第8章因子分析与聚类分析(含SPSS)
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4、因子的方差贡献
因子 f j 的方差贡献是因子载荷矩阵 A中第 j 列元素的平方
和，反映了因子 f j 对原有变量总方差的解释能力，是衡量公 共因子相对重要性的指标。此值越大，表明相应因子的重要 性越高。计算出所有的指标，按其大小排序，就可以提炼出 最有影响的公共因子。
三、因子分析的步骤
（一）因子分析的适合性检验
SPSS中有5种因子旋转的方式可供选择：Varimax选项，方 差最大旋转；Direct Oblimin 选项，直接斜交旋转； Quartimax 选项，四次最大正交旋转；Equamax 选项，平 均正交旋转；Promax 选项，斜交旋转方法。
（四）计算因子得分，然后将它们用于各种进一步的分析中
当因子确定以后，便可以计算各因子在每个样本上的具体数 值，这些数值称为因子得分，形成的变量称为因子变量。于 是在以后的分析中就可以因子变量代替原有变量进行数据建 模，或者利用因子变量对样本进行分类或评价等研究，进而 实现降维和简化问题的目标。
1、相关矩阵和反映像相关矩阵 相关矩阵中大部分相关系数都小于0.3，那么原则上这些数 据不适合做因子分析。另外，如果反映像相关矩阵中除对 角元素外，其他大多数元素的绝对值均较小，对角线上元 素的值较接近1，则适合进行因子分析。 2、 KMO 检验 KMO检验统计量是用于比较变量间简单相关系数和偏相 关系数的指标，取值在0和1之间。值越接近于1，意味着 变量间的相关性越强，原有变量越适合做因子分析。
3、 巴特利特球度检验（Bartlett test of sphericity ）
巴特利特球度检验以原有变量的相关系数矩阵为出 发点，其零假设是：相关矩阵为单位阵，即相关系 数矩阵为对角矩阵。巴特利特球度检验的检验统计 量是根据相关系数矩阵的行列式计算得到，且近似 服从卡方分布。如果该统计量的观察值比较大且相 伴概率 值小于或等于给定的显著性水平，则应拒 绝原假设；反之，如果该统计量的观察值比较小且 相伴概率值大于给定的显著性水平，则不应拒绝原 假设。
（二）因子分析的特点 1、因子变量的数量远少于原有指标变量的数 量。 2、因子变量并不是原有变量的简单取舍，而 是对原有变量的重新组构。 3、因子之间线性关系不显著。 4、因子变量具有命名解释性。
二、因子分析的数学模型和相关概念 （一）因子分析的数学模型
因子分析的数学模型为：
x1 a11f1 a12f2 a13f3 a1k fk 1
第8章 因子分析与 聚类分析(含
SPSS)
本章内容
第一节 因子分析 第二节 聚类分析
第一节 因子分析
一、因子分析的概念和特点 （一）因子分析的概念
因子分析（factor analysis）是利用降维的思 想，由研究原始变量相关矩阵内部的依赖关系出 发，把一些具有错综复杂关系的变量归结为少数 几个综合因子的一种多变量统计分析方法。 在会计实证研究中，因子分析发挥着重要的作 用，如变量构造、变量筛选和综合评价等。
（二）因子分析中的基本概念
1、因子的含义 因子分析法中提到两种因子：公共因子和特殊因子。
公共因子是每个原有变量的线性表达式中都共同出现的因子， 各公因子都是均值为0，方差为1的独立正态随机变量。其协 方差矩阵为单位矩阵。
特殊因子表示原有变量不能被公共因子解释的部分，其均值 为0。 各特殊因子之间以及特殊因子与所有公共因子之间都是互相 独立的。
2、因子载荷 模型中各公共因子的系数 称a ij 为因子载荷，反映了第 个i 变 量在第 j 个公共因子上的相对重要性，aij 1，a ij 的绝对值
越大，表明 x i 与 F j 的相依程度越大。
3、变量共同度
i 因子载荷矩阵中第 行元素的平方和，称为变量 的x i 共同度，
即变量方差。此值越接近1，表明该变量的几乎全部原始信 息都被所选择的公共因子说明了。此值接近于0，说明公共 因子对 的影x i 响很小，主要由特殊因子来描述。
（三）因子命名
在因子分析模型中，公共因子与因子载荷阵的解不是唯一的。 因子分析的目的不仅是找出主因子，更重要的是知道每个主 因子的意义，以利于对公共因子命名和解释结果，便于进一 步的分析。若每个公共因子的涵义不清，难以找到合理的解 释，可对因子载荷矩阵实行旋转，使每个变量仅在一个公共 因子上有较大的载荷，而在其他公共因子上的载荷较小。
xx32
a21f1 a31f1
a22f2 a32f2
a23f3 a33f3
a2k a3k
f源自文库 fk
2（8.1） 3
xp ap1f1 ap2 f2 ap3 f3 apkfk p
写成矩阵形式为 XA F，其中 X为原始变量向量，A
为公因子载荷矩阵，F 为公共因子， 为特殊因子。
由于因子得分函数中方程的个数小于变量的个数，因此不能 精确的计算出因子得分，只能对因子得分进行估计。估计的 方法很多，SPSS中列示了三种方法，常用的是 Regression回归法。 用因子得分还可以计算因子总分，根据因子总分可对样本 （变量）进行排序或归类，作为评价的依据。
四、因子分析在SPSS中的实现 1、建立或打开数据文件后，进入Analyze→Data
Reduction→Factor Analysis主对话框，如图8-1所示。
图8-1 因子分析主对话框
2、把参与分析的变量选到Variables框中。 3、Selection Variable选择变量栏，用于限制有特殊值的 样本子集的分析，当一个变量进入该栏时，激活右侧的 “Value”按钮。待“Value”按钮激活后，单击该键，打开 Set Value对话框，如图8-2 所示，可在该对话框键入标识 参与分析的观测量所具有的该变量值。
（二）因子提取和因子载荷矩阵的求解
因子分析的关键是根据样本数据求解因子载荷矩阵，SPSS 提供了7种提取因子的方法，其中占主要地位且使用最为广 泛的是主成分分析法。
因子提取通常有以下三种方法：（1）特征值准则，即取特 征值大于等于1的主成分作为初始因子，放弃特征值小于1 的主成分。（2）累积方差贡献率，因子累积解释的方差比 例也是确定因子个数时可以参考的指标，一般应达到70%85%或以上。（3）碎石检验准则，按照因子被提取的顺序， 画出因子的特征值随因子个数变化的散点图，图形由陡变 平，曲线开始变平的前一个点被认为是提取的最大因子数。
因子 f j 的方差贡献是因子载荷矩阵 A中第 j 列元素的平方
和，反映了因子 f j 对原有变量总方差的解释能力，是衡量公 共因子相对重要性的指标。此值越大，表明相应因子的重要 性越高。计算出所有的指标，按其大小排序，就可以提炼出 最有影响的公共因子。
三、因子分析的步骤
（一）因子分析的适合性检验
SPSS中有5种因子旋转的方式可供选择：Varimax选项，方 差最大旋转；Direct Oblimin 选项，直接斜交旋转； Quartimax 选项，四次最大正交旋转；Equamax 选项，平 均正交旋转；Promax 选项，斜交旋转方法。
（四）计算因子得分，然后将它们用于各种进一步的分析中
当因子确定以后，便可以计算各因子在每个样本上的具体数 值，这些数值称为因子得分，形成的变量称为因子变量。于 是在以后的分析中就可以因子变量代替原有变量进行数据建 模，或者利用因子变量对样本进行分类或评价等研究，进而 实现降维和简化问题的目标。
1、相关矩阵和反映像相关矩阵 相关矩阵中大部分相关系数都小于0.3，那么原则上这些数 据不适合做因子分析。另外，如果反映像相关矩阵中除对 角元素外，其他大多数元素的绝对值均较小，对角线上元 素的值较接近1，则适合进行因子分析。 2、 KMO 检验 KMO检验统计量是用于比较变量间简单相关系数和偏相 关系数的指标，取值在0和1之间。值越接近于1，意味着 变量间的相关性越强，原有变量越适合做因子分析。
3、 巴特利特球度检验（Bartlett test of sphericity ）
巴特利特球度检验以原有变量的相关系数矩阵为出 发点，其零假设是：相关矩阵为单位阵，即相关系 数矩阵为对角矩阵。巴特利特球度检验的检验统计 量是根据相关系数矩阵的行列式计算得到，且近似 服从卡方分布。如果该统计量的观察值比较大且相 伴概率 值小于或等于给定的显著性水平，则应拒 绝原假设；反之，如果该统计量的观察值比较小且 相伴概率值大于给定的显著性水平，则不应拒绝原 假设。
（二）因子分析的特点 1、因子变量的数量远少于原有指标变量的数 量。 2、因子变量并不是原有变量的简单取舍，而 是对原有变量的重新组构。 3、因子之间线性关系不显著。 4、因子变量具有命名解释性。
二、因子分析的数学模型和相关概念 （一）因子分析的数学模型
因子分析的数学模型为：
x1 a11f1 a12f2 a13f3 a1k fk 1
第8章 因子分析与 聚类分析(含
SPSS)
本章内容
第一节 因子分析 第二节 聚类分析
第一节 因子分析
一、因子分析的概念和特点 （一）因子分析的概念
因子分析（factor analysis）是利用降维的思 想，由研究原始变量相关矩阵内部的依赖关系出 发，把一些具有错综复杂关系的变量归结为少数 几个综合因子的一种多变量统计分析方法。 在会计实证研究中，因子分析发挥着重要的作 用，如变量构造、变量筛选和综合评价等。
（二）因子分析中的基本概念
1、因子的含义 因子分析法中提到两种因子：公共因子和特殊因子。
公共因子是每个原有变量的线性表达式中都共同出现的因子， 各公因子都是均值为0，方差为1的独立正态随机变量。其协 方差矩阵为单位矩阵。
特殊因子表示原有变量不能被公共因子解释的部分，其均值 为0。 各特殊因子之间以及特殊因子与所有公共因子之间都是互相 独立的。
2、因子载荷 模型中各公共因子的系数 称a ij 为因子载荷，反映了第 个i 变 量在第 j 个公共因子上的相对重要性，aij 1，a ij 的绝对值
越大，表明 x i 与 F j 的相依程度越大。
3、变量共同度
i 因子载荷矩阵中第 行元素的平方和，称为变量 的x i 共同度，
即变量方差。此值越接近1，表明该变量的几乎全部原始信 息都被所选择的公共因子说明了。此值接近于0，说明公共 因子对 的影x i 响很小，主要由特殊因子来描述。
（三）因子命名
在因子分析模型中，公共因子与因子载荷阵的解不是唯一的。 因子分析的目的不仅是找出主因子，更重要的是知道每个主 因子的意义，以利于对公共因子命名和解释结果，便于进一 步的分析。若每个公共因子的涵义不清，难以找到合理的解 释，可对因子载荷矩阵实行旋转，使每个变量仅在一个公共 因子上有较大的载荷，而在其他公共因子上的载荷较小。
xx32
a21f1 a31f1
a22f2 a32f2
a23f3 a33f3
a2k a3k
f源自文库 fk
2（8.1） 3
xp ap1f1 ap2 f2 ap3 f3 apkfk p
写成矩阵形式为 XA F，其中 X为原始变量向量，A
为公因子载荷矩阵，F 为公共因子， 为特殊因子。
由于因子得分函数中方程的个数小于变量的个数，因此不能 精确的计算出因子得分，只能对因子得分进行估计。估计的 方法很多，SPSS中列示了三种方法，常用的是 Regression回归法。 用因子得分还可以计算因子总分，根据因子总分可对样本 （变量）进行排序或归类，作为评价的依据。
四、因子分析在SPSS中的实现 1、建立或打开数据文件后，进入Analyze→Data
Reduction→Factor Analysis主对话框，如图8-1所示。
图8-1 因子分析主对话框
2、把参与分析的变量选到Variables框中。 3、Selection Variable选择变量栏，用于限制有特殊值的 样本子集的分析，当一个变量进入该栏时，激活右侧的 “Value”按钮。待“Value”按钮激活后，单击该键，打开 Set Value对话框，如图8-2 所示，可在该对话框键入标识 参与分析的观测量所具有的该变量值。
（二）因子提取和因子载荷矩阵的求解
因子分析的关键是根据样本数据求解因子载荷矩阵，SPSS 提供了7种提取因子的方法，其中占主要地位且使用最为广 泛的是主成分分析法。
因子提取通常有以下三种方法：（1）特征值准则，即取特 征值大于等于1的主成分作为初始因子，放弃特征值小于1 的主成分。（2）累积方差贡献率，因子累积解释的方差比 例也是确定因子个数时可以参考的指标，一般应达到70%85%或以上。（3）碎石检验准则，按照因子被提取的顺序， 画出因子的特征值随因子个数变化的散点图，图形由陡变 平，曲线开始变平的前一个点被认为是提取的最大因子数。