一元二次方程培优提高题

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(完整版)一元二次方程综合培优(难度大-含参考答案)

一元二次方程拓展提高题1、已知0200052=--x x，则()()211223-+---x x x 的值是 . 2、已知0120042=+-a a ，则_________120044007222=++-a a a . 3、若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=b a.4、已知方程043222=-+-a ax x 没有实数根，则代数式_____21682=-++-a a a .5、已知x x y -+=62，则y 的最大值为 .6、已知0=++c b a ，2=abc ，0φc ，则（）A 、0πabB 、2-≤+b aC 、3-≤+b aD 、4-≤+b a 7、已知8=-b a ，0162=++c ab ，则________=++c b a . 8、已知012=-+m m ，则________2006223=-+m m . 9、已知4=-b a ，042=++c ab ，则________=+b a .10、若方程02=-+q px x 的二根为1x ，2x ，且11φx ，03φ++q p ，则2x ( ) A 、小于1 B 、等于1 C 、大于1 D 、不能确定11、已知α是方程0412=-+x x 的一个根，则ααα--331的值为 .12、若132=-x x ，则=+--+200872129234x x x x （）A 、2011B 、2010C 、2009D 、2008 13、方程22323=--+x x 的解为 . 14、已知06222=+-y x x ，则x y x 222++的最大值是（）A 、14B 、15C 、16D 、18 15、方程m x x =+-2||22恰有3个实根，则=m （）A 、1B 、1.5C 、2D 、2.5 16、方程9733322=-+-+x x x x 的全体实数根之积为（）A 、60B 、60-C 、10D 、10-17、关于x 的一元二次方程0522=--a x x （a 为常数）的两根之比3:2:21=x x ，则=-12x x （）A 、1B 、2C 、21 D 、23 18、已知是α、β方程012=-+x x 的两个实根，则_______34=-βα. 19、若关于x 的方程xax x x x x a 1122++-=-只有一解，求a 的值。

一元二次方程培优提高题解析

一元二次方程培优提高题解析一、利用判别式判断方程根的情况1. 已知关于x的一元二次方程(m - 1)x^2+2x - 1=0有两个不相等的实数根，求m 的取值范围。

解析：对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，判别式Δ=b^2-4ac。

在方程(m - 1)x^2+2x - 1=0中，a = m- 1，b=2，c=-1。

因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ>0且a≠0。

首先计算Δ = 2^2-4(m - 1)×(-1)>0，4 + 4(m - 1)>0，4+4m-4>0，4m>0，解得m>0。

又因为a=m - 1≠0，即m≠1。

所以m的取值范围是m>0且m≠1。

2. 若关于x的一元二次方程kx^2-2x + 1 = 0没有实数根，求k的取值范围。

解析：对于方程kx^2-2x + 1=0，其中a = k，b=-2，c = 1。

因为方程没有实数根，所以Δ=b^2-4ac<0。

Δ=(-2)^2-4k×1<0，4 - 4k<0，-4k<-4，解得k > 1。

又因为方程是一元二次方程，所以k≠0。

综上，k的取值范围是k>1。

二、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）1. 已知方程x^2-3x - 4 = 0的两根为x_1，x_2，求x_1^2+x_2^2的值。

解析：对于一元二次方程ax^2+bx + c=0(a≠0)，若两根为x_1，x_2，则x_1+x_2=-(b)/(a)，x_1x_2=(c)/(a)。

在方程x^2-3x - 4 = 0中，a = 1，b=-3，c=-4。

所以x_1+x_2=-(-3)/(1)=3，x_1x_2=(-4)/(1)=-4。

x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=3^2-2×(-4)=9 + 8=17。

2. 已知关于x的方程x^2+kx + k - 1=0的两根为x_1，x_2，且x_1^2+x_2^2=5，求k的值。

培优专题01 一元二次方程的解法-解析版

培优专题01 一元二次方程的解法◎方法一直接开平方法（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。

一般地，.对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a（2）直接开平方法适用于解形如x2 = p或(mx+a)2 = p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。

（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

1．（2022·浙江绍兴·八年级期末）一元二次方程x2 -1＝0的根是（）A．x1＝x2＝1B．x1＝1，x2＝-1C．x1＝x2＝-1D．x1＝1，x2＝0【答案】B【分析】先移项，再两边开平方即可．【详解】解：∵x2-1=0，∴x2=1，∴x=±1，即x1=-1，x2=1．故选：B．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．2．（2022·安徽滁州·八年级期末）如果关于x 的方程2(9)4x m -=+可以用直接开平方法求解，那么m 的取值范围是（）A ．3m >B ．3m ³C ．4m >-D ．4m ³-【答案】D【分析】根据直接开平方法求解可得．【详解】解：∵2(9)4x m -=+，且方程2(9)4x m -=+可以用直接开平方法求解，∴40m +³，∴4m ³-．故选：D ．【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，正确化简方程是解题关键．3．（2022·全国·九年级课时练习）关于x 的方程2x p =．（1）当0p >时，方程有__________的实数根；（2）当0p =时，方程有__________的实数根；（3）当0p <时，方程__________．4．（2022·安徽合肥·八年级期末）方程290x -=的解为______．5．（2022·全国·九年级单元测试）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a cb d ，定义a cad bcb d=-，上述记号就叫做2阶行列式．(1)若21493xx=，求x的值．(2)若11611x xx x+-=-+，求x的值．◎方法二配方法1、配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开；2、把常数项移到等号的右边；3、方程两边都除以二次项系数；4、方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；5、若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

一元二次方程专题能力培优(含答案)

一元二次方程专题能力培优(含答案)解得：m≠2m10当m≠2时，原方程可化为x-m+1=0.2.C解析：将方程化简可得(m-6)x+(m-6)=0，由于常数项为0，所以m-6=0，即m=6.3.a=2解析：由于一次项系数为0，所以根据一元二次方程的求根公式可得：x1=x2=-b/2a，代入a-b+c=0中得a=2.4.a=2解析：将方程化简可得(2a-4)x+(3a+6)x+(a-8)=0，由于一次项系数为0，所以2a-4+3a+6=0，解得a=2.5.D解析：由题可得另一个根为-b，代入x1x2=a/c=-a/b得到b=-2a，代入a-b得到a=2b，所以a-b=2b-b=b=2.6.a/2解析：由于a-b+c=0，所以c=b-a，代入一元二次方程的求根公式可得x1=(b+√(b^2-4ac))/2a，x2=(b-√(b^2-4ac))/2a，代入x1x2=a/c得到a=(b^2-a^2)/(b-a)，解得a/2=b-a，即a=2b-2a，解得a/2.7.2012解析：由一元二次方程的求根公式可得a=2013/2+√(2013^2/4-1)，代入a-2012a-2013/2得到2012.2或者当m+1+（m-2）≠0且m+1=1时，它是一元一次方程。

解得：m=-1，m=0.因此，当m=-1或m=0时，为一元一次方程。

给定方程m^2-1=0，解得m=-1.因为m-1≠0，所以这是一元一次方程。

解方程3a+6=0，得到a=-2.因此，这是一元一次方程。

根据题意，方程x+bx+a=0的一个根是-a（a≠0）。

由此得到a-b=-1.解方程x^2=1，得到x=±1.因此，x=-1.已知实数a是一元二次方程x-2013x+1=0的解，因此a-2013a+1=0.解得a=-1/2012.若方程25x-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式，则k的值为-8或9.如果代数式x+6x+m是一个完全平方式，则m=9.用配方法证明：无论x为何实数，代数式-2x^2+4x-5的XXX小于零。

数学一元二次方程的专项培优练习题含答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根． ()1求k 的取值范围；()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．【答案】（1）134k ≤；（2）2k =-．【解析】【分析】 ()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥，解之可得． ()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍．【详解】解：()1关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根， 0∴≥，即()()22[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥，解得134k ≤． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，()222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+，221223x x +=， 224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-，134k ≤， 4k ∴=舍去，2k ∴=-．【点睛】本题考查了一元二次方程2ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0>，方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根.以及根与系数的关系．2．已知：关于的方程有两个不相等实数根．（1）用含的式子表示方程的两实数根；（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．【答案】（I）kx2+（2k－3)x+k－3 = 0是关于x的一元二次方程．∴由求根公式，得．∴或（II），∴．而，∴，．由题意，有∴即（﹡）解之，得经检验是方程（﹡）的根，但，∴【解析】（1）计算△=（2k-3）2-4k（k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；（2）有（1）可知方程的两根，再有条件x1＞x2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系.请你解答下列问题：3． y与x的函数关系式为：y=1.7x（x≤m）;或( x≥m) ；4．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．【解析】试题分析：（1）本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,x=有一个解；②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ²＋4＞0方程有两不等根综合①②得不论k为何值，方程总有实根（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂=∴S=++ x1+x2=====2k-2=2，解得k=2，∴当k=2时，S的值为2∴S的值能为2，此时k的值为2．考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．5．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y （只）与销售单价x（元）之间的关系式为y＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元【解析】【分析】表示出一件的利润为（x﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.【详解】设每天获得的利润为w元，根据题意得：w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000．∵a＝﹣10＜0，∴当x＝50时，w取最大值，最大值为4000．答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元．【点睛】本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.6．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），每星期的销售量为y箱．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？（3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?【答案】(1)y=-10x+780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元【解析】【分析】（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x元,则多销售的数量为60-x,（2）解一元二次方程即可求解,（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.【详解】解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x）=-10x+780,(40≤x≤60),(2)依题意得：（x-40）(-10x+780)=3570,解得：x=57,∴当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元.（3）设每星期的利润为w，W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610,∵-10 0,二次函数向下,函数有最大值,当x=59时, 利润最大，为3610元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.7．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【解析】【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据题意得：400（1﹣x ）2=361，解得：x 1=0.05=5%，x 2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．8．阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a 的形式。

一元二次方程专题培优训练精选

一元二次方程专题培优训练精选专题一利用一元二次方程的定义确定字母的取值1.已知(m-3)x^2+m+2x=1是关于x的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A.m≠3.B.m≥3.C.m≥-2.D。

m≥-2且m≠3已知(m-3)x^2+m+2x=1是关于x的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A。

m≠3.B。

m≥3.C。

m≥-2.D。

m≥-2且m≠32.已知关于x的方程(m+1)x^m+1+(m-2)x^-1=，问：1）m取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程；2）m取何值时，它是一元一次方程？已知关于x的方程(m+1)x^m+1+(m-2)x^-1=，问：1）m取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程；2）m取何值时，它是一元一次方程？3.若一元二次方程ax^2+bx+c=0中，a-b+c=0，则此方程必有一个根为.a^2+1若一元二次方程ax^2+bx+c=0中，a-b+c=0，则此方程必有一个根为.a^2+14.已知实数a是一元二次方程x-2013x+1=0的解，求代数式a-2012a-的值.2013^2已知实数a是一元二次方程x-2013x+1=0的解，求代数式a-2012a-的值.2013^2方法技巧：1.ax+bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论.2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领会.方法技巧：1.ax+bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论.2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领会.专题二利用配方法求字母的取值或者求代数式的极值21.若方程25x-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k的值为（）A.-9或11.B.-7或8.C.-8或9.C.-8或9 若方程25x-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k的值为（）A。

-9或11.B。

-7或8.C。

【数学】培优一元二次方程辅导专题训练附答案解析

(完整版)一元二次方程培优提高例题

考点一、概念(1)定义:①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．,这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。

（2）一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”: ①该项系数不为“0"； ②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题:例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ）A ()()12132+=+x x B 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2、方程()0132=+++mx x m m是关于x 的一元二次方程,则m 的值为。

针对练习:★1、方程782=x 的一次项系数是 ,常数项是。

★2、若方程()021=--m xm 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值;⑵写出关于x 的一元一次方程.★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是。

★★★4、若方程nx m+x n—2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ )A 。

m=n=2 B.m=2，n=1 C.n=2，m=1 D.m=n=1考点二、方程的解⑴概念:使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用:利用根的概念求代数式的值;典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 .例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为。

说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程必有一根为。

说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察,再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。

九年级数学一元二次方程组的专项培优练习题(含答案)附答案

九年级数学一元二次方程组的专项培优练习题(含答案)附答案一、一元二次方程1．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长．【答案】△ABC 的周长为10．【解析】【分析】分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得：52k = 当52k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0，解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12）＝（2k ﹣3）2＝0，解得：k ＝32， ∴b +c ＝2k +1＝4． ∵b +c ＝4＝a ，∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形． ∴△ABC 的周长为10．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．2．解方程：(x+1)(x ﹣3)=﹣1．【答案】x 1x 2=1【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可. 试题解析：整理得：x 2﹣2x=2，配方得：x 2﹣2x+1=3，即（x ﹣1）2=3，解得：x1=1+3，x2=1﹣3．3．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠．【解析】【分析】（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可；（2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可.【详解】（1）设平均每次下调x%，则7000（1﹣x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；答：平均每次下调的百分率为10%．（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．4．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求a的取值范围；（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值．【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a的值为7、8、9或12．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣26aa+，x1x2=6aa+，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣66a-是是负整数，即可得66a-是正整数．根据a是整数，即可求得a的值2．【详解】（1）∵原方程有两实数根，∴，∴a≥0且a≠6．（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣+1=﹣．∵（x 1+1）（x 2+1）是负整数， ∴﹣是负整数，即是正整数．∵a 是整数，∴a ﹣6的值为1、2、3或6， ∴a 的值为7、8、9或12．【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a 的不等式是解此题的关键．5．发现思考：已知等腰三角形ABC 的两边分别是方程x 2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC 三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．涵涵的作业解：x 2﹣7x+10=0 a=1 b=﹣7 c=10 ∵b 2﹣4ac=9＞0∴x=2b b 4ac 2a--=732±∴x 1=5，x 2=2所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．探究应用：请解答以下问题：已知等腰三角形ABC 的两边是关于x 的方程x 2﹣mx+m 2﹣14=0的两个实数根．（1）当m=2时，求△ABC 的周长；（2）当△ABC 为等边三角形时，求m 的值．【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当m=2时，△ABC 的周长为72；（2）当△ABC 为等边三角形时，m 的值为1．【解析】【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5．（1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣m ）2﹣4（m 2﹣14）=m 2﹣2m+1，可求得m. 【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5．错误原因：此时不能构成三角形．（1）当m=2时，方程为x2﹣2x+34=0，∴x1=12，x2=32．当12为腰时，12+12<32，∴12、12、32不能构成三角形；当32为腰时，等腰三角形的三边为32、32、12，此时周长为32+32+12=72．答：当m=2时，△ABC的周长为72．（2）若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，∴△=（﹣m）2﹣4（m2﹣14）=m2﹣2m+1=0，∴m1=m2=1．答：当△ABC为等边三角形时，m的值为1．【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.6．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨52m%，购买数量和原计划一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降了920m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%，求出m的值．【答案】（1）120；（2）20．【解析】试题分析：（1）本题介绍两种解法：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，解出即可；解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+52m%），在“美团”网上的购买实际消费总额：a[120（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%”列方程解出即可．试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，x≤120；解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）．答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得：120×0.8a（1﹣25%）（1+52m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）=120×0.8a（1﹣25%）×2（1+ 152m%），即72a（1+52m%）+a（72﹣920m）（1+15m%）=144a（1+ 152m%），整理得：0．0675m2﹣1.35m=0，m2﹣20m=0，解得：m1=0（舍），m2=20．答：m的值是20．点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．7．解方程：(x＋1)(x－1)＝x.【答案】x1，x2【解析】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.试题解析：(x＋1)(x－1)＝x2-2x-1=0∵a=1，b=-c=-1∴△=b2-4ac=8+4=12＞0∴∴x1x2.8．已知x=﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值．【答案】1【解析】试题分析：根据一元二次方程解的定义，把x=﹣1代入x 2+2ax+a 2=0得到关于a 的一元二次方程1﹣2a+a 2=0，然后解此一元二次方程即可．试题解析：把x=﹣1代入x 2+2ax+a 2=0得 1﹣2a+a 2=0，解得a 1=a 2=1，所以a 的值为1.9．已知关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k ＝0 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)当k 取最小整数时，求此时方程的解．【答案】(1)k ＞﹣12；(2)x 1＝0，x 2＝﹣1．【解析】【分析】(1)由题意得△＝(k +1)2﹣4×14k 2＞0，解不等式即可求得答案； (2)根据k 取最小整数，得到k ＝0，列方程即可得到结论．【详解】(1)∵关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k ＝0 有两个不相等的实数根， ∴△＝(k +1)2﹣4×14k 2＞0， ∴k ＞﹣12； (2)∵k 取最小整数， ∴k ＝0，∴原方程可化为x 2+x ＝0， ∴x 1＝0，x 2＝﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．10．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？【答案】(1)2000；(2)2米【解析】【分析】（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程【详解】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，根据题意得：4600022000x-﹣46000220001.5x-= 4解得：x=2000，经检验，x=2000是原方程的解;答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，（20﹣3x）（8﹣2x）=56解得：x=2或x=263（不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米．11．工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？【答案】裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.【解析】试题分析：设裁掉的正方形的边长为xdm，则制作无盖的长方体容器的长为（10-2x）dm，宽为（6-2x）dm，根据长方体底面面积为12dm2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形边长.试题解析：设裁掉的正方形的边长为xdm，由题意可得(10-2x)(6-2x)=12，即x 2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，答：裁掉的正方形的边长为2dm ，底面积为12dm 2.12．已知关于x 的方程x 2－（m ＋2）x ＋（2m －1）=0。

数学一元二次方程的专项培优练习题及答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0.【解析】【分析】在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数.【详解】若存在n 满足题意.设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324n +-，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2，由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0， ①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-12，但1-n=32不是整数，舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14(舍)，综上所述，n=0.2．解方程：（3x+1）2=9x+3．【答案】x 1=﹣13，x 2=23．【解析】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，可得3x+1=0或3x ﹣2=0，解得：x 1=﹣13，x 2=23．点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.3．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m+3）x+m 2=0有两根α，β．（1）求m 的取值范围；（2）若111αβ+=-，则m 的值为多少？【答案】（1）14m ≥；（2）m 的值为3．【解析】【分析】（1）根据△≥0即可求解,（2）化简11αβ+,利用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可. 【详解】解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m 2≥0，解得：m≥-34；（2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m 2， ∵111αβ+=-，即αβαβ+=-1, ∴2m 3m2+﹣（）=-1,整理得m 2﹣2m ﹣3=0 解得：m 1=﹣1，m 1=3，由（1）知m≥-34， ∴m 1=﹣1应舍去，∴m 的值为3．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.4．用适当的方法解下列一元二次方程：（1）2x 2＋4x －1＝0；（2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0.【答案】（1）x 1＝－1x 2＝－12）y 1＝－14，y 2＝32. 【解析】试题分析：（1）根据方程的特点，利用公式法解一元二次方程即可；（2）根据因式分解法，利用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1∴△=b 2-4ac=16+8=24＞0∴x=2b a -±=4122-=-⨯∴x 1＝－1＋2，x 2＝－1－2（2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0[(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0即4y+1=0或-2y+3=0解得y 1＝－14，y 2＝32. 5．已知关于x 的一元二次方程()2211204x m x m +++-=． ()1若此方程有两个实数根，求m 的最小整数值；()2若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22212121184x x x x m ++=-，求m 的值．【答案】（1）m 的最小整数值为4-；（2）3m =【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根得0∆≥,列式即可求解,（2）利用韦达定理即可解题.【详解】（1）解：()22114124m m ⎛⎫∆=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭22218m m m =++-+29m =+方程有两个实数根0∴∆≥，即290m +≥92m ∴≥- ∴ m 的最小整数值为4-（2）由根与系数的关系得：()121x x m +=-+，212124x x m =- 由22212121184x x x x m ++=-得：()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭13m ∴=，25m =- 92m ≥- 3m ∴=【点睛】本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.6．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．【答案】（1）a≤174；（2）x=1或x=2【解析】【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于a的不等式，即可求出a的取值范围；（2）根据（1）确定出a的最大整数值，代入原方程后解方程即可得.【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2=0有实数根，∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0，解得a≤174；（2）由（1）可知a≤174，∴a的最大整数值为4，此时方程为x2﹣3x+2=0，解得x=1或x=2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．7．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．【解析】【分析】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.【详解】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，根据题意得：x(32﹣2x)=126，解得：x1=7，x2=9，∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，根据题意得：y(36﹣2y)=170，整理得：y2﹣18y+85=0．∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．8．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1）4元或6元；（2）九折.【解析】【详解】解：（1）设每千克核桃应降价x元.根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+x2×20）=2240，化简，得 x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.答：每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元.此时，售价为：60﹣6=54（元），54100%=90% 60⨯.答：该店应按原售价的九折出售.9．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m （单位：件）是关于时间t（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：这20天中，该产品每天的价格y（单位：元/件）与时间t的函数关系式为：1254y t=+（t 为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：（1）直接写出m 关于t 的函数关系式；（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a 元（4a <）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，求a 的取值范围.【答案】（1）2100m t =-+；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）2.54a ≤<.【解析】【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式；（2）根据日利润=日销售量×每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案；（3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围【详解】（1）设该函数的解析式为:m=kx+b由题意得:98=k b 94=3k b +⎧⎨+⎩解得:k=-2,b=100∴m 关于t 的函数关系式为:2100m t =-+.（2）设前20天日销售利润为W 元，由题意可知，()1210025204W t t ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭ 21151002t t =-++ ()2115612.52t =--+ ∵102<，∴当15t =时，612.5W =最大. ∴在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元. （3）由题意得：()1210025204W t t a ⎛⎫=-++--⎪⎝⎭ ()211525001002t a t a =-+++-， ∴对称轴为：152t a =+，∵每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，且120t ≤≤，∴15220a +≥，∴ 2.5a ≥，∴2.54a ≤<.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.10．解方程：(x ＋1)(x －1)＝x.【答案】x 1，x 2【解析】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.试题解析：(x ＋1)(x －1)＝x 2-2x-1=0∵a=1，b=-c=-1∴△=b 2-4ac=8+4=12＞0∴∴x1x 2.。

数学一元二次方程的专项培优练习题附详细答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围；（2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值．试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2，∴k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.2．如图，A 、B 、C 、D 为矩形的4个顶点，AB ＝16cm ，BC ＝6cm ，动点P 、Q 分别以3cm /s 、2cm /s 的速度从点A 、C 同时出发，点Q 从点C 向点D 移动．(1)若点P 从点A 移动到点B 停止，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，问经过2s 时P 、Q 两点之间的距离是多少cm ？(2)若点P 从点A 移动到点B 停止，点Q 随点P 的停止而停止移动，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，问经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm ？(3)若点P 沿着AB →BC →CD 移动，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点Q 从点C 移动到点D 停止时，点P 随点Q 的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ 的面积为12cm 2？【答案】（1）2cm ；（2）85s 或245s ；（3）经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2．【解析】试题分析：（1）作PE ⊥CD 于E ，表示出PQ 的长度，利用PE 2+EQ 2=PQ 2列出方程求解即可；（2）设x 秒后，点P 和点Q 的距离是10cm ．在Rt △PEQ 中，根据勾股定理列出关于x 的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，∴2cm；∴经过2s时P、Q两点之间的距离是2；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，∴16-5x=±8，∴x1=85，x2=245；∴经过85s或245sP、Q两点之间的距离是10cm；（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．①当0≤y≤163时，则PB=16-3y，∴12PB•BC=12，即12×（16-3y）×6=12，解得y=4；②当163＜x≤223时，BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则1 2BP•CQ=12（3y-16）×2y=12，解得y1=6，y2=-23（舍去）；③223＜x≤8时，QP=CQ-PQ=22-y ，则12QP•CB=12（22-y ）×6=12，解得y=18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2．考点：一元二次方程的应用．3．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长．【答案】△ABC 的周长为10．【解析】【分析】分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得：52k =当52k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0，解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12）＝（2k ﹣3）2＝0，解得：k ＝32， ∴b +c ＝2k +1＝4．∵b +c ＝4＝a ，∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形．∴△ABC 的周长为10．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．4．已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数，m≠0)．(1) 试说明：此方程总有两个实数根．(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值.【答案】(1)()2243b ac m -=+≥0；(2)m=-1,-3.【解析】分析: （1）先计算判别式得到△=（m -3）2-4m •（-3）=（m +3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）利用公式法可求出x 1=3m ，x 2=-1，然后利用整除性即可得到m 的值．详解: （1）证明：∵m ≠0，∴方程mx 2+（m -3）x -3=0（m ≠0）是关于x 的一元二次方程，∴△=（m -3）2-4m ×（-3）=（m +3）2，∵（m +3）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x =()()332m m m --±+ ， ∴x 1=-3m，x 2=1， ∵m 为正整数，且方程的两个根均为整数，∴m =-1或-3．点睛: 本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．5．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ﹣2＝0…①（1）若x ＝﹣1是方程①的一个根，求m 的值和方程①的另一根；（2）对于任意实数m ，判断方程①的根的情况，并说明理由．【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.【解析】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m 的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断．(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1∴2--2=0． ∴∴另一根是2；(2)∵， ∴方程①有两个不相等的实数根．考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根6．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【答案】共有35名同学参加了研学游活动．【解析】试题分析：由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等量关系为：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数=3150，得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可．试题解析：∵100×30=3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．设九（1）班共有x人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x﹣30）]元，由题意得：x[100﹣2（x﹣30）]=3150，整理得x2﹣80x+1575=0，解得x1=35，x2=45，当x=35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意．当x=45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去．答：该班共有35名同学参加了研学旅游活动．考点：一元二次方程的应用．7．已知：关于x的方程x2－4mx＋4m2－1＝0.(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)若△ABC为等腰三角形，BC＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．2【答案】(1) 有两个不相等的实数根（2）周长为13或17【解析】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．试题解析：解：（1）∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣1）=4＞0，∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）∵△＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根．将x=5代入原方程，得：25﹣20m+4m2﹣1=0，解得：m1=2，m2=3．当m=2时，原方程为x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；当m =3时，原方程为x 2﹣12x +35=0，解得：x 1=5，x 2=7．∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17．综上所述：此三角形的周长为13或17．点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x =5求出m 值．8．已知:如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =cm ，6BC =cm.直线PE 从B 点出发，以2 cm/s 的速度向点A 方向运动，并始终与BC 平行，与线段AC 交于点E .同时，点F 从C 点出发，以1cm/s 的速度沿CB 向点B 运动，设运动时间为t (s) (05t <<) .(1)当t 为何值时，四边形PFCE 是矩形?(2)当ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍时，求出t 的值;【答案】（1）3011t =；（2）552t ±=。

一元二次方程培优(含答案)

一元二次方程培优卷【思维入门】1．若关于x 的一元二次方程的两根为x 1＝1，x 2＝2，则这个方程是 ( )A ．x 2＋3x －2＝0B ．x 2－3x ＋2＝0C ．x 2－2x ＋3＝0D ．x 2＋3x ＋2＝02．用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，此方程可变形为 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝4ac －b 24a 2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2a 2＝4ac －b 24a 2 3．一元二次方程2x 2－3x ＋1＝0的解为____．4．已知关于x 的一元二次方程2x 2－3kx ＋4＝0的一个根是1，则k ＝____．5．一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则a ＝____．6. 先化简，再求值：(x －1)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－1，其中x 为方程x 2＋3x ＋2＝0的根．【思维拓展】7．若关于x 的方程m (x ＋h )2＋k ＝0(m ，h ，k 均为常数，m ≠0)的解是x 1＝－3，x 2＝2，则方程m (x ＋h －3)2＋k ＝0的解为( ) A ．x 1＝－6，x 2＝－1B ．x 1＝0，x 2＝5C ．x 1＝－3，x 2＝5D ．x 1＝－6，x 2＝28．定义运算“★”：对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝a 2－3a ＋b ，如：3★5＝32－3×3＋5.若x ★2＝6，则实数x 的值是____．9．关于x 的一元二次方程为(m －1)x 2－2mx ＋m ＋1＝0.(1)求出方程的根；(2)m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？10．某文献对分式方程验根的归纳如下：“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．”请你根据对这段话的理解，解决下面问题：已知关于x的方程m－1x－1－xx－1＝0无解，方程x2＋kx＋6＝0的一个根是m.(1)求m和k的值；(2)求方程x2＋kx＋6＝0的另一个根．【思维升华】11．若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－5m＋6＝0的常数项为0，则m的值是()A．2 B．3C．2或3 D．012．若n(n≠0)是关于x的方程x2＋mx＋3n＝0的根，则m＋n的值是____．13．已知n为正整数，且n4＋2n3＋6n2＋12n＋25为完全平方数，则n＝____．14．若x2－||2x－1－4＝0，则满足该方程的所有根之和为____．15．若x＝－1是关于x的方程a2x2＋2 015ax－2 016＝0的一个根，则a的值为______．一元二次方程的解法【思维入门】1．若关于x 的一元二次方程的两根为x 1＝1，x 2＝2，则这个方程是 ( B )A ．x 2＋3x －2＝0B ．x 2－3x ＋2＝0C ．x 2－2x ＋3＝0D ．x 2＋3x ＋2＝02．用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，此方程可变形为 ( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝4ac －b 24a 2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2a 2＝4ac －b 24a 2 3．一元二次方程2x 2－3x ＋1＝0的解为__x 1＝1，x 2＝12__．4．已知关于x 的一元二次方程2x 2－3kx ＋4＝0的一个根是1，则k ＝__2__．5．一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则a ＝__1__．【解析】 ∵一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，∴a ＋1≠0且a 2－1＝0，∴a ＝1.6. 先化简，再求值：(x －1)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－1，其中x 为方程x 2＋3x ＋2＝0的根．解：原式＝(x －1)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x －1x ＋1＝(x －1)·x ＋1－x ＋1＝－x －1. 由x 2＋3x ＋2＝0，得x 1＝－1，x 2＝－2.当x 1＝－1时，原式无意义，所以x 1＝－1舍去．当x 2＝－2时，原式＝1.【思维拓展】7．若关于x 的方程m (x ＋h )2＋k ＝0(m ，h ，k 均为常数，m ≠0)的解是x 1＝－3，x 2＝2，则方程m (x ＋h －3)2＋k ＝0的解为( B ) A ．x 1＝－6，x 2＝－1 B ．x 1＝0，x 2＝5C．x1＝－3，x2＝5 D．x1＝－6，x2＝28．定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32－3×3＋5.若x★2＝6，则实数x的值是__－1或4__．9．关于x的一元二次方程为(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.(1)求出方程的根；(2)m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？解：(1)根据题意得m≠1，Δ＝(－2m)2－4(m－1)(m＋1)＝4，∴x1＝2m＋22()m－1＝m＋1m－1，x2＝2m－22()m－1＝1.(2)由(1)知x1＝m＋1m－1＝1＋2m－1，∵方程的两个根都是正整数，∴2m－1是正整数，∴m－1＝1或2.∴m＝2或3.10．某文献对分式方程验根的归纳如下：“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．”请你根据对这段话的理解，解决下面问题：已知关于x的方程m－1x－1－xx－1＝0无解，方程x2＋kx＋6＝0的一个根是m.(1)求m和k的值；(2)求方程x2＋kx＋6＝0的另一个根．解：(1)∵将分式方程m－1x－1－xx－1＝0去分母化成整式方程得(m－1)－x＝0，解得x＝m－1.又∵关于x的方程无解，∴x＝m－1是增根．∴m－1－1＝0，解得m＝2.∵方程x2＋kx＋6＝0的一个根是m，即x＝2.∴22＋2k＋6＝0.解得k＝－5.(2)x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3.【思维升华】11．若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－5m＋6＝0的常数项为0，则m的值是(B)A．2 B．3C．2或3 D．012．若n(n≠0)是关于x的方程x2＋mx＋3n＝0的根，则m＋n的值是__－3__．13．已知n为正整数，且n4＋2n3＋6n2＋12n＋25为完全平方数，则n＝__8__．【解析】易知n＝1，n＝2均不符合题意，所以n≥3，此时一定有(n2＋n＋2)2＝n4＋2n3＋5n2＋4n＋4＜n4＋2n3＋6n2＋12n＋25，(n2＋n＋4)2＝n4＋2n3＋9n2＋8n＋16≥n4＋2n3＋6n2＋12n＋25，而n4＋2n3＋6n2＋12n＋25为完全平方数，所以一定有n4＋2n3＋6n2＋12n＋25＝(n2＋n＋3)2，整理得n2－6n－16＝0，解得n＝8(负根n＝－2舍去)．2x－1－4＝0，则满足该方程的所有根之和为．14．若x2－||15．若x＝－1是关于x的方程a2x2＋2 015ax－2 016＝0的一个根，则a的值为__2__016或－1__．【解析】∵x＝－1是关于x的方程a2x2＋2 015ax－2 016＝0的一个根，∴将x＝－1代入方程得a2－2 015a－2 016＝0，因式分解得(a－2 016)(a＋1)＝0，可化为a－2 016＝0或a＋1＝0，解得a1＝2 016，a2＝－1，则a的值为2 016或－1.。

中考数学一元二次方程(大题培优)附答案解析

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg ，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg ，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg ，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg 时，用油的重复利用率为61.6%． ①润滑用油量为80kg ，用油量的重复利用率为多少？②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？【答案】（1）28（2）①76%②75，84% 【解析】试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；（2）①利用润滑用油量每减少1kg ，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案； ②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ，得出等式求出答案．试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg ）；（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%； ②设润滑用油量是x 千克，则 x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x ）]}=12，整理得：x 2﹣65x ﹣750=0，（x ﹣75）（x+10）=0，解得：x 1=75，x 2=﹣10（舍去）， 60%+1.6%（90﹣x ）=84%，答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．考点：一元二次方程的应用2．已知关于x 的一元二次方程()2204mmx m x -++=. （1）当m 取什么值时，方程有两个不相等的实数根；（2）当4m =时，求方程的解.【答案】（1）当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）1x =，234x =. 【解析】【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，>0∆，代入求m 取值范围即可，注意二次项系数≠0；（2）将4m =代入原方程，求解即可. 【详解】（1）由题意得：24b ac ∆=- =()22404mm m+->，解得1m >-. 因为0m ≠，即当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根.（2）把4m =带入得24610x x -+=，解得1x =，2x =. 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.3．用适当的方法解下列一元二次方程：（1）2x 2＋4x －1＝0；（2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0.【答案】（1）x 1＝－1x 2＝－12）y 1＝－14，y 2＝32.【解析】试题分析：（1）根据方程的特点，利用公式法解一元二次方程即可；（2）根据因式分解法，利用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1 ∴△=b 2-4ac=16+8=24＞0∴x=2b a-±=41222-=-±⨯∴x 1＝－1，x 2＝－1 （2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0 [(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0 即4y+1=0或-2y+3=0 解得y 1＝－14，y 2＝32.4．已知关于x 的方程x 2﹣2x +m ﹣2＝0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)如果m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．【答案】(1)m＜3；(2)m＝2．【解析】【分析】（1）根据题意得出△＞0，代入求出即可；（2）求出m=1或2，代入后求出方程的解，即可得出答案．【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根．∴△＝4﹣4(m﹣2)＞0．∴m＜3；（2）∵m＜3 且 m为正整数，∴m＝1或2．当 m＝1时，原方程为 x2﹣2x﹣1＝0．它的根不是整数，不符合题意，舍去；当 m＝2时，原方程为 x2﹣2x＝0．∴x(x﹣2)＝0．∴x1＝0，x2＝2．符合题意．综上所述，m＝2．【点睛】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出m的值和m的范围是解此题的关键．5．关于x的一元二次方程．（1）.求证：方程总有两个实数根；（2）.若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）-1.【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根.(2)根据题意利用十字相乘法解方程，求得，再根据题意两个根都是正整数，从而可以确定的取值范围，即求出吗的最小值.【详解】(1)证明：依题意，得．，∴．∴方程总有两个实数根．由．可化为：得，∵方程的两个实数根都是正整数，∴．∴．∴的最小值为．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键.6．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？【答案】(1)2000；(2)2米【解析】【分析】（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程【详解】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，根据题意得：4600022000x-﹣46000220001.5x-= 4解得：x=2000，经检验，x=2000是原方程的解;答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，（20﹣3x）（8﹣2x）=56解得：x=2或x=263（不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米．7．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【解析】【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1﹣x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．8．阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．【答案】（1）换元，降次；（2）x1=﹣3，x2=2．【解析】【详解】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想;（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．9．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根．【答案】（1）证明见解析；（2）x1=﹣，x2=﹣1或【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程的判别式△=b2﹣4ac的结果判断即可，当△＞0时，有两个不相等的实数根，当△=0时，有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-ba，x1•x2=ca，表示出两根的关系，得到x1，x2异号，然后根据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解.试题解析：（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0，∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2，∴△=b2﹣4ac=（3﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣35）2+365，∴△＞0，则方程有两个不相等的实数根；（2）∵x1•x2=ca=﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3，∴x1，x2异号，又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2，若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=﹣2，∴m﹣3=﹣2，即m=1，方程化为x2+2x﹣1=0，解得：x1=﹣x2=﹣1，若x1＜0，x2＞0，上式化简得：﹣（x1+x2）=﹣2，∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5，方程化为x2﹣2x﹣25=0，解得：x1=1，x210．若两个一次函数的图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“x牵手点”．（1）一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为；一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，则a＝；（2）已知一对“x牵手函数”：y＝ax+1与y＝bx﹣1，其中a，b为一元二次方程x2﹣kx+k﹣4＝0的两根，求它们的“x牵手点”．【答案】（1）（1，0），a＝﹣2；（2）“x牵手点”为（12-，0）或（12，0）.【解析】【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a的值；（2）根据“x牵手函数”的定义得到a+b=0，根据根与系数的关系求得k=0，可得方程x2-4=0，解得x1=2，x2=-2，再分两种情况：①若a=2，b=-2，②若a=-2，b=2，进行讨论可求它们的“x牵手点”．【详解】解：（1）当y＝0时，即x﹣1＝0，所以x＝1，即一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），由于一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，所以0＝a+2，解得a＝﹣2；（2）∵y＝ax+1与y＝bx﹣1为一对“x牵手函数”∴11a b-=，∴a+b＝0．∵a，b为x2﹣kx+k﹣4＝0的两根∴a+b＝k＝0，∴x2﹣4＝0，∴x1＝2，x2＝﹣2．①若a＝2，b＝﹣2则y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1的“x牵手点”为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭；②若a＝﹣2，b＝2则y＝﹣2x+1与y＝2x﹣1的“x牵手点”为（12，0 ）∴综上所述，“x牵手点”为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭或（12，0）【点睛】本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用．。

初三数学一元二次方程组的专项培优易错难题练习题附答案解析

初三数学一元二次方程组的专项培优易错难题练习题附答案解析一、一元二次方程1,已知关于x的方程x2- (2k+1) x+k2+i = 0.(1)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；(2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2,求该矩形的对角线L的长.【答案】(1)k> 3 ；(2) A.【解析】【分析】(1)根据关于x的方程x2—(2k+1)x+k2 + 1=0有两个不相等的实数根，得出 ^〉。

，再解不等式即可；(2)当k=2时，原方程x2-5x+5=0,设方程的两根是m、n,则矩形两邻边的长是m、n, 利用根与系数的关系得出m+n=5, mn=5,则矩形的对角线长为J m2n2,利用完全平方公式进行变形即可求得答案 . 【详解】(1) •••方程x2—(2k+1)x+ k2+1 = 0有两个不相等的实数根，A= [-(2k+1)]2-4X 1 x(史1)=4k-3>0, ,3. . k > 一,4(2)当k=2时，原方程为x2- 5x+ 5 = 0, 设方程的两个根为m, n,• - m + n= 5, mn= 5,矩形的对角线长为：Vm2~n2 jm n 2mn J15 .【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1) ^〉。

时，方程有两个不相等的实数根；( 2) 4=0时，方程有两个相等的实数根；(3) 4〈0时，方程没有实数根.2.父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们.(1)经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；(用不等式解答)(2)后来学生会了解到通过大众点评”或美团”同城配送会在(1)中花店最高售价的基础上降价25%,学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程5中，大众点评网上的购买价格比原有价格上涨一m%,购买数量和原计划一样：美团”网29上的购头价格比原有价格下降了一m元，购买数量在原计划基础上增加15m%,最终，在20【答案】(1) 120; (2) 20. 【解析】试题分析：(1)本题介绍两种解法：解法一：设标价为 x 元，列不等式为 0.8x?80W7680解出即可；解法二：根据单价=总价一数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；(2)先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a 个礼盒，表示在大众点评120a (1-25%) (1+3m%),在美团”网上的购买实际消费总额：a[120 (1 - 25%) - -9-m] (1+15m%)；根据在两个网站的实际消费总额比原计划20的预算总额增加了一 m%'列方程解出即可.2试题解析：(1)解：解法一：设标价为 x 元，列不等式为 0.8x?80W7680 x<120解法二：7680+ 80+0.8=96 + 0.8=12兆), 答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；(2)解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a 个礼盒，由题意得：120X0由(1 — 25%) (1 + 5m%) +a[120 X 0.81 — 25%) - -m] (1+15m%) =120 x 0282 20(1 — 25%) X2 (1+ — m%)),即 72a (1+ — m%) +a (72 — — m) ( 1+15m%) =144a 2 220(1+ 15m%),整理得：0, 0675m 2-1.35m=0, m 2- 20m=0,解得：m 1=0 (舍)2m 2=20.答：m 的值是20.点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出大众点评”或美团”实际消费总额是解题关键.3.按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出而的值.两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了一 m%,求出m 的值.2网上的购买实际消费总额:【答案】4. .. 1.7 X 35=59.5 1.7 X 80=136 151，这家酒店四月份用水量不超过m吨(或水费是按y=1.7x来计算的)，五月份用水量超过m吨(或水费是按F =1一■工-丽来计算的)w则有151=1.7X80+(80—m) X--100即m2-80m+1500=0解得m〔二30, m2=50.又..•四月份用水量为35吨，m1=30<35,「51=30舍去.m=50【解析】5.观察下列一组方程：①x2 x 0;②x2 3x 2 0;③x2 5x 6 0;④x2 7x 12 0；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为连根一元二次方程1若x2kx 56 0也是连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；2请写出第n个方程和它的根.【答案】(1) x1 = 7, x2= 8. (2) x1=n—1, x2= n.【解析】【分析】(1)根据十字相乘的方法和连根一元二次方程”的定义，找到56是7与8的乘积，确定k值即可解题，(2)找到规律，十字相乘的方法即可求解.【详解】解：(1)由题意可得k=— 15,则原方程为x2—15x+56=0,则(x—7)(x—8)=0,解得x1=7, x2=8.(2)第n 个方程为x2-(2n- 1)x+ n(n -1)=0, (x- n)(x— n + 1)=0,解得x1 = n_1, x2= n. 【点睛】本题考查了用因式分解法求解一元二次方程，与十字相乘联系密切，连根一元二次方程是特殊的十字相乘，中等难度，会用十字相乘解题是解题关键.2 _ k6.关于x的万程kx k 2 x — 0有两个不相等的实数根.41求实数k的取值范围；2是否存在实数k ,使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.【答案】(1) k 1且k 0； (2)不存在符合条件的实数k,使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根.【解析】【分析】1由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式V 0,由此可以得到关于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范围.2首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k的等式，解出k值，然后判断k值是否在1中的取值范围内.【详解】解：1依题意得V (k 2)2 4k k 0,k 1 ,又Q k 0,k的取值范围是k 1且k 0；2解：不存在符合条件的实数k ,使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，2 k理由是：设万程kx k 2 x - 0的两根分别为x1，X2,4k 2x1 x2由根与系数的关系有：k ,1x1 x24又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，由1知，k 1,且k 0,4 “人什一k —不符合题意，3因此不存在符合条件的实数k ,使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根.【点睛】本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。

一元二次方程达标训练卷(培优题)

一元二次方程达标训练卷（培优题）一．选择题（共6小题）1．若x2+xy+y＝14，y2+xy+x＝28，则x+y的值为（）A．﹣7B．6C．﹣7或6D．﹣6或72．若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则m2﹣m+2020的值为（）A．2019B．2020C．2021D．20223．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：如图，画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，在斜边AB上截取BD＝，则该方程的一个正根是（）A．AC的长B．BC的长C．CD的长D．AD的长4．关于x的一元二次方程ax2+bx＝c（ac≠0）一个实数根为2022，则方程cx2+bx＝a一定有实数根（）A．2022B．C．﹣2022D．﹣5．满足（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6的所有实数对（x，y），使取最小值，此最小值为（）A．B．C．D．6．可以用如图所示的图形研究方程x2+ax＝b2的解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝b，以点A为圆心作弧交AB于点D，使AD＝AC，则该方程的一个正根是（）A．CD的长B．BD的长C．AC的长D．BC的长二．填空题（共7小题）7．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根是2m+1和m﹣4，则＝．8．已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+4m2﹣2019m﹣2023的值为．9．已知m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则m3﹣10m＝．10．若方程x2﹣6x﹣k﹣1＝0与x2﹣kx﹣7＝0仅有一个公共的实数根，则k的值为．11．如果多项式9x2+mx+49是一个完全平方式，则常数m＝．12．已知，则（a+b）•c＝．13．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax1+b）2．其中正确的．A．只有①②④B．只有①②③C．①②③④D．只有①②三．解答题（共16小题）14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，连接CD．以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点E，连接CE．（1）求∠DCE的度数．（2）设BC＝a，AC＝b．①线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根吗？说明理由．②若D为AE的中点，求的值．15．观察下面方程的解法x4﹣13x2+36＝0解：原方程可化为（x2﹣4）（x2﹣9）＝0∴（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）＝0∴x+2＝0或x﹣2＝0或x+3＝0或x﹣3＝0∴x1＝2，x2＝﹣2，x3＝3，x4＝﹣3你能否求出方程x2﹣3|x|+2＝0的解？16．在一次数学兴趣小组的活动课上，师生有下面的一段对话，请你阅读完后再解答问题．老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：（x2﹣x）2﹣（x2﹣x）+12＝0学生甲：老师，这个方程先去括号，再合并同类项，行吗？老师：这样，原方程可整理为x4﹣2x3﹣7x2+8x+12＝0，次数变成了4次，用现有知识无法解答．同学们再观察观察，看看这个方程有什么特点？学生乙：老师，我发现x2﹣x是整体出现的，最好不要去括号！老师：很好，我们把x2﹣x看成一个整体，用y表示，即x2﹣x＝y，那么原方程就变为y2+8y+12＝0．全体学生：（同学们都特别高兴）噢，这不是我们熟悉的一元二次方程吗？！老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然一元二次方程y2+8y+12＝0的根是y1＝6，y2＝2，那么就有x2﹣x＝6或x2﹣x＝2．学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根x1＝3，x2＝﹣2，x3＝2，x4＝﹣1，嗬，有这么多根啊！老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法．在这里使用它的最大妙处在于降低了原方程的次数，这是一种重要的转化方法．全体同学：OK，换元法真神奇！现在，请你用换元法解下列分式方程：．17．多项式4a2+1加上一个单项式后，正好成为一个完全平方式，那么所加上的单项式可能有哪些？请你写出所有可能的单项式．18．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长．19．今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售．（1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？（2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在原售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售m%；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元，求m的值．20．已知：关于x的方程x2+（8﹣4m）x+4m2＝0．（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时方程的根．（2）问：是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由．21．甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有81人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？22．已知一元二次方程x2﹣2（m+2）x+2m2﹣1＝0有两个根x1和x2，并且，求m 的值．23．已知非零实数a，b满足a2+ab+b2+a﹣b+1＝0，求的值．24．方程x2﹣ax+4a＝0仅有整数根，求a．25．实数a，b，c满足：＝，求abc的值．26．设a+b+c+3＝2（），求a2+b2+c2的值．27．若关于x的一元二次方程mx2+5（2m﹣3）x﹣150＝0有两个不等负整数根，求整数m 的值．28．如图，一个边长为8m的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形ABCD中，点G，E，F分别在CD，AD，AB上，且DG＝1m，AE＝AF＝x，在△AEF，△DEG，五边形EFBCG三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元．（1）当x＝2时，小正方形ABCD种植花卉所需的费用；（2）试用含有x的代数式表示五边形EFBCG的面积；（3）当x为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？29．农历虎年之际，某社区为了突出浓浓年味，计划购买A与B两种贴花共500张．已知A 贴花的售价是每张15元，B贴花的售价是每张30元，共花费9000元．（1）求计划购买多少张B贴花？（2）为了节省费用，社区工作人员最终在网上购买，A贴花每张售价减少了，B贴花每张售价也便宜了m元．现在在（1）的基础上购买B贴花的数量增加了m张，总数量不变，并且总费用比原计划减少了（2000+10m）元，求m的值．。

九年级数学上册培优题一元二次方程

一元二次方程一、选择题1、一元二次方程042=++c x x 中,c >0,该方程的根的情况是: ( )A ．没有实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．不能确定2、如果关于x 的方程 kx 2 －2x －1=0有两个实数根,那么k 的取值范围是（）A ．01≠-≥k k 且B ．01≠->k k 且C ．1≥kD ．1>k3、下列方程中,无实数根的方程是（）A .012=+xB . 02=+x xC . 012=-+x xD . 02=-x x4、k 为实数,则关于x 的方程01)12(2=-+++k x k x 的根的情况是（）A .有两个不相等的实数根；B ..有两个相等的实数根；C .没有实数根；D .无法确定．5、关于x 的方程(3－a )x 2－2x ＋1＝0有实数根,则a 满足 ( )A . a ≠3B . a ≥2C . a ＞2且a ≠3D . a ≥2且a ≠37、关于x 的方程(a －5)2x －4x －1＝0有实数根,则a 满足（）A ．a ≥1B ．a ＞1且a ≠5C ．a≥1且a ≠5D ．a ≠58、一元二次方程042=-x 的解是（）.A ．2,221-==x xB ．2-=xC ．2=xD ．0,221==x x7、已知方程x 2-3 2 x +1=0,求作一个一元二次方程使它的根分别是原方程各根的倒数,则这个一元二次方程是（）A ．x 2+3 2 x +1=0B ．x 2+3 2 x -1=0C ．x 2-3 2 x +1=0D ．x 2-3 2 x -1=08、m 是方程x 2+x -1=0的根,则式子m 3+2m 2+2009的值为( )A .2008B .2009C .2010D .20119．若a 为方程100)17(2=-x 的一根,b 为方程(y -3)2=17的一根,且a 、b 都是正数,则a -b 的值为（）A ．13B ．7C ．－7D ． -1310、若关于x 的一元二次方程0)1(22=-+-k x x k 的一个根为1,则k 的值为 ( )A ．－1B ．0C ．1D ．0或111、用配方法解方程x 2－2x －5=0时,原方程应变形为（）A .(x +1)2=6B . (x －1)2=6C . (x +2)2=9D . (x －2)2=912、已知m 是方程x 2－2x －5＝0的一个根,则2m 2－4m 的值是A .5B .10C .－5D .－1013、一元二次方程x 2=2x 的根为（）A .2=xB .0=xC .2±=x D. 2,021==x x14、一元二次方程042=-x 的解是（）.A ．2,221-==x xB ．2-=xC ．2=xD ．0,221==x x15、方程032=-x 的根是（）A ．3=xB ．3,321-==x xC ．3=x D .3,321-==x x 16、一元二次方程032=-x x 的解是( )A ．0=xB ．31,321==x x C ．0,321==x x D ．0=x 17、方程12)12(-=-x x x 的解是（）A .21=xB . 31,021==x xC . 21,021==x x D . 1=x 18、已知一元二次方程2x 2+5x -1=O 的两根为（）A .25 B . 25- C . 21 D . 21- 19、根据下列表格中的对应值,•判断方程02=++c bx ax （a ≠0,a ,b ,c 为常数）的根的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．1或220、下列哪一个数与方程1693=-x 的根最接近（）A .2B .3C .4D .521、商品原价289元,经连续两次降价后售价为256元,设平均每降价的百分率为x ,则下面所列方程正确的是( )A .256)1(2892=-xB .289)1(2562=-xC .256)21(289=-xD .289)21(256=-x22、某校九年级学生毕业时,每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送了2450张相片,如果全班有x 名学生,根据题意,列出方程为( )A .2450)1(=-x xB . 2450)1(=+x xC . 2450)1(2=+x xD . 23、下列命题:①若b =2a +21c ,则一元二次方程02=++c bx ax 必有一根为-2； ②若ac<0,则方程02=++a bx cx 有两个不等实数根；③若042=-ac b ,则方程02=++a bx cx 有两个相等实数根.其中正确的个数是（）A ．O 个B .l 个C .2个D ．3 个21、设a ,b 是方程020092=-+x x 的两个实数根,则b a a ++22的值为（）A ．2006B ．2007C ．2008D ．2009 22、若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0,则m 的值等于（）A .1B .2C .1或2D .024、下列方程是关于x 的一元二次方程的是（） x 6.17 6.18 6.19 6.20 y=ax 2+bx +c 0.02 －0.01 0.02 0.04 24502)1(=-x xA ．02=xB ．2)1(x x x =-C ．12=x xD ．1)1(2=-x 25、若x ＝3是方程x 2－3mx ＋6m ＝0的一个根,则m 的值为（）A ．1B ． 2C ．3D ．426、已知1=x 是关于x 的一元二次方程01)1(22=-+-x k x k 的根,则常数k 的值为＿＿＿．27、用配方法解方程x 2＋x －1＝0,配方后所得方程是（）A ．(x －12)2＝34B ．(x ＋12)2＝34C ．(x ＋12)2＝54D ．(x －12)2＝54 28、一元二次方程x 2=2x 的根为( )A .2B .OC .l 或2D .O 或229、对于一元二次方程ax 2+bx +c =O(a ≠0),下列说法:①若c +c =-1,则方程ax 2+bx +c =O 一定有一根是x =1;②若c =a 3,b =2a 2,则方程ax 2+bx +c =O 有两个相等的实数根；③若a <0,b <0,c >0,则方程cx 2+bx +a =0必有实数根；④若ab-bc =0且c <-l ,则方程cx 2+bx +a =0的两实数根一定互为相反数．其中正确的结论是( )A ．①②③④B ．①②④C ．①③D ．②④30、已知x =2是关于x 的一元二次方程ax 2-3bx -5=0的一个根,则4a -6b 的值是( )A .4B .5C .8D .1031、对于一元二次方程ax 2+bx +c =O(a ≠0),下列说法:①若a +c =0,方程ax 2+bx +c =O 必有实数根；②若b 2+4ac <0,则方程ax 2+bx +c =O 一定有实数根；③若a -b +c =0,则方程ax 2+bx +c =O 一定有两个不等实数根；④若方程ax 2+bx +c =O 有两个实数根,则方程cx 2+bx +a =0一定有两个实数根．其中正确的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①③④32、下列关于 x 的一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是( )A .0122=-+x xB .01442=+-x xC .032=+-x xD . 042=+x二、填空题1、已知关于x 的方程x 2+kx -3=0一个根是-2,则k 的值为．2、已知m 、n 是方程020*******=+-x x 的两根,则)20052004(2+-n n 与)20052004(2+-m m 的积是3、把)14(2+-x x 化为k h x ++2)(（其中h 、k 是常数）的形式是 __4、方程x 2－2x －1=0的两个实数根分别为x 1,x 2,则(x 1－1)(x 2－1)=5、若方程04)(3)(22222=-+++y x y x ,则=+22y x . 6、方程x x =-2的解是．7、若方程0522=--kx x 的一个根是-1,则k = ．8、已知m ,n 是方程0122=--x x 的两根,且8)763)(42(22=--+-n n a n m ,则a 的值等于 .9、等腰△ABC 两边的长分别是一元二次方程0652=+-x x 的两个解,则这个等腰三角形的周长是10、已知x =2是方程02232=-a x 的一个根,则2a +1= ． 11、解方程:x 2=3x ,x = ．12、已知关于x 的一元二次方程,（m －1）x 2+x +1=0,有实数根,则m 的取值范围是 .13、已知关于x 的一元二次方程ax 2-5x +1=0有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是_____.14、拟已知关于x 的一元二次方程02)1(2=+--x k x k 有解,求k 的取值范围．三、解答题1、已知:关于x 的方程041)1(22=++-m x m x （1）当m 取何值时,方程有两个实数根？（2）为m 选取一个合适的整数,使得方程有两个不相等的整数根,并求出这两个根。

完整版)一元二次方程能力拔高题

完整版)一元二次方程能力拔高题一元二次方程培优专题复考点一、概念一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。

其中，一般表达式为ax²+bx+c=0（a≠0），难点在于理解“未知数的最高次数是2”，即该项系数不为0，未知数指数为2.若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A、3(x+1)=2(x+1)B、2x+11=2x²C、2x/x-2=-2/xD、x²+2x=x²+1变式：当k时，关于x的方程kx+2x=x+3是一元二次方程。

例2、方程(m+2)x²=mx+1的一个根为x=1/2.针对练：1、方程8x=7的一次项系数是8，常数项是7.2、若方程(m-2)x²+22mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为-11/2.3、若方程(m-1)x+mn²/m·x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是m≠0且m≠1.4、若方程nx²+x-2x=0是一元二次方程，则下列不可能的是m=2,n=1.考点二、方程的解方程的解是指使方程两边相等的未知数的值。

应用上，可以利用根的概念求代数式的值。

典型例题：例1、已知2y+y²-3的值为2，则4y+2y²+1的值为3.例2、关于x的一元二次方程(a-2)x²+x+a-4=0的一个根为x=2，则a的值为5.例3、已知关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为x=1.例4、已知a,b是方程x²-4x+m=0的两个根，b,c是方程y²-8y+5m=0的两个根，则m的值为10.针对练：1、已知方程x+kx-10=0的一根是2，则k为-5，另一根是-2.2、已知关于x的方程x+kx-2=0的一个解与方程x²+3x-10=0的两个解之和相等，则k的值为-2.3、已知m是方程x²-x-1=0的一个根，则代数式m²-m-1=0.4、已知a是方程x²-3x+1=0的根，则2a-6=0，a=3.5、方程(a-b)x+(b-c)x+c-a=0的一个根为x=1.22x+1=3x的解相同。

人教版2020九年级数学上册第二十一章一元二次方程自主学习培优提升训练题(附答案详解)

人教版2020九年级数学上册第二十一章一元二次方程自主学习培优提升训练题（附答案详解）1．将关于x 的方程x 2﹣4x ﹣2=0进行配方，正确的是( ) A ．(x ﹣2)2=2 B ．(x+2)2=2 C ．(x+2)2=6 D ．(x ﹣2)2=62．一元二次方程22(1)3x x --=+化成一般形式20ax bx c ++=后，若2a =，则b ，c的值是（） A ．b=3 c=5B ．b=-3c=5C ．b=-3c=-5D ．b=3 c=-53．某花圃用花盆培育某种花卉，经过试验现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元，要使每盆的盈利为10元，设每盆增加x 株花苗，则（） A ．()()330.510x x +-= B ．()()330.510x x -+= C ．()()330.510x x --=D ．()()330.510x x ++=4．有两个关于x 的一元二次方程：M ：20ax bx c ++= N ：20cx bx a ++=，其中0a c +=，以下列四个结论中，错误的是（）A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数根；B ．如果方程M 有两根符号异号，那么方程N 的两根符号也异号；C ．如果5是方程M 的一个根，那么15是方程N 的一个根；D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必定是1x = 5．下列方程中一定是一元二次方程的是（） A ．ax 2－bx ＝0 B ．2x 2＋－2＝0C ．(x －2)(3x+1)＝0D ．3x 2－2x ＝3(x ＋1)(x －2)6．已知关于x 的一元二次方程x 2-4x+k=0有一个根是5,则该方程的另一个根是( ) A ．-1B ．0C ．1D ．-57．方程22x x =的根是（） A ．2x =B ．x=0C ．10x =，22x =D ．10x =，22x =-8．如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0的两根分别为x 1=3，x 2=1，那么这个一元二次方程是（） A ．x 2+3x+4=0B ．x 2﹣4x+3=0C ．x 2+4x ﹣3=0D ．x 2+3x ﹣4=09．有x 支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（） A ．()1x x 1452-= B ．()1x x 1452+= C ．()x x 145-= D ．()x x 145+=10．原价为a 元的某商品经过两次降价后，现售价b 元，如果每次降价的百分比都为x ，则下列各式正确的是（）A ．(12)a x b -=B ．2(1)a x b -= C ．(12)b x a += D ．2(1)b x a += 11．一件商品提价25%后发现销路不是很好，欲恢复原价，则应降价（） A ．40%B ．20%C ．25%D ．15%12．一元二次方程()2123x x -=+的根的情况是 ( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根D ．没有实数根13．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +k ﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是____．14．已知(a-1)x 2-5x+3=0是一个关于x 的一元二次方程,则不等式3a+6>0的解集_______. 15．方程3x 2﹣x ＝0的解为_____． 16．若()222136x y +-=，则22x y +=________．17．方程（x ﹣2）（x+1）=x+1的解是_____．18．已知一元二次方程032=++px x 的一个根为3-，则另一个根为_______． 19．已知关于x 的方程2x 2+ax+a ﹣2=0．当该方程的一个根为1时，则a 的值为_____，该方程的另一根为_____．20．若x=a 是方程x 2 +x−1=0的一个实数根，则代数式3a 2+3a−5的值是______. 21．已知一元二次方程的一个根是﹣3，则这个方程可以是________（填上你认为正确的一个方程即可）22．某款手机连续两次降价，售价由原来的1100元降到了891元．设平均每次降价的百分率为x ，则可列出方程_________________________________． 23．已知方程x 2+kx ﹣6＝0有一个根是2，则k ＝_____，另一个根为_____． 24．实数x ，y ，z 满足5x y z ++=，3xy yz zx ++=，则z 的最大值是______． 25．一个直角三角形的两条直角边的和是14cm ，面积是24cm ．求两条直角边的长．26．选取二次三项式2(0)ax bx c a ++≠中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：2242(2)2x x x -+=--；②选取二次项和常数项配方：2242(2)(224)x x x x -+=-+-或2242(2)(422)x x x x -+=+-+；③选取一次项和常数项配方：22242(22)x x x x -+=--．根据上述材料解决下面问题：（1）写出284x x -+的两种不同形式的配方．（2）已知22330x y xy y ++-+=，求y x 的值．（3）已知a 、b 、c 为三条线段，且满足()222214(23)a b c a b c ++=++，试判断a 、b 、c 能否围成三角形，并说明理由．27．“中秋节”是我国的传统佳节，中秋赏月吃月饼．某蛋糕店销售“杏花楼”和“元祖”两个品牌的月饼，每个“杏花楼”月饼的售价是15元，每个“元祖”月饼的售价是12元．（1）8月份，两个品牌的月饼一共销售180个，且总销售额不低于2460，则卖出“杏花楼”月饼至少多少个？（2）9月份，月饼大量上市，受此影响，“杏花楼”月饼的售价降低了a %（a %＜30%），销售量在八月份的最低销售量的基础上增加了5a 个，“元祖”月饼的售价降低320a 元，销售量在八份的最高销售量的基础上增加了52a %，结果9月份的总销售额比8月最低销售额增加了1020元，求a 的值．28．小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先降旗杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1米，然后将绳子下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米，你能帮它计算一下旗杆的高度．29．a 、b 、c 都是实数，满足()22280a a b c c -+++=，ax 2+bx +c ＝0，求代数式x 2+2x +1的值．30．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2m －1)x ＋m 2＝0有两个实数根x 1和x 2．（1）求实数m 的取值范围；（2）当12x x =时，求m 的值． 31．（1）已知一组数据8,3,m,2的众数是3，求出这组数据的平均数；（2）解方程：2430x x ++=. 32．用适当的方法解方程： x 2－12x －9964＝033．若两个一次函数的图象与x 轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x 牵手函数”，这个交点为“x 牵手点”．（1）一次函数y ＝x ﹣1与x 轴的交点坐标为；一次函数y ＝ax +2与一次函数y ＝x ﹣1为一对“x 牵手函数”，则a ＝；（2）已知一对“x 牵手函数”：y ＝ax +1与y ＝bx ﹣1，其中a ，b 为一元二次方程x 2﹣kx +k ﹣4＝0的两根，求它们的“x 牵手点”． 34．解方程：()21230x x +-=()2 224x x +=-．35．用适当的方法解下列方程（1）x 2﹣3x +2＝0．（2）（x ﹣2）2﹣3＝0． 36．先化简，再求值：2221164816xx x x x x ⎛⎫-÷ ⎪--++⎝⎭，其中x 是方程2680x x -+=的一个根．参考答案1．D 【解析】x 2﹣4x ﹣2=0，移项，得x 2﹣4x =2，配方，得x 2﹣4x +22=2+22，即（x －2）2=6. 故选D. 2．D 【解析】试题分析：要确定二次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式． ∵一元二次方程22(1)3x x --=+化成一般形式为-2x 2+3x-5=0， ∴二次项系数和常数项分别为3、-5．故选D ．考点：一元二次方程的一般形式． 3．A 【解析】【分析】根据每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0．5元，可得增加x 株花苗时，平均单株盈利为()30.5-x ，再用株数乘以单株盈利等于10元，建立方程即可．【详解】由题意得增加x 株花苗时，平均单株盈利为()30.5-x ，每盆的盈利为10元，则()()330.5=10+-x x 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，求出单株盈利的表达式是解题的关键． 4．D 【解析】分析：利用根的判别式判断A;利用根与系数的关系判断B;利用一元二次方程的解的定义判断C 与D.详解：A 、如果方程M 有两个相等的实数根,那么△=b²-4ac=0,所以方程N 也有两个相等的实数根,结论正确,不符合题意;B 、如果方程M 的两根符号相同,那么方程N 的两根符号也相同,那么△=b²-4ac ≥0.0ca>,所以a 与c 符号相同,0ac>,所以方程N 的两根符号也相同,结论正确,不符合题意; C 、如果5是方程M 的一个根,那么25a+5b+c=0,两边同时除以25,得110255c b a ++=,所以15是方程N 的一个根,结论正确,不符合题意; D 、如果方程M 和方程N 有一个相同的根,那么,,由a≠c,得x²=1,x=±1,结论错误,符合题意;故选D.点睛：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系: △>0⇔方程有两个不相等的实数根; △=0⇔方程有两个相等的实数根; △<0⇔方程没有实数根.也考查了根与系数的关系,一元二次方程的解的定义. 5．C 【解析】试题分析：一元二次方程是指只含有一个未知数，且未知数最高次数为2次的整式方程．A 、方程中a 有可能为零；B 、中含有分式；C 、正确；D 、经化简整理后未知数的最高次数为1次．考点：一元二次方程的定义 6．A 【解析】【分析】利用根与系数的关系求出m 的值，确定出另一根即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程x 2-4x+k =0的一个根x=5，设另一根为a ， ∴x+a=4，即5＋a=4 解得：a=-1 故选：A ．【点睛】此题考查了根与系数的关系，弄清一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．7．C 【解析】方程变形得：x 2−2x=0，分解因式得：x(x−2)=0，可得：x=0或x−2=0，解得：x 1=0，x 2=2. 故选C. 8．C 【解析】试题分析：根据根与系数的关系，直接代入计算即可．解：∵关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0的两根分别为x 1=3，x 2=1， ∴3+1=﹣p ，3×1=q ， ∴p=﹣4，q=3，故选B ．考点：根与系数的关系． 9．A 【解析】【详解】∵有x 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场， ∴共比赛场数为12x （x ﹣1）， ∴共比赛了45场， ∴12x （x ﹣1）=45，故选A ． 10．B ．【解析】试题分析：设平均每次降价的百分数为x%，依题意，得两次降价后的售价为2(1)a x b -=，故选B ．考点：由实际问题抽象出一元二次方程． 11．B 【解析】不妨把原价看做单位“1”，设应降价，则提价25%后为1+25%，再降价后价格为．欲恢复原价，则可列方程为，解得，故选B ．12．A 【解析】【分析】先将一元二次方程化成一般式后，再求根的判别式，即可确定根的情况．【详解】解：原方程可化为：2420x x --=，1,4,2a b c ∴==-=-()2441(2)240∴∆=--⨯⨯-=> ∴方程有两个不相等的实数根．故选A ．【点睛】本题运用了根的判别式的知识点，当>0∆时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程没有实数根．把方程转化为一般式是解决问题的关键． 13．k ＜2．【解析】【分析】利用判别式的意义得到△=（-2）2-4（k-1）＞0，然后解不等式即可．【详解】根据题意得△＝（﹣2）2﹣4（k ﹣1）＞0，解得k ＜2．故答案为：k ＜2．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．14．a>-2且a≠1【解析】【分析】（a−1）x2−5x＋3＝0是一个关于x的一元二次方程，所以（a−1）x2是二次项a−1≠0，解得a≠1；解得不等式3a＋6＞0，则a＞−2，从而得到其解集是a＞−2且a≠1．【详解】∵（a−1）x2−5x＋3＝0是一个关于x的一元二次方程，∴（a−1）x2是二次项a−1≠0，∴a≠1，∵不等式3a＋6＞0，∴a＞−2，∴不等式3a＋6＞0的解集是a＞−2且a≠1．【点睛】要确定二次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．确定a≠1，结合不等式3a＋6＞0求出a的解集．一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx 叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．15．x1＝0，x2＝1 3【解析】【分析】提公因式x，可分解因式，解方程即可．【详解】解：3x2﹣x＝0，x（3x﹣1）＝0，x1＝0，x2＝13，故答案为：x 1＝0，x 2＝13．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，属于基础题，掌握提公因式法是关键． 16．7 【解析】【分析】移项后用分解因式法解方程即可求出结果. 【详解】解：∵()222136x y +-=，∴()2221360x y +--=，∴2222(1+6)(16)0x y x y +-+--=，即2222(+5)(7)0x y x y ++-=，∴22+50x y +=或2270x y +-=，∴22=5x y +-（不合题意，舍去），22=7x y +.故答案为：7. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握平方差分解因式的方法是求解的关键，本题的易错点是容易忽略22xy +的非负性，从而求出22x y +的两个值.17．x 1=﹣1，x 2=3【解析】（x ﹣2）（x+1）﹣（x+1）=0，（x+1）（x ﹣2﹣1）=0， x+1=0或x ﹣2﹣1=0，所以x 1=﹣1，x 2=3．故答案为：x 1=﹣1，x 2=3． 18．x=-1 【解析】试题分析：设方程的另一个根为x ，因为方程032=++px x 的一个根为3-，所以由根与系数的关系可得：x ．（-3）=3，所以x=-1．考点：根与系数的关系19．0,﹣1【解析】【分析】本题可以代入一个根，即可得出得到第出a，再次代入即可得到另一个根.【详解】当1代入，得a=0，得到方程2x2﹣2=0，得出答案为-1.【点睛】本题考查了元二次方程的解法，熟悉掌握概念是解决本题的关键.20．−2.【解析】【分析】把x=a代入已知方程可以求得a2+a=1，然后将其整体代入所求的代数式进行求值．【详解】依题意得a2+a−1=0，所以a2+a=1，故3a2+3a−5=3(a2+a)−5=3×1−5=−2，故答案是：−2.【点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于把x=a代入已知方程.21．x2+3x=0【解析】【分析】方程一个解为−3，假设另一个解为0，则方程可为x（x＋3）＝0，然后把方程化为一般式即可．【详解】解：一元二次方程的一个根是−3，则这个方程可以是x（x＋3）＝0，即x2＋3x＝0．故答案为x2＋3x＝0．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．22．1100（1-x）2=891．【解析】试题分析：根据平均降低率的公式：原来的售价×（1-x）2=现在的售价，故应列为1100（1-x）2=891．考点：一元二次方程的平均变化率问题．23．1 -3【解析】【分析】代入x＝2可求出k值，再利用根与系数的关系即可求出方程的另一根．【详解】解：将x＝2代入原方程，得：22+2k﹣6＝0，∴k＝1．设方程的另一个根为x1，根据题意得：2x1＝﹣6，∴x1＝﹣3．故答案为：1；﹣3．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，代入x＝2求出k值是解题的关键．24．13 3【解析】【分析】把x，y看成是一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系列出一元二次方程，然后由判别式得到z的取值范围，求出z的最大值．【详解】解：∵x＋y＝5−z，xy＝3−z(x＋y)＝3−z(5−z)＝z2−5z＋3，∴x、y是关于t的一元二次方程t2−(5−z)t＋z2−5z＋3＝0的两实根．∵△＝(5−z)2−4(z2−5z＋3)≥0，即3z2−10z−13≤0，(3z−13)(z＋1)≤0．∴−1≤z≤133，当 x ＝y ＝13时，z ＝133．故z 的最大值为 133．故答案为：133．【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系列出一元二次方程，然后由判别式求出z 的取值范围，确定z 的最大值．25．这两条直角边为6cm ，8cm ．【解析】【分析】设其中一条直角边长为未知数，表示出另一直角边长，根据面积为24列式求值即可．【详解】解：设其中一条直角边长为xcm ，则另一直角边长为（14﹣x ）cm ，得：12x （14﹣x ）=24，解得x 1=6，x 2=8．当x 1=6时，14﹣x=8；当x 2=8时，14﹣x=6；答：两条直角边的长分别为6cm ，8cm ．26．（1）详见解析；（2）1；（3）不能围成三角形，理由详见解析．【解析】【分析】（1）根据配方的概念，分别对一次项和常数项进行配方；（2）根据22330x y xy y ++-+=求出x 、y 的值，代入求解即可；（3）将原式进行转换，得出a 、b 、c 之间的等量关系，从而进行判断．【详解】（1）22284816164(4)12x x x x x -+=-+-+=--或2284(2)4x x x x -+=--．（2）22330x y xy y ++-+=，223(2)024y x y ⎛⎫∴++-= ⎪⎝⎭． 1x ∴=-，2y =．2(1)1y x ∴=-=．（3）不能，理由如下：原式变形：(222222141414494612)0a b c a b c ab ac bc ++-+++++=．()()()222222449691240a ab b a ac c b bc c ∴-++-++-+=．即222(2)(3)(32)0a b a c b c -+-+-=． 2b a ∴=，3c a =，32b c =．3a b a c ∴+==．∴a 、b 、c 三条线段不能围成三角形．【点睛】本题考查了整式的运算，根据题意理解新概念并掌握整式的运算，求解出未知数或者他们之间的等量关系是解题的关键．27．（1）卖出“杏花楼”月饼至少100个；（2）a 的值为20．【解析】【分析】（1）设卖出“杏花楼”月饼x 个，则卖出“元祖”月饼（180﹣x ）个，根据总价＝单价×数量结合总销售额不低于2460，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其中最小值即可得出结论；（2）根据总价＝单价×数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】（1）设卖出“杏花楼”月饼x 个，则卖出“元祖”月饼（180﹣x ）个，依题意，得：15x +12（180﹣x ）≥2460，解得：x ≥100．答：卖出“杏花楼”月饼至少100个．（2）依题意，得：15（1﹣a %）×（100+5a ）+（12﹣320a ）×（180﹣100）（1+52a %）＝2460+1020，整理，得：1.05a 2﹣72a +1020＝0，解得：a 1＝20，a 2＝3407（不合题意，舍去）．答：a 的值为20．【点睛】此题考查解决实际问题，根据题中的条件列不等式或是一元二次方程解答，正确理解题意是解题的关键.28．12【解析】【分析】设旗杆高度为x 米，根据勾股定理解答即可.【详解】设旗杆高为x 米，则绳长为(x ＋1)m ，根据勾股定理有(x ＋1)2＝x 2＋52，解得x ＝12.故答案是12.【点睛】本题考查了勾股定理以及一元二次方程的应用，解题的关键是运用勾股定理列出等量关系式.29．5【解析】【分析】利用非负数的性质求出a ，b ，c 的值，代入已知等式求出x 2+2x 的值，原式变形后代入计算即可求出值．【详解】根据题意得，220080a a b c c -=++=+=，，，解得a =2，b =4，c =−8，∴222480ax bx c x x ++=+-=，即2240x x +-=，解得224x x +=，∴22141 5.x x ++=+=【点睛】考查非负数的性质，以及代数式求值，注意整体代入法在解题中的应用.30．（1）14m ≤；（2）14【解析】试题分析：()1方程有两个实数根，0.∆≥即可求出实数m 的取值范围. ()212x x =，分两种情况讨论.试题解析：()1关于x 的一元二次方程()22210x m x m ＋－＋＝有两个实数根x 1和x 2．()222140.m m ∆=--≥ 解得：1.4m ≤ ()212x x =，可以分两种情况进行讨论.当12x x =时，()222140.m m ∆=--=解得：1.4m =当12x x =-时，120.x x +=12(21)0.b x x m a +=-=--=解得：1.2m = 而1.4m ≤不合题意，舍去. 12x x ∴=时，1.4m = 31．（1）4；（2）121,3x x =-=-.【解析】【分析】（1）根据众数的定义求出m,即可求出平均数；（2）根据因式分解求解即可.【详解】（1）解：∵一组数据8，3，m ，2的众数为3，∴3m =， ∴这组数据的平均数：833244+++=．（2）2430x x ++=.(x+3)（x+1）=0121,3x x =-=-．【点睛】本题考查的是平均数和解二次方程，熟练掌握众数和因式分解是解题的关键.32．x 1＝106，x 2＝－94【解析】【分析】把－9964分解成-106×94，用因式分解法求解即可. 【详解】∵x 2－12x －9964＝0，∴(x-106)(x+94)=0，∴x 1＝106，x 2＝－94.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.33．（1）（1，0），a ＝﹣2；（2）“x 牵手点”为（12-，0）或（12，0）. 【解析】【分析】（1）根据x 轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x 轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x 轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a 的值；（2）根据“x 牵手函数”的定义得到a+b=0，根据根与系数的关系求得k=0，可得方程x 2-4=0，解得x 1=2，x 2=-2，再分两种情况：①若a=2，b=-2，②若a=-2，b=2，进行讨论可求它们的“x 牵手点”．【详解】解：（1）当y ＝0时，即x ﹣1＝0，所以x ＝1，即一次函数y ＝x ﹣1与x 轴的交点坐标为（1，0），由于一次函数y ＝ax+2与一次函数y ＝x ﹣1为一对“x 牵手函数”，所以0＝a+2，解得a ＝﹣2；（2）∵y ＝ax+1与y ＝bx ﹣1为一对“x 牵手函数” ∴11a b-=， ∴a+b ＝0．∵a ，b 为x 2﹣kx+k ﹣4＝0的两根∴a+b ＝k ＝0，∴x 2﹣4＝0，∴x 1＝2，x 2＝﹣2．①若a ＝2，b ＝﹣2则y ＝2x+1与y ＝﹣2x ﹣1的“x 牵手点”为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②若a ＝﹣2，b ＝2则y ＝﹣2x+1与y ＝2x ﹣1的“x 牵手点”为（12，0 ） ∴综上所述，“x 牵手点”为1,02⎛⎫-⎪⎝⎭或（12，0）【点睛】本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用．34．(1)13x =-，21x = (2)1 3x =，22x =- 【解析】【分析】运用因式分解法解一元二次方程.【详解】解：()21230x x +-=， ()()310x x +-=，30x +=或10x -=，所以13x =-，21x =．()2224x x +=-．260x x --=，()()320x x -+=，30x -=或20x +=，所以13x =，22x =-．【点睛】本题考核知识点：解一元二次方程. 解题关键点：掌握因式分解法.35．（1）x 1＝1，x 2＝2；（2）x 1，x 2【解析】【分析】（1）把方程左边进行因式分解得到（x ﹣2）（x ﹣1）＝0，然后解两个一元一次方程即可；（2）把3移到等号的左边，然后直接开平方即可．【详解】（1）∵x 2﹣3x +2＝0，∴（x ﹣2）（x ﹣1）＝0，∴x ﹣1＝0或x ﹣2＝0，∴x 1＝1，x 2＝2；（2）∵（x ﹣2）2﹣3＝0，∴（x ﹣2）2＝3，∴x ﹣2＝∴x 1，x 2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．36．4x x+；3 【解析】【分析】先计算异分母分式的减法，再计算分式除法，约分化简后解方程得到x 的值代入计算.【详解】原式224(4)(4)(4)(4)(4)x x x x x x x x ⎡⎤++=-⋅⎢⎥+-+-⎣⎦ 24(4)(4)(4)x x x x x-+=⋅+- 4x x+= 2680x x -+=，解得2x =或4.4x ≠，2x ∴=. ∴原式2432+==. 【点睛】此题考查分式的化简求值、解一元二次方程，正确计算分式的混合运算是解题的关键.。

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第一节求根公式
【例题求解】
【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有个．
【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（）
A ．一4
B ．8
C ．6
D ．0
【例3】解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a ．
【例4】设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和．
【练习题】
1.已知a 、b 是实数，且0262=-++b a ，那么关于x 的方程1)2(22-=++a x b x a 的根为．
2.已知0232
=--x x ，那么代数式11)1(23-+--x x x 的值是． 3. 若两个方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共根，则( )
A ．b a =
B ．0=+b a
C ．1=+b a
D ．1-=+b a
4.若0152=+-x x ，则1
539222+++-x x x ＝． 5.已知m 、n 是有理数，方程02=++n mx x 有一个根是25-，则n m +的值为．
6.已知a 、b 都是负实数，且
0111=--+b a b a ，那么a b 的值是( ) A ．215+ B ．251- C ．2
51+- D ．251-- 7.已知0222=--x x ，求代数式)1)(3()3)(3()1(2--+-++-x x x x x 的值．
8.已知3819-=x ，求15823
18262234+-++--x x x x x x 的值．
9.已知m 、n 是一元二次方程0720012=++x x 的两个根，求)82002)(62000(22++++n m m m 的值．
10.已知方程0132=+-x x 的两根α、β也是方程024=+-q px x 的根，求p 、q 的值．
第二节根的判别式
【例题求解】
【例1】已知关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是．
【例2】已知关于x 的方程02)2(2=++-k x k x ，
(1)求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形△ABC 的一边长a ＝1，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长．
【例3】设方程42=+ax x ，只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根．
【例4】已知关于x 的方程063)2(22=-+-+m x m x
(1)求证：无论m 取什么实数，方程总有实数根；
(2)如果方程的两实根分别为1x 、2x ，满足1x =32x ，求实数m 的值．
【练习题】
1.已知014=+++b a ，若方程02=++b ax kx 有两个相等的实数根，则k = ．
2.若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．
3.已知关于x 方程0422=++-k x k x 有两个不相等的实数解，化简4422+-+--k k k = ．
4.若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( )
A ．43<m
B ．43≤m
C ．43>m 且2≠m
D ．4
3<m 且2±≠m 5.已知一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B ＝90°，那么关于x 的方程0)1(2)1(22=++--x b cx x a 的根的情况为( )
A ．有两个相等的实数根
B ．没有实数根
C ．有两个不相等的实数根
D ．无法确定
6.如果关于x 的方程0)1(2)2(2=+---m x m x m 只有一个实数根，那么方程0)4()2(2=-++-m x m mx 的根的情况是( )
A ．没有实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．有两个相等的实数根
D ．只有一个实数根
7.在等腰三角形ABC 中，∠ A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3=a ，b 和c 是关于x 的方程02
122=-++m mx x 的两个实数根，求△ABC 的周长．
8. 已知一元二次方程02=++c bx x ，且b 、c 可在1、2、3、4、5中取值，则在这些方程中有实数根的方程共有( )
A ．12个
B ．10个
C ． 7个
D ．5个
9.如果关于x 的方程05)2(22=+++-m x m mx 没有实数根，那么关于x 的方程0)2(2)5(2=++--m x m x m 的实根的个数( )
A ．2
B ．1
C ．0
D ．不能确定
10.已知△ABC 的三边长为a 、b 、c ，且满足方程0)(2
22222=+---b x b a c x a ，则方程根的情况是( )
A ．有两相等实根
B ．有两相异实根
C ．无实根
D ．不能确定
11.a 、b 为实数，关于x 的方程22=++b ax x 有三个不等的实数根．
(1)求证：0842=--b a ；
(2)若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证该三角形必有一个内角是60°；
(3)若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求a 和b 的值．
12.关于x 的方程01)1(2=+--x k kx 有有理根，求整数是的值．
第三节韦达定理
【例题求解】
【例1】已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，
则代数式)2(22-+βαα的值为．【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么
b a a b +的值为( ) A ．22123 B ．22125或2 C ．22125 D ．22
123或2 【例3】已知关于x 的方程：04
)2(2
2=---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根．
(2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x ．
【例4】设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，
当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值．
【例5】已知：四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB 、CD 的长是关于x 的方程
04
7)21(222=+-+-m mx x 的两个根． (1)当m ＝2和m>2时，四边形ABCD 分别是哪种四边形?并说明理由．
(2)若M 、N 分别是AD 、BC 的中点，线段MN 分别交AC 、BD 于点P ，Q ，PQ ＝1，且AB<CD ，求AB 、CD 的长．
【练习题】
1.(1)已知1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式14
2121<-+x x x x ，则实数m 取值范围是． (2)已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根，那么实数m 的取值范围是．
2.已知α、β是方程的两个实数根，则代数式2223βαββαα+++的值为．
3. CD 是Rt △ABC 斜边上的高线，AD 、BD 是方程0462=+-x x 的两根，则△ABC 的面积是．
4.设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程02=++p qx x 的两根，则p 、q 的值分别等于( )
A ．1，-3
B ．1，3
C ．-1，-3
D ．-1，3
5.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是( )
A ．23
B ．2
5 C ．5 D ．2
6.方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ，则)1)(1(21++x x p 的值是( ) A ．1 B ．-l C ．21- D ．21
7.已知α、β是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为．
8.△ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是．
9.已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x ．
(1) 当k 是为何值时，此方程有实数根；
(2) 若此方程的两个实数根1x 、2x 满足：312=+x x ，求k 的值．
10.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 的长为10，且AB 、BC(AB>BC)的长是关于x 的方程的两个根．
(1)求rn 的值；
（2）若E 是AB 上的一点，CF ⊥DE 于F ，求BE 为何值时，△CEF 的面积是△CED 的面
积的3
1，请说明理由．
11.如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，过C 作CD ⊥AB 于D ，且AD ＝m ，BD=n ，AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程
012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．。