连续时间系统的时分析

实验三连续时间系统的时域分析
一实验目的：
1、熟悉和掌握常用的用于信号与系统时域分析的MATLAB 函数；
2、掌握如何利用Matlab 软件求解一个线性时不变连续时间系统的零状态响 应、冲激响应和阶跃响应。

二实验原理：
在信号与线性系统中，LTI(线性时不变)连续时间系统以常系数微分方程描述，系统的零状态响应可以通过求解初始状态为零的微分方程得到。

在Matlab 中，控制系统工具箱提供了一个用于求解零初始条件微分方程数值解的函数lsim ，其调用形式为：
),,(t f sys lsim y =
式中，t 表示计算系统响应的抽样点向量，f 是系统输入信号向量（即激励），sys 是LTI 系统模型，用来表示微分方程。

在求解微分方程时，微分方程的LTI 系统模型sys 要借助Matlab 中的tf 函数来获得，其调用形式为：
),(a b tf sys =
式中，b 和a 分别为微分方程右端和左端各项的系数向量。

例如对于三阶微分方程：
)()()()()()()()(01230123t f b t f b t f b t f b t y a t y a t y a t y a +'+''+'''=+'+''+'''
可以用以下命令：
b=[b3,b2,b1,b0];
a=[a3,a2,a1,a0];
sys=tf(b, a);
来获得LTI 模型。

系统的LTI 模型建立后，就可以求出系统的冲激响应和阶跃响应。

在连续时间LTI 中，冲击响应和阶跃响应是系统特性的描述。

输入为单位冲击函数)(t δ所引起的零状态响应称为单位冲击响应，简称冲击响应，用)(t h 表示；输入为单位阶跃函数)(t ε所引起的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用)(t u 表示。

求解系统的冲激响应的函数是impulse ，求解系统的阶跃响应可以利用函数step ，其调用形式分别为：
),(t sys impulse y =和),(t sys step y =
式中t 表示计算系统响应的抽样点向量，sys 是LTI 系统模型。

三实验内容： 一、已知系统的系统转移算子为3
322)(21+++=p p p p H ，求该系统的零状态响应曲线。

假设系统的激励)(t e ＝)sin(t ，t 在[0,2π]之间，步长0.01。

t=0:0.01:2*pi;
b=[2 2];
a=[1 3 3];
sys=tf(b,a);
f=sin(t);
y=lsim (sys,f,t);
plot(t,y)
xlabel('t');
ylabel('y(t)');
grid on; 二、已知系统的系统转移算子为3
22)(22++=p p p p H ，求该系统的零状态响应曲线。

假设系统的激励)(t e ＝)cos(t ，t 在[0,2π]之间，步长0.01。

t=0:0.01:2*pi; b=[2 0];
a=[1 2 3];
sys=tf(b,a);
f=cos(t);
y=lsim (sys,f,t);
plot(t,y)
xlabel('t');
ylabel('y(t)');
grid on; 三、已知系统的微分方程为：)(6)(6)(5)(22t e t r dt
t dr dt t r d =++，求该系统的零状态响应曲线。

假设系统的激励)(t e ＝)2sin(10t π，t 在[0,2π]之间，步长0.01。

t=0:0.01:2*pi;
b=[6];
a=[1 5 6];
sys=tf(b,a);
f=10*sin(2*pi*t);
y=lsim (sys,f,t);
plot(t,y)
xlabel('t');
ylabel('y(t)');
grid on; 四、已知系统的微分方程为：)(10)(100)(2)(22t e t r dt t dr dt
t r d =++，求系统的冲激响
应和阶跃响应曲线，将两幅图显示在一个窗口，t 在[0,2π]之间，步长0.01。

t=0:0.01:2*pi;
b=[10];
a=[1 2 100];
sys=tf(b,a);
y1=impulse(sys,t);
y2=step(sys,t);
subplot(2,1,1);
plot(t,y1);
xlabel('t');
ylabel('h(t)');
grid on;
subplot(2,1,2);
plot(t,y2);
xlabel('t');
ylabel('u(t)');
grid on; 五、已知系统的微分方程为：)(16)()(32)(2)(22t e dt
t de t r dt t dr dt t r d +=++，假设系统的激励)(t e ＝t e 2-，t 在[0,2π]之间，步长0.01。

将系统的激励函数、冲激响应和零状态响应显示在一个窗口。

t=0:0.01:2*pi; b=[1 16];
a=[1 2 32];
sys=tf(b,a);
f=exp(-2*t);
y1=impulse(sys,t);
y2=lsim(sys,f,t);
subplot(3,1,1);
plot(t,f);
xlabel('t');
ylabel('e(t)');
grid on;
subplot(3,1,2);
plot(t,y1);
xlabel('t');
ylabel('h(t)');
grid on;
subplot(3,1,3);
plot(t,y2);
xlabel('t');
ylabel('y(t)');
grid on;
四思考题：
1、在Matlab中求解LTI连续时间系统的零状态响应以及冲激响应和阶跃响应时,
采用的方法与我们正常求解微分方程得出系统响应的方法之间有什么异同点？
2、在Matlab中符号数学函数使用时与一般的向量数学函数有什么区别的地方？
3、冲激响应和阶跃响应之间存在什么样的关系？
答（1）：
共同点：都是对转移算子进行一系列的运算。

不同点:在matlabe中通过调用函数y=isim(sys,f,t),y=impulse(sys,t)和y=step(sys,t)对转移算子进行处理得到零状态响应，冲击响应和阶跃响应的图像。

而我们正常求解是对转移算子通过运算得到零状态响应，冲击响应和阶跃响应的函数表达式。

答（2）
C=A*B表示两个矩阵相乘。

而C=A.*B表示矩阵中的对应元素相乘。

在atlab 中.*表示乘，./表示除法。

答（3）：
阶跃响应的导函数图像是冲响应的图像，冲激响应积分的图像是阶跃响应的图像。