高中第一次诊断考试数学

高中第一次诊断考试数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

（1）已知集合}3,2,1,0{=A ，},,,|{b a A b a ab x x B ≠∈==，则集合B 中的元素个数为
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5 （2）
=++-i
i i 1)
21)(1(
A. i -2
B. i +-2
C. i --2
D. i +2 （3）函数)(12R x y x ∈+=-的反函数是 A. )(11log 2R x x y ∈-= B. )(1
1log 2R x x y ∈--= C. )),1((11log 2
+∞∈-=x x y D. )),1((1
1
log 2+∞∈--=x x y （4）函数x y 2cos =的一个单调递减区间是
A. ]2,0[π
B. ]43,4[ππ
C. ]4,4[ππ-
D. ],2
[ππ
（5）设随机变量ξ服从二项分布B (n , p )，且6.1,2==ξξD E ，则n , p 的值分别为 A. n =30，p =0.2 B. n =20，p =0.1 C. n =8，p =0.2 D. n =10，p =0.2
（6）等比数列}{n a 的前n 项和为S n ，已知S 4=1，S 8=3，则20191817a a a a +++的值为 A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 （7）已知单位向量a 、b ，它们的夹角为3
π
，则b a -2的值为 A.
7 B.
3 C. 10 D. －10
（8）已知函数⎪⎩
⎪
⎨⎧>≤-=-)0( )0( 12)(21x x x x f x ，若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是
A. （－1，1）
B. (+∞-,1 )
C. ),0()2,(+∞⋃--∞
D. ),1()1,(+∞⋃--∞
（9）在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对边分别是a 、b 、c ，且B b A a c os c os =，则ΔABC
的形状是
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰三角形或直角三角形 （10）定义在R 上的偶数函数)(x f 在[)+∞,0上是增函数，若0)3
1
(=f ，则适合不等式
)(log 27
1x f >0的x 的取值范围是
A. ),3()31,0(+∞⋃
B. )3
1
,0( C. ),0(+∞ D. ),3(+∞
（11）设函数)3
2sin(π
π+=x y ，若对任意R x ∈，存在x 1，x 2使)()()(21x f x f x f ≤≤恒
成立，则21x x -的最小值是 A. 1 B.
2
1
C. 4
D. 2 （12）甲、乙两工厂2004年元月份的产值相等，甲厂的产值逐月增加且每月增加的数量相同，乙厂产值也逐月增加且每月的增长率相同，若2005年元月份两厂的产值又相等，则2004年7月份两厂的产值关系是
A. 甲厂的产值高
B. 乙厂的产值高
C. 甲厂、乙厂的产值相同
D. 无法确定 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分
（13）函数⎩
⎨
⎧≤+>=)2(2)2(
3)(x a x x x f 在),(+∞-∞上处处连续，则常数a 等于 。

、
（14）已知向量)1,(n a =与),4(n b =共线，则实数n = 。

（15）设数列}{n a 的前n 项和S n 满足：)1(3
1
-=n n a S ，
则该数列的通项公式a n = 。

（16）给出以下命题
①设x x f tan )(=，则2)4('=πf ；②函数)3
2c o s (π
+=x y 的图象的一条对称轴为
π32-=x ；③要得到函数x y 2sin 2=的图象只须将)32sin(2π+=x y 的图象向左平移3
π
个单位长度。

其中正确命题的序号是 。

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）
角A 、B 、C 是ΔABC 的内角，B A C <=,2π
，向量)1,cos 2(A a =，)sin ,21(A b =且5
7
=⋅b a 。

（1）求sin A 的值；
（2）求2
cos 2sin )24(cos 2A
A B +-π的值。

（18）（本小题满分12分）
已知,:,23
5
:
2a x ax x q x x p -≤-≥--若p ⌝是q ⌝的充分条件，求实数a 的范围。

（19）（本小题满分12分）
甲、乙两名运动员各自投篮命中率分别为0.6和0.7。

（1）如果每人投篮两次，求甲投进两次，乙投进一次的概率；
（2）如果每人投篮一次，若投进一球得2分，未投进得0分，求两人得分之和的分布列和期望。

（20）（本小题12分）
已知函数bx ax x x f 33)(23++=在x =2时有极值，其图象在点（1，f (1)）处的切线与直
线053=++y x 平行。

（1）求该函数的单调递减区间；
（2）当m >0时，求函数f (x )在[0,m ]上的最小值。

（21）（本小题满分12分）
设等差数}{n a 的前n 项和为S n ，公差d >0，若11,252==a a 。

（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）设)0(≠+=
a a
n S b n
n ，若}{n b 是等差数列且n b n c 22=，求实数a 与+∞→n lim
1
821++++n
n
c c c 的值。

（22）（本小满分14分）
已知二次函c bx ax x f ++=2)(。

（1）若任意x 1，x 2∈R ，且21x x <，都有)()(21x f x f ≠，求证：关于x 的方程)]()([21
)(21x f x f x f +=有两个不相等的实数根且必有一个根属于（21,x x ）
； （2）若关于x 的方程)]()([21)(21x f x f x f +=在（21,x x ）的根为m ，且21,2
1
,x m x -成
等差数列，设函数f (x )的图象的对称轴方程为0x x =，求证：20m x <。

参考答案
一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
C
A
C
A
D
C
B
D
D
A
D
A
二、填空题
13. -1 14. ±2 15. n )2
1
(- 16. ①②
三、解答题
17. 解：（1）∵向量5
7),sin ,21
(),1,cos 2(=⋅==b a A b A a 且， ∴5
7
cos sin =
+A A ① 2分 由1cos sin 22=+A A ②
由①②得：02512sin sin 2=+-A A 解得：53sin =A 或54
sin =A 4分
又4
,,2
π
π
<
<=
A B A C 则∴22sin <
A ，故5
3
sin =A 6分 （2）∵A+B=2π
，∴2cos 2sin )24(cos 2A A B +-π2
cos 2sin 2cos 2A A A += 8分 A A sin 212cos 1++=
5
6
= 12分 18. 解：∵,231:
≥--x x p 03
1
≤--∴x x ， 2分 故：1≤x<3。

4分 ∵a x ax x q -≤-2: ∴0)1(2≤++-a x a x 6分 （1）当a<1时，a ≤x ≤1；
（2）当a=1时，x=1；
（3）当a>1时，1≤x ≤a 。

8分
∵p ⌝是q ⌝的充分条件 ∴q 是p 的充分条件 10分
设q 对应集合A ，p 对应集合B,则A ⊆B ， 当a<1时，A ⊆/B ，不合题意； 当a=1时，A ⊆B ，符合题意；
当a>1时1≤x ≤a ，要A ⊆B ，则1<a<3。

综上，符合条件的a ∈[1，3)。

12分 19. 解：（1）设甲投进两球的事件为A ，乙投进一次的事件为B ， 事件A 表示两次独立重复事件有两次发生，
即 36.06.0)(22
2
=⋅=C A P ， 2分
事件B 表示两次独立重复事件有一次必发生，即42.0)7.01(7.0)(21=-⋅⋅=C B P 4分
∵″甲投进两次，乙投进一次″为事件″A •B ″，∴1512.0)()()(=⋅=⋅B P A P B A P 答：甲投进两次，乙投进一次的概率为0.1512 6分 （2）设两人得分之和为ξ，则ξ=0，2，4， 7分
12.03.04.0)()0(=⨯=⋅==B A P P ξ；42.07.06.0)()4(=⨯=⋅==B A P P ξ；
46.0))4()0((1)2(==+=-==ξξξP P P
∴ξ的分布列为： ξ 0 2 4 P
0.12
0.46
0.42
10分 ξ的期望为6.242.0446.0212.00=⨯⨯⨯+⨯=ξE 12分 20．解：（1）∵bx ax x x f 33)(23++= b ax x x f 363)('2++=∴ 2分 ∵在x=2时有极值，则x=2时，y ’=0 ∴4a+b+4=0① 4分 ∵图象上的横坐标为x=1处的点切线与直线3x+y+5=0平行
∴3)1('-=f ，即2a+b+2=0② 6分 由①②得：a=-1,b=0 ∴x x x f x x x f 63)(',3)(223-=-=，
设20,063)(2<<<-=x x x x f 则故该函数的单调区间是（0,2） 8分 （2）由（1）知该函数在（0，2）是减函数，在（2，+∞）是增函数，
当0<m<2时，f(x)在[0,m]上是减函数，∴f(x)有最小值是233m m - 10分 当m ≥2时，f(x)在[0，2]是减函数，[2,m]上是增函数，
∴f(x)有最小值是f(2)=-4 12分
21. 解：（1）设等差数列}{n a 的通项为,)1(1d n a a n -+=
由题得：114,211=+=+d a d a ，解得：,3,11=-=d a 42-=n a n 4分
（2）由（1）得：2
)
53(-=n n S n 6分 ∴)(2)
53(a n n n b n +-=
则a
b a b a b +=
+=+-=36,21,11321， ∵{b n }是等差数列，则
a a a ++
+-=+361122∴2
3,35n
b a n =-= 8分 又∵n b n n
c 3222==∴)18(7
8
21-=+++n n c c c 10分
故78
1
8lim
21=+++++∞→n n n c c c 。

12分
22. 证明：（1）)],()([21)(21x f x f x f += ][2
122
21212c bx ax c bx ax c bx ax +++++=++∴，
整理得：0)()(22212
2212=+-+-+x x b x x a bx ax ， 2分 )]()([842122212x x b x x a a b ++++=∆∴])2()2[(22221b ax b ax +++=
,22,,212121b ax b ax x x R x x +≠+∴<∈ 4分
0>∆ ，故方程有两个不相等的实数根。

6分 令)]()([21
)()(21x f x f x f x g +-=， 则22121)]()([4
1)()(x f x f x g x g --=，
又),()(21x f x f ≠则0)()(21<x g x g ，
故方程)]()([21
)(21x f x f x f +=有一个根属于（x 1,x 2） 9分
（2） 方程)]()([21
)(21x f x f x f +=在),(21x x 根为m ，
)]()([21)(21x f x f m f +=∴，0)2()2(212
221
2=--+--∴x x m b x x m a ， 10分 ∵2
1
,1-m x 、x 2成等差数列，则,1221-=+m x x 12分
∴b =)2(2221
2
x x m a -
--,
故22
2212
2221202
2)(22m x x m x x m a b x <+-=+-=-=。

14分。