向量的概念及表示 PPT
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2.1向量的物理背景与概念及向量的几何表示222.ppt
A
ABCDEF的中心，分别写出
O
图中与向量 OA、OB、OC C
F
相等的向量.
D
E
变式一：与向量 OA长度相等的向量有多
少个？
变式二：是否存在与向量长度相等、方向
相反的向量？
变式三：与向量共线的向量有哪些？
隆回二中
讲授新课
例2. 判断： (1) 不相等的向量是否一定不平行？
不一定 (2) 与零向量相等的向量必定是什么向量？
A B
C
隆回二中
讲授新课
例2. 判断：
(1) 平行向量是否一定方向相同？ 不一定
(2) 与任意向量都平行的向量是什么向量？
零向量
(3) 若两个向量在同一直线上，则这两个向
量一定是什么向量？
平行向量
隆回二中
课堂小结
1.描述向量的两个指标：模和方向. 2. 平面向量的概念和向量的几何表示； 3. 向量的模、零向量、单位向量、平行 向量等概念.
说明：
零向量、单位向量的定义都只是限制 了大小.
隆回二中
讲授新课
6.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行. a
b c
说明：
(1) 综合①、②才是平行向量的完整定义； (2) 向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.
隆回二中
讲授新课
例1. 如图，试根据图 中的比例尺以及三地 的位置，在图中分别 用向量表示A地至B、 C两地的位移，并求 出A地至B、C两地的 实际距离(精确到1km).
a A(起点)
B (终点)
隆回二中
讲授新课
3. 向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母 a,b, c 等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB； 向量 AB 的大小——长度称为向量的模， 记作 AB ，向量的模可以比较大小。
《向量代数》课件
详细描述
向量的向量积定义为两个向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的模长之积与它们夹角的正弦值的乘积，记作$mathbf{A} times mathbf{B}$。其几何意义是向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$所围成的平行四边形的面积。
总结词：向量的混合积是三个向量之间的混合乘积，其结果是一个标量。
VS
矩阵是实现向量线性变换的一种常用工具，它可以表示和操作向量的变换。
详细描述
矩阵是实现向量线性变换的一种常用工具，它可以表示和操作向量的变换。设有一组向量$mathbf{v}_1, mathbf{v}_2, ldots, mathbf{v}_n$经过线性变换得到一组新的向量$mathbf{w}_1, mathbf{w}_2, ldots, mathbf{w}_n$，这个变换可以用一个矩阵表示，即$[mathbf{w}] = [mathbf{v}]A$，其中$A$是一个矩阵。
向量的模是描述向量大小的量，掌握向量的模的计算方法是学习向量代数的重要内容。
总结词
向量的模是指从原点到该向量的有向线段的长度。在二维空间中，向量的模可以用勾股定理计算；在三维空间中，向量的模则可以用勾股定理的推广计算。向量的模具有一些基本性质，如非负性、齐次性、三角不等式等。
详细描述
总结词
向量的加法与数乘是向量代数中的基本运算，掌握这些运算法则是理解向量代数的重要基础。
《向量代数》ppt课件
Contents
目录
向量代数概述向量的数量积与向量积向量的线性变换向量的空间几何意义向量代数在实际问题中的应用
向量代数概述
总结词
向量的定义与表示是学习向量代数的基础，需要掌握向量的基本概念和表示方法。
详细描述
向量的向量积定义为两个向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的模长之积与它们夹角的正弦值的乘积，记作$mathbf{A} times mathbf{B}$。其几何意义是向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$所围成的平行四边形的面积。
总结词：向量的混合积是三个向量之间的混合乘积，其结果是一个标量。
VS
矩阵是实现向量线性变换的一种常用工具，它可以表示和操作向量的变换。
详细描述
矩阵是实现向量线性变换的一种常用工具，它可以表示和操作向量的变换。设有一组向量$mathbf{v}_1, mathbf{v}_2, ldots, mathbf{v}_n$经过线性变换得到一组新的向量$mathbf{w}_1, mathbf{w}_2, ldots, mathbf{w}_n$，这个变换可以用一个矩阵表示，即$[mathbf{w}] = [mathbf{v}]A$，其中$A$是一个矩阵。
向量的模是描述向量大小的量，掌握向量的模的计算方法是学习向量代数的重要内容。
总结词
向量的模是指从原点到该向量的有向线段的长度。在二维空间中，向量的模可以用勾股定理计算；在三维空间中，向量的模则可以用勾股定理的推广计算。向量的模具有一些基本性质，如非负性、齐次性、三角不等式等。
详细描述
总结词
向量的加法与数乘是向量代数中的基本运算，掌握这些运算法则是理解向量代数的重要基础。
《向量代数》ppt课件
Contents
目录
向量代数概述向量的数量积与向量积向量的线性变换向量的空间几何意义向量代数在实际问题中的应用
向量代数概述
总结词
向量的定义与表示是学习向量代数的基础，需要掌握向量的基本概念和表示方法。
详细描述
6.1 平面向量的概念 课件(共21张PPT)
规定： 0 和任意向量平行.
（2）相等向量—长度相等且方向相同的向量，记作 a=b .
（3）共线向量—就是平行向量.
二、探究本质 得出新知
问题12：平行向量所在直线是否一定平行？共线向量所在直线 是否一定共线？
提示：不一定
总结：向量可以自由平移.
三、举例应用 掌握定义
例1.一辆汽车从点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又 改变方向向西偏北 50 走了200千米到达C点，最后又改变方向， 向东行驶了100千米到达点D． (1)作出向量 AB, BC,CD ； (2)求 AD .
其中正确的有( A )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
解:①正确;
②由 a = b 得 a 与 b的模相等,但不确定方向,故②错误;
③错误; ④所有单位向量的模都相等,都为1,但方向不确定,故④不 正确;⑤正确.故选A.
四、学生练习 加深理解
3.如图，D, E, F 分别是 ABC 的边 AB, BC,CA的中点，在以 A, B,C, D, E, F 为起点和终点的向量中．
（1）找出与向量 EF 相等的向量； （2）找出与向量 DF 共线的向量．
四、学生练习 加深理解
解：（1）因为 E, F分别为 BC,CA 的中点，所以 EF//BA ，
且
EF
1 2
BA
.又因为
D
是BA
的中点，所以
EF
BD
DA，所以
与 EF 向量相等的向量为BD, DA .
（2）因为 D, F 分别为 BA, AC 的中点，
第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
一、创设情境 引入新课
问题1：道路标识牌上的箭头和数字指的是什么？ 问题2：老鼠由点A向东北方向逃窜，猫快速由点B向正东
（2）相等向量—长度相等且方向相同的向量，记作 a=b .
（3）共线向量—就是平行向量.
二、探究本质 得出新知
问题12：平行向量所在直线是否一定平行？共线向量所在直线 是否一定共线？
提示：不一定
总结：向量可以自由平移.
三、举例应用 掌握定义
例1.一辆汽车从点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又 改变方向向西偏北 50 走了200千米到达C点，最后又改变方向， 向东行驶了100千米到达点D． (1)作出向量 AB, BC,CD ； (2)求 AD .
其中正确的有( A )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
解:①正确;
②由 a = b 得 a 与 b的模相等,但不确定方向,故②错误;
③错误; ④所有单位向量的模都相等,都为1,但方向不确定,故④不 正确;⑤正确.故选A.
四、学生练习 加深理解
3.如图，D, E, F 分别是 ABC 的边 AB, BC,CA的中点，在以 A, B,C, D, E, F 为起点和终点的向量中．
（1）找出与向量 EF 相等的向量； （2）找出与向量 DF 共线的向量．
四、学生练习 加深理解
解：（1）因为 E, F分别为 BC,CA 的中点，所以 EF//BA ，
且
EF
1 2
BA
.又因为
D
是BA
的中点，所以
EF
BD
DA，所以
与 EF 向量相等的向量为BD, DA .
（2）因为 D, F 分别为 BA, AC 的中点，
第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
一、创设情境 引入新课
问题1：道路标识牌上的箭头和数字指的是什么？ 问题2：老鼠由点A向东北方向逃窜，猫快速由点B向正东
空间向量及其运算(共22张PPT)
向量场的点乘
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
6.1平面向量的概念课件共34张PPT
探究点二 相等向量与共线向量
如图，O是正六边形DEF的中心，分别写出图中与向量
→ OA
，
O→B，O→C相等的向量，与向量A→D共线的向量．
解析： 与O→A相等的向量有C→B，D→O，E→F； 与O→B相等的向量有F→A，E→O，D→C； 与O→C相等的向量有A→B，F→O，E→D. 与向量A→D共线的向量有9个：D→A，E→F，F→E，A→O，O→A，O→D，D→O，B→C， → CB.
探究点三 向量的表示及应用 在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务．它首先从A点出
发向西航行了200 km到达B点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了 400 km到达C点，最后又改变航行方向，向东航行了200 km到达D点．此时， 它完成了此片海域的巡逻任务．
(1)作出A→B，B→C，C→D； (2)求|A→D|.
[对点训练] 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O 且平行于AB的线段，在所标的方向向量中： (1)写出与A→B共线的向量； (2)写出与E→F方向相同的向量； (3)写出与O→B，O→D的模相等的向量； (4)写出与E→O相等的向量．
解析： 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，AD＝BC. (1)题干图中与A→B共线的向量有D→C，E→O，O→F，E→F. (2)题干图中与E→F方向相同的向量有A→B，D→C，E→O，O→F. (3)题干图中与O→B的模相等的向量为A→O，与O→D的模相等的向量为O→C. (4)题干图中与E→O相等的向量为O→F.
→ 2．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则|P→D|的值为( )
|AD|
A．12
B．13
C．1
D．2
向量的概念及表示ppt
20122012-3-5
良辰美景惜时如金敢与金鸡争晨晖 书山学海甘之若饴誓同峨眉共比高
高一（ ） 高一（15）班欢迎您
20122012-3-5
金钱豹以5m/s的速度追赶一只以 金钱豹以 的速度追赶一只以2m/s逃跑的小狗 逃跑的小狗…… 的速度追赶一只以 逃跑的小狗
请问： 能追上小狗吗 为什么？ 小狗吗？ 请问：金钱豹 能追上小狗吗？为什么？
4.相等向量的定义： 长度相等且方向相同的向量 4.相等向量的定义： 相等向量的定义
A B D
uuu uuur r 记作： = DC AB
C
相反向量的定义： 相反向量的定义： 的定义
r 们 与a 长 度 r 叫 a
等，
r a
20122012-3-5
r c
r r c = -a
r r a = -c
r . 记做： a -
一、向量的定义
既有大小又有方向的量 既有大小又有方向的量 大小又有方向
向量的长度
向量的模
二、向量的表示方法
向量常用有向线段表示 ①几何表示——向量常用有向线段表示：有向线段的 几何表示 向量常用有向线段表示： 长度表示向量的大小 箭头所指的方向表示 向量的大小， 方向表示向量的方 长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方 向。以A为起点、B为终点的向量记为： AB。 为起点、 为终点的向量记为： 为起点 为终点的向量记为 大小记着： 大小记着：│AB│
有向线段：有固定起点、大小、 有向线段 有固定起点、大小、方向 有固定起点 向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、 向量 可选任意点作为向量的起点、有大小、有 可选任意点作为向量的起点 方向。 方向。
B D B
D
A
良辰美景惜时如金敢与金鸡争晨晖 书山学海甘之若饴誓同峨眉共比高
高一（ ） 高一（15）班欢迎您
20122012-3-5
金钱豹以5m/s的速度追赶一只以 金钱豹以 的速度追赶一只以2m/s逃跑的小狗 逃跑的小狗…… 的速度追赶一只以 逃跑的小狗
请问： 能追上小狗吗 为什么？ 小狗吗？ 请问：金钱豹 能追上小狗吗？为什么？
4.相等向量的定义： 长度相等且方向相同的向量 4.相等向量的定义： 相等向量的定义
A B D
uuu uuur r 记作： = DC AB
C
相反向量的定义： 相反向量的定义： 的定义
r 们 与a 长 度 r 叫 a
等，
r a
20122012-3-5
r c
r r c = -a
r r a = -c
r . 记做： a -
一、向量的定义
既有大小又有方向的量 既有大小又有方向的量 大小又有方向
向量的长度
向量的模
二、向量的表示方法
向量常用有向线段表示 ①几何表示——向量常用有向线段表示：有向线段的 几何表示 向量常用有向线段表示： 长度表示向量的大小 箭头所指的方向表示 向量的大小， 方向表示向量的方 长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方 向。以A为起点、B为终点的向量记为： AB。 为起点、 为终点的向量记为： 为起点 为终点的向量记为 大小记着： 大小记着：│AB│
有向线段：有固定起点、大小、 有向线段 有固定起点、大小、方向 有固定起点 向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、 向量 可选任意点作为向量的起点、有大小、有 可选任意点作为向量的起点 方向。 方向。
B D B
D
A
向量的概念 课件 高中数学人教A版(2019)必修第二册
①要注意0和
且|
的区别及联系：0是一个实数， 是一个向量，并
|=0，书写时 0 表示零向量，一定不能忘记上面的箭头.
②单位向量有无数个，它们大小相等，但是方向不一定相同.
③在平面内，将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到
同一点，则它们的终点就会构成一个半径为1的圆.
牛刀小试
问题：“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？
定的，而向量是可以自由移动的；向量可以用有向线段表示，但并不能
说向量就是有向线段
3．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一
条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量
4．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，
单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一
个单位圆
得正确选项.
测验
【例2】(2020·全国高一专题练习)某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改
变方向沿东北方向走了10 2 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达
D点．
(1)作出向量AB，BC，CD ；
(2)求AD 的模．
(1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共线)向量
（速度为10海里/小时）．如果只是给出指令：
“由A地航行15 海里”，小船能否到达B地？
• 如果不指明“向东南方向”航行，小船不一定到达B地
• 给出指令：“向东南方向航行”呢？
• 方向和距离缺一不可
新知探究
（1）向量的实际背景与概念
• 物理中我们学习了位移、速度、力等既有大小、又有方向的量，
在物理中被称为“矢量”，
B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
且|
的区别及联系：0是一个实数， 是一个向量，并
|=0，书写时 0 表示零向量，一定不能忘记上面的箭头.
②单位向量有无数个，它们大小相等，但是方向不一定相同.
③在平面内，将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到
同一点，则它们的终点就会构成一个半径为1的圆.
牛刀小试
问题：“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？
定的，而向量是可以自由移动的；向量可以用有向线段表示，但并不能
说向量就是有向线段
3．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一
条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量
4．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，
单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一
个单位圆
得正确选项.
测验
【例2】(2020·全国高一专题练习)某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改
变方向沿东北方向走了10 2 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达
D点．
(1)作出向量AB，BC，CD ；
(2)求AD 的模．
(1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共线)向量
（速度为10海里/小时）．如果只是给出指令：
“由A地航行15 海里”，小船能否到达B地？
• 如果不指明“向东南方向”航行，小船不一定到达B地
• 给出指令：“向东南方向航行”呢？
• 方向和距离缺一不可
新知探究
（1）向量的实际背景与概念
• 物理中我们学习了位移、速度、力等既有大小、又有方向的量，
在物理中被称为“矢量”，
B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
向量的概念(第1课时)(课件)高一数学(沪教版2020必修第二册)
８．１ 向量的概念和线性运算
向量的概念
图８-１-１展示了国产大飞机Ｃ９１９在蓝天翱翔的雄姿．飞机 从A飞行到B．它的位移是一个既有大小又有方向的量，它的大 小是A、B间的距离，方向由A到B 像 “ 一点相对于另一点的位移 ” 这种既有大小又有方向的量叫 做 向量 （ ｖｅｃｔｏｒ ） ． 准确地说 ， 一个向量由两个要素 定义 ， 一是它的大小 （ 一个非负实数 ）， 一是它的方向
第 8 章 平面向量
8.1向量的概念(第1课时）
学习目标
1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点) 2．理解共线向量、相等向量的概念．(难点) 3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)
平面向量
在现实世界和科学问题中，常常会见到既有大小又有方向的量，如位移、 速度、力等． 数学中的“向量”概念就是从中抽象出来的．向量不仅 有丰富的几何内涵，向量及其线性运算与数量积运算还构成了精致且有 广泛应用的代数结构，可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题 来处理．本章只讨论平面上的向量， 选择性必修课程第３章还将把这 一讨论推广到（三维）空间中，至于更一般性的推广则是大学线性代数 课程的核心内容． 高中阶段向量的学习重在为解决代数、几何、三角 及物理等领域中的问题提供一个简捷有效的工具
例２在图８１４中，写出向量 AE的负向量．
解 根据负向量的定义，可知向量EA、BE和DF均为AE的负向量
尽管可以画出一个向量的许多负向量，但由于它们彼此都相 等，因此一个向量的负向量在相等的意义下是唯一的．
课本练习
练习８．１（１）
１．指出下列各种量中的向量：
（１）密度； （２）体积； （３）速度； （４）能量； （５）电阻； （６）加速度； （７）功； （８）力矩．
向量的概念及表示(公开课)-PPT
B.3
C.4
D.5
练习 3 .下列说法是否正确 A .若 | a | | b |, 则 a b B .若 | a | 0 , 则 a 0 C .若 | a | | b |, 则 a b或 a b D .若 a // b , 则 a b E .若 a b , 则 | a | | b | F .若 a b , 则 a 与 b 不是共线向量 G .若 a 0 , 则 a 0
◆速度是既有大小又有方向的量。
B
A
建构数学
一．向量的相关概念
１.向量的定义：既有大小又有方向的量。
路程
只有大小没有方向 数标量量
（只需用一个实数就可以表示的量）
位移
既有大小又有方向 向矢量
在你学过的量中，哪些是数量，哪些 是向量？
一:向量定义
既有大小又有方向的量叫 向 量
向量 现实生活中还有哪些量既有大 小又有方向？
建构数学 三、向量的关系
平行向量： 方向相同 或相反 的非零向量
叫做平行向量。 记作： a//b.
规定:零向量与任一向量平行.
相等向量： 长度相等 且方向相同 的向量
叫做相等向量 。 记作： ab. 共线向量： 平行向量也叫做共线向量。
相反向量 ： 长度相等 且方向相反的向量
叫做相反向量。 记作： a
B
（2）FB、AF、MC
（3）BD、DC、EM
D
C
巩固练习
例１、如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边 形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量
中：
（1）与 A O 相等的向量为
；A
B
（2）与A O 共线的向量为 （3）与 A O 的模相等的向量为
向 量 (课件)必修第二册湘教版数学
(2)有向线段的长度：位移的大小就是 A 到 B 的直线距离，记作__|A__B_|_，也就是
有向线段A→B的_长__度__，也记作|A→B|.
(3)向量：像位移这样既有_大__小__又有_方__向__的量，在数学中称为向量. 向量 a 的大小，也就是向量 a 的长度，称为 a 的__模__，记作__|a_|_.
1.思考辨析，判断正误 (1)如果|A→B|>|C→D|，那么A→B>C→D.( × )
提示 向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小. (2)若a＝b且a与b的起点相同，则终点也相同.( √ ) (3)零向量的大小为0，没有方向.( × ) 提示 零向量的方向是任意的. (4)向量a与b方向相反，则a与b为相反向量.( × ) 提示 方向相反，长度相等的向量称为相反向量.
解 (1)如图所示. (2)由题意，易知A→B与C→D方向相反. 又|A→B|＝|C→D|，
∴在四边形 ABCD 中，AB 綉 CD， ∴四边形 ABCD 为平行四边形. ∴|A→D|＝|B→C|＝200(公里).
思维升华
准确画出向量的方法是首先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向 量的大小确定向量的终点.
则四边形ABCD为平行四边形， ∴A→B＝D→C，则 B 地相对于 A 地的位置为“北偏东 60°，长度为 6 千米”.
题型三 相等向量的应用
【例 3】 如图所示，在四边形 ABCD 中，A→B＝D→C，N，M 分别是 AD，BC 上 的点，且C→N＝M→A. 求证：D→N＝M→B. 证明 ∵A→B＝D→C，∴|A→B|＝|D→C|且 AB∥CD，∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∴|D→A|＝|C→B|，且 DA∥CB. 又∵D→A与C→B的方向相同，∴C→B＝D→A. ∵C→N＝M→A，∴|C→N|＝|M→A|，且 CN∥MA，∴四边形 CNAM 是平行四边形，
平面向量的概念PPT课件
04
平面向量数量积概念及性 质
数量积定义及几何意义
数量积定义
两个向量的数量积是一个标量，等于它们模长的乘积与它们夹 角余弦的乘积。
几何意义
数量积反映了两个向量的相对位置和角度关系，正值表示同向， 负值表示反向，零表示垂直。
数量积性质及运算规律
性质
满足交换律、分配律、结合律，与标量乘法相容等。
运算规律
向量坐标与点坐标关系
向量坐标
向量坐标是由起点指向终点的有 向线段，在直角坐标系中可以用
两个坐标值表示。
点坐标
点坐标是直角坐标系中点的位置表 示，同样可以用两个坐标值表示。
关系
向量坐标与点坐标密切相关，向量 的起点和终点坐标可以决定向量的 坐标，而点的坐标可以用来表示向 量的起点或终点。
向量运算坐标表示法
坐标法求解向量问题
求解向量坐标
通过已知点的坐标和向量的关系，可以 求解向量的坐标。
求解向量模长
通过向量的坐标可以计算向量的模长， 进而求解与模长相关的问题。
求解向量夹角
通过向量的坐标可以计算向量的夹角， 进而求解与夹角相关的问题。
求解向量运算结果
通过向量的坐标表示法可以求解向量的 加法、减法和数乘运算结果。
向量运算满足基本定律
加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
数乘结合律
(kl)a = k(la)
加法交换律
a+b=b+a
数乘分配律
k(a + b) = ka + kb
向量共线定理，使得b = λa
03
平面向量坐标表示法
直角坐标系中向量表示方法
课件：向量及其运算(15)
∴a(bc)0 ，故a,
b, c
共面。
B b
a
.a b 0
A
24
运算规律
1. a b b a;
反交换律
2.( a) b a ( b) (a b); 与数乘向量的结合律
3. (a b) c a c b c
分配律
c(a b) c a c b
例3 已知 a 2, b 3, 且a b 3, 则a b _____3______.
22
3)两个向量的向量积
(由两个向量造一个新的特殊的向量)
在 并b,且许需要多要求方找面c另的,一模对个有于同某给时种定与特的a性两,.个b不垂共直线的l 的非非零零向向量量
a
,
c
,
如图, 由直观, 同时与 a ,
c B b
b 垂直的非零向量 c 在
O
直线 l 上,有无限多个,但 方向可指向方上或下方.
三角形法则可推广到多个向量相加 .
4
s a1 a2 a3 a4 a5
a4
a5
a3 s
a2 a1
5
2. 向量的减法 三角不等式
b
a
6
3. 向量与数的乘法
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
规定 :
总之:
a
a
运算律 : 结合律 ( a) ( a) a
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
3
二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
b ab
(a b) c
c
bc
a (bc)
a
三角形法则:
ab b
向量的概念及表示2 苏教版精品公开PPT课件
（1）几何表示：用一条有向线段表示向量，有向线段的 长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
A
B
uuur （2）符号表示： A B
ar
uuur AB
ar
A
B
A
B
向量的长度（或称为模）：记作 |AB|
已知点O为正六边形ABCDEF的中心
E
D
F
C
O
A
B
（1）图中用有向线段表示的向量可以记作：
在如图所示的一场奇特的拔河比赛中，甲、乙两名同学各能使出
150N的力；丙、丁两名同学各能使出200N的力，然而，甲、乙
两人却凭借自己的聪明才智上演了一场“以弱胜强”的好戏，让丙
丁两名同学倍感困惑，你能帮助丙、丁两名同学分析其失利的原
因吗？
丙：200N
甲：150N 乙：150N
45°
O 45°
200 2 N
（2）若 AB 与 CD 是共线向量，则A、B、C、D 四点共线 （不正确）
注意：平行向量即共线向量
E
（2）相等向量
长度相等且方向相同的向量叫
做相等向量，记作：AO = BC
F
D C
O
A
B
辨析：（1）若 a ∥ b
且 ar
r =b
，则a =b
（不正确）
（2）单位向量都相等（不正确）
（3）四边形ABCD中，若 AB =DC ，
向量中：
E
D
F
O
C
A
B
（1）试找出与 OD共线的向量
（2）试找出与 OD相等的向量 （3）试找出OD 的相反向量 （4）与 OD的模相等的向量有多少个？
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n 任意一组平行向量都可以平移到同一直线上
反思升华
（1）实数可以比较大小，向量能吗？
uuur uuur （2）YABCD中，写出AB与DC的关系．
uuur uuur （3） 判断：若AB＝DC，则A，B，C，D四点
构成平行四边形,对吗？
（4）能找出向量的平行与直线平行的区别吗？
数学 例1 已知O为正六边形ABCDEF的中心，
B
用有向线段字母表示：如 AB （A为起点、B为终点）
用小写字母表示：如 a 、b 、c
概念辨析问：：有什向么线是段有向是线向段量？，向量就是有向线段。
不对，有向线段只是一个几何图形，是 向 量直观答表：示有向线段——具有方向的线段
3．向量的有关概念：
（1）向量的模：向量 AB 的大小称为向量的长度（或 称为模），记作|AB |.
运用 在图中所标出的向量中： （1）试找出与FE 共线的向量；
（2）确定与 FE 相等的向量；
（3） OuAuur与BC 相等吗？
解 是：uBuCur（、1Ouu）Aur 与、OuuFDurE
共线的向量 ；
E
D
（2）BC 与 FE 长度相等且方向
相同，故 BC = FE ；uFuE urO uuD ur 。
零 0向量0的相反向量仍是零向量.
（ a 与a） a 互a 为相反向量.
相等向量和相反向量都是平行向量.
3．向量的有关概念：
（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平 行向量.记作 a // b .
（2）共线向量：平行向量又称为共线向量.
讨论：向量平行r 与直线平r行
b
a
r
c
rr r
m
b′ c ′ a′
线．
（×）
数学 例3 在图中的4×5方格纸中有一个向量 AB ，分 运用 别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与AB
相等的向量有多少个？与 AB 长度相等的共线向 量有多少个（AB 除外）？
B
答：与 AB 相等的 向量有7个
与 AB 长度相 等的共线向量有15 个.
A
练习2:回答下列问题： （1）平行向量是否一定方向相同？ （2）不相等的向量是否一定不平行？ （3）与零向量相等的向量必定是什么向量？ （4）与任意向量都平行的向量是什么向量？ （5）若两个向量在同一直线上，则这两个
规定：0 与任一向量平行.
r
ra
b
d
r
r
b
a
r
c
讨论：a//b，b//ca//c？
3．向量的有关概念：
（1）相等向量：： 长度相等且方向相同的向量叫做相
等向量. 记作：AB = D小
和方向有关，与起点无关.
A
B
（2）相反向量：：与 a 向量长度相等，方向相反的向 量叫做 a 的相反向量. 记作- a .
景点A留影，再从A到
景点B留影．从景点O
到景点A有一个位移，
从景点A至景点B也有
一个位移．
位移和距离这两个 量有什么不同？
位移既有大小又有方向， 距离只有大小没有方向
B A
思考：阅读课本59～60页，回答下列问 题．
1、向量是如何定义的？向量与数量有何区别？ 2、向量有哪些表示方法？它的模是如何定义的？ 3、课本中介绍了几种特殊的向量？ 4、课本中介绍了向量间的几种关系？
（ ）×
• （2）若a和b都是单位向量，则a＝b；
（×）
• （3）两个相等向量的模相等；
（√）
• （4）相等向量一定是共线向量；
（√）
数学 运用 例2 判断下列说法是否正确：
• （5）共线向量一定是相等向量；
（×）
• （6）任一向量与它的相反向量不相等；
（ ）×
（7）若a与b共线，b与c共线，则a与c也共
友情链接：物理中向量与数量分别叫做 矢量、标量
判断题
1.身高是一个向量（ ） 2．温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ ）
3.坐标平面上的 x 轴和 y 轴都是向量。( )
问题2：向量可以怎样表示？
（1）几何表示法：
用有向线段表示向量，长度表示向量的大小，箭头
所指的方向表示向量的方向。
（2）有字向母线表段示三法要：素：起点、方向、A长度 a
问题1： 1、向量是如何定义的？
定义：既有大小又有方向的量统称为向量。
注：1.向量两要素：大小，方向
2.向量与数量的区别：
• 思考①1数：量在只质有量大小、重，可力以、比速较度大、小加。速度、身 高、②面向量积有、方体向积，这大些小量双重中属，性__，_而__方_向__是_不__能
____比_较__大_小__的__，_因__此是向数量量不,能比较大小。 _____________________________是向量.
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作 0 .
（3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做
单位向量0 .与0的含义与书写区别.
y
平面直角坐标系内， 起点在原点的单位向 量，它们的终点的轨 迹是什么图形？
O
1x
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
3．向量的有关概念：
（1）平行向量：方向相同或相反的向非量零叫向做量平叫行做向平 行量向.记量作.记a 作// ba /./ b .
向量的概念及表示
在海湾战争期间的某一天，美国“小鹰”号航 空母舰导弹发射处获得信息：伊拉克的军事目标距 “小鹰”号1200公里。试问只知道这一信息导弹是 否能击中目标？
答案：不能，因为 没有给定发射的方向.
1200公里
1200公里
1200公里
1200公里
情境：某人选择三个
景点O，A，B拍照，
O
如图：先从景点O至
F
O
C
（3）虽然BC //OA ，且|BC |
A
B
=|OA |，但它们方向相反，故这两个向量并不相
等.
练习：
3、设 O 是正△ ABC的中心，
则向量 AO ， BO ， CO 是（ B ）
A、相等向量 C、共线向量
B、模相等的向量 D、共起点的向量
数学 运用 例2 判断下列说法是否正确：
• （1）模相等的两个平行向量是相等的向量；
向量一定是什么向量？
（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？ （7）共线向量一定在同一直线上吗？
4、写出图中所示各向量的长度（小正方形的边长为 1）．
B
E
A
C
D F
小结
1．向量的概念； 2．向量的表示：代数表示、几何表示； 3．研究向量：
大小：向量的模、零向量、单位向量 方向：共线向量、平行向量 大小与方向：相等向量、相反向量 4．数学思想方法： 数形结合、分类讨论（注意对 0 的讨论）.