2009上交高校自主招生数学试题及解答

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2009年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学(理科)

2009年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共56.0分)1.若复数z满足z(1+i)=1-i(i是虚数单位),则其共轭复数=____________.【答案】i【解析】∵,∴z的共轭复数=i.2.已知集合A={x|x≤1},B={x|x≥a},且A∪B=R，则实数a的取值范围是_____________. 【答案】(-∞,1］【解析】∵A∪B=R,如图所示.当a≤1时满足题意.即a的取值范围是(-∞,1］.3.若行列式中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件是____________. 【答案】【解析】因元素4的代数余子式为：（-1）1+1=9x-24.由题意9x-24＞0,∴.4.某算法的程序框图如图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是___________.【答案】【解析】由算法的程序框中的判断可知，当x＞1时,把x-2赋给y，当x≤1时，把2x赋给y,因此.5.如图,若正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为2,高为4,则异面直线BD1与AD所成角的大小是____________.(结果用反三角函数值表示)【答案】【解析】∵AD∥BC,∴BD1与AD所成的角等于BD1与BC所成的角.连结CD1，∵BC⊥面CC1D1D，CD 1面CC1D1D，∴BC⊥CD1.在R t△BCD1中,BC=2,，∴.∴∠D1BC=.6.函数y=2cos2x+sin2x的最小值是____________.【答案】【解析】因y=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x所以y的最小值为.7.某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者,若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望Eξ=__________.(结果用最简分数表示) 【答案】【解析】由题意知ξ=0,1,2,则,,.∴.8.已知三个球的半径R1,R2,R3满足R1+2R2=3R3,则它们的表面积S1,S2,S3满足的等量关系是_____________.【答案】【解析】由题意S1=4πR12,S2=4πR22,S3=4πR32,则S1S2=16π2（R1R2)2,∴.又∵,∴====∴.9.已知F1、F2是椭圆C:(a＞b＞0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且.若△PF1F2的面积为9,则b=______________.【答案】3【解析】∵,∴∠F1PF2=90°,∴△F1PF2为直角三角形.∴|PF1|2+|PF2|2=(2c)2.又∵|PF1|+|PF2|=2a,∴|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|,即(2c)2=(2a)2-4×|PF1|·|PF2|,.∴4c2=4a2-4×9=0,∴4b2=4×9.∴b=3.10.在极坐标系中,由三条直线θ=0,,ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积是_______________.【答案】【解析】将三条直线的极坐标方程转化为直角坐标方程，则三条直线的方程分别为y=0,，x+y=1,∴,即.∴.11.当0≤x≤1时,不等式成立,则实数k的取值范围是____________.【答案】k≤1【解析】∵0≤x≤1时，不等式成立，设,y=kx，做出两函数的图象，∴由图象可知，当k≤1时，12.已知函数f(x)=sinx+tanx,项数为27的等差数列{a n}满足a n∈(,),且公差d≠0.若f(a1)+f(a2)+…+f(a27)=0,则当k=__________时,f(a k)=0.【答案】14【解析】由题意，a n∈(,)且{a n}为等差数列，并且有sina1+tana1+sina2+tana2+…+sina27+tana27=0,又∵函数y=sinx与y=tanx均为奇函数，故f(x)=sinx+tanx也是奇函数，要使f(a1)+f(a2)+…+f(a27)=0,需a1,a2,…a27等距对称在数轴原点两侧，∴中间项a14在原点上.∴a14=0，f(a14)=sin0+tan0=0.13.某地街道呈现东—西、南—北向的网格状,相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)为报刊零售点.请确定一个格点(除零售点外)___________为发行站,使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.【答案】（3，3）【解析】设确定的格点为（x,y)，由题意知确定的格点到已知的6个格点路程的和最短，即为x,y 分别到6个格点的横.纵坐标距离和最小，6个格点的横坐标由小到大排列为-2,-2,3,3,4,6，所以x=3时到这6个数的距离和最小.同理y=3时，y到6个格点纵坐标距离之和最小.故所求的格点为(3,3).14.将函数(x∈［0,6］)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(0≤θ≤α),得到曲线C.若对于每一个旋转角θ,曲线C都是一个函数的图像,则α的最大值为_____________.【答案】【解析】当x∈［0,6］时,,∴.移项、平方、配方,得(x-3)2+(y+2)2=13,(0≤x≤3)图象是圆心为O1(3,-2),半径在第一象限内的一段圆弧，如图所示.要想使曲线都是一个函数的图象,必须使平行于y轴的直线与曲线有且只有一个交点,即对一个确定的x值,y有唯一的一个值与之对应,因此,当圆弧转到与y轴相切时,旋转的角最大,设旋转前圆在原点处的切线为l,由图可知,α=∠AOO1，∴tan=tan∠AOO1=.∴.三、解答题(本大题共5小题，共78.0分)19.如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1=BC=AB=2,AB⊥BC,求二面角B1-A1C-C1的大小.【答案】解：如图,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(0,0,2),C1(0,2,2),设AC的中点为M,∵BM⊥AC,BM⊥CC1,∴BM⊥平面A1C1C,即=(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量.设平面A1B1C的一个法向量是n=(x,y,z).=(-2,2,-2),=(-2,0,0),∴n·=-2x=0, n·=-2x+2y-2z=0,令z=1,解得x=0,y=1.∴n=(0,1,1),设法向量n与的夹角为φ，二面角B1-A1C-C1的大小为θ，显然θ为锐角.∵cosθ=|cosφ|=,解得,∴二面角B1-A1C-C1的大小为.【解析】略20.本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.有时可用函数描述学习某学科知识的掌握程度.其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N*),f(x)表示对该学科知识的掌握程度,正实数a与学科知识有关.(1).证明:当x≥7时,掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是下降;(2).根据经验,学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121］,(121,127］,(127,133］.当学习某学科知识6次时,掌握程度是85%,请确定相应的学科.【答案】（1）证明：当x≥7时,.而当x≥7时,函数y=(x-3)(x-4)单调递增,且(x-3)(x-4)＞0.故f(x+1)-f(x)单调递减.∴当x≥7时,掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是下降.(2)解：由题意可知,整理得,解得≈20.50×6=123.0,123.0∈［121,127］.由此可知,该学科是乙学科.【解析】略21.已知双曲线C:,设过点A(,0)的直线l的方向向量e=(1,k).(1).当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时,求直线l的方程及l与m的距离;(2).证明:当时,在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为.【答案】解：(1)双曲线C的渐近线m:,即,∴直线l的方程.∴直线l与m的距离.(2)证法一:设过原点且平行于l的直线b:kx-y=0,则直线l与b的距离,当时,.又双曲线C的渐近线为,∴双曲线C的右支在直线b的右下方,∴双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于.故在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为.证法二:假设双曲线C右支上存在点Q(x0,y0)到直线l的距离为, 则x02-2y02=2,(2)由(1),得,设,当时,;.将y0=kx0+t代入(2)得(1-2k2)x02-4ktx0-2(t2+1)=0,(*)∵,t＞0,∴1-2k2＜0,-4kt＜0,-2(t2+1)＜0.∴方程(*)不存在正根,即假设不成立,故在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为.【解析】略22.已知函数y=f-1(x)是y=f(x)的反函数.定义:若对给定的实数a(a≠0),函数y=f(x+a)与y=f-1(x+a)互为反函数,则称y=f(x)满足“a和性质”;若函数y=f(ax)与y=f-1(ax)互为反函数,则称y=f(x)满足“a积性质”.(1).判断函数g(x)=x2+1(x＞0)是否满足“1和性质”,并说明理由;(2).求所有满足“2和性质”的一次函数;(3).设函数y=f(x)(x＞0)对任何a＞0,满足“a积性质”.求y=f(x)的表达式.【答案】解：(1)函数g(x)=x2+1(x＞0)的反函数是(x＞1),∴(x＞0).而g(x+1)=(x+1)2+1(x＞-1),其反函数为(x＞1).故函数g(x)=x2+1(x＞0)不满足“1和性质”.(2)设函数f(x)=kx+b(x∈R)满足“2和性质”，k≠0.∴(x∈R).∴.而f(x+2)=k(x+2)+b(x∈R)，得反函数,由“2和性质”定义可知对x∈R恒成立.∴k=-1,b∈R,即所求一次函数为f(x)=-x+b(b∈R).(3)设a＞0,x0＞0,且点(x0,y0)在y=f(ax)图像上,则(y0,x0)在函数y=f-1(ax)图像上,故可得ay0=f(x0)=af(ax0),令ax0=x,则.∴,即.综上所述,(k≠0),此时,其反函数就是,而,故y=f(ax)与y=f-1(ax)互为反函数.【解析】略23.已知{a n}是公差为d的等差数列,{b n}是公比为q的等比数列.(1).若a n=3n+1,是否存在m、k∈N*,有a m+a m+1=a k?说明理由;(2).找出所有数列{a n}和{b n},使对一切n∈N*,,并说明理由;(3).若a1=5,d=4,b1=q=3,试确定所有的p,使数列{a n}中存在某个连续p项的和是数列{b n}中的一项,请证明.【答案】解:(1)由a m+a m+1=a k,得6m+5=3k+1,整理后,可得,∵m、k∈N*,∴k-2m为整数.∴不存在m、k∈N*,使等式成立.(2)解法一:若,即,(*)①若d=0,则1=b1q n-1=b n.当{a n}为非零常数列,{b n}为恒等于1的常数列,满足要求.②若d≠0,(*)式等号左边取极限得,(*)式等号右边的极限只有当q=1时,才可能等于1.此时等号左边是常数,∴d=0,矛盾.综上所述,只有当{a n}为非零常数列,{b n}为恒等于1的常数列,满足要求.解法二:设a n=nd+c.若,对n∈N*都成立,且{b n}为等比数列,则,对n∈N*都成立,即a n a n+2=qa n+12.∴(dn+c)(dn+2d+c)=q(dn+d+c)2对n∈N*都成立.∴d2=qd2.①若d=0,则a n=c≠0,∴b n=1,n∈N*.②若d≠0,则q=1,∴b n=m(常数),即,则d=0,矛盾.综上所述,有a n=c≠0,b n=1,使对一切n∈N*,.(3)a n=4n+1,b n=3n,n∈N*.设a m+1+a m+2+…+a m+p=b k=3k,p、k∈N*,m∈N.,∴4m+2p+3=.∵p、k∈N*,∴p=3s,s∈N.取k=3s+2,4m=32s+2-2×3s-3=(4-1)2s+2-2×(4-1)s-3≥0,由二项展开式可得正整数M1、M2,使得(4-1)2s+2=4M1+1,2×(4-1)s=8M2+(-1)s2,∴4m=4(M1-2M2)-［(-1)s+1］2.∴存在整数m满足要求.故当且仅当p=3s,s∈N时,命题成立.说明:第(3)题若学生从以下角度解题,可分别得部分分(即分步得分).若p为偶数,则a m+1+a m+2+…+a m+p为偶数,但3k为奇数.故此等式不成立,∴p一定为奇数.当p=1时,则a m+1=b k,即4m+5=3k,而3k=(4-1)k=,M∈Z.当k为偶数时,存在m,使4m+5=3k成立.当p=3时,则a m+1+a m+2+a m+3=b k,即3a m+2=b k,也即3(4m+9)=3k,∴4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1.由已证可知,当k-1为偶数即k为奇数时,存在m,4m+9=3k成立.当p=5时,则a m+1+a m+2+…+a m+5=b k,即5a m+3=b k,也即5(4m+13)=3k,而3k不是5的倍数,∴当p=5时,所要求的m不存在.故不是所有奇数都成立.【解析】略二、选择题(本大题共4小题，共20.0分)15.“-2≤a≤2”是“实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根Δ＜0,即a2-4＜0,∴-2＜a＜2.∵{a|-2＜a＜2}{a|-2≤a≤2},∴由-2＜a＜2-2≤a≤2,但由-2≤a≤2-2＜a＜2.故选A.16.若事件E与F相互独立,且,则P(E∩F)的值等于…()A.0B.C.D.【答案】B【解析】∵事件E与F相互独立,P(E∩F)为相互独立事件同时发生的概率，∴P(E∩F)=P（E）·P（F）=.17.在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是()A.甲地:总体均值为3,中位数为4B.乙地:总体均值为1,总体方差大于0C.丙地:中位数为2,众数为3D.丁地:总体均值为2,总体方差为3【答案】D【解析】设过去10天新增疑似病例数据为a1,a2,a3,…,a10,对于选项D，=2,S2=3,不防设a10=8,a1=a2=…=a8=1,a9=4,此时=2,则.所以当总体均值为2，总体方差为3时一定符合该标志，故选D.18.过圆C:(x-1)2+(y-1)2=1的圆心,作直线分别交x、y正半轴于点A. B,△AOB被圆分成四部分(如图).若这四部分图形面积满足SⅠ +SⅣ =SⅡ +SⅢ ,则这样的直线AB有()A.0条B.1条C.2条D.3条【答案】C【解析】从原图中可看出SⅣ=(定值),SⅡ=(定值）,当∠OAB变大时SⅢ变大，SⅠ变小，所以总有一个位置使SⅠ+SⅣ=SⅡ+SⅢ,由图象的对称性可知，当∠OAB变小时，SⅢ变小，SⅠ增大，因此直线AB的条数不能为奇数条，并且一定存在，故选C.。

2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国2卷)全解全析

2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国2卷）全解全析一、选择题 1、102ii-= （A ）-2+4i (B) -2-4i (C) 2+4i (D)2-4i 【答案】A【解析】运用复数基本运算化为复数代数形式2、设集合A=｛x ｜3>x ｝，B ＝｛x ｜041<--x x ｝则A B= （A ）∅ （B ）（3，4）（C ）（-2，1）（D ）（4+∞）【答案】B【解析】解分式不等式并求交集3、已知 ABC 中，cotA=125-,则cosA= （A ）1213 （B ）513 （C ）513- (D)1213-【答案】D【解析】由cotA=125-,知，ππ<<A 2，排除（A ）、（B ）；若135cos -=A ，则1312sin =A 则125sin cos cot -==A A A 与题设不符，排除（C ），故选D 或由cotA=125-1213tan 1sec 125tan 2-=+-=⇒-=⇒A A A ， ∴1312sec 1cos -==A A 【易错提醒】同角三角函数基本关系并注意所在象限的符号 4、.曲线y=21xx -在点（1，1）处的切线方程为（A ）x-y-2=0 (B)x+y-2=0 (C)x+4y-5=0 (D)x-4y-5=0 【答案】B 【解析】22)12(1)12(2)12(1'--=-⋅--⋅=x x x x y ，切线的斜率1)112(1'21-=-⨯-===x y k ∴切线方程为02)1(1=-+⇒--=-y x x y5.、已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成角的余弦值为（A (B) 15 (C) (D) 35【答案】C【解析】如图，取DD 1的中点F ，连接CF ，则CF ∥BE ， ∴∠D 1CF 为所求。

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学文(陕西卷,含答案).doc

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学文（陕西卷，含答案）第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设不等式20x x -≤的解集为M ，函数()ln(1||)f x x =-的定义域为N ，则M N ⋂为（A ）（A ）[0，1）（B ）（0，1）（C ）[0，1] （D ）（-1，0]2.若tan 2α=,则2sin cos sin 2cos αααα-+的值为 (B)（A ）0 (B)34 (C)1 (D) 543.函数()24(4)f x x x =-≥的反函数为 (D)（A ）121()4(0)2fx x x -=+≥ (B) 121()4(2)2f x x x -=+≥（C ）121()2(0)2f x x x -=+≥ (D)121()2(2)2f x x x -=+≥ 4.过原点且倾斜角为60︒的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为(D)（A 3（B ）2 （C 6 （D ）3某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。

为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为 ( B)（A ）9 （B ）18 （C ）27(D) 366.若20092009012009(12)()x a a x a x x R -=+++∈,则20091222009222a a a +++的值为 (C)（A ）2 （B ）0 （C ）1- (D) 2-7.” 0m n >>”是”方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的（C ）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件8.在ABC∆中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足2AP PM =,则()AP PB PC ⋅+等于（A ）（A ）49 （B ）43 （C ）43- (D) 49-9．从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为 (C)(A)432 (B)288 (C) 216 (D)10810．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-.则 (A)(A)(3)(2)(1)f f f <-< (B) (1)(2)(3)f f f <-<(C) (2)(1)(3)f f f -<< (D) (3)(1)(2)f f f <<-11．若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为(B)(A)26 (B) 23 (C) 33 (D) 2312．设曲线1*()n y xn N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则12nx x x ⋅的值为 (B) (A)1n (B) 11n + (C) 1n n + (D) 12009年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）(陕西卷)第Ⅱ卷二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题，每小题4分，共16分).13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n s ,若6312a s ==,则数列的通项公式n a = 2n .14．设x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，目标函数2z x y =+的最小值是 1 ，最大值是 1115．如图球O 的半径为2，圆1O 是一小圆，12OO =，A 、B是圆1O 上两点，若1AO B ∠=2π，则A,B 两点间的球面距离为 23π .16．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 8 人。

2009年交通大学自主招生考试数学试题

2009年交通大学自主招生考试数学试题一、填空题：（每题5分，共50分）1．第一位将欧几里得的《几何原本》译成中文的中国明代学者是____ ；毕业于上海交通大学，在拓扑学和机器证明上作出突出贡献的是____．2．某商店失窃，赵、钱、孙、李四人涉案被拘审，四人口供如下：赵说“孙是窃贼”钱说“李是窃贼”；孙说“如果我作案，那么李是主犯”；李说“我没有偷”．已知四个口供中只有一个是假的，可以断定，说假话的是________；作案者是____．3．在边长为80 cm 的正方形地砖上随机投掷一枚半径为10 cm 的圆盘，圆盘中心始终在地砖内，则圆盘压在地砖边上的概率是____．4．如图，用两个钢珠测算一圆柱形工件的内直径D ，若半径为1r 的钢珠上端与孔口平面距离为1H ，半径为2r 的钢珠上端与孔口平面距离为2H ，则D =________．5．如果抛物线2y ax bx c =++过()3,2A -、()5,2B 两点，那么1+-=____．6．从空间一点O 发出4条射线OA 、OB 、OC 、OD ，其两两所成的角均相等，则这些角的大小是．7．已知arctan arccos x x =，则x =____．8．设{}n a 是公差0d ≠的等差数列，从中选出部分项以原次序可组成等比数列1k a ，2k a ，…，m k a ，若1231,5,17k k k ===，则12m k k k ++⋅⋅⋅+= ．9．设12cos x A x +=，则1n n x x+= ．10．函数y =的值域是．二、解答题：（本大题共50分）1．（本题10分）众所周知，指数函数x a 恒大于0．且有如下性质12x x ≠，若实数12x xa a ≠；对任意二实数12,x x ，有1212x x x x a a a +=．如果一个函数()f x 满足类似两个性质，即：若实数12x x ≠，则()()12f x f x ≠；对任意二实数12,x x ，有()()()1212f x x f x f x +=．能否判断()f x 也恒大于0？说明你的理由．2．（本题10分）已知0m n >≤，求()2216y m n n ⎫=+-⎪⎭的最小值．3．（本题10分）求有限集{}12,,n A a a a =⋅⋅⋅，其中12,,n a a a ⋅⋅⋅为互不相等的正整数，使得1212n n a a a a a a ⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+．4．（本题10分）设n 与k 均为正整数，令()12k k k k f n n =++⋅⋅⋅+．已知()211222n n f n n =++⋅⋅⋅+=+，()32222212326n n n f n n =++⋅⋅⋅+=++，()432333312424n n n f n n =++⋅⋅⋅+=++，试观察上述各式右端的多项式的系数，说出其特点，进而求出()4f n ．5．（本题10分）下图是一个由9个小的九官格组成的9×9的方格，请运用已经显示的数字，确定每个空格中的数字，使之符合以下个条件：(1)每一行和每一列中的9个数字必须是不重复的1到9；(2)每一个小九官格中的9个数字必须是不重复的l 到9．你填写的每一个数字都必须是依推理唯一确定的．本题你只要填满任何4个小九官格就算完成．2009年交通大学自主招生考试试题参考答案一、填空越（每题5分，共50分） 1．[答案]徐光启；吴文俊． 2．[答案]李；李和孙．3．[答案]716． [解答]60102801028080P ⨯⨯+⨯⨯=⨯（或808060608080⨯-⨯⨯）．4．[答案] 12r r +[解答]如图，121212211,OO r r O M H r H r =+=+--，∴12212D r r MO r r =++=+5．[答案]1-．[解答]依题意，抛物线的对称轴是1x =，所以1202ba b a-=⇒+=．所以11+-=-．6．[答案]1arccos 3π-． [解答1]在四条射线上截取1OA OB OC OD ====，则A B C D 、、、构成正四而体的四个顶点，正四面体梭长3AB =，易得1cos 3AOB ∠=-，所求角为1arccos 3π-．[解答2]如图，在正方体中截取正四面体ABCD ，设O 是正方体的中心，易得1cos 3AOB ∠=-，所以AOB ∠=1arccos 3π-．7．[答案[解答]()2tan arccos x x x x ==⇒=或2x =（舍）．∴x =01x ≤≤）．∴x = 8．[答案]31mm --．[解答]由()()225117111416a a a a d a a d =⇒+=+，得12a d =．等比数列公比513a q a ==，()1123n n k n a k d d -=+=．所以123n n k -=，1231m m k k k m ++⋅⋅⋅+=--． 9．[答案]2cos nA ．[解答1]解方程，得cos sin ,1cos sin ,x A i A A i A x=+⎧⎪⎨=-⎪⎩∴1cos sin cos sin 2cos nn x nA i nA nA i nA nA x+=++-=． [解答2]用数学归纳法证明：12cos nn x nA x+=．（过程略）10．[答案] ⎡⎢⎣⎦[解答1]x ∈[]1,1-，令c o s x θ=，[]0,θπ∈，则s i n c o s 2y θθ=+，表示半圆上一点(cos θ，sin θ) 与点()2,0-连线的斜率，由图形知y ⎡∈⎢⎣⎦．[解答2]因x ∈[]1,1-，令cos x θ=，[]0,θπ∈，则sin cos 2y θθ=+．由辅助角公式，得()sin cos 2y y θθθϕ-=+=2y ．又因为0y ≥，所以0,3y ⎡∈⎢⎣⎦．二、解答题（本大题共50分）1．[解答] ()0f x >恒成立，下面证明这个结论．取120x x ==，则()()200ff =，∴()01f =或()00f =．若()00f =，则()()()000f x f x f +==，即()0f x ≡，与题设性质矛盾． ∴()01f =．取122x x x ==，则()202x f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭≥．若02x f ⎛⎫=⎪⎝⎭，则()002222x x x x f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，矛盾．∴02x f ⎛⎫≠⎪⎝⎭，∴()0f x >恒成立，2．[解答]令A (m ，B 16,n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点A 在半圆C 1：()280x y y +=≥上，点B 在双曲线C 2：()160y x x=>上．原题转化为：在C 1、C 2上各取一点A 、B ，求2y AB =的最小值．先求点B 到点(0，0)的最小值．∵22221632BO n n=+≥，当B 为(4，4)时，min 2BO ==联结OB 交C 1于点A(2，2)．所以取A(2，2)、B(4，4)时，2min 8AB =，即2,4m n -=时，min 8y =． 3．[解答]不妨设12n a a a <<⋅⋅⋅<．∵当n ≥4时，()1!n n a n ->，∴()12121!n n n n a a a n a na a a a ⋅⋅⋅->>++⋅⋅⋅+≥． ∴n ≥4时，集合A 不存在．当3n =时, 123123a a a a a a =++．若2a ≥3，则12331233a a a a a a a >++≥，集合A 不存在， ∴22a =，则11a =，解得33a =．∴A {}1,2,3=．当2n =时， 1212a a a a =+，∴()()12111a a --=．∴122a a ==．矛盾，集合A 不存在．当1n =时，此时A {}1a =，无论1a 取何正整数值，集合A 都成立．综上所述，集合A ＝{1，2，3}或A {}1a =（共中1a 取任一正整数值）． 4．[解答1]特点：①()k f n 可表示为n 的1k +次多项式，且首项系数为11k +； ②常数项为0，第k 次项系数为12； ③各项系数和为1．设()2432444411252n f n n bn cn dn n =++++=++⋅⋅⋅+．用n =1、2、3分别代入，得1131,,52103213884217,842,552438189279398.2793.5210b c d b c d b c d b c d b c d b c d ⎧⎧++++=++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪++++=⇒++=⎨⎨⎪⎪⎪⎪++++=++=⎪⎪⎩⎩1,30,1.30b c d ⎧=⎪⎪⇒=⎨⎪⎪=-⎩所以()5434111152330f n n n n n =++-． [解答2]特点同解答1．∵()5543151051,1,2,3,,,k k k k k k n +-=+++=⋅⋅⋅将这n 个等式相加，得()()()()()()55543211151010511ni i i f n f n f n f n n n =⎡⎤+-=++++=+-⎣⎦∑，∴()()()()()()22541121151110105462n n n n n n n f n n n ++++=+-----()()()23254341111691652330n n nn n f n n n n n +=++-⇒=++-．5．[解答]如下表：。

2009年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷（含答案）

2009年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷（含答案）2009年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有20道试题，满分150分.考试时间120分钟.一. 填空题（本大题满分60分）本大题共有11题，只要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1．函数)1(log 2-=x y 的定义域是 . 2．计算：=-2)i 1( （i 为虚数单位）. 3．函数2cosx y =的最小正周期=T .4．若集合{}1||>=x x A ，集合{}20<<=x x B ，则=B A . 5．抛物线x y =2的准线方程是 .6．已知2,3==b a. 若3-=?b a，则a 与b 夹角的大小为 .7．过点)1,4(-A 和双曲线116922=-yx右焦点的直线方程为 .8．在△ABC 中，若75,3=∠=∠=ACB ABC AB ，则BC 等于 .9．已知对于任意实数x ，函数)(x f 满足)()(x f x f =-. 若方程0)(=x f 有2009个实数解，则这2009个实数解之和为 .10．一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘. 若每敲1次在屏幕上出现一个字母，它连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，则出现单词“monkey ” 的概率为（结果用数值表示）.11．以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间]1,0[对应的线段，对折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标4341、变成21，原来的坐标21变成1，等等）. 那么原闭区间]1,0[上（除两个端点外）的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标是；原闭区间]1,0[上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后（1≥n ），恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为 .二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 4分，否则一律得零分.21 012．在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的 [答] ( ) （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.13．过点)1,0(P 与圆03222=--+x y x 相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是 [答] ( ) （A ）0=x . （B ）1=y . （C ）01=-+y x . （D ）01=+-y x .14．已知函数>≤=+.0,log ,0,3)(21x x x x f x 若()30>x f ，则0x 的取值范围是 [答] ( )（A ）80>x . （B ）00x . （C ）800<<="" .="" 15．函数)01(112≤≤--+="x" [答]="" p="" x="" y="" 或800<三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤. 16. (本题满分12分)的体积V .17. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且3231=++n n S a （n 为正整数）. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记 ++++=n a a a S 21.若对n ，n S kS ≤恒成立，求实数k 的最大值.18. (本题满分14分)我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径34=R 百公里）的中心F 为一个焦点的椭圆. 如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）A 到火星表面的距离为8百公里，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）B 到火星表面的距离为800百公里. 假定探测器由近火星点A 第一次逆时针运行到与轨道中心O 的距离为ab 百公里时进行变轨，其中a 、b 分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到1百公里）.19. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分.如图，在直角坐标系xOy 中，有一组对角线．．．长为n a 的正方形n n n n D C B A ),2,1( =n ，其对角线n n D B 依次放置在x 轴上（相邻顶点重合）. 设{}n a 是首项为a ，公差为)0(>d d 的等差数列，点1B 的坐标为)0,(d . （1）当4,8==d a 时，证明：顶点321A A A 、、不在同一条直线上；（2）在（1）的条件下，证明：所有顶点n A 均落在抛物线x y22=上；（3）为使所有顶点n A 均落在抛物线)0(22>=p px y 上，求a 与d 之间所应满足的关系式.20. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分. 设函数40,cos )1(sin )(πθθθθ≤≤-+=n n n n f ，其中n 为正整数.（1）判断函数)()(31θθf f 、的单调性，并就)(1θf 的情形证明你的结论；（2）证明：()()θθθθθθ224446sin cossin cos )()(2--=-f f ；（3）对于任意给定的正整数n ，求函数)(θn f 的最大值和最小值.2009年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷参考答案及评分标准说明1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.3. 第16题至第20题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.4. 给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准一．（第1至11题）每一个空格正确的给5分，否则一律得零分.1.),1(∞+.2. i 2-.3. π4. 4. {}21<<="" p="" x="">5. 41-=x .6. π32. 7. -=x y 5. 8. 6. 9. 0. 10.6265.11.43,41；j j n ,2为[]n2,1中的所有奇数.二．（第12至15题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.三．（第16至20题）16. [解] 在Rt △C AA 1中，C AA AA AC 11tan ∠?=43334=?=. …… 3分作⊥H B 1平面ABC ，垂足为H ，则31π=∠BH B ，…… 6分在Rt △BH B 1中，BH B BB H B 111sin ∠?=623343sin1=?=?=πAA . …… 9分48644211===∴?H B S V ABC . …… 12分17. [解] （1） 3231=++n n S a ，① ∴ 当2≥n 时，3231=+-n n S a . ② 由① - ②，得02331=+-+n n n a a a . 311=∴+nn a a )2(≥n . …… 3分又 11=a ，32312=+a a ，解得 312=a . …… 4分∴ 数列{}n a 是首项为1，公比为31=q 的等比数列.11131--?==∴n n n qa a （n 为正整数）. …… 6分（2）由（1）知，23311111=-=-=qa S ，…… 8分()-=--=--=nnnn qq a S 31123311311111. …… 10分由题意可知，对于任意的正整数n ，恒有-≤nk 3112323，解得 n k ??? ??-≤311.数列??-n311单调递增，∴ 当1=n 时，数列中的最小项为32， A∴ 必有32≤k ，即实数k 的最大值为32. …… 14分18. [解] 设所求轨道方程为)0(12222>>=+b a bya x，22ba c -=.348,34800+=-+=+c a c a ，396,438==∴c a . …… 4分于是 35028222=-=c a b . ∴ 所求轨道方程为13502819184422=+yx. …… 6分设变轨时，探测器位于),(00y x P ，则1.819752020==+ab y x ，13502819184422=+y x ，解得 7.2390=x ，7.1560=y （由题意）. …… 10分∴ 探测器在变轨时与火星表面的距离为3.187)(2020≈-+-R y c x . …… 13分答：探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里. …… 14分19. [证明]（1）由题意可知，()()()8,32,6,18,4,8321A A A ，71183268,51818463221=--==--=∴A AA A k k . …… 3分3221A AA A k k ≠，∴ 顶点321,,A A A 不在同一条直线上. …… 4分（2）由题意可知，顶点n A 的横坐标n n n a a a a d x 21121+++++=- 2)1(2+=n ，顶点n A 的纵坐标)1(221+==n a y n n . …… 7分对任意正整数n ，点n A ()n n y x ,的坐标满足方程x y 22=，∴ 所有顶点n A 均落在抛物线x y 22=上. …… 9分（3）[解法一] 由题意可知，顶点n A 的横、纵坐标分别是 []d n a y d n a n a d x n n )1(21,)1(21)1(212-+=-+-++=消去1-n ，可得 da d a d y d x n n 2)(22-++=. …… 12分为使得所有顶点n A 均落在抛物线)0(22>=p pxy 上，则有02)(,22d a d a d p d解之，得p a p d 8,4==. …… 14分∴ d a 、所应满足的关系式是：d a 2=. …… 16分[解法二] 点()111,y x A 的坐标为??=+=.21,2111a y a d x 点()111,y x A 在抛物线px y 22=上，∴ )2(422121a d ax y p +==. …… 11分又点()222,y x A 的坐标为??+=+=).(21,232322d a y d a x 且点()222,y x A 也在抛物线上，0,0>>d a ，把点()222,y x A 代入抛物线方程，解得d a 2=. …… 13分因此，4，∴ 抛物线方程为x d y 22=.又+=-+=+=-+-++=.21])1([21,2)1()1(21)1(2122d n d n a y d n d n a n a d x n n∴ 所有顶点()n n n y x A ,落在抛物线x d y 22=上. …… 15分∴ d a 、所应满足的关系式是：d a 2=. …… 16分20. [解] （1）)()(31θθf f 、在??4,0π上均为单调递增的函数. …… 2分对于函数θθθcos sin )(1-=f ，设∈<4,0,2121πθθθθ、，则)()(2111θθf f -()()1221c o s c o s s i n s i n θθθθ-+-=，1221c o s c o s ,s i n s i n θθθθ<<，()()∴<∴,2111θθf f 函数)(1θf 在??4,0π上单调递增. …… 4分（2）原式左边()()θθθθ4466c o s s i n c o s s i n2+-+= ()()()θθθθθθθθ44422422c o s s i n c o s c o s s i n s i n c o s s i n 2+-+?-+=θθ2c o s 2s i n122=-=. …… 6分又原式右边()θθθ2cos sin cos 2222=-=.∴ ()()θθθθθθ224446sin cossin cos )()(2--=-f f . …… 8分（3）当1=n 时，函数)(1θf 在??4,0π上单调递增，∴ )(1θf 的最大值为041=??πf ，最小值为()101-=f . 当2=n 时，()12=θf ，∴ 函数)(2θf 的最大、最小值均为1. 当3=n 时，函数)(3θf 在??4,0π上为单调递增. ∴ )(3θf 的最大值为043=??πf ，最小值为()103-=f . 当4=n 时，函数θθ2sin211)(24-=f 在4,0π上单调递减，∴ )(4θf 的最大值为()104=f ，最小值为2144=??? ??πf . …… 11分下面讨论正整数5≥n 的情形：当n 为奇数时，对任意??∈4,021πθθ、且,21θθ<()()122121cos cos sin sin )()(θθθθθθn n n n n n f f -+-=-，以及1cos cos 0,1sin sin 01221≤<<<<≤θθθθ，∴ 1221cos cos ,sin sin θθθθnnn n <<，从而)()(21θθn n f f <.∴ )(θn f 在??4,0π上为单调递增，则)(θn f 的最大值为04=??πn f ，最小值为()104-=f . …… 14分当n 为偶数时，一方面有)0(1cos sin cos sin )(22n n n n f f ==+≤+=θθθθθ. 另一方面，由于对任意正整数2≥l ，有()()0s i n c o s s i n c o s)()(2222222222≥--=----θθθθθθl l l l f f ，==≥≥≥∴---421)(21)(21)(122122πθθθn nnn n f f f f .∴ 函数)(θn f 的最大值为1)0(=n f ，最小值为nn f ?=??? ??2124π.综上所述，当n 为奇数时，函数)(θn f 的最大值为0，最小值为1-.当n 为偶数时，函数)(θn f 的最大值为1，最小值为n212. …… 18分。

自主招生考试试题解析——上海高校数学(2009年)

2009年上海高校自主招生考试数学试题解析浅谈上海高三毕业生应对高校自主招生的考试策略——自主招生考试数学试题解析华东师大二附中范端喜自从2006年复旦，交大等全国重点院校高考改革试“破冰”以来，各学校“深化自主选拔录取改革试验”招生方案不断出台。

全国自主招生学校数目不断增加，而且各学校自主招生规模比例也在增加，引起了上海乃至全国教育界，家长等瞩目。

更引起广大中学教师对其命题的高度关注。

下面是作为一名数学教师的我个人的一些认识，仅供参考。

1. 试卷特点分析1.1 基础知识和基本技能仍是考查的重点我们将基础知识，基本技能称之为“双基”。

大家知题，能力与“双基”有着辩证关系；没有扎实的“双基”，能力培养就成了无源之水，无本之木。

所以，“双基”训练是数学教学的重要任务之一，是培养学生能力的前提。

纵观复旦，交大，清华等高校近几年自主招生笔试题目，我们会发现，有60-70%左右的题目仍是比较基础的问题。

例如交大近三年来，填空题都是10题（50分），占试卷的一半，这些填空题比较常规，和高考试题难度相当。

复旦的30题左右的选择题中也多半是学生们平时训练过的一些比较熟悉的题型和知识点。

1.2 考查知识点的覆盖面广，但侧重点有所不同复旦，交大等高校近几年自主招生的试题，知识点的覆盖面还是很广的，基本上涉及到高中数学大纲的所有内容。

例如，函数，集合，数列，复数，三角，排列，组合，概率统计，向量，立体几何，解析几何等。

但毕竟高校自主招生试题命题是由大学数学教授完成的，更多会考虑到高等数学与初等数学的衔接，所以提请大家注意一下几个方面：函数和方程问题，排列组合和概率统计等。

笔者粗略统计了一下，2008年复旦自主招生试题中与函数和方程有关的试题多达10题，占31%。

复数。

复数通常在高考中要求也比较低，占的比分也较少，但在复旦自主招生中似乎复数仍占有一席之地（2008及2007年分别有2题和3题）。

矩阵和行列式。

目前还未纳入高考范围。

2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国卷Ⅰ)(含答案解析)

2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅰ）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________则集合二、填空题三、解答题（I）证明：M是侧棱SC的中点；22．设函数()3233f x x bx cx =++在两个极值点（Ⅰ）求b c 、满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点区域；参考答案：设三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长为分别在1Rt A AD 和1Rt A DB V 中，由勾股定理，可知211222A B BD A D =+=，在1A AB △中，由余弦定理，得11cos 2θ+=所以异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为故选：D ．8．A【分析】利用余弦函数的对称中心及给定条件列式，再经推理计算即可得解【详解】因函数y =3cos(2x +φ)的图象关于点于是得(2),6k k Z πϕπ=--∈，显然(k ϕ=而2k =时，6πϕ=-，||6πϕ=，当3k =时，所以|φ|的最小值为6π.故选：A 9．B【详解】设切点00(,)P x y ，则，又00010,12x a y x a ∴+=∴==-∴=，故答案选10．C11．D【详解】[方法一]：(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，∴(1)(1)f x f x --=--，∴函数()f x 关于点2[1(1)]4T =--=的周期函数.(f x ∴--奇函数.故选D.[方法二]：(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，∴(1)(1)f x f x --=--，由(1)f x ∴-+=由(1)(1)f x f x --=--，得()f x f =-进而可得()()4f x f x +=，可见(f 不成立，而D 成立的理由如下：(f【详解】设MN x =，则NC EB ==在RT MEB ∆中， MBE ∠在RT MNE ∆中由2ME NE =解得1x =，从而12MN SD =（Ⅱ）建系如图）得，又，，设分别是平面、的法向量，则且，即且分别令得，即，∴的大小．由已知有利用累差迭加即可求出数列的通项公式()知,=而,又是一个典型的错位相减法模型易得=）（（））联立方程组与，可得，所以方程由两个不等式正根由此得到解得，所以r的范围为（Ⅱ）不妨设E与M的四个交点坐标分别为设直线AC,BD的方程分别为，解得点p的坐标为设t=，由t=及（1）可知由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积将代入上式，并令，得求导数，令，解得当时，，当，；当时，当且仅当时，由最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为（）22．（Ⅰ）（II ）证明见解析．【详解】分析（I ）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力．大部分考生有思路并能够得分．()2363f x x bx c =++'由题意知方程()0f x ¢=有两个根12x x 、1[10],x ∈-且，2[1,2].x ∈则有()10f '-≥，()00f '≤，()()1020f f ''≤≥，故有下图中阴影部分即是满足这些条件的点(),b c 的区域．(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度．主要原因是含字母较多，不易找到突破口．此。

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(江西.文)含详解

第 - 1 - 页共 12 页绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。

考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2. 第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。

在试题卷上作答，答案无效。

3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

参考公式如果事件,A B 互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件,A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 343V R π= n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)kk n k n n P k C p p -=-第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列命题是真命题的为A ．若11x y =,则x y = B ．若21x =,则1x = C ．若x y =,= D ．若x y <,则 22x y <2．函数y x=的定义域为A ．[4,1]-B ．[4,0)-C ．(0,1]D ．[4,0)(0,1]-U3．50 名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为 A ．50 B ．45 C ．40 D ．35 4．函数()(1)cos f x x x =+的最小正周期为第 - 2 - 页共 12 页yxO (,)P x y (,0)Q x A ．2π B ．32π C ．π D ．2π 5．已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），则(2008)(2009)f f -+的值为 A ．2- B ．1- C ．1 D ．26．若122n nn n n C x C x C x +++L 能被7整除，则,x n 的值可能为A ．4,3x n ==B ．4,4x n ==C ．5,4x n ==D ．6,5x n ==7.设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为A ．32 B ．2 C ．52D ．3 8．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项,832S =,则10S 等于A. 18B. 24C. 60D. 909．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误．．的为A . AC BD ⊥B . AC ∥截面PQMNC . AC BD = D . 异面直线PM 与BD 所成的角为45o10．甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为 A ．16 B ．14 C ．13 D ．1211．如图所示，一质点(,)P x y 在xOy 平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x 轴上的投影点(,0)Q x 的运动速度()V V t =的图象大致为A C DP QMNABCDO ()V t t O ()V t tO ()V t t O()V t t第 - 3 - 页共 12 页12．若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于 A ．1-或25-64 B ．1-或214 C ．74-或25-64D ．74-或7绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。

2009上海交大自主招生数学部分试题及解答(附解答修正)

2009上海交大自主招生数学部分试题及解答(附解答修正)1.华罗庚，丘成桐2.四面体一对棱长是6，其余棱长均为5，求内切球半径？解：设四面体A-BCD,AB=CD=6，AC=BC=AD=BD=5.取AB 中点为E,CD 中点为F.连EF,取EF 中点为O.于是连AF=BF=4，DE=CE=4，且CD ⊥AF,CD ⊥BF.∴CD ⊥面ABF.AB ⊥DE,AB ⊥CE, AB ⊥面CDE .过O 作OG ⊥AF,OH ⊥BF,OI ⊥CE,OJ ⊥DE.因∆OGF~∆AEF,EF =√7， OF =√72, OF OG =AFAE ∴OG =√72×3÷4=3√78.同理：OH=OI=OJ=3√78. 又OG ⊂面ABF,CD ⊥面ABF,OG ⊥CD,CD ∩AF 于F,∴OG ⊥面ACD. 同理:OH ⊥面BCD , OI ⊥面DAB , OJ ⊥面CAB ∴OG 为内切球半径=3√783．已知f{f(x)}有唯一的不动点，求证f(x)也有唯一的不动点。

证明：设 f{f(x)}的唯一的不动点为A （a,b ）,那么有f{f(a)}=b.f(x)就有不动点(a,f(a)),如果 (a,f(a))不是唯一的，还存在第二个不动点（c,f(c)）(c ≠a) 。

则f[f(x)]必存在不动点（c,f[f(c)]）。

这与f{f(x)}有唯一的不动点矛盾。

故f(x)也有唯一的不动点。

4.P,Q 分别是圆x 2+（y −3)2=1与抛物线y =x 2上的点，求PQ 的最小值。

解：设圆心为A,则A(0，3),Q(x,y),因y =x 2，则|AQ|2=x 2+（y −3)2 = y + （y −3)2= y 2-5y+9=(y −52)2+114的最小值为：114|AQ|的最小值√112，∴ PQ 的最小值=√112−1A CBD5.一圆锥的母线l 与底面半径r 的比为k,OAB 为圆锥的轴截面，P 为OA 的中点。

2009年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷(含答案)

2009年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有20道试题，满分150分.考试时间120分钟.一. 填空题（本大题满分60分）本大题共有11题，只要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．函数)1(log 2-=x y 的定义域是 .2．计算：=-2)i 1( （i 为虚数单位）.3．函数2cos x y =的最小正周期=T .4．若集合{}1||>=x x A ，集合{}20<<=x x B ，则=B A .5．抛物线x y =2的准线方程是 .6．已知2,3==b a . 若3-=⋅b a ，则a 与b 夹角的大小为 . 7．过点)1,4(-A 和双曲线116922=-y x 右焦点的直线方程为 . 8．在△ABC 中，若 60,75,3=∠=∠=ACB ABC AB ，则BC 等于 .9．已知对于任意实数x ，函数)(x f 满足)()(x f x f =-. 若方程0)(=x f 有2009个实数解，则这2009个实数解之和为 .10．一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘. 若每敲1次在屏幕上出现一个字母，它连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，则出现单词“monkey ”的概率为（结果用数值表示）.11．以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间]1,0[对应的线段，对折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标4341、变成21，原来的坐标21变成1，等等）. 那么原闭区间]1,0[上（除两个端点外）的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与 1重合的点所对应的坐标是；原闭区间]1,0[上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后（1≥n ），恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为.二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 4分，否则一律得零分.∙ ∙ ∙ 21 0 112．在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的 [答] ( )（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.13．过点)1,0(P 与圆03222=--+x y x 相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是 [答] ( )（A ）0=x . （B ）1=y . （C ）01=-+y x . （D ）01=+-y x .14．已知函数⎩⎨⎧>≤=+.0,log ,0,3)(21x x x x f x 若()30>x f ，则0x 的取值范围是 [答] ( )（A ）80>x . （B ）00<x 或80>x . （C ）800<<x . （D ）00<x 或800<<x .15．函数)01(112≤≤--+=x x y 的反函数图像是 [答] ( )三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤.16. (本题满分12分)如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，=∠AC A 1 2π=∠ACB ，61π=∠C AA ，侧棱1BB 与底面所成的角为3π，341=AA ，4=BC . 求斜三棱柱-ABC 111C B A C1A 1B 1C的体积V .17. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且3231=++n n S a （n 为正整数）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记 ++++=n a a a S 21.若对任意正整数n ，n S kS ≤恒成立，求实数k 的最大值.18. (本题满分14分)我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径34=R 百公里）的中心F 为一个焦点的椭圆. 如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）A 到火星表面的距离为8百公里，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）B 到火星表面的距离为800百公里. 假定探测器由近火星点A 第一次逆时针运行到与轨道中心O 的距离为ab 百公里时进行变轨，其中a 、b 分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到1百公里）.19. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分.如图，在直角坐标系xOy 中，有一组对角线长为n a 的正方形n n n n D C B A ),2,1( =n ，其对角线n n D B 依次放置在x 轴上（相邻顶点重合）. 设{}n a 是首项为a ，公差为)0(>d d 的等差数列，点1B 的坐标为)0,(d .（1）当4,8==d a 时，证明：顶点321A A A 、、不在同一条直线上；（2）在（1）的条件下，证明：所有顶点n A 均落在抛物线x y 22=上；（3）为使所有顶点n A 均落在抛物线)0(22>=p pxy 上，求a 与d 之间所应满足的关系式.20. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分.设函数40,cos )1(sin )(πθθθθ≤≤-+=n n n n f ，其中n 为正整数.（1）判断函数)()(31θθf f 、的单调性，并就)(1θf 的情形证明你的结论；（2）证明：()()θθθθθθ224446sin cos sin cos )()(2--=-f f ；（3）对于任意给定的正整数n ，求函数)(θn f 的最大值和最小值.2009年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷参考答案及评分标准说明1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.3. 第16题至第20题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.4. 给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准一．（第1至11题）每一个空格正确的给5分，否则一律得零分.1.),1(∞+.2. i 2-.3. π4. 4. {}21<<x x .5. 41-=x . 6. π32. 7. -=x y 5. 8. 6. 9. 0. 10. 6265. 11. 43,41；j j n ,2为[]n 2,1中的所有奇数.二．（第12至15题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.三．（第16至20题）16. [解] 在Rt △C AA 1中，C AA AA AC 11tan ∠⋅= 43334=⨯=. …… 3分作⊥H B 1平面ABC ，垂足为H ，则31π=∠BH B ， …… 6分在Rt △BH B 1中，BH B BB H B 111sin ∠⋅= 623343sin 1=⨯=⋅=πAA . …… 9分 48644211=⨯⨯⨯=⋅=∴∆H B S V ABC . …… 12分 17. [解] （1） 3231=++n n S a ， ①∴ 当2≥n 时，3231=+-n n S a . ②由 ① - ②，得02331=+-+n n n a a a .311=∴+n n a a )2(≥n . …… 3分又 11=a ，32312=+a a ，解得 312=a . …… 4分 ∴ 数列{}n a 是首项为1，公比为31=q 的等比数列. 11131--⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴n n n q a a （n 为正整数）. …… 6分（2）由（1）知，23311111=-=-=q a S ， …… 8分 ()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=n n n n q q a S 31123311311111. …… 10分由题意可知，对于任意的正整数n ，恒有⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤n k 3112323，解得 n k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤311. 数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 311单调递增，∴ 当1=n 时，数列中的最小项为32， A∴ 必有32≤k ，即实数k 的最大值为32. …… 14分 18. [解] 设所求轨道方程为)0(12222>>=+b a by a x ，22b a c -=. 348,34800+=-+=+c a c a ，396,438==∴c a . …… 4分于是 35028222=-=c a b .∴ 所求轨道方程为 13502819184422=+y x . …… 6分设变轨时，探测器位于),(00y x P ，则1.819752020==+ab y x ，1350281918442020=+y x ，解得 7.2390=x ，7.1560=y （由题意）. …… 10分∴ 探测器在变轨时与火星表面的距离为3.187)(2020≈-+-R y c x . …… 13分答：探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里. …… 14分19. [证明]（1）由题意可知，()()()8,32,6,18,4,8321A A A ， 71183268,51818463221=--==--=∴A A A A k k . …… 3分 3221A A A A k k ≠ ， ∴ 顶点321,,A A A 不在同一条直线上. …… 4分（2）由题意可知，顶点n A 的横坐标n n n a a a a d x 21121+++++=- 2)1(2+=n ，顶点n A 的纵坐标)1(221+==n a y n n . …… 7分对任意正整数n ，点n A ()n n y x ,的坐标满足方程x y 22=，∴ 所有顶点n A 均落在抛物线x y 22=上. …… 9分（3）[解法一] 由题意可知，顶点n A 的横、纵坐标分别是[]d n a y d n a n a d x n n )1(21,)1(21)1(212-+=-+-++= 消去1-n ，可得 da d a d y d x n n 2)(22-++=. …… 12分为使得所有顶点n A 均落在抛物线)0(22>=p px y 上，则有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=.02)(,22d a d a d p d 解之，得 p a p d 8,4==. …… 14分 ∴ d a 、所应满足的关系式是：d a 2=. …… 16分[解法二] 点()111,y x A 的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧=+=.21,2111a y a d x 点()111,y x A 在抛物线px y 22=上，∴ )2(422121a d a x y p +==. …… 11分又点()222,y x A 的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=).(21,232322d a y d a x 且点()222,y x A 也在抛物线上， 0,0>>d a ，把点()222,y x A 代入抛物线方程，解得 d a 2=. …… 13分因此，4d p =，∴ 抛物线方程为x d y 22=. 又 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-+=+=-+-++=.21])1([21,2)1()1(21)1(2122d n d n a y d n d n a n a d x n n ∴ 所有顶点()n n n y x A ,落在抛物线x d y 22=上. …… 15分 ∴ d a 、所应满足的关系式是：d a 2=. …… 16分20. [解] （1）)()(31θθf f 、在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上均为单调递增的函数. …… 2分对于函数θθθcos sin )(1-=f ，设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈<4,0,2121πθθθθ、，则 )()(2111θθf f -()()1221c o s c o s s i n s i nθθθθ-+-=，1221c o s c o s ,s i n s i n θθθθ<<， ()()∴<∴,2111θθf f 函数)(1θf 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上单调递增. …… 4分（2）原式左边()()θθθθ4466c o s s i n c o s s i n2+-+= ()()()θθθθθθθθ44422422c o s s i n c o s c o s s i n s i n c o s s i n 2+-+⋅-+= θθ2c o s 2s i n122=-=. …… 6分又原式右边()θθθ2cos sin cos 2222=-=.∴ ()()θθθθθθ224446sin cos sin cos )()(2--=-f f . …… 8分（3）当1=n 时，函数)(1θf 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上单调递增， ∴ )(1θf 的最大值为041=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，最小值为()101-=f . 当2=n 时，()12=θf ，∴ 函数)(2θf 的最大、最小值均为1.当3=n 时，函数)(3θf 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上为单调递增. ∴ )(3θf 的最大值为043=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，最小值为()103-=f . 当4=n 时，函数θθ2sin 211)(24-=f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上单调递减， ∴ )(4θf 的最大值为()104=f ，最小值为2144=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf . …… 11分下面讨论正整数5≥n 的情形：当n 为奇数时，对任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,021πθθ、且,21θθ<()()122121cos cos sin sin )()(θθθθθθn n n n n n f f -+-=-，以及 1cos cos 0,1sin sin 01221≤<<<<≤θθθθ，∴ 1221cos cos ,sin sin θθθθn n n n <<，从而 )()(21θθn n f f <. ∴ )(θn f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上为单调递增，则 )(θn f 的最大值为04=⎪⎭⎫ ⎝⎛πn f ，最小值为()104-=f . …… 14分当n 为偶数时，一方面有 )0(1cos sin cos sin )(22n n n n f f ==+≤+=θθθθθ.另一方面，由于对任意正整数2≥l ，有()()0s i n c o s s i n c o s )()(2222222222≥--=----θθθθθθl l l l f f ， ⎪⎭⎫ ⎝⎛==≥≥≥∴---421)(21)(21)(122122πθθθn n n n n f f f f . ∴ 函数)(θn f 的最大值为1)0(=n f ，最小值为n n f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛2124π. 综上所述，当n 为奇数时，函数)(θn f 的最大值为0，最小值为1-.当n 为偶数时，函数)(θn f 的最大值为1，最小值为n⎪⎭⎫ ⎝⎛212. …… 18分卖炭翁白居易(唐) 字乐天号香山居士卖炭翁，伐薪烧炭南山中。

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷)全解全析

绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回．2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符．4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差()2211ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．若复数z 1=4+29i ，z 2=6+9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1−z 2)i 的实部为 ▲ ． 2．已知向量a 和向量b 的夹角为30︒，|a |=2，|b |=3，则向量a和向量b 的数量积a ·b = ▲ ．3．函数f (x )=x 3−15x 2−33x +6的单调减区间为 ▲ ． 4．函数y =A sin(ωx +φ)（A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0）2π3-在闭区间[−π,0]上的图象如图所示，则ω= ▲ ．5．现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 ▲ ．6．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个2s 为 ▲ ． 7．右图是一个算法的流程图，最后输出的W = ▲ ．8．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4．类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y =x 3−10x +3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ▲ ． 10．已知a =f (x )=a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为 ▲． 11．已知集合A ={x |log 2x ≤2}，B =(−∞,a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ,+∞)，其中c =▲ ． 12．设α 和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α 内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α 平行于β；（2）若α 外一条直线l 与α 内的一条直线平行，则l 和α 平行；（3）设α 和β相交于直线l ，若α 内有一条直线垂直于l ，则α 和β垂直；（4）直线l 与α 垂直的充分必要条件是l 与α 内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号 ▲ ．（写出所有真命题的序号）． 13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1,A 2,B 1,B 2为椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段O T 的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ ．14．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n =a n +1（n =1，2，…）若数列{b n }有连续四项在集合{−53,−23,19,37,82}中，则6q = ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15．（本小题满分14分）设向量a =(4cos α ,sin α )，b =(sin β,4cos β)，c =(cos β,−sin β)，（1）若a 与b −2c 垂直，求tan(α +β)的值；（2）求+b c 的最大值；（3）若tan α tan β=16，求证：a ∥b ．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C ．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C ．ABC A1B 1C 1 EF D第16题图17．（本小题满分14分）设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足22225234a a a a +=+，S 7=7．（1）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；（2）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{S n }中的项．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1∶(x +3)2+(y −1)2=4和圆C 2∶(x −4)2+(y −5)2=4．（1）若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．19．（本小题满分16分）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n n a+．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h 1和h 2，现假设甲生产A ，B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A ，B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A ，B 的单价分别为m A 元和m B 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙．（1）求h 甲和h 乙关于m A ，m B 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；（2）设35A B m m =，当m A ，m B 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？（3）记（2）中最大的综合满意度为h 0，试问能否适当选取m A ，m B 的值，使得0h h 甲≥和0h h 乙≥同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．20．（本小题满分16分）设a 为实数，函数f (x )=2x 2+(x −a )|x −a |．（1）若f (0)≥1，求a 的取值范围；（2）求f (x )的最小值；（3）设函数h (x )=f (x )，x ∈(a ,+∞)，直接写出（不需给出演算步骤）不等式h (x )≥1的解集．2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）全解全析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．若复数z1=4+29i，z2=6+9i，其中i是虚数单位，则复数(z1−z2)i的实部为▲．【答案】−20．【解析】z1−z2=−2+20i，故(z1−z2)i=−20−2i．【说明】考查复数的四则运算．2．已知向量a和向量b的夹角为30︒，|a|=2，|b|=3，则向量a和向量b的数量积a·b= ▲．【答案】3．【解析】cos 23θ===a b a b．【说明】考查向量的数量积（代数）运算．3．函数f (x)=x3−15x2−33x+6的单调减区间为▲．【答案】(1,11)-．【解析】2()330333(11)(1)f x x x x x=--=-+'，由(11)(1)0x x-+<得单调减区间为(1,11)-．【说明】考查函数的单调性，考查导数在研究函数性质中的应用．4．函数y=A sin(ωx+φ)（A，ω，φ为常数，A>0，ω>0）2π3-在闭区间[−π,0]上的图象如图所示，则ω= ▲．【答案】3．【解析】如图，2π3T=，所以3ω=．【说明】考查三角函数的图象和性质，考查周期性的概念．5．现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为▲．【答案】0.2【解析】随机抽取2根竹竿的取法有10种，而长度恰好相差0.3m的取法有2种，所以概率为0.2．【说明】考查古典概型．6．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个2s为▲．【答案】25．【解析】第一组数据7x =甲，212(10010)55S =++++=甲；第二组数据7x =乙，245S =乙．【说明】考查总体特征数的估计．实际上，根据数据的分布，知甲班的数据较为集中（甲班极差为2，众数为7，乙班极差为3，众数为6，7）． 7．右图是一个算法的流程图，最后输出的W = ▲ ．【答案】22．W =22．【说明】本题考查算法初步，考查流程图（循环结构）．值得注意的是，本题的循环结构并非是教材中所熟悉的当型或直到型，因此该流程图是一个非结构化的流程图，对学生的识图能力要求较高．8．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4．类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲ ．【答案】1：8 【解析】由题意知，面积比是边长比的平方，由类比推理知：体积比是棱长比的立方．【说明】本题考查合情推理之类比推理．9．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y =x 3−10x +3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ▲ ．【答案】(2,15)-．【解析】设点P 的横坐标为x 0，由2310y x '=-知203102x -=，又点P 在第二象限，02x =-，所以(2,15)P -．【说明】本题考查导数的几何意义——曲线切线的斜率．10．已知a =f (x )=a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为 ▲．【答案】m n <【解析】由01<<知01a <<，函数()x f x a =是减函数，由()()f m f n >知m n <．【说明】本题考查函数的单调性，指数函数的性质等概念．11．已知集合A ={x |log 2x ≤2}，B =(−∞,a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ,+∞)，其中c =▲ ．【答案】4【解析】由log 2x ≤2得0<x ≤4，(0,4]A =；由A B ⊆知4a >，所以c =4．【说明】本题考查对数函数的性质，集合间的基本关系（子集）等概念． 12．设α 和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α 内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α 平行于β；（2）若α 外一条直线l 与α 内的一条直线平行，则l 和α 平行；（3）设α 和β相交于直线l ，若α 内有一条直线垂直于l ，则α 和β垂直；（4）直线l 与α 垂直的充分必要条件是l 与α 内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号 ▲ ．（写出所有真命题的序号）．【答案】（1）（2）【解析】由线面平行的判定定理知，（2）正确；相应地（1）可转化为一个平面内有两相交直线分别平行于另一个平面，所以这两个平面平行．【说明】本题考查空间点、线、面的位置关系．具体考查线面、面面平行、垂直间的关系与转化． 13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1,A 2,B 1,B 2为椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段O T 的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ ．【答案】5【解析】直线12A B 的方程为1yx a b+=-，直线1B F 的方程为1y x c b +=-，两方程联立方程组得T 2(,)ac ab bc a c a c+--，则点M (,)2()ac ab bc a c a c +--，由点M 在椭圆上，代入整理得：223100a ac c --=，23100e e --=，又 0e >，所以离心率为5．【说明】本题考查椭圆的概念、标准方程与几何性质．14．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n =a n +1（n =1，2，…）若数列{b n }有连续四项在集合{−53,−23,19,37,82}中，则6q = ▲ ．【答案】9-【解析】由条件知数列{a n }中连续四项在集合{}54,24,18,36,81--中，由||1q >，所以{a n }中连续四项可能为（1）24-，36，54-，81，32q =-，69q =-；（2）18，24-，36，54-，不合；其它情形都不符合．【说明】本题考查等比数列的概念与通项公式．在本题中，如果将集合中的各数均除以3，得到集合{}232323,2,23,32,3-⨯-⨯⨯，再从其中选出四个数进行适当地排列，这样的解法更利于看清问题本质．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15．（本小题满分14分）设向量a =(4cos α ,sin α )，b =(sin β,4cos β)，c =(cos β,−sin β)，（1）若a 与b −2c 垂直，求tan(α +β)的值；（2）求+b c 的最大值；（3）若tan α tan β=16，求证：a ∥b ．【解析】（1）∵a ⊥b −2c ，∴(2)20⋅-=⋅-⋅=a b c a b a c ．即4sin()8cos()0αβαβ+-+=，∴tan()2αβ+=．（2）(sin cos ,4cos 4sin )ββββ+=+-b c ，()()222sin cos 16cos sin ββββ+=++-b c 1730sin cos ββ=-1715sin 2β=-，∴当sin2β=−1时，2+b c 最大值为32，所以+b c的最大值为（3）∵tan tan 16αβ=，∴sin sin 16cos cos αβαβ=，即4cos 4cos sin sin 0αβαβ⋅-=，所以a ∥b ．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C ．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C ．【解析】（1）因为E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，所以EF ∥BC ，又EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴EF ∥平面ABC ；（2）在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，1111BB A BC ⊥面，∵A 1D ⊂平面A 1B 1C 1，∴11BB AD ⊥．又11AD BC ⊥，BB 1 B 1C =B 1，∴111AD BC C ⊥面B ．又11AD AFD ⊂面，所以平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C ．17．（本小题满分14分）设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足22225234a a a a +=+，S 7=7．（1）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；（2）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{S n }中的项．【解析】（1）设公差为d ，则22225243a a a a -=-，由性质得43433()()d a a d a a -+=+，因为0d ≠，所以430a a +=，即1250a d +=，又由77S =得176772a d ⨯+=，解得15a =-，2d =所以{}n a 的通项公式为27n a n =-，前n 项和26n S n n =-．（2）12(27)(25)(23)m m m m m a a a m ++--=-，令23m t -=，12(4)(2)m m m t t a aa t++--=86t t =+-，因为t 是奇数，所以t 可取的值为1±，当1t =，2m =时，863t t +-=，2573⨯-=，是数列{}n a 中的项；1t =-，1m =时，8615t t +-=-，数列{}n a 中的最小项是5-，不符合．所以满足条件的正整数2m =． 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1∶AB CA1B 1C1 EF D第16题图(x +3)2+(y −1)2=4和圆C 2∶(x −4)2+(y −5)2=4．（1）若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．【解析】(1) 0y =或7(4)24y x =--，（2）法一）设点P (,)a b ，1l ：()y b k x a -=-，则2l ：1()y b x a k-=--由截得的弦长相等可得1C 到1l 与2C 到2l 的距离相等，即11|4()5()|a b k k ----+=，即 |31||45|k ka b k a kb ---+=--++，整理得：222222(3)2(3)(1)(1)(5)2(4)(5)(4)a k ab k bb k a b k a +++-+-=-+--+- 因为有无数组解，所以对应项系数相等，解得：32a =-，132b =；或52a =，12b =-．所以满足条件的点P 坐标为313(,)22-或51(,)22-．法二）依题意点P 在线段1C 2C 的中垂线上，且与1C 、2C 构成等腰直角三角形，设点P (,)a b ，则713()42b a -=--，又120PC PC ⋅=，即22670a b a b +---=，解得：32a =-，132b =；或52a =，12b =-．满足条件的点P 坐标为313(,)22-或51(,)22-．19．（本小题满分16分）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n n a+．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h 1和h 2，现假设甲生产A ，B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A ，B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A ，B 的单价分别为m A 元和m B 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙．（1）求h 甲和h 乙关于m A ，m B 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；（2）设35A B m m =，当m A ，m B 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？（3）记（2）中最大的综合满意度为h 0，试问能否适当选取m A ，m B 的值，使得0h h 甲≥和0h h 乙≥同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．【解析】h =甲h =乙当35A B m m =时，h =甲，h =乙h 甲=h 乙．当35A B m m =时，h =甲，而520B m ≤≤，所以当20B m =时，甲、乙两人的综合满意度均最大，此时12A m =．（3≥即31024120A B A B m m m m ≥++ ①且3406120A B A B m m m m ≥++ ②，由①及520B m ≤≤得：24120310B A B m m m +≥-，又241202008[12,48]310310B B B m m m +=+∈--，只有当12A m =，20B m =时，不等式①成立．由②及312A m ≤≤得：4012036A B A m m m +≥-，又4012040200[20,80]36336A A A m m m +=+∈--，只有当20B m =，12A m =时，不等式②成立．综上，不存在满足条件的A m 、B m 的值．20．（本小题满分16分）设a 为实数，函数f (x )=2x 2+(x −a )|x −a |．（1）若f (0)≥1，求a 的取值范围；（2）求f (x )的最小值；（3）设函数h (x )=f (x )，x ∈(a ,+∞)，直接写出（不需给出演算步骤）不等式h (x )≥1的解集．【解析】（1）若(0)1f ≥，即||1a a -≥，则{21a a <≥，所以1a ≤-．（2）当x a ≥时，22()32,f x x ax a =-+22min(),02,0()2(),0,033f a a a a f x a a f a a ≥≥⎧⎧⎪⎪==⎨⎨<<⎪⎪⎩⎩ 当x a ≤时，22()2,f x x ax a =+-{{2min 2(),02,0()(),02,0f a a a a f x f a a a a -≥-≥==<<综上22min2,0()2,03a a f x a a -≥⎧⎪=⎨<⎪⎩．（3）x a ≥时，()1h x ≥得223210x ax a -+-≥，222412(1)128a a a ∆=--=-，①当a a ≤≥时，0∆≤，不等式的解集为(,)a +∞；②当a <<0,∆>得(0x x x a ⎧⎪≥⎨>⎪⎩，i a <<时，不等式的解集为(,)a +∞；ii ）a ≤≤)+∞；iii ）a <<时，不等式的解集为3([)3a a +-+∞.。

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅰ.理)含详解

2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第错误！未找到引用源。

卷（选择题）和第错误！未找到引用源。

卷（非选择题）两部分．第错误！未找到引用源。

卷1至2页，第错误！未找到引用源。

卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R = 如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R = n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[()u AB I 中的元素共有（A ）（A ）3个（B ）4个（C ）5个（D ）6个解：{3,4,5,7,8,9}A B = ，{4,7,9}(){3,5,8}U A B C A B =∴= 故选A 。

也可用摩根律：()()()U U U C A B C A C B =（2）已知????i 则复数z ??（B ??）w w w k s ??u c o m ?????????????? （A ）????i?????????? B??????i?????????????????? C????i?????????????????? D????i 解：(1)(2)13,13z i i i z i =+⋅+=+∴=- 故选B 。

2009复旦交大清华北大南大浙大自主招生数学试题

2009年名牌大学自主招生考试试题(1)2009年浙江大学自主招生考试数学试卷1、（本小题满分20分）已知12a ≥，设二次函数()22f x a x ax c =-++，其中,a c 均为实数．证明：对于任意[]0,1x ∈，均有()1f x ≤成立的充要条件是34c ≤．2、（本小题满分20分）数列{}n a 满足条件：11a =，111n n a a -=+（2n ≥）．试证明：（I ）12n a ≤≤，n *∈N ；（II ）111132n n n n a a a a +---≤≤，2n ≥且n *∈N ． 3、（本小题满分20分）现有如下两个命题：命题p ：函数()f x 32x ax ax a =++-既有最大值，又有最小值．命题q ：直线3420x y +-=与曲线222210x ax y a -++-=有公共点．若命题“p 或q ”为真，且命题“p 且q ”为假，试求a 的取值范围．4、（本小题满分20分）现有由数字1,2,3,4,5排列而成的一个五位数组（没有重复数字）．规定：前i 个数不允许是1,2,,i 的一个排列()14i ≤≤ （如32154就不可以，因为前三个数是1,2,3的一个排列）．试求满足这种条件的数组共有多少个?5、（本小题满分20分）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）()11,A x y ， ()22,B x y 两点在双曲线上，且12x x ≠．（I ）若线段AB 的垂直平分线经过点()4,0Q ，且线段AB 的中点坐标为()00,x y ，试求0x 的值．（II ）双曲线上是否存在这样的点A 与B ，满足OA OB ⊥?2009年南京大学数学基地班自主招生数学试题一、填空题（每小题7分，共70分）1、已知n 为一正整数，并且21n-能被7整除，则n 的所有取值为________. 2、不等式(1)(2)(3)(4)24x x x x ----?的解是________. 3、设z 是一模长大于1的复数，并且满足15cos 5sin 22z i z q q +=-，则z =________. 4、已知x ÎR，()f x ()f x 的值域为________.5、方程4163log 42log 43log 40x x x ++=的解集为________.6、将1，2，3，4，5，6，7，8，9进行排序，则1，2不在原来位置上的概率p=________.7、数列12,,...,,...n a a a 中相邻的两项1,n n a a +是二次多项式220(1,2,...)n x nx c n -+==的两个根，并且已知11a =，则2k c =________（用k 表示）.8、圆柱形玻璃杯高8cm ，杯口周长12cm ，内壁距杯口2cm 的点A 处有一点蜜糖。

2009年高考上海卷数学(文)word版,有详细答案

09上海(理)1.函数f (x )=x 3+1的反函数是 f －1(x )=________2.已知集合{}|1A x x =≤,{}|B x x a =≥,且A B R ⋃=,则实数a 的取值范围是_______3.若行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪4 5 x 1 x 37 8 9中,元素4的代数余子式大于0,则x 满足的条件是______4.某算法的程序框如右图所示,则输出量y 与输入量x 满足的关系式是_______5.若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2,高为4,则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是________6.若球O 1、O 2表面积之比S 1S 2=4,则它们的半径之比R 1R 2=________7.已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，y ≥－2x ，x ≤3，,则目标函数z =x +2y 的最小值是________8.若等腰直角△的直角边长为2,则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是_______9.过点A(1,0)作倾斜角为π4的直线,与抛物线y 2=2x 交于M 、N 两点,则|MN |=______10.函数22cos sin 2y x x =+的最小值是________11.某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会志愿者, 则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是_______(用最简分数表示)12.已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9,则b =________413.已知函数x x x f tan sin )(+=.项数为27的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππ，n a ,且公差0≠d . 若0)()()(2721=+⋯++a f a f a f ，则当k =______时,0)(=k a f .14.某地街道呈现东—西、南—北向的网格状,相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点)22(，-,)13(，,)43(，,)32(，-,)54(，为报刊零售点. 请确定一个格点(除零售点外)_______为发行站,使5个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.15.已知直线l 1: (k -3)x +(4-k )y +1=0与l 2: 2(k -3)x -2y +3=0平行,则k 的值是( ) （A ）1或3 （B ）1或5 （C ）3或5 （D ）1或216.如图,已知三棱锥的底面是直角△,直角边长分别为3和4,过直角顶点的侧棱长为4, 且垂直于底面,该三棱锥的主视图是( )（A（C ）（D17.点P(4,-2)与圆x 2+y 2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）（A ）(x -2)2+(y +1)2=1 （B ）(x -2)2+(y +1)2=4 （C ）(x +4)2+(y -2)2=4 （D ）(x +2)2+(y -1)2=1 18.在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为 “连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据, 一定符合该标志的是( )（A ）甲地:总体均值为3,中位数为4 （B ）乙地:总体均值为1,总体方差大于0 （C ）丙地:中位数为2,众数为3 （D ）丁地:总体均值为2,总体方差为331-x , a ≤1, x >83, y=⎩⎨⎧2x ， x ≤1x -2，x >1, arctan 5, 2, -9, 8π3, 26, 1-2, 57, 3, 14, (3,3) CBAD19.(14')已知复数z=a +bi (a 、b ∈R) (i 是虚数单位)是方程x 2-4x +5=0的根,复数w =u +3i (u ∈R)满足|w -z |<25, 求u 的取值范围34420.(6+8')已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ,设向量→m =(a ,b ),→n =(sinB,sinA),→p =(b -2,a -2) ⑴若→m ∥→n ,求证:△ABC 为等腰△⑵若→m ⊥→p ,边长c =2,角C =π3,求△ABC 的面积21.(6+10')有时可用函数0.115ln ,(6)() 4.4,(6)4a x a xf x x x x ⎧+≤⎪⎪-=⎨-⎪>⎪-⎩描述学习某学科知识的掌握程度.其中x 表示某学科知识的学习次数(*x N ∈),()f x 表示对该学科知识的掌握程度,正实数a 与学科知识有关 ⑴证明:当7x ≥时,掌握程度的增加量(1)()f x f x +-总是下降⑵根据经验,学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121],(121,127],(127,133]. 当学习某学科知识6次时,掌握程度是85%,请确定相应的学科22.(4+4+8')已知双曲线C 的中心是原点,右焦点为F(3,0),一条渐近线m : x +2y =0,设过点(A -的直线l 的方向向量→e =(1,k )⑴求双曲线C 的方程⑵若过原点的直线l 1∥l ,且l 1与l 的距离为,求k 的值⑶证明:当k >2时,在双曲线C 的右支上不存在点Q,使之到直线l23.(5+5+8')已知{a n }是公差为d 的等差数列,{b n }是公比为q 的等比数列 ⑴若31n a n =+,是否存在*m k N ∈、,有1?m m k a a a ++=说明理由⑵若b n =aq n (a 、q 为常数,且aq ≠0),对任意m 存在k ,有b m ·b m+1=b k ,试求a 、q 满足的充要条件 ⑶若a n =2n +1,b n =3n 试确定所有的p ,使数列{b n }中存在某个连续p 项的和是{a n }中的一项,请证明19.(-2,6)20.3, 21.123.0乙, 22.x 22-y 2=1, ±22, 23.不存在, a =q c (c ∈Z,c ≥-2), p ∈N *且为奇数均可2009年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）答案要点及评分标准说明：1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理(上海卷,解析版)

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理（上海卷，解析版）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码 .2．本试卷共有23道试题，满分150分 .考试时间20分钟 .一．真空题（本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 .1．若复数 z 满足z (1+i) =1-i (I 是虚数单位)，则其共轭复数z =__________________ . 1．【答案】i【解析】设z ＝a ＋bi ，则（a ＋bi ）(1+i) =1-i ，即a －b ＋（a ＋b ）i ＝1－i ，由⎩⎨⎧-=+=-11b a b a ，解得a ＝0，b ＝－1，所以z ＝－i ，z ＝i2．已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R ⋃=，则实数a 的取值范围是______________________ . 2．【答案】a ≤1【解析】因为A ∪B=R ，画数轴可知，实数a 必须在点1上或在1的左边，所以，有a ≤1。

3．若行列式417 5 xx 3 8 9中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是________________________ . 3．【答案】83x >【解析】依题意，得： (-1)2×(9x-24)＞0，解得：83x >4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x满足的关系式是____________________________ .4．【答案】2,12,1x x y x x ⎧<=⎨->⎩【解析】当x ＞1时，有y ＝x －2，当x ＜1时有y ＝x2，所以，有分段函数。

5．如图，若正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面连长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）. 5．【答案】【解析】因为AD ∥A 1D 1，异面直线BD 1与AD 所成角就是BD 1与A 1D 1所在角，即∠A 1D 1B ，由勾股定理，得A 1B ＝25，tan ∠A 1D 1B ＝5，所以，∠A 1D 1B＝ 6．函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ . 6．【答案】1【解析】()cos 2sin 21)14f x x x x π=++=++，所以最小值为：17．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E ξ____________（结果用最简分数表示）. 7．【答案】47【解析】ξ可取0，1，2，因此P （ξ＝0）＝21102725=C C ， P （ξ＝1）＝2110271215=C C C ， P （ξ＝2）＝2112722=C C ，E ξ＝0×2112211012110⨯+⨯+＝47 8.已知三个球的半径1R ，2R ，3R 满足32132R R R =+，则它们的表面积1S ，2S ，3S ，满足的等量关系是___________. 8、= 【解析】2114RS π=，112R S π=，同理：222R S π=332R S π=，即R 1＝π21S ，R 2＝π22S ，R 3＝π23S ，由32132R R R =+=9.已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF∆的面积为9，则b =____________. 9．【答案】3【解析】依题意，有⎪⎩⎪⎨⎧=+=∙=+2222121214||||18||||2||||cPF PF PF PF a PF PF ，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，故有b ＝3。

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2009上交一、填空题1．第一位将欧儿里得的《几何原本》译成中文的中文的中国明代学者是；毕业于上海交通大学，在拓扑学和机器证明上作出突出贡献的是 .2．某商店失窃，赵、钱、孙、李四人涉案被拘审．四人口供如下：赵说“孙是窃贼”；钱说“李是窃贼”；孙说“如果我作案，那么李是主犯”；李说“我没有偷”．已知四个口供中只有一个是假的，可以断定．说假话的是＿；作案者是 ·3．在边长为80cm 的正方形地砖上随机投掷一枚半径为10cm 的圆盘，圆盘中心始终在地砖内，则圆盘压在地砖边上的概率是 .4．如图,用两个钢珠测算一圆柱形工件的内直径D,若半径为r 1钢珠上端与孔口平面距离为H 1, 半径为r 2钢珠上端与孔口平面距离为H 2,则D= .5．如果抛物线y=2ax bx c ++过A(−3,2)、B(5,2)两点,那么1+-= .6．从空间一点O 发出4条射线OA 、OB 、OC 、OD,其两两所成的角均相等,则这些角的大小是 . 7．已知arctanx=arccosx,则x=8.设{}n a 是公差d≠0的等差数列,从中选出部分项以原次序可以组成等比数列12,,,m k k k a a a ,若1231,5,17k k k ===,则12m k k k +++= .9．设x ＋1x=2cosA ，则1nn x x += .10．函数y=2x+的值域是 .二、解答题11.众所周知,指数函数xa 恒大于0,且有如下性质：若实数12x x ≠，则12x x a a ≠；对任意二实数12,x x ，有1212x x x x aa a +=，如果一个函数f(x)满足类似两个性质，即：若实数12x x ≠，则12()()f x f x ≠；对任意二实数12,x x ，有1212()()()f x x f x f x +=，能否判断f(x)也恒大于0？说明你的理由12.已知|m|≤求2216()y m n n ⎫=+-⎪⎭的最小值.13.求有限集A={}12,,,n a a a ,n ≥2，其中12,,,n a a a 为互不相等的正整数,使得12n a a a =12n a a a +++.14.设n 与k 均为正整数,令()k f n =l k +2k +…+n k ，已知1()f n =l+2+…+n=222n n +， 2()f n = l 2+22+…+n 2=32326n n n ++，3()f n = l 3+23+…+n 3 =432424n n n ++，试观察上述各式右端的多项式的系数,说出其特点，进而求出4()f n .15.下图是一个由9个小的九官格组成的9×9的方格．请运用已经显示的数字,确定每个空格中的数字,使之符合以下两个条件:(1)每一行和每一列中的9个数字必须不重复; (2)每一个小九宫格中的9个数字必须是1到9;你填写的每一个数字都必须是依推理唯一确定的．本题你只要填满任何4个小九宫格就算完成.##Answer##1.徐光启，吴文俊2.钱，孙3.496412r r + 5.-16.【简解】O 为正四面体ABCD 的中心，此角为arccos(-13) 7.【简解】由已知0<x<1,两边取正切，得到，解答8.【简解】25117a a a =，21(4)a d +=11(16)a a d +，12a d =新数列的公比q=51a a =3,n k a 为等比数列的第n 项，于是n k a =2d ×13n - 又n k a 为等差数列的第n k 项，n k a =2d+(n k -1)d=(n k +1)d从而 n k =2×13n --1，故12m k k k +++=31m m --9.【简解】2|cosA|=|x+1x |=|x|+|1x|≥2，因|cosA|≤1，只能取等号，x=±1, 1nn x x +=2,12(1),1nx x =⎧⎨⨯-=-⎩ 10.【解析】设x=cos θ,θ∈[0,π]，则y=sin 2cos θθ+;其几何意义为连接A(-2,0)和B(cos θ,sin θ)两点的斜率k ；点B 在22x y +=1(y ≥0)上，作出图形，k ∈11.【简解】f(x)>0恒成立证明：首先f(x)=f(2x +2x )=2()2x f ≥0，下面验证f(x)=0不能成立假设存在t ，使得f(t)=0,因f(0)=f(0+0)=2(0)f ，故f(0)=0或f(0)=1;若f(0)=0,则f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0,与已知条件矛盾；故t ≠0，此时f(2t)=f(t+t)=2()f t =0,有两个值t,2t 函数值都为0，矛盾。

总之，f(x)>0恒成立 12.【简解】设16n ,n),则y=|AB|2 点A 在22x y +=8(x ≥0),B 在y=16x(x>0)上y=|AB|2≥)2=2-≥2=8 等号成立当且经当,,16A O B n n⎧⎪⎨=⎪⎩三点共线⇔B(4,4),A(2,2)13.【简解】n=2时12a a +=12a a ⇒1211a a +=1⇒12a a ==2，与12a a ≠矛盾 n=3时,123123a a a a a a ++≤,不妨设123a a a <<，1232121a a a a a a +=≥-⇒212221a a a ≤-⇒22221aa -≥1⇒2a ≤，又2a ≥2，故2a =2，1a =1，3a =3n ≥4时，不妨设123...n a a a a <<<<,则12......n a a a =12...n a a a +++<n n a ⇒121......n a a a -<n,121......n a a a -≥(n-1)!≥2(n-1)⇒2(n-1)<n ⇒n<2与n ≥4矛盾总之A={1,2,3}14.【简解】4k =553211[(1)]2255k k k k k +-----求和得到4()f n =51[(1)1]5n +--2(432424n n n ++)-2(32326n n n ++)-222n n --5n=54352330n n n n++- 15．【解析】先将每个要填的单元格，可能填的数字填满，如下表要想这个表尽快变为单元格中只有一个数字，需要优先考虑单元格中只有两个数字的情况；对于这些只有两个数字的单元格，每个数字所在行、列个数之和，直接反应了其修整次数的多少，出现最多的数字，就作为这个单元格的数字。

依次类推，具体的：第一步：第二行第一列中有两个数字17，其中1在第二行或第一列共出现7次，7在第二行或第一列共出现5次；第四行第三列中有两个数字13，其中1在第四行或第三列共出现8次，3在第四行或第三列共出现6次；第七行第二列中有两个数字12，其中1在第七行或第二列共出现8次，2在第七行或第二列共出现7次。

出现次数最多的是8次，故第四行第三列填1，第七行第二列也是1。

然后排除重复者，得第二步：第二行第一列中有两个数字17，其中1在第二行或第一列共出现5次，7在第二行或第一列共出现5次；第四行第二列中有两个数字24，其中2在第四行或第二列共出现6次，4在第四行或第二列共出现6次；第四行第一列中有两个数字48，其中4在第四行或第一列共出现6次，8在第四行或第一列共出现5次；第七行第一列中有两个数字78，其中7在第七行或第一列共出现6次，8在第七行或第一列共出现5次；第七行第三列中有两个数字37，其中3在第七行或第三列共出现6次，7在第七行或第三列共出现6次。

出现次数最多的是6次，但是17、37、24均等出现，先不考虑，这样第四行第一列数填4，将直接对24产生影响，先定第七行第一列数为7，再排除重复数字，得到下表：第三步：第四行第一列中有两个数字48，其中4在第四行或第一列共出现6次，8在第七行或第二列共出现3次；第四行第二列中有两个数字24，其中2在第二行或第一列共出现4次，4在第二行或第一列共出现5次；第四行第六列中有两个数字34，其中3在第四行或第六列共出现5次，4在第四行或第六列第四步：第一行第一列中有两个数字45，其中4在第一行或第一列共出现5次，5在第一行或第一列共出现6次；第一行第七列中有两个数字57，其中5在第一行或第七列共出现8次，7在第一行或第七列共出现6次；第二行第八列中有两个数字26，其中2在第二行或第八列共出现6次，6在第一行或把列共出现7次；第三行第一列中有两个数字45，其中4在第三行或第一列共出现5次，5在第三行或第一列共出现6次；第五行第二列中有两个数字56，其中5在第五行或第二列共出现6次，6在第五行或第列列共出现6次；第九行第二列中有两个数字45，其中4在第九行或第二列共出现4次，5在第九行或第二列第五步：第一行第四列中有两个数字27，其中2在第一行或第四列共出现6次，7在第一行或第四列共出现4次；第一行第六列中有两个数字28，其中2在第一行或第六列共出现6次，8在第一行或第六列共出现4次；第一行第八列中有两个数字28，其中2在第一行或第八列共出现6次，8在第一行或第八列共出现5次；第二行第八列中有两个数字26，其中2在第二行或第八列共出现6次，6在第二行或第八列共出现8次；第三行第九列中有两个数字18，其中1在第三行或第九列共出现7次，8在第三行或第九列共出现6次；第五行第二列中有两个数字56，其中5在第五行或第二列共出现5次，6在第五行或第二列共出现6次；第六行第七列中有两个数字67，其中6在第六行或第七列共出现7次，7在第六行或第七列共出现7次；第九行第二列中有两个数字45，其中4在第九行或第二列共出现4次，5在第九行或第二列第六步：第一行第四列中有两个数字27，其中2在第一行或第四列共出现6次，7在第一行或第四列共出现4次；第一行第六列中有两个数字28，其中2在第一行或第六列共出现6次，8在第一行或第六列共出现4次；第一行第八列中有两个数字28，其中2在第一行或第八列共出现5次，8在第一行或第八列共出现5次；第二行第六列中有两个数字29，其中2在第二行或第六列共出现5次，9在第二行或第六列共出现4次；第二行第七列中有两个数字79，其中7在第二行或第七列共出现6次，9在第二行或第七列共出现4次；第三行第九列中有两个数字18，其中1在第三行或第九列共出现7次，8在第三行或第九列共出现6次；第五行第二列中有两个数字56，其中5在第五行或第二列共出现5次，6在第五行或第二列共出现5次；第六行第七列中有两个数字67，其中6在第六行或第七列共出现5次，7在第六行或第七列共出现7次；第九行第二列中有两个数字45，其中4在第九行或第二列共出现4次，5在第九行或第二列1，得到下表：余下的同理，从具有相同数字的情况加以考虑，得到第一行第八列数为83 49 6或。