理论力学理论力学3 第三章

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理论力学第3章拉格朗日方程

记
3.1 拉格朗日方程
拉格朗日关系
3.1 拉格朗日方程
由拉格朗日关系
又
3.1 拉格朗日方程
3.1 拉格朗日方程
3.1 拉格朗日方程
（1）动能的显式：直角坐标平面极坐标柱坐标球坐标
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2 T mi r i i 1 2
n
单个质点
x, y , z
r ,
, , z
3.1 拉格朗日方程
[思考2] 滑块作简谐运动
自由度 s 1 ，广义坐标为：
X x0 cos t l sin
X l cos
Y l cos Y l sin 约束力 T T sin i T cos j
约束力的虚功
3.2 运动积分诺特定理
3.2 运动积分诺特定理
讨论：质点在有心力场中的动能和势能
1 2 2 r 2 T m r 2

k 2m V r
2 1 k m 2 2 2 r L T V m r 2 r

广义坐标：r，
L 0
对应一个循环积分：
3.1 拉格朗日方程
（2）系统势能：（以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在平面为重力势能零点）
1 2 V kx m2 gl cos 2
（3）拉格朗日函数：
L T V 1 1 1 2 2 2 2 m 2 l m 2 xl cos kx m 2 gl cos ( m1 m 2 ) x 2 2 2
r Fi i q
n
3.1 拉格朗日方程
3.1 拉格朗日方程

理论力学-3-力系的平衡

z
F2
O
F1
F
z
0
M F 0 M F 0
x y
自然满足，且
M F 0
z
M F 0
O
平面力系平衡方程的一般形式
于是，平面力系平衡方程的一般形式为： z O y
Fx 0 Fy 0 M F 0 o
其中矩心 O 为力系作用面内的任意点。
静不定次数：静不定问题中，未知量的个数与独立的平衡方程数目之差。
多余约束：与静不定次数对应的约束，对于结构保持静定是多余的，因而称为多余约束。关于静不定问题的基本解法将在材料力学中介绍。
P A m a B q
解：对象：梁受力：如图方程：
C
b
F F
0, FAx P cosq 0, FAx P cosq # FAy FB P sin q 0 1 y 0, M A F 0, m FBa Pa bsinq 0 2
B A
FR FR
x
A
B
FR
A、B 连线不垂直于x 轴
B A
FR
x
3.3 平面力系的平衡方程 “三矩式” M A = 0， MB = 0 , MC = 0。
C B A C B A
FR FR
满足第一式？满足第二式？满足第三式？
B A
FR
FR
A、B、C 三点不在同一条直线上
C A
B
M (F ) 0 Fy 0
A
FQ (6 2) FP 2 FB 4 W (12 2) 0
FQ FA FP FB W 0

第三章理论力学

因此，其平衡的解析条件为：
F
x
0
x
F
y
0
y
F
z
0
z
M
0
M
0
M
0
------ 平衡方程
共六个方程，可以求解空间任意力系中的六个未知约束力． 3、空间任意力系的两种特殊情况： 1）空间平行力系的平衡方程
Fy F cos
，
方向：＋、－号；
Fz F cos
2）间接投影法（二次投影法）如果只已知与一根轴的夹角，则通常的做法是：先将该力向z 轴及其垂面分解（与垂面的夹角为 90 )，而位于垂面内的分力，其平面几何关
系比空间几何关系要容易寻找得多，因此只要在该垂面内
找出其与该平面内的两根轴之一的夹角（与另一根轴的夹

第三章
空间力系
注意：本章不作为重点，主要介绍一些基本概念、基本原理和一些基本方法的应用，但不作为重点练习；个别需要掌握的内容设有标注，望大家掌握．

一、空间力系：当力系中各分力的作用线分布于三维空间时，该力系称为空间力系．二、空间力系又可根据力系中各分力的作用线的分布情况划分为：空间汇交力系、空间力偶系、空间平行力系和空间任意力系．三、本章研究的主要问题：力系的简化、合成及平衡问题．
M x ( F ) M x ( Fx ) M x ( Fy ) M x ( Fz ) Fz y Fy z M y ( F ) M y ( Fx ) M y ( Fy ) M y ( Fz ) Fx z Fz x M z (F ) M z (Fx ) M z (Fy ) M z (Fz ) Fy x Fx y

理论力学周衍柏第三章

一、基础知识 1. 力系：作用于刚体上里的集合. 平衡系：使静止刚体不产生任何运动的力系. 等效系：二力系对刚体产生的运动效果相同. 二、公理： 1）二力平衡原理：自由刚体在等大、反向、共线二力作用下必呈平衡。 2）加减平衡力学原理：任意力系加减平衡体系,不改变原力系的运动效应。 3）力的可传性原理：力沿作用线滑移，幵不改变其作用效果，F与F’等效。注：1）以上公理适用于刚体, 2) 力的作用线不可随便平移
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力偶所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )

理论力学第三章力矩与平面力偶理论（H）

理论⼒学第三章⼒矩与平⾯⼒偶理论（H）第3章⼒矩与平⾯⼒偶理论※平⾯⼒对点之矩的概念及计算※⼒偶及其性质※平⾯⼒偶系的合成与平衡※结论与讨论§3-1 平⾯⼒对点之矩的概念及计算1.⼒对点之矩AFBhhF M O ?±=)(F h ——⼒臂O ——矩⼼OABM O Δ±=2)(F M O (F ) ——代数量（标量）“＋”——使物体逆时针转时⼒矩为正；“－”——使物体顺时针转时⼒矩为负。

2. 合⼒之矩定理平⾯汇交⼒系合⼒对于平⾯内⼀点之矩等于所有各分⼒对于该点之矩的代数和。

3. ⼒矩与合⼒矩的解析表达式xA FF xF yOαyx yx y y O x O O yF xF M M M ?=+=)()()(F F F )()()()()(21i O n O O O R O M M M M M F F F F F ∑=+++=")()(ix i iy i R O F y F x M ?∑=FF nαOrF rF 已知：F n ，α，r求：⼒F n 块对轮⼼O 的⼒矩。

h解：（1）直接计算αcos )(r F h F M n n n O ==F （2）利⽤合⼒之矩定理计算αcos )()()()(r F M M M M n O O r O n O ==+=F F F F 例题1§3-2 ⼒偶及其性质1.⼒偶与⼒偶矩⼒偶——两个⼤⼩相等、⽅向相反且不共线的平⾏⼒组成的⼒系。

⼒偶臂——⼒偶的两⼒之间的垂直⼒偶的作⽤⾯——⼒偶所在的平⾯。

（1）⼒偶不能合成为⼀个⼒，也不能⽤⼀个⼒来平衡。

⼒和⼒偶是静⼒学的两个基本要素。

（2）⼒偶矩是度量⼒偶对刚体的转动效果；它有两个要素：⼒偶矩的⼤⼩和⼒偶矩的转向。

F′FABOdx FdFxxdFMMMOOO=+′=′+=′)()()(),(FFFF⼒偶矩±=FdM2.平⾯⼒偶的等效定理1F ′F ′2F ′0F ′F 00F ′F 0ABDCdF F 1F 2★在同平⾯内的两个⼒偶，如果⼒偶矩相等，则两⼒偶彼此等效。

理论力学3

第3章力系的平衡
3.4 例题分析
Theoretical Mechanics
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第3章力系的平衡
3.4 例题分析
例3-1 外伸梁ABC上作用有均布载荷q=10 kN/m，集中力 F=20 kN，力偶矩m=10 kNm，求A、B支座的约束力。
解：画受力图
m A F 0 FNB 4 q 4 2 m F sin 6 0
m = 0
三力平衡汇交定理刚体受不平行的三个力作用而平衡时，此三力的作用线必共面，且汇交于一点。
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第3章力系的平衡
3.1.5 静定问题与超静定问题
3.1 主要内容
•物体系统：由若干个物体通过适当的约束相互连接而成的系统。 •静定问题：单个物体或物体系未知量的数目正好等于它的独立的平衡方程的数目。
M y F 0
Fx 0, Fy 0, Fz 0
结论：各力在三个坐标轴上投影的代数和以及各力对此三轴之矩的代数和都必须同时等于零。
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第3章力系的平衡
1. 空间汇交力系如果使坐标轴的原点与各力的汇交点重合，则有 Mx≡My≡Mz≡0，即空间汇交力系平衡方程为
F
F
选刚架为研究对象画受力图
FA FD
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第3章力系的平衡
解：几何法
F
3.4 例题分析
选刚架为研究对象画受力图
FA FD FA
作力多边形，求未知量
选力比例尺F=5 kN/cm作封

理论力学3章

习题3-1 台阶形鼓轮装在水平轴上，小头重量为2Q ，大头重量为1Q ，半径分别为2r 和1r ，分别挂一重物，物体A 重为2P ，物体重B 为1P ，且12P P >。

如3-1题图所示，求鼓轮的角加速度。

解：本题有明显的转轴o ，因而可以用角动量定理求解。

系统只有一个转轴，求运动而不求内力，所以取质心为研究对象。

因重力12,P P对轴o 的力矩不为零，可得：01122()L PQ PQ k =-质心系的动量距为：21202OQ OP OP k J J J J =+++2212121212211()22Q Q p p r r v v r k g g g gωωω=+++ 另外还有运动学补充方程：1122v r v r ωω==所以22220112211221(22)2J Q r Q r Pr P r k gω=+++应用角动量定理由 0i d J L dt =∑得 222211*********(22)2d Q r Q r Pr P r Pr g dtω+++=+11Pr 又 d dt ωε= 则有 11222222112211222()22Pr P r g Q r Q r Pr P r ε-=⋅+++答案：()12112222221122122d d 22Pr -P r g t Q r +Q r +Pr +P r ω=。

3-2 如图所示，两根等长等重的均匀细杆AC 和BC ，在C 点用光滑铰链连接，铅直放在光滑水平面上，设两杆由初速度为零开始运动。

试求C 点着地时的速度。

解：系统在水平方向上受力为零，角动量守恒有2211222h mv m ω+⨯2（I ）=2g其中 002/2vv l l ω==0v 为C 点着地时A 点速度002c v v v ===答案：c v =3-3 半径为a ，质量为M 的薄圆片，绕垂直于圆片并通过圆心的竖直轴以匀角速度ω转动，求绕此轴的角动量。

3-2题图3-1题图解由题意作图如图所示由某一质点组对某个固定轴的动量矩1ni i i i J r m v==⨯∑20adm rd dr rdr d πρθρθ==⎰⎰其中2Ma ρπ=故 223001()2a J r dmv d r dr Ma πθρωω=⨯==⎰⎰⎰⎰答案：212J Ma ω=3-4 一半径为r ，重量为P 的水平台，以初角速度0ω绕一通过中心o 的铅直轴旋转；一重量为Q 的人A 沿半径B o 行走，在开始时，A 在平台中心。

第三章-约束受力分析示力图

后果：减少了过水断面，影响了泄洪能力，造成桥墩处严重淤积，影响航运。
重大经济损失罪
★理论力学电子教案
第3章约束受力分析示力图
26
例题2
等腰三角形构架ABC 的顶点 A ，B，C 都用铰链连接，底边AC 固定，而AB 边的中点D 作用有平行于固定边AC 的力F，如图所示。不计各杆自重，试画出杆AB 和 BC 的受力图。
17
吊臂：
结构的简化约束的简化1 约束的简化2 荷载的简化标注尺寸计算简图
★理论力学电子教案
第3章约束受力分析示力图
18
三、示力图
在确定的考察对象上画上别的物体作用于它的力(包括主动力和约束力)，这样构成的图形称为示力图或受力图，有时也叫隔离体图。
作示力图是解答力学问题的第一步工作，也是很重要的一步工作，不能省略，更不容许有任何错误。正确作出示力图，可以清楚表明物体受力情况和必需的几何关系，有助于对问题分析和所需数学方程的建立，因而也是求解力学问题的一种有效的手段。如果不画示力图，求解将会发生困难，乃至无从着手。如果示力图错误，必将导致错误结果，在实际工作中就会造成生产建设的损失，有时甚至会造成极严重的危害。因此，在学习力学时，必须一开始就养成良好习惯，认真地、一丝不苟地作示力图，再据以作进一步的分析计算。
★理论力学电子教案
第3章约束受力分析示力图
19
画示力图的步骤：
1.选取研究对象，画脱离体图；
脱离体：把研究对象从与它有联系的周围物体中分离出来，解除约束后的这个物体称为脱离体。
2.画脱离体受到的主动力； 3.分析脱离体受到的约束力； 4.检查。
★理论力学电子教案
第3章约束受力分析示力图

理论力学第3章力偶理论

图
3.3
3.1 力对点之矩
有
M O ( F R ) = rA o × F R = rA o × ( ∑ Fi )
∑ (r =∑ M
=
Ao O
× Fi ) ( Fi )
（3.5）
可见，汇交力系的合力对任一点之矩矢等于各分力对汇交力系的合力对任一点之矩矢等于各分力对同一点之矩矢的矢量和，称为汇交力系合力矩定理汇交力系合力矩定理。同一点之矩矢的矢量和汇交力系合力矩定理
3.2 力对轴之矩
设有通过坐标原点O 的任一轴 ζ，其单位矢量ζ0，ζ轴在坐标系Oxyz中的方向余弦为 l 、m、 n，如图3.7所示。应用力矩关系定理求得力F 对于ζ轴的矩为
3.1 力对点之矩
1.平面力系中力对点之矩 1.平面力系中力对点之矩人们从实践中知道力除了能使物体移动外，还能使物体转动。而力矩的概念是人们在使用杠杆、滑轮、绞盘等简单机械搬运或提升重物时逐渐形成的。下面以用扳手拧螺帽为例说明力矩的概念(图3.1)。
图
3.1
3.1 力对点之矩
实践表明，作用在扳手上 A 点的力 F 能使扳手绕O 点(即绕通过 O 点并垂直于图面的轴)发生转动。而这种转动效应不仅与力 F 的大小成正比，而且与力的作用线到 O 点的垂直距离 h 成正比，亦即与乘积成正比。另外，力 F 使扳手绕 O 点转动的方向不同， F ⋅h 作用效果也不同。因此，规定冠以适当的正负 F ⋅h 号作为力 F 使物体绕 O 点发生转动效应的度量，称点之矩。用符号MO(F)表示，即为力 F 对 O 点之矩力
M z ( F ) = M O ( Fxy ) = ± Fxy h
(3.7)
3.2 力对轴之矩

理论力学第三章任意力系的简化与平衡条件

例3-2 已知：涡轮发动机叶片轴向力F=2kN，力偶矩
M=1kN.M, 斜齿的压力角=20 ,螺旋角。 =10 ,齿轮节圆半径 r=10cm。不计发动机自重。 O1O2=L1=50cm, O2A=L2=10cm. 求： FN, O1,O2处的约束力。
。
第三章力系的简化与平衡条件
§3-5 力系的平衡条件
3
F2 F3
1
F'
F1
1 O 200 1
x
2
1 3 1 FRy F1 F2 F3 = -161.6(N) 2 10 5
第三章任意力系的简化与平衡条件
§3-4 力系简化计算
解：(1)先将力系向O点简化，求主矢和主矩。 FRx FRy =466.5(N) 2 2 FR
Xi 0 F x F2x Fr 0 1
F y F2y F 0 1
Zi 0
F z Fa F 0 1
第三章力系的简化与平衡条件
§3-5 力系的平衡条件
例3-2 解： 3、列平衡方程
Mx (F) 0
F2 y L1 F (L1 L2 ) 0
y
100 1
F
80
3
Байду номын сангаас
F2 F3
1
F'
F1
1 O 200 1
x
2
第三章任意力系的简化与平衡条件
§3-4 力系简化计算
例3-1 (1)先将力系向O点简解：化，求主矢和主矩。 1 1 F2 FRx F1 10 2 2 F3 5 = -437 .6（N）
y
100 1
F

理论力学第3章

• 作业： • 习题 3-6，3-12
§ 3-5 空间任意力系的平衡方程
1. 空间任意力系的平衡方程空间任意力系平衡的必要和充分条件：
该力系的主矢r 和对于r 任一点的主矩都为零 FR 0, MO 0
Fx 0 Fy 0 Fz 0
Mx 0 My 0 Mz 0
所有各力在三个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零。
解析法表示:
M M xi M y j M zk
Mx 0 My 0 Mz 0
——空间力偶系的平衡方程
例3-5 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受切削力偶矩均为80N·m.
求：工件所受合力偶矩在 x, y轴, z上的投影.
解：
把力偶用力偶矩矢表示，平行移到点A .
Mx Mix M3 M4 cos45 M5 cos45 193.1N m
力螺旋由一力和一力偶组成的力系，其中
的力垂直于力偶的作用面
（1）FR 0, M O 0, FR // M O
中心轴过简化中心的力螺旋
钻头钻孔时施加的力螺旋
r r rr （2）FR 0, MO 0,既FR不, M平O行也不垂直，成任意夹
角
力螺旋中心轴距简化中心为 d M O sin
FR
F1 F2 3.54kN FA 8.66kN
§ 3-2 力对点的矩和力对轴的矩
1. 力对点的矩以矢量表示——力矩矢
力对点之矩在平面力系中——代数量在空间力系中——矢量
MO (F) Fh 2ΔOAB
r MO
r (F
)
rr
r F
三要素：
（1）大小:力 F与力臂的乘积

理论力学第三章空间力系汇总

Pxy Pcos45
Px Pcos45sin60 Py Pcos45cos60
P 6 Pi 2 P j 2 Pk
4
4
2
r 0.05 i 0.06 j 0 k
MO(F) r F
i
j
k
0.05 0.06 0
6P 2P 2P
4
4
2
84.8 i 70.7 j 38.2 k
称为空间汇交力系的平衡方程. 空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零.
[例]三角支架由三杆AB、AC、AD用球铰A连接而成，并用球铰支座B、C、
D固定在地面上，如图所示。设A铰上悬挂一重物，已知其重量W=500N。
结构尺寸为a=2m，b=3m，c=1.5m，h=2.5m。若杆的自重均忽略不计，求
（2）何时MZ (F) 0
Mz (F) Mo(Fxy ) Fxy h
z
F
Fz
Fxy o
h
P
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零.
（3) 解析表达式
M Z (F) MO (F xy ) MO (F x ) MO (F y )
xFy yFx
M x (F) yFz zFy
空间力偶的三要素
（1）力偶矩大小：力与力偶臂的乘积；（2）力偶矩方向：右手螺旋；（3）作用面：力偶作用面。
转向：右手螺旋；
2、力偶的性质
(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 . （2）力偶对任意点的矩都等于力偶矩矢，不因矩心的改变而改变。
M x (P) 84.8(N.m) M y (P) 70.7(N.m) M x (P) 38.2(N.m)

理论力学第三章力系的平衡习题解

1页第三章力系的平衡习题解[习题3－1] 三铰拱受铅直力F 作用，如拱的重量不计，求A 、B 处支座反力。

[解]:（1）画受力图如图所示。

（2）因为BC 平衡，所以①0=∑ixF ②0=∑iyF（3）由AC 的平衡可知：P P C A F F R R 35.079.051'=⨯==[习题3－2] 弧形闸门自重W ＝150ｋＮ，试求提起闸门所需的拉力F 和铰支座处的反力。

解：)(761.565.0522.113kN R Ax =⨯= （←）)(690.51866.0522.11315060sin 0kN F W R Ax =⨯-=-= （↑）[习题3－3] 已知F ＝10ｋＮ，杆AC 、BC 及滑轮重均不计，试用作图法求杆AC 、BC 对轮的约束力。

解：作力三角形图如图所示。

)(142.14102kN R B =⨯=，0=A R[习题3－4] 直径相等的两均质混凝土圆柱放在斜面与之间，柱重kN W W 4021==。

设圆柱与斜面接触处是光滑的，试用作图法求圆柱对斜面D 、E 、G 处的压力。

解：（1）以上柱为研究对象，其受力图与力三角形图如图所示。

由力三角形图上读得：)(20405.0212kN W N G =⨯==，方向如图所示。

（2）以下柱为研究对象，其受力图与力多边形如图所示。

[习题3－5] 图示一履带式起重机，起吊重量W ＝100ｋＮ，在图示位置平衡。

如不计吊臂AB 自重及滑轮半径和摩擦，求吊臂AB 及缆绳AC 所受的力。

解：以轮A 为研究对象，其受力图如图所示。

由轮A 的平衡条件可得：6.869397.07071.0=-AC AB T R .............................(1) 150342.07071.0=-AC AB T R .. (2)(2)-(1)得：[习题3－6] 压路机碾子重W ＝20ｋＮ，半径R ＝400ｍｍ，若用水平力F 拉碾子越过高ｈ＝2页N80ｍｍ的石坎，问F应多大?若要使F为最小，力F与水平线的夹角α应为多大?此时F等于多少?解：碾子走越过石坎时，22)()(hRRWhRF--=-当F倾斜时，令0)sin3cos4()cos3sin4(602=++--=αααααddF，得：3775.0arctan==α，此时，[习题3－7] 长２l的杆AB，重Ｗ，搁置在宽α的槽内。

理论力学第3章力系平衡方程及应用

a
分布力(均布载荷) 合力作用线位于AB
中点。
3.1 平面力系平衡方程
a
【解】
y M=qa2 a
2qa
F3
C
FAx
A
aFAy
45
B
D
x
2a FB a
F3 2qa
MA 0
q 2 2 a q a a F B 2 a 2 q sa 4 i 3 n a 5 0
FB 2qa
Fx 0 FAx2qcao4s50 FAx qa
C
【解】 F2
构件CGB（图b）
F2
构件AED
（图c）
C
R
D
45
FC
FD
D
G
45
F1
E
a
F1
E
a
A
B
G 图b
FBy
图c A FAx
MA
FAy
构件CD（图a ）
3个未知量 B FBx
4个未知量
F'C
3个独立方程
3个独立方程
【基本思路】
C R
杆CGB受力图计算FCAED受力图
计算A处的反力(偶)；CGB受力图计算
3.2 平面物体系平衡问题
q
C
B
30
FC FBy
l
l
【解】杆CB
FBx
MB 0
FCco3s0l qll/2 0
FC
3 ql 30.5kN/m 2m 0.577kN
3
3
3.2 平面物体系平衡问题
【解】整体
FAy
l
l
l
Fx 0
MA
A
FAx

《理论力学》第三章点的合成运动(三)

求：摆杆O1B角速度1
解：A-动点，O1B-动系，基座-静系。
绝对速度va = r
相对速度vr = ? 牵连速度ve = ?
由速度合成定理 va= vr+ ve
sin
r
r 2 l
2
,ve
va
sin

r 2
r2 l2
又ve
O1
A1
,1

ve O1 A

1 r 2 l2
A
cR

O

u
x

r 2
r 2 l2

r
r
2
2
l
2
（
）
[例] 圆盘凸轮机构
已知：OC＝e , R 3e , （匀角速度）
图示瞬时, OCCA 且 O,A,B三点共线。求：从动杆AB的速度。
解：动点A，动系-圆盘，静系-基座。绝对速度 va = ? 待求，方向//AB 相对速度 vr = ? 未知，方向CA
例图示平面机构，已知：OA=r，0为常数，BC=DE， BD=CE=L，求：图示位置，杆BD的角速度和角加速度。
解：动点：A点(OA杆)
动系：BC杆
va ve vr
D
E
大小：方向：
？？
B
600 A
vr
300 C
0 O
根据速度合成定理 va ve vr va
ve
做出速度平行四边形, 如图示
E
投至y轴：
0 O aa
aa ae
si
n (
300 ae n aa aen ) sin
sin 60 0
sin 30 0

理论力学第三章刚体力学-3

3、求 a1 （转动加速度） d总 a1 r dt d总 d di 其中， (ctgi ) ctg
dt
h h 2 ctg cos 2k ctg sin 2i cos cos 2h (cos2k sin 2i ) sin
1
1 I mR 2 2
平行轴定理
I I c md
2
叙述：刚体对某一轴线的转动惯量，等于对通过质心的平行轴的转动惯量加上刚体的质量与两轴间垂直距离平方的乘积。
2、对定点转动惯性的大小，由于转轴的方向不断变化，要用一个张量才能描述。 z
I xx 1 惯量张量： I yx I zx I xy I yy I zy I xz I yz I zz

N
O
y

x
§3.7 转动惯量
一、定点转动刚体的动量矩动坐标系oxyz
z
i
设 Pi 为刚体上任一质点，该质点对定点 o的动量矩为

i
ri mii
整个刚体对同一点o的动量矩为
n J ri mii
i 1 n
o
x
ri
y
mi ri ri
2
h 2 h 2 2 大小： a1 ( ) [cos 2 sin 2 ] sin sin
2 2
2h 所以： a1 sin
3、求 a2（向轴加速度）
a2 总 (总 r )
h h 其中，总 r ctgi ( cos 2i sin 2k ) cos cos h ctg sin 2j cos cos h 2 sin cosj sin cos 2h cosj a2 总 (总 r ) (ctgi ) (2h cosj ) 2 2 cos 2 h k sin 2 cos 2 所以： a2 a2 2 h sin

理论力学第三章平面力偶系

M O2 F , F F d x2 F x2 F 'd Fd
力矩的符号 M O F
力偶矩的符号 M
13
性质3：平面力偶等效定理作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。 [证] 设物体的某一平面 FR F’R
B
A
m2 m1 FA
m3
B FB
解：1 以梁为研究对象，受力如图。
（力偶只能与力偶平衡）
m 0 : FAl m1 m2 m3 0
解之得：
m1 m2 m3 FA FB l
20
[例2] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径
的孔,每个钻头的力偶矩为
动的效果或效应，就称为
力对点的矩，简称力矩。矩心：在力矩作用面，O称为矩心。力臂：O到力的作用线的垂直距离h
1.大小：力F与力臂的乘积两个要素： 2.方向：转动方向
3
大小和转向：
M O ( F ) F d
+
-
说明： ① M O ( F )是代数量。
② M O ( F )是影响转动的独立因素。 ③单位Nm，工程单位kgfm。 ④ M O ( F ) =2⊿AOB=Fd ,2倍⊿形面积。力矩的性质： 1）力矩取决于力F的大小，也取决于矩心的位置。 2）力矩不因力沿其作用线移动改变。 3）力矩的力F=0或力F过矩心时，力矩为零。
FR
由上述证明可得下列两个推论： ②只要保持力偶矩大小和转向 ①力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的作用效应。
不变，可以任意改变力偶中力
的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。