
ˆ
ˆ
1 或 的几率各为 。 （20 分） 2 2 2
南京大学 2003 年硕士研究生入学考试试题——量子力学
专 业: 理论物理,凝聚态物理 一、一个质量为 的粒子处于一维谐振子势 V x
1 2 x 2 中运动， 为谐振子的本征振动频率。如果 2
t 0 时，该粒子处于态 x, 0
'
（10 分）
1 x 2 x2 ，求粒子在 3
时刻处于新的势场
V ' x 的第一激发态的几率。 （5 分）
二、一根长为 l 的无质量的绳子一端固定，另一端系质点 m 。在重力作用下，质点在竖直平面内摆动， 1） 写出质点运动的哈密顿量； （10 分） 2） 在小角近似下求系统的能级； （10 分） 3） 求由于小角近似的误差而产生的基态能量的最低阶修正。 （10 分） 提示：质量为 m ，本征频率为 的一维谐振子的基态波函数为 0 x C exp
1 2 2 x ，其中 C 是 2
归一化常数，
m
；
exp x 2 dx 。
三 、 质 量 为 的 粒 子 从 左 向 右 作 一 维 运 动 ， 穿 越 了 一 个 宽 度 为 a ， 高 度 为 V0 的 一 维 势 垒
0 V x V0
ˆ2 p ˆ V r ，设 n r 是归一化的束缚态波函数，则有： （ 3 ）系统的哈密顿算符为 H 2
ˆ2 p 1 n n n r V r n 2 2
？
ˆ H ˆ H ˆ ，其中 （五） 20 分碱金属原子处在 z 方向的外磁场 B 中，微扰哈密顿为 H 1 ls B
试求对能量的一级修正(式中 b 为常数)。
， 如微扰哈密顿 H1 bxy ，
(15 分) 四、 对自旋为 1／2 的粒子，Sy 和 Sz 是自旋角动量算符，求 ASy+BSz 的本征函数和本 征值(A 和 B 是实常数)。 (15 分) 五、已知 t=0 时，一维自由粒子波函数在坐标表象和动量表象的表示分别是
南京大学 1998 年硕士研究生考试试题——量子力学
(一) 20 分 有半壁无限高势垒的一维阱
V x 0 V 0
x0 0 xa xa
在 E V0 的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至 少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？ （二） 20 分 一个取向用角坐标 和 确定的转子，作受碍转动，用下述哈密顿量描述：
求解粒子的能量本征值和本征函数； 2）设粒子处在上述情形的基态，现突然撤去“路障” ，问撤去“路障”后，粒子仍然处在 最低能量态的几率是多少？ （20 分） 提示：在柱坐标系下 2 u
1 u 1 2 u 2 u 2 2 2 z
专业: 理论物理、粒子物理与原子核物理
2 (20 分) 一、 t＝0 时，粒子的状态为 ( x ) A[sin kx] ，求此时动量的可能测值和相应的几
率，并计算动量的平均值。 二、粒子被约束在半径为 r 的圆周上运动 (20 分) (a) 设立“路障”进一步限制粒子在 0 0 的一段圆弧上运动：
1 阶。 （c 为光速） （20 分） c2 四、氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子。可将这些电子看成束缚在一个尺 度为晶格常数的三维无限深势阱中。 晶体处于室温， 试粗略地估计被这些电子强烈吸收的电磁 波的最长的波长。 （20 分）
的关系的相对论修正，计算基态能级的移动 E 至 提示：电子质量 mc 0.511MeV , c 197MeV fm ，晶格常数 a 1 A
处入射，其透射系数和反射系数各为多少？考虑 E 的所有可能值。 （20 分） 三、有一质量为 的粒子，在一维谐振子势场 V x
p2 1 的非相对 2 x 2 中运动。在动能 T 2 2
1
1 4 2 x 。考虑 T 与 p exp 论极限下，基态能 E 0 ，基态波函数为 0 x 2 2
( x) Nx exp(x 2 ) exp(ip 0 x / h) ；
均值,
( p) c( p p0 ) exp[ b( p p0 ) 2 ]