【中考冲刺】九年级春季班-第14讲：两圆相切的存在性问题-学生版

九年级下学期春季班

（学生版）

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讲

义

1、 知识内容：

（1）如果两圆的半径长分别为1R 和2R ，圆心距为d ，那么两圆的位置关系可用1R 、2R 和d 之间的数量关系表达，具体表达如下： 两圆外离12d R R ⇔>+； 两圆外切12d R R ⇔=+；

两圆相交1212R R d R R ⇔-<<+； 两圆内切120d R R ⇔<=-；

两圆内含120d R R ⇔≤<-．

注：两圆相切包含外切和内切两种情况．

（2）设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则A 、B 两点间的距离公式为：

221212()()AB x x y y =-+-．

2、 两圆相切本质：线段的和差；

3、 解题思路：

（1） 利用两点距离公式或者是题目中已知条件表示出圆心距及两圆半径； （2） 根据条件列方程（可采用相似或勾股定理等其它方法）； （3） 根据题意对所求的解进行取舍．

两圆相切的存在性问题

知识结构

模块一：以函数为背景的两圆相切问题

知识精讲

例题解析

A

B

C

O

x

y

【例1】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线224y ax ax =--与x 轴交于A 、B 两点，与y

轴交于点C ，其中点A 的坐标为（3-，0），点D 在线段AB 上，AD = AC ．如果以DB 为半径的⊙D 与⊙C 外切，求⊙C 的半径．

x

y

A

B

C

O 【例2】 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是等腰梯形，其中OA = AB = BC = 4，

tan 3BCO ∠=．

（1）若点P 在第四象限，且POC ∆与AOB ∆相似，求满足条件的所有点P 的坐标； （2）在（1）的条件下，若P e 与以OC 为直径的D e 相切，请直接写出P e 的半径．

D

B

A

C O

P

【例3】 如图，线段P A = 1，点D 是线段P A 延长线上的点，AD = a （a > 1），点O 是线段

AP 延长线上的点，2OA OP OD =g ，以O 圆心，OA 为半径作扇形OAB ，90BOA ∠=︒，点C 是弧AB 上的点，联结PC 、DC ．

（1）联结BD 交弧AB 于E ，当a = 2时，求BE 的长；

（2）当以PC 为半径的P e 和以CD 为半径的C e 相切时，求a 的值；

（3）当直线DC 经过点B ，且满足PC OA BC OP =g g 时，求扇形OAB 的半径长．

1、 知识内容：

（1）如果两圆的半径长分别为1R 和2R ，圆心距为d ，那么两圆的位置关系可用1R 、2R 和d 之间的数量关系表达，具体表达如下： 两圆外离12d R R ⇔>+；

两圆外切12d R R ⇔=+；

两圆相交1212R R d R R ⇔-<<+；

两圆内切120d R R ⇔<=-；

两圆内含120d R R ⇔≤<-．

注：两圆相切包含外切和内切两种情况． 2、 两圆相切本质：线段的和差； 3、 解题思路：

（1） 根据动点的运动方式表示出相关线段的长度； （2） 利用几何图形的相关性质表示出线段间的关系；

（3） 根据相似的性质或者是勾股定理或者是两圆相切的关系等列出有关未知数的方

程；

（4） 求出方程的解，并根据题意进行取舍．

模块二：以几何图形为背景的两圆相切问题

知识精讲

A

B

C

D

M

P

【例4】 如图，已知：在ABC ∆中，射线AM // BC ，P 是边BC 上一动点，∠APD =∠B ，

PD 交射线AM 于点D ，联结CD ．AB = 4，BC = 6，∠B = 60°． （1）求证：2AP AD BP =g ；

（2）如果以AD 为半径的A e 与以BP 为半径的B e 相切，求线段BP 的长度．

例题解析

A

B

C

E

F

【例5】 如图，在ABC ∆中，AB = AC = 10，BC = 12，点E 、F 分别在边BC 、AC 上（点F

不与点A 、C 重合），EF // AB ．把ABC ∆沿直线EF 翻折，点C 与点D 重合，设FC = x ． （1）求∠B 的余切值；

（2）当点D 在ABC ∆的外部时，DE 、DF 分别交AB 于M 、N ，若MN = y ，求y 关于 x 的函数关系式并写出定义域；

（3）（直接写出结果即可）以点E 为圆心，BE 为半径的E e 与边AC

○

1有公共点时，求x 的取值范围； ②一个公共点时，求x 的取值范围；

○

3个公共点时，求x 的取值范围．

A

B

C

D P

Q

【习题1】 如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，∠A = 90°，AD = 6，AB = 8，4

sin 5

C

，点P 在射线DC 上，点Q 在射线AB 上，且PQ ⊥CD ．设DP = x ，若以点B 为圆心、BQ 为半径的B e 与以点C 为圆心、CP 为半径的C e 相切，求线段DP 的长．

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【习题2】 如图1，已知梯形ABCD 中，AD // BC ，∠D = 90°，BC = 5，CD = 3，cot B = 1．点

P 是边BC 上的一个动点（不与点B 、C 重合），过点P 作射线PE ，使射线PE 交射线BA 于点E ，∠BPE = ∠CPD ．

（1）如图2，当点E 与点A 重合时，求∠DPC 的正切值；

（2）当点E 落在线段AB 上时，设BP x =，BE y =，试求y 与x 之间的函数解析式，并写出x 的取值范围；

（3）设以BE 长为半径的B e 和以AD 为直径的O e 相切，求BP 的长．

A

B

C

D

P

A （E ） B

C

D

图1

图2