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上海高二下数学一课一练答案~~

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2020-2021学年沪教版(上海)高二数学下学期同步练习11.1 直线的方程(第三课时)

2020-2021学年沪教版(上海)高二数学下学期同步练习11.1 直线的方程(第三课时)

11.1直线的方程（第三课时）同步练习一．填空题1.过点()1,2--，且与直线2370x y ++=平行的直线的点方向式方程是__________.2.过点()1,2--，且与直线2370x y ++=垂直的直线的点方向式方程是______________.3.已知()()1,1,3,3A B -两点，点()5,C a 在直线AB 上，则实数a 的值是___________.4.方程11041x y +-=所表示的直线的一个法向量是_____________.5.过点()2,1-及()2,2--的直线方程是___________.6.直线3250x y ++=的一个法向量为(),2a a -，则a =____________.7.若直线()3280a x y +++=不经过第二象限，则实数a 的取值范围为____________.二．选择题8.直线50x +=的一个方向向量为（）A ．()1,0B ．()0,1C ．()5,0-D ．()1,1--9.联结点()()2,1,3,5A B --的直线的一个法向量的坐标为（）A ．()6,5B ．()6,5-C ．()5,6D ．()5,6-10.直线230x y --=关于x 轴对称的直线方程是（）A ．230x y ++=B ．230x y +-=C ．230x y -+=D ．230x y --=三．解答题11.直线l 过点()5,3A --且在x 、y 轴上的截距相等，求l 的方程.12.已知直线34x y c +=被两坐标轴截得的线段长为1，求实数c 的值.13.求证：直线()()21cos2sin 0,x y k k θθθπ+--=≠∈Z 和两坐标轴围成的图形面积为定值.14.四边形ABCD 是矩形，()2,1A ，两条对角线的交点为()3,3，边AB 与向量()1,1n =- 垂直，求矩形四边所在直线的方程.答案：1.2380x y ++=2.370x y --=3.7a =4.()1,4n =- 5.20x +=6.6a =7.23a ≤-8.B9.A10.B11.若截距为0，则设:l y kx =，()3355k k -=-⇒=；若截距不为0，则设53:1,18x y l a a a a a--+=+=⇒=-，所以:35080l x y x y -=++=或.12.直线34x y c +=与两坐标轴的交点分别为()()3,0,0,4c c ，因此直线34x y c +=被两坐标轴截得的线段长为221916515c c c c +==⇒=±.13.直线与两坐标轴的交点为1sin 0,,,02sin 2θθ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是1sin 11222sin 8S θθ=⋅⋅=.14.()():21010AB l x y x y ---=⇒--=，21:3011AD x y l x y --=⇒+-=-，由()3,3为A 、C 中点，可得()4,5C ，()():45010CD l x y x y ---=⇒-+=，41:9011BC x y l x y --=⇒+-=-.。

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［精品］高中数学必修2练习一课一练［含答案］,精品,高中数学必修2练习一课一练,含答案,.doc2.2 直线、平面平行的判定及其性质一、选择题1、若，，则下列说法正确的是( ) l//,A,,,A、过在平面内可作无数条直线与平行 Al,B、过在平面内仅可作一条直线与平行 Al,C、过在平面内可作两条直线与平行 AlD、与的位置有关 A,2、，，则与的关系为( ) a//ba,,,PbA、必相交B、必平行C、必在内D、以上均有可能,、，过作与平行的直线可作( ) 3AA,,A、不存在B、一条C、四条D、无数条c,,4、，、，，，则有( ) a//,ba//bb,cA、 B、 a//ca,cacacC、、共面 D、、异面，所成角不确定5、下列四个命题(1)， a//bb//c,a//ca,bb,c,a//c(2)，(3)， a//,b,,,a//b(4)， a//bb//,,a//,正确有( )个A、 B、 C、 D、 1243,6、若直线a?直线b，且a?平面，则b与a的位置关系是( )A、一定平行B、不平行C、平行或相交D、平行或在平面内,,7、直线a?平面,平面内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的( )A、至少有一条B、至多有一条C、有且只有一条D、不可能有8、若a//b//c, 则经过a的所有平面中( )A、必有一个平面同时经过b和cB、必有一个平面经过b且不经过cC、必有一个平面经过b但不一定经过cD、不存在同时经过b和c的平面二、填空题,精品,高中数学必修2练习一课一练,含答案,.doc 9、过平面外一点，与平面平行的直线有_________条，如果直线m?平面，那么在平面内有_________条直线与m平行,,,10、n平面，则m?n是m?的______条件11、若P是直线l外一点，则过P与l平行的平面有___________个。

三、解答题,12、已知:lα ,mα ,l?m ,求证:l ? αaa13、、异面，求证过与平行的平面有且仅有一个。

新教材人教A版高中数学必修第二册全册课时练习(一课一练,含解析)

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人教A版高中数学必修第二册全册课时练习6.1 平面向量的概念 .............................................................................................................. - 2 - 6.2.1 向量的加法运算........................................................................................................ - 5 - 6.2.2 向量的减法运算........................................................................................................ - 8 - 6.2.3 向量的数乘运算...................................................................................................... - 11 - 6.2.4 向量的数量积............................................................................................................ - 14 - 6.3.1 平面向量基本定理.................................................................................................... - 18 - 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示............................................................................ - 21 - 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示............................................................................ - 21 - 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示.............................................................................. - 24 - 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示.................................................................................. - 27 - 6．4 平面向量的应用........................................................................................................ - 30 -7.1.1 数系的扩充和复数的概念...................................................................................... - 34 - 7.1.2 复数的几何意义...................................................................................................... - 37 - 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义.......................................................................... - 39 -7.2.2 复数的乘、除运算.................................................................................................. - 43 -8.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征................................................................................ - 46 - 8.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征................................................ - 49 - 8.2 立体图形的直观图........................................................................................................ - 51 - 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积...................................................................... - 55 - 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积.............................................................. - 59 - 8.4.1 平面 ......................................................................................................................... - 62 - 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系.................................................................. - 66 - 8.5.1 直线与直线平行...................................................................................................... - 69 - 8.5.2 直线与平面平行...................................................................................................... - 73 - 8.5.3 平面与平面平行...................................................................................................... - 76 - 8.6.1 直线与直线垂直...................................................................................................... - 80 - 8.6.2 直线与平面垂直...................................................................................................... - 85 -8.6.3平面与平面垂直 ....................................................................................................... - 89 -9.1.1简单随机抽样 ........................................................................................................... - 94 - 9.1.2 分层随机抽样 ............................................................................................................. - 96 - 9.1.3 获取数据的途径 ......................................................................................................... - 96 - 9.2.1总体取值规律的估计 ............................................................................................. - 100 - 9.2.2 总体百分位数的估计 ............................................................................................... - 105 - 9.2.3 总体集中趋势的估计 ............................................................................................... - 105 -9.2.4 总体离散程度的估计 ............................................................................................... - 105 -10.1.1有限样本空间与随机事件.................................................................................... - 110 - 10.1.2事件的关系和运算 ............................................................................................... - 112 - 10.1.3古典概型 ............................................................................................................... - 115 - 10.1.4概率的基本性质 ................................................................................................... - 118 - 10.2事件的相互独立性 .................................................................................................. - 121 - 10.3频率与概率 .............................................................................................................. - 126 -6.1 平面向量的概念一、选择题1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量． 【答案】D2．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是a|a |.A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a |或－a|a |，故④也是错误的．【答案】D3．如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →【解析】由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同， 故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →； PE →与PF →的模相等而方向相反，故PE →≠PF →. EP →与PF →的模相等且方向相同，∴EP →＝PF →.【答案】D4．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( ) A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形 D ．等腰梯形【解析】由BA →＝CD →，知AB ＝CD 且AB ∥CD ，即四边形ABCD 为平行四边形．又因为|AB →|＝|AD →|，所以四边形ABCD 为菱形． 【答案】C 二、填空题5．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________.【解析】因为正方形的对角线长为22，所以|OA →|＝ 2. 【答案】 2 6.如图，四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是AD 与BC 的中点，则在以A 、B 、C 、D 四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量EF →方向相反的向量为________．【解析】因为AB ∥EF ，CD ∥EF ，所以与EF →平行的向量为DC →，CD →，AB →，BA →，其中方向相反的向量为BA →，CD →. 【答案】BA →，CD →7．给出下列命题：①若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点； ②在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中所有正确命题的序号为________．【解析】AB →＝DC →，A 、B 、C 、D 四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD 中，|AB →|＝|DC →|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，故②正确；a ＝b ，则|a |＝|b |，且a 与b 方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |，且b 与c 方向相同，则a 与c 长度相等且方向相同，故a ＝c ，故③正确；对于④，当b ＝0时，a 与c 不一定平行，故④不正确． 【答案】②③ 三、解答题8．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a . (1)试以B 为起点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么．【解析】(1)根据相等向量的定义，所作向量b 应与a 同向，且长度相等，如下图所示． (2)由平面几何知识可作满足条件的向量c ，所有这样的向量c 的终点的轨迹是以点C 为圆心，2为半径的圆，如下图所示．9．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100千米到达B 点，然后又改变了方向向北偏西40°走了200千米到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D 点． (1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.【解析】(1)如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，即AB ∥CD . 又|AB →|＝|CD →|，所以四边形ABCD 为平行四边形． 所以|AD →|＝|BC →|＝200(千米)．10．如图，在△ABC 中，已知向量AD →＝DB →，DF →＝EC →，求证：AE →＝DF →.证明：由DF →＝EC →，可得DF ＝EC 且DF ∥EC ， 故四边形CEDF 是平行四边形，从而DE ∥FC . ∵AD →＝DB →，∴D 为AB 的中点． ∴AE →＝EC →，∴AE →＝DF →.6.2.1 向量的加法运算一、选择题1．点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →等于( )A.AB →B.BC →C.CD →D.DA →【解析】因为点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →＝AC →＋CB →＝AB →.故选A. 【答案】A2．设a 表示“向东走5 km”，b 表示“向南走5 km”，则a ＋b 表示( ) A ．向东走10 km B ．向南走10 km C ．向东南走10 km D ．向东南走5 2 km 【解析】如图所示，AC →＝a ＋b ，|AB →|＝5，|BC →|＝5，且AB ⊥BC ，则|AC →|＝52，∠BAC ＝45°. 【答案】D3．已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同 D ．不确定【解析】如果a 和b 方向相同，则它们的和的方向应该与a (或b )的方向相同；如果它们的方向相反，而a 的模大于b 的模，则它们的和的方向与a 的方向相同． 【答案】A4．如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.FO →D.EO →【解析】设a ＝OP →＋OQ →，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形，则OP 与OQ 之间的对角线对应的向量即向量a ＝OP →＋OQ →，由a 和FO →长度相等，方向相同，得a ＝FO →，即OP →＋OQ →＝FO →. 【答案】C 二、填空题5．在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，则a ＋b ＋c ＝________.【解析】由向量加法的三角形法则，得AB →＋BC →＝AC →，即a ＋b ＋c ＝AB →＋BC →＋CA →＝0. 【答案】06．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________.【解析】原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →. 【答案】AC →7．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝________. 【解析】在菱形ABCD 中，连接BD ， ∵∠DAB ＝60°，∴△BAD 为等边三角形， 又∵|AB →|＝1，∴|BD →|＝1，|BC →＋CD →|＝|BD →|＝1. 【答案】1 三、解答题8．如图，已知向量a 、b ，求作向量a ＋b .【解析】(1)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(1)； (2)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(2)； (3)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(3)．9.如图所示，设O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量： (1)OA →＋OC →； (2)BC →＋FE →.【解析】(1)由图可知，四边形OABC 为平行四边形，所以由向量加法的平行四边形法则，得OA →＋OC →＝OB →.(2)由图可知，BC →＝FE →＝OD →＝AO →，所以BC →＋FE →＝AO →＋OD →＝AD →.10．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．【解析】如图，作▱OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°， 则∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°.设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体所受的重力，且|OC →|＝300 N. 所以|OA →|＝|OC →|cos 30°＝1503(N)， |OB →|＝|OC →|cos 60°＝150 (N)．所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.6.2.2 向量的减法运算一、选择题1．下列运算中正确的是( ) A.OA →－OB →＝AB → B.AB →－CD →＝DB → C.OA →－OB →＝BA → D.AB →－AB →＝0【解析】根据向量减法的几何意义，知OA →－OB →＝BA →，所以C 正确，A 错误；B 显然错误；对于D ，AB →－AB →应该等于0，而不是0.【答案】C2．下列四式中不能化简为PQ →的是( ) A.AB →＋(PA →＋BQ →) B ．(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →) C.QC →－QP →＋CQ → D.PA →＋AB →－BQ →【解析】D 中，PA →＋AB →－BQ →＝PB →－BQ →＝PB →＋QB →不能化简为PQ →，其余选项皆可． 【答案】D3．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则AD →－AC →等于( ) A.CB → B.BC → C.CD → D.DC →【解析】在△ABC 中，D 是BC 边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD →－AC →＝CD →. 【答案】C4．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝( ) A ．a －b ＋c B ．b －(a ＋c ) C ．a ＋b ＋c D ．b －a ＋c【解析】DC →＝DA →＋AB →＋BC →＝a －b ＋c . 【答案】A 二、填空题5.EF →＋DE →－DB →＝________.【解析】EF →＋DE →－DB →＝EF →＋BE →＝BF →. 【答案】BF →6．若a ，b 为相反向量，且|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝________，|a －b |＝________.【解析】若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0，所以|a ＋b |＝0，又a ＝－b ，所以|a |＝|－b |＝1，因为a 与－b 共线同向，所以|a －b |＝2. 【答案】0 27．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，且|BC →|＝4，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝________.【解析】以AB ，AC 为邻边作平行四边形ACDB ，由向量加减法几何意义可知，AD →＝AB →＋AC →，CB →＝AB →－AC →，∵|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，平行四边形ABCD 为矩形，∴|AD →|＝|CB →|，又|BC →|＝4，M 是线段BC 的中点， ∴|AM →|＝12|AD →|＝12|BC →|＝2.【答案】2 三、解答题8．如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .【解析】方法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，则CB →＝a ＋b －c .方法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ，则OC →＝a ＋b －c .9．化简下列各式：(1)(AB →＋MB →)＋(－OB →－MO →)； (2)AB →－AD →－DC →.【解析】(1)方法一 原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →. 方法二 原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋(MB →＋BO →)＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0＝AB →. (2)方法一 原式＝DB →－DC →＝CB →.方法二 原式＝AB →－(AD →＋DC →)＝AB →－AC →＝CB →. 10．如图，解答下列各题：(1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用b ，c 表示DB →； (3)用a ，b ，e 表示EC →； (4)用d ，c 表示EC →.【解析】由题意知，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，EA →＝e ，则 (1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝a ＋d ＋e . (2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c . (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝a ＋b ＋e . (4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d .6.2.3 向量的数乘运算一、选择题1．4(a －b )－3(a ＋b )－b 等于( ) A ．a －2b B ．a C ．a －6b D ．a －8b【解析】原式＝4a －4b －3a －3b －b ＝a －8b .2．点C 在直线AB 上，且AC →＝3AB →，则BC →等于( ) A ．－2AB → B.13AB →C ．－13AB →D ．2AB →【解析】如图，AC →＝3AB →，所以BC →＝2AB →. 【答案】D3．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为( )A ．－1或3 B. 3 C ．－1或4 D ．3或4【解析】因为向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以m ＝－32－m ，解得m ＝－1或m ＝3. 【答案】A 4.如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝( ) A ．a ＋34bB.34a ＋14bC.14a ＋14bD.14a ＋34b 【解析】AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b .【答案】D5．已知|a |＝4，|b |＝8，若两向量方向同向，则向量a 与向量b 的关系为b ＝________a . 【解析】由于|a |＝4，b ＝8，则|b |＝2|a |，又两向量同向，故b ＝2a . 【答案】26．点C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，则AC →＝________AB →，BC →＝________AB →.【解析】因为C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，所以AC →与AB →方向相同，BC →与AB →方向相反，且AC AB ＝35，BC AB ＝25，所以AC →＝35AB →，BC →＝－25AB →. 【答案】35 －257．已知向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝5，且a ＝λb ，则实数λ的值是________． 【解析】由a ＝λb ，得|a |＝|λb |＝|λ||b |.∵|a |＝3，|b |＝5， ∴|λ|＝35，即λ＝±35.【答案】±35三、解答题 8．计算(1)13(a ＋2b )＋14(3a －2b )－12(a －b )； (2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a ＋2b－23a －b －76⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋37⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋76a . 【解析】(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋34－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－12＋12b ＝712a ＋23b . (2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫73a ＋b －76⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋37b ＝76a ＋12b －76a －12b ＝0. 9．已知E ，F 分别为四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的中点，设BC →＝a ，DA →＝b ，试用a ，b 表示EF →.【解析】如图所示，取AB 的中点P ，连接EP ，FP .在△ABC 中，EP 是中位线， 所以PE →＝12BC →＝12a .在△ABD 中，FP 是中位线，所以PF →＝12AD →＝－12DA →＝－12b .在△EFP 中，EF →＝EP →＋PF →＝－PE →＋PF →＝－12a －12b ＝－12(a ＋b )．10．已知e ，f 为两个不共线的向量，若四边形ABCD 满足AB →＝e ＋2f ，BC →＝－4e －f ，CD →＝－5e －3f .(1)用e 、f 表示AD →；(2)证明：四边形ABCD 为梯形．【解析】(1)AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e ＋2f )＋(－4e －f )＋(－5e －3f )＝(1－4－5)e ＋(2－1－3)f ＝－8e －2f .(2)证明：因为AD →＝－8e －2f ＝2(－4e －f )＝2BC →， 所以AD →与BC →方向相同，且AD →的长度为BC →的长度的2倍， 即在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ≠BC ， 所以四边形ABCD 是梯形．6.2.4 向量的数量积一、选择题1．若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为45°，则m ·n ＝( ) A ．12 B ．12 2 C ．－12 2 D ．－12【解析】m ·n ＝|m ||n |cos θ＝4×6×cos 45°＝24×22＝12 2. 【答案】B2．已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |＝( ) A ．12 B ．3 C ．6 D ．3 3【解析】a ·b ＝|a ||b |cos 135°＝－122，又|a |＝4，解得|b |＝6. 【答案】C3．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，a ·(b －a )＝－1，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2【解析】因为|a |＝2，a ·(b －a )＝－1， 所以a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝a ·b －22＝－1， 所以a ·b ＝3.又因为|b |＝3，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝32×3＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 【答案】C4．若a ·b ＞0，则a 与b 的夹角θ的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，πC.⎝⎛⎦⎥⎤π2，π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π 【解析】因为a ·b ＞0，所以cos θ＞0，所以θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2.【答案】A 二、填空题5．如图所示，在Rt△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，则AB →·BC →的值是________．【解析】方法一 AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(180°－∠B )＝－|AB →||BC →|cos∠B ＝－|AB →||BC→|·|AB →||BC →|＝－|AB →|2＝－1.方法二 |BA →|＝1，即BA →为单位向量，AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－|BA →||BC →|cos∠B ，而|BC →|·cos∠B ＝|BA →|，所以AB →·BC →＝－|BA →|2＝－1. 【答案】－16．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角为________．【解析】设a 与b 的夹角为θ，cos θ＝a ·b |a |·|b |＝21×4＝12，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 【答案】π37．已知|a |＝3，向量a 与b 的夹角为π3，则a 在b 方向上的投影为________．【解析】向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝3×cos π3＝32.【答案】32三、解答题8．已知|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求： (1)a 2－b 2；(2)(2a －b )·(a ＋3b )．【解析】(1)a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝32－42＝－7.(2)(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋5a ·b －3b 2＝2|a |2＋5|a ||b |·cos 120°－3|b |2＝2×32＋5×3×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－3×42＝－60. 9．(1)已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |，|3a ＋b |；(2)已知|a |＝|b |＝5，且|3a －2b |＝5，求|3a ＋b |的值；(3)如图，已知在▱ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，∠DAB ＝π3，求对角线AC 和BD 的长．【解析】(1)a ·b ＝|a ||b |cos π3＝5×5×12＝252，∴|a ＋b |＝a ＋b 2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝53，|a －b |＝a －b2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝25＝5， |3a ＋b |＝3a ＋b2＝9a 2＋b 2＋6a ·b ＝325＝513.(2)∵|3a －2b |2＝9|a |2－12a ·b ＋4|b |2＝9×25－12a ·b ＋4×25＝325－12a ·b ，又|3a －2b |＝5，∴325－12a ·b ＝25，则a ·b ＝25.∴|3a ＋b |2＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝9×25＋6×25＋25＝400.故|3a ＋b |＝20. (3)设AB →＝a ，AD →＝b ，则|a |＝3，|b |＝1，a 与b 的夹角θ＝π3.∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝32.又∵AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ， ∴|AC →|＝AC →2＝a ＋b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝13，|DB →|＝DB →2＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝7.∴AC ＝13，BD ＝7.10．已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 方向上的投影为－1. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求(a －2b )·b ；(3)当λ为何值时，向量λa ＋b 与向量a －3b 互相垂直？ 【解析】(1)由题意知|a |＝2，|b |＝1. 又a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝－1， ∴cos θ＝－12，∴θ＝2π3.(2)易知a ·b ＝－1，则(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3. (3)∵λa ＋b 与a －3b 互相垂直，∴(λa ＋b )·(a －3b )＝λa 2－3λa ·b ＋b ·a －3b 2 ＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0， ∴λ＝47.6.3.1 平面向量基本定理一、选择题1．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( ) A ．不共线 B ．共线 C ．相等 D ．不确定 【解析】∵a ＋b ＝3e 1－e 2， ∴c ＝2(a ＋b )．∴a ＋b 与c 共线． 【答案】B2．已知AD 是△ABC 的中线，AB →＝a ，AD →＝b ，以a ，b 为基底表示AC →，则AC →＝( ) A.12(a －b ) B ．2b －a C.12(b －a ) D ．2b ＋a【解析】如图，AD 是△ABC 的中线，则D 为线段BC 的中点，从而AD →＝12(AB →＋AC →)，则AC →＝2AD→－AB →＝2b －a . 【答案】B3．在正方形ABCD 中，AC →与CD →的夹角等于( ) A ．45° B．90° C ．120° D．135° 【解析】如图所示，将AC →平移到CE →，则CE →与CD →的夹角即为AC →与CD →的夹角，夹角为135°. 【答案】D4．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( ) A.165 B.125 C.85 D.45【解析】∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.【答案】C 二、填空题5．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为________．【解析】因为a ，b 是一组基底，所以a 与b 不共线， 因为(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.【答案】36．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，若OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，则OC →＝________.【解析】AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，∵2AC →＋CB →＝0，∴2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0，∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b . 【答案】2a －b7．在正方形ABCD 中，E 是DC 边上的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝________.【解析】BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →＝b －12a .【答案】b －12a三、解答题8．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .【解析】因为a ，b 不共线，所以可设c ＝x a ＋y b ， 则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2) ＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2. 又因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，所以c ＝a －2b .9．如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC→＝b ，试用a ，b 将MN →、NP →、PM →表示出来． 【解析】NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．10．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足：AM →＝34AB →＋14AC →.(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比；(2)若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点O ，设BO →＝xBM →＋yBN →，求x ，y 的值． 【解析】(1)由AM →＝34AB →＋14AC →可知M ，B ，C 三点共线，如图，令BM →＝λBC →⇒AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →⇒λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即面积之比为1 4. (2)由BO →＝xBM →＋yBN →⇒BO →＝xBM →＋y 2BA →，BO →＝x 4BC →＋yBN ，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y2＝1，x4＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝47，y ＝67.6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示一、选择题1．设i ，j 是平面直角坐标系内分别与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若OA →＝4i ＋2j ，OB →＝3i ＋4j ，则2OA →＋OB →的坐标是( ) A ．(1，－2) B ．(7,6) C ．(5,0) D ．(11,8)【解析】因为OA →＝(4,2)，OB →＝(3,4)， 所以2OA →＋OB →＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)． 【答案】D2．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(1,0)，那么向量3b －a 的坐标是( ) A ．(－4,2) B ．(－4，－2) C ．(4,2) D ．(4，－2)【解析】3b －a ＝3(1,0)－(－1,2)＝(4，－2)．【答案】D3．已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(5,6) D ．(2,0)【解析】b ＝(3,2)－2a ＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)． 【答案】A4．已知向量i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )；②若x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2； ③若x ，y ∈R ，a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的起点是原点O ； ④若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )． 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】由平面向量基本定理知①正确；若a ＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a ＝(x ，y )与a 的起点是不是原点无关，故③错误；当a 的终点坐标是(x ，y )时，a ＝(x ，y )是以a 的起点是原点为前提的，故④错误．【答案】A 二、填空题5．在平面直角坐标系内，已知i 、j 是两个互相垂直的单位向量，若a ＝i －2j ，则向量用坐标表示a ＝________.【解析】由于i ，j 是两个互相垂直的单位向量，所以a ＝(1，－2)． 【答案】(1，－2)6．如右图所示，已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°，则向量OA →的坐标为________．【解析】设点A (x ，y )，则x ＝|OA →|·cos 60°＝43cos 60°＝23，y ＝|OA →|·sin 60°＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，所以OA →＝(23，6)． 【答案】(23，6)7．已知向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3,2)，则x ＝________.【解析】易得AB →＝(2,0)，由a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0，解得x ＝－1.【答案】－1 三、解答题8．如图，取与x 轴、y 轴同向的两个单位向量i ，j 作为基底，分别用i ，j 表示OA →，OB →，AB →，并求出它们的坐标．【解析】由图形可知，OA →＝6i ＋2j ，OB →＝2i ＋4j ，AB →＝－4i ＋2j ，它们的坐标表示为OA →＝(6,2)，OB →＝(2,4)，AB →＝(－4,2)．9．已知a ＝(2，－4)，b ＝(－1,3)，c ＝(6,5)，p ＝a ＋2b －c . (1)求p 的坐标 ；(2)若以a ，b 为基底，求p 的表达式．【解析】(1)p ＝(2，－4)＋2(－1,3)－(6,5)＝(－6，－3)． (2)设p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1,3)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－μ＝－6，－4λ＋3μ＝－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－212，μ＝－15，所以p ＝－212a －15b .10．已知O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，设OA →a ，OB →＝b ，OC →＝c ，且|a |＝2，|b|＝1，|c |＝3，试用a ，b 表示c .【解析】如图，以O 为原点，OA →为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，由三角函数的定义，得B (cos 150°，sin 150°)，C (3cos 240°，3sin 240°)． 即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332，又∵A (2,0)， 故a ＝(2,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332. 设c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332＝λ1(2,0)＋λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12＝⎝⎛⎭⎪⎫2λ1－32λ2，12λ2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ1－32λ2＝－32，12λ2＝－332，∴⎩⎨⎧λ1＝－3，λ2＝－33，∴c ＝－3a －33b .6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示一、选择题1．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－6) C ．(－4，－8) D ．(－5，－10)【解析】由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)，解得m ＝－4，所以b ＝(－2，－4)，所以2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)． 【答案】C2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值等于( ) A.12 B.13 C ．1 D ．2【解析】a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a ＋2b )∥(2a －2b )，可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12，故选A.【答案】A3．已知A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，且A ，B ，C 三点共线，则点C 的坐标可以是( ) A ．(－9,1) B ．(9，－1) C ．(9,1) D ．(－9，－1) 【解析】设点C 的坐标是(x ，y )， 因为A ，B ，C 三点共线， 所以AB →∥AC →.因为AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12－(1，－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，AC →＝(x ，y )－(1，－3)＝(x －1，y ＋3)，所以7(y ＋3)－72(x －1)＝0，整理得x －2y ＝7，经检验可知点(9,1)符合要求，故选C. 【答案】C4．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(2m ，m ＋1)，若AB →∥OC →，则实数m 的值为( ) A.35 B ．－35 C ．3 D ．－3【解析】向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)， ∴AB →＝(3,1)，∵OC →＝(2m ，m ＋1)，AB →∥OC →， ∴3m ＋3＝2m ，解得m ＝－3，故选D.【答案】D 二、填空题5．已知向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，则实数x 的值为________．【解析】因为向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，所以2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1. 【答案】16．已知A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)，给出下列结论： ①直线OC 与直线BA 平行； ②AB →＋BC →＝CA →； ③OA →＋OC →＝OB →； ④AC →＝OB →－2OA →.其中，正确结论的序号为________．【解析】①因为OC →＝(－2,1)，BA →＝(2，－1)，所以OC →＝－BA →，又直线OC ，BA 不重合，所以直线OC ∥BA ，所以①正确；②因为AB →＋BC →＝AC →≠CA →，所以②错误；③因为OA →＋OC →＝(0,2)＝OB →，所以③正确；④因为AC →＝(－4,0)，OB →－2OA →＝(0,2)－2(2,1)＝(－4,0)，所以④正确． 【答案】①③④7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，c ＝(3,4)．若a ＋b 与c 共线，则实数λ＝________. 【解析】因为a ＋b ＝(1,2)＋(1，λ)＝(2,2＋λ)，所以根据a ＋b 与c 共线得2×4－3×(2＋λ)＝0，解得λ＝23.【答案】23三、解答题8．已知a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，a 与b 共线且方向相同，求x . 【解析】∵a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，a ∥b . ∴x 2－4＝0，解得x 1＝2，x 2＝－2.当x ＝2时，a ＝(2,1)，b ＝(4,2)，a 与b 共线且方向相同； 当x ＝－2时，a ＝(－2,1)，b ＝(4，－2)，a 与b 共线且方向相反． ∴x ＝2.9．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →.证明：设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，依题意有AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB →＝(4，－1)． ∵AE →＝13AC →，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，∵BF →＝13BC →，∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.∵AE →＝(x 1＋1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，∵BF →＝(x 2－3，y 2＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0， ∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23.又∵4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－83×(－1)＝0，∴EF →∥AB →. 10．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． 【解析】(1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0，得k ＝－12.(2)因为A ，B ，C 三点共线， 所以AB →＝λBC →，λ∈R ， 即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝mλ，解得m ＝32.6.3.5 平面向量数量积的坐标表示一、选择题1．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为( )A ．－32 B.32C ．2D ．6【解析】依题意得6－m ＝0，m ＝6，选D. 【答案】D2．向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2【解析】a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1. 【答案】C3．已知a ，b 为平面向量，且a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865 C.1665 D ．－1665【解析】∵a ＝(4,3)，∴2a ＝(8,6)．又2a ＋b ＝(3,18)， ∴b ＝(－5,12)，∴a ·b ＝－20＋36＝16. 又|a |＝5，|b |＝13， ∴cos〈a ，b 〉＝165×13＝1665.【答案】C4．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3,1)，c ＝(k,4)，且(a －b )⊥c ，则k ＝( ) A ．－6 B ．－1 C ．1 D ．6【解析】∵a ＝(－1,2)，b ＝(3,1)，∴a －b ＝(－4,1)，∵(a －b )⊥c ，∴－4k ＋4＝0，解得k ＝1. 【答案】C 二、填空题5．a ＝(－4,3)，b ＝(1,2)，则2|a |2－3a ·b ＝________. 【解析】因为a ＝(－4,3)，所以2|a |2＝2×(－42＋32)2＝50.a ·b ＝－4×1＋3×2＝2.所以2|a |2－3a ·b ＝50－3×2＝44. 【答案】446．设向量a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝________.【解析】由题意得，m a －b ＝(m ＋1，－m )，根据向量垂直的充要条件可得1×(m ＋1)＋0×(－m )＝0，所以m ＝－1.【答案】－17．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.【解析】c ＝(m ＋4,2m ＋2)，|a |＝5，|b |＝25， 设c ，a 的夹角为α，c ，b 的夹角为θ，又因为cos α＝c ·a |c ||a |，cos θ＝c ·b |c ||b |，由题意知c ·a |a |＝c ·b |b |，即5m ＋85＝8m ＋2025. 解得m ＝2. 【答案】2 三、解答题8．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R . (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.【解析】(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0， 即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， |a －b |＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝2. 当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)， |a －b |＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝2 5.9．已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，－1)． (1)若|c |＝32，且c ∥a ，求向量c 的坐标；(2)若b 是单位向量，且a ⊥(a －2b )，求a 与b 的夹角θ.【解析】(1)设c ＝(x ，y )，由|c |＝32，c ∥a 可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x ＝0，x 2＋y 2＝18，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3，故c ＝(－3,3)或c ＝(3，－3)．(2)因为|a |＝2，且a ⊥(a －2b )，所以a ·(a －2b )＝0，即a 2－2a ·b ＝0，∴a ·b ＝1，故cos θ＝a ·b |a |·|b |＝22，∵θ∈[0，π]， ∴θ＝π4.10．在△PQR 中，PQ →＝(2,3)，PR →＝(1，k )，且△PQR 的一个内角为直角，求k 的值． 【解析】(1)当∠P 为直角时，PQ ⊥PR ， ∴PQ →·PR →＝0，即2＋3k ＝0，∴k ＝－23.(2)当∠Q 为直角时，QP ⊥QR ，易知QP →＝(－2，－3)，QR →＝PR →－PQ →＝(－1，k －3)． 由QP →·QR →＝0，得2－3(k －3)＝0，∴k ＝113.(3)当∠R 为直角时，RP ⊥RQ ，易知RP →＝(－1，－k )，RQ →＝PQ →－PR →＝(1,3－k )． 由RP →·RQ →＝0，得－1－k (3－k )＝0，∴k ＝3±132.综上所述，k 的值为－23或113或3＋132或3－132.6．4 平面向量的应用一、选择题1．已知三个力F 1＝(－2，－1)，F 2＝(－3,2)，F 3＝(4，－3)同时作用于某物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F 4，则F 4等于( ) A ．(－1，－2) B ．(1，－2) C ．(－1,2) D ．(1,2)【解析】F 4＝－(F 1＋F 2＋F 3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝(1,2)． 【答案】D2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( ) A.24 B ．－24C.34 D ．－34【解析】由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，即b ＝2a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a＝－24.【答案】B3．河水的流速为2 m/s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( ) A ．10 m/s B ．226 m/s C ．4 6 m/s D ．12 m/s【解析】由题意知|v 水|＝2 m/s ，|v 船|＝10 m/s ，作出示意图如右图． ∴小船在静水中的速度大小|v |＝102＋22＝104＝226 (m/s)． 【答案】B4．在△ABC 中，AB ＝3，AC 边上的中线BD ＝5，AC →·AB →＝5，则AC 的长为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】因为BD →＝AD →－AB →＝12AC →－AB →，所以BD →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AB →2＝14AC →2－AC →·AB →＋AB →2，即14AC →2＝1，所以|AC →|＝2，即AC ＝2. 【答案】B 二、填空题5．如图所示，一力作用在小车上，其中力F 的大小为10牛，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米时，力F 做的功为________焦耳． 【解析】设小车位移为s ，则|s |＝10米，W F ＝F ·s ＝|F ||s |·cos 60°＝10×10×12＝50(焦耳)．【答案】506．若AB →＝3e ，DC →＝5e ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状为________． 【解析】由AB →＝3e ，DC →＝5e ，得AB →∥DC →，AB →≠DC →，又因为ABCD 为四边形，所以AB ∥DC ，AB ≠DC . 又|AD →|＝|BC →|，得AD ＝BC ， 所以四边形ABCD 为等腰梯形． 【答案】等腰梯形7．某同学骑电动车以24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A 处测得电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处，测得电视塔S 在电动车的北偏东75°方向上，则点B 与电视塔的距离是________ km.【解析】如题图，由题意知AB ＝24×1560＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，∴∠ASB ＝45°，由正弦定理知BS sin 30°＝AB sin 45°，∴BS ＝AB ·sin 30°sin 45°＝32(km)． 【答案】3 2 三、解答题 8.如图所示，在正方形ABCD 中，P 为对角线AC 上任一点，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，连接DP ，EF ，求证：DP ⊥EF .证明：方法一 设正方形ABCD 的边长为1，。

高二数学理科下学期一课一练答案

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1．1.1--1．1.2 变化率问题 导数的概念答案1．D 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B 7．－9 8．2.1 9．－210．解 因为Δy ＝－2(2＋Δx )2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx －2(Δx )2，所以函数在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率为ΔyΔx＝错误!＝－8－2Δx . 11．解 Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3)＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ， ∴ΔyΔx＝错误!＝2Δx ＋16. ∴y ′|x ＝3＝lim Δx→0 ΔyΔx ＝lim Δx→0(2Δx ＋16) ＝16.12．解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c＝a (Δx )2＋2a Δx . ∴f ′(1)＝lim Δx→0 错误! ＝lim Δx→0 错误!＝lim Δx→0 (a Δx ＋2a )＝2，即2a ＝2， ∴a ＝1.13．解 (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]内的平均速度为 Δs Δt ＝482＝24 (m/s)． (2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 ΔsΔt ＝错误! ＝错误! ＝3Δt －18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为 lim Δt→0 Δs Δt ＝lim Δt→0 (3Δt －18)＝－18， 即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为 ΔsΔt＝错误! ＝错误!＝3Δt －12.∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为 lim Δt→0 Δs Δt ＝lim Δt→0(3Δt －12)＝－12. 即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.1.1.3 导数的几何意义答案1．C 2．B 3．D 4．A 5．A 6．3 7．B 8．3 9.⎣⎡⎦⎤－1，－1210．解 曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1 ＝lim Δx→0 错误! ＝lim Δx→0 (3Δx ＋2)＝2.∴过点P (－1,2)的直线的斜率为2， 由点斜式得y －2＝2(x ＋1)， 即2x －y ＋4＝0.所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0.11．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x2＋4，y ＝x ＋10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)． (2)∵y ＝x 2＋4， ∴y ′＝lim Δx→0 错误! ＝lim Δx→0 错误! ＝lim Δx→0 (Δx ＋2x )＝2x . ∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6.∴在点(－2,8)处的切线方程为4x＋y＝0；在点(3,13)处的切线方程为6x－y－5＝0.12．解∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x30＋ax20－9x0－1) ＝(3x20＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，∴ΔyΔx＝3x20＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.当Δx无限趋近于零时，ΔyΔx无限趋近于3x20＋2ax0－9. 即f′(x0)＝3x20＋2ax0－9∴f′(x0)＝3(x0＋a3)2－9－a23.当x0＝－a3时，f′(x0)取最小值－9－a2 3 .∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，∴该切线斜率为－12.∴－9－a23＝－12.解得a＝±3.又a<0，∴a＝－3.13．解相应图象如下图所示．§1.2导数的计算1．2.1 几个常用函数的导数1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一答案1．D2．B3．A4．B5．A6．10ln 107．－3 48．D 9．ln 2－110．解 (1)y ′＝(x x )′＝⎝⎛⎭⎫x 32′＝32x 32－1＝32x . (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x4′＝(x －4)′＝－4x －4－1 ＝－4x －5＝－4x5. (3)y ′＝(5x3)′＝⎝⎛⎭⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x2. (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x )′＝1x·ln 2.(5)∵y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos2x 4＝2sin x2⎝⎛⎭⎫2cos2x 4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x . 11．解 ∵y ＝3x2，∴y ′＝(3x2)′＝⎝⎛⎭⎫x 23′＝23x －13，∴y ′|x ＝8＝23×8－13＝13.即在点P (8,4)处的切线的斜率为13.∴适合题意的直线的斜率为－3. 从而适合题意的直线方程为 y －4＝－3(x －8)， 即3x ＋y －28＝0.12．解 根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1， 所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，13．解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4， ∴f 2 014(x )＝f 2(x )＝－sin x .1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二答案1．D 2．B 3．B 4．D 5．A 6.12 7．0.4 m/s 8．D 9．610．解 (1)方法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋3(2x 2＋3) ＝18x 2－4x ＋9.方法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1) ＝6x 3－2x 2＋9x －3， ∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′ ＝18x 2－4x ＋9.(2)∵y ＝(x －2)2＝x －4x ＋4，∴y ′＝x ′－(4x )′＋4′＝1－4·12x －12＝1－2x －12.(3)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－(12sin x )′＝1－12cos x .11．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .又已知f ′(x )＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2. ∴f (x )＝x 2＋2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴判别式Δ＝4－4c ＝0， 即c ＝1.故f (x )＝x 2＋2x ＋1.12．(1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，①又f ′(x )＝a ＋b x2，∴f ′(2)＝74，②由①，②得⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知 曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝(1＋3x20)(x －x 0)， 即y －(x 0－3x0)＝(1＋3x20)(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x0)． 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6x0||2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6. 13．解 设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)， 即y ＝2x 1x －x 21.①对于C 2：y ′＝－2(x －2)，则与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)， 即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 2－4.②因为两切线重合， 所以由①②，得错误!解得⎩⎪⎨⎪⎧x1＝0，x2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x1＝2，x2＝0.所以直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(三)答案1．A2．C3．B4．B5．－24(2 011－8x)26．－27．18．B9．D10．解(1)设y＝u8，u＝1＋2x2，∴y′＝(u8)′(1＋2x2)′＝8u7·4x＝8(1＋2x2)7·4x＝32x(1＋2x2)7.(2)设y＝u－12，u＝1－x2，则y′＝(u－12)′(1－x2)′＝(－12u－32)·(－2x)＝x(1－x2)－3 2 .(3)y′＝(sin 2x－cos 2x)′＝(sin 2x)′－(cos 2x)′＝2cos 2x＋2sin 2x＝22sin (2x＋π4 )．(4)设y＝cos u，u＝x2，则y′＝(cos u)′·(x2)′＝(－sin u)·2x＝(－sin x2)·2x＝－2x sin x2.11．解f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，f(0)＝1.∴f′(x)＝2ax－2＋1 x＋1＝错误!，f′(0)＝－1，∴切点P的坐标为(0,1)，l的斜率为－1，∴切线l的方程为x＋y－1＝0.12．解函数s＝5－25－9t2可以看作函数s＝5－x和x＝25－9t2的复合函数，其中x是中间变量．由导数公式表可得s x′＝－12x－12，x t′＝－18t.故由复合函数求导法则得s t′＝s x′·x t′＝(－12x －12)·(－18t )＝9t 25－9t2，将t ＝715代入s ′(t )， 得s ′(715)＝0.875 (m/s)． 它表示当t ＝715s 时，梯子上端下滑的速度为0.875 m/s. 13．证明 设y ＝f (x )是奇函数，即f (－x )＝－f (x )，两边对x 求导，得f ′(－x )·(－x )′＝－f ′(x )，即－f ′(－x )＝－f ′(x )，f ′(－x )＝f ′(x )，故原命题成立．1．3.1 函数的单调性与导数答案1．A 2．D 3．A 4．B 5.⎣⎡⎦⎤－13，1∪[2,3) 6.⎝⎛⎭⎫π3，5π3 7．解 由y ＝f ′(x )的图象可以得到以下信息：x <－2或x >2时，f ′(x )<0，－2<x <2时，f ′(x )>0， f ′(－2)＝0，f ′(2)＝0.故原函数y ＝f (x )的图象大致如下：8．A 9．C 10．a ≤011．解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，y ′＝1－1x，由y ′>0，得x >1；由y ′<0， 得0<x <1.∴函数y ＝x －ln x 的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)． (2)函数的定义域为{x |x ≠0}， y ′＝－12x2， ∵当x ≠0时，y ′＝－12x2<0恒成立． ∴函数y ＝12x的单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，没有单调增区间．12．解 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2，∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝6－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3b －c ＝0解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. (2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )>0，得x <1－2或x >1＋2； 令f ′(x )<0，得1－2<x <1＋2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2)．13．解 (1)由已知条件得f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，又f ′(2)＝0，∴3m ＋n ＝0，故n ＝－3m . (2)∵n ＝－3m ，∴f (x )＝mx 3－3mx 2， ∴f ′(x )＝3mx 2－6mx .令f ′(x )>0，即3mx 2－6mx >0，当m >0时，解得x <0或x >2，则函数f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)； 当m <0时，解得0<x <2，则函数f (x )的单调增区间是(0,2)． 综上，当m >0时，函数f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)； 当m <0时，函数f (x )的单调增区间是(0,2)．1.3.2 函数的极值与导数答案1．A 2．D 3．D 4．C 5．C 6．B 7．3 8．9 9．③10．解 (1)函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．∵f ′(x )＝错误!，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故当x ＝－并且极大值为f (－1)＝－38.(2)函数的定义域为R ，f ′(x )＝2x e －x ＋x 2·⎝⎛⎭⎫1ex ′ ＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x ＝2时，函数有极大值，且为f (2)＝4e －2. 11．解 ∵f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2＝(x ＋m )(3x －2m )，令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝23m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )极大值＝f (－m )＝－m 3＋2m 3＋2m 3－4＝－2，∴m ＝1.12．解 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1.令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f (－3)＝27＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1， 由此可知，x 取足够大的正数时，有f(x)>0，x取足够小的负数时，有f(x)<0，所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．由(1)知f(x)极大值＝f(－13)＝527＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1.∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，即527＋a<0或a－1>0，∴a<－527或a>1，∴当a∈(－∞，－527)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．13．解(1)当a＝0时，f(x)＝x2e x，f′(x)＝(x2＋2x)e x，故f′(1)＝3e.(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]e x.令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，由a≠23知，－2a≠a－2.以下分两种情况讨论：①若a>23，则－2a<a－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3a e－2a.函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)e a－2.②若a<23，则－2a>a－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)在(a－2，－2a)内是减函数．函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)e a－2.函数f (x )在x ＝－2a 处取得极小值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e －1.3.3函数的最大(小)值与导数答案1．B 2．C 3．A 4．C 5．C 6．－1e7．[－4，－2] 8．D9．(－∞，2ln 2－2]10．解 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴当x min ＝－37，得a ＝3.当x ＝0时，f (x )的最大值为3. 11．解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值， ∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根． ∴⎩⎨⎧－1＋3＝23a －1×3＝b3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝－9.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ， f ′(x )＝3x 2－6x －9.当x 变化时，f ′(x )，f (x )随x 的变化如下表：而∴当x ∈[－2,6]时，f (x )的最大值为c ＋54， 要使f (x )<2|c |恒成立，只要c ＋54<2|c |即可， 当c ≥0时，c ＋54<2c ，∴c >54； 当c <0时，c ＋54<－2c ，∴c <－18.∴c ∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)，此即为参数c 的取值范围．12．解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ，由已知条件错误!即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1＝02a ＋3＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2＋2， f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)． f ′(x )与f (x )随x 的变化情况如下：由f (x )＝f (0)因此根据f (x )图象，当0<t ≤2时，f (x )的最大值为 f (0)＝2，最小值为f (t )＝t 3－3t 2＋2； 当2<t ≤3时，f (x )的最大值为 f (0)＝2，最小值为f (2)＝－2； 当t >3时，f (x )的最大值为f (t )＝t 3－3t 2＋2，最小值为f (2)＝－2. 13．解 (1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x .令f ′(x )＝0，得x ＝k －1， f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：所以f (x )(2)当k －1≤0，即k ≤1时， 函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1]上单调递减，在(k －1,1)上单调递增， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1. 当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.习题课答案1．A 2．B 3．A 4．D 5．3 6．27．A 8．B 9．(－2,2)10．解 f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3，由已知得f ′(3)＝0， ∴3×9－6a ＋3＝0.∴a ＝5， ∴f (x )＝x 3－5x 2＋3x ＋6. 令f ′(x )＝3x 2－10x ＋3＝0， 得x 1＝13，x 2＝3.则x ，f ′(x )，f (x )的变化关系如下表.∴f (x )在最小值为f (3)＝－3. 11．(1)解 f ′(x )＝1＋2ax ＋bx.由已知条件得错误!即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)证明 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知f (x )＝x －x 2＋3ln x . 设g (x )＝f (x )－(2x －2) ＝2－x －x 2＋3ln x ， 则g ′(x )＝－1－2x ＋3x＝－错误!.当0<x <1时，g ′(x )>0，当x >1时， g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)内单调递增， 在(1，＋∞)内单调递减．而g (1)＝0，故当x >0时，g (x )≤0， 即f (x )≤2x －2.12．解 当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，f ′(x )＝(－x 2＋2)e x .当f ′(x )>0时，(－x 2＋2)e x >0， 注意到e x >0，所以，函数f (x )的单调递增区间为(－2，2)．同理可得，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)． (2)因为函数f (x )在(－1,1)上单调递增， 所以f ′(x )≥0在(－1,1)上恒成立． 又f ′(x )＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ， 即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0， 注意到e x >0，因此－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0在(－1,1)上恒成立， 也就是a ≥x2＋2x x ＋1＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上恒成立． 设y ＝x ＋1－1x ＋1，则y ′＝1＋错误!>0， 即y ＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上单调递增， 则y <1＋1－11＋1＝32，故a ≥32.§1.4 生活中的优化问题举例答案1．C 2．C 3．C 4．B 5．A 6．32米，16米 7．5 8．6 39．解 设广告的高和宽分别为x cm ，y cm ，则每栏的高和宽分别为x －20，y －252，其中x >20，y >25. 两栏面积之和为2(x －20)·y －252＝18 000， 由此得y ＝18 000x －20＋25. 广告的面积S ＝xy ＝x (18 000x －20＋25)＝18 000xx －20＋25x . ∴S ′＝错误!＋25＝错误!＋25. 令S ′>0得x >140， 令S ′<0得20<x <140.∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减， ∴S (x )的最小值为S (140)．当x ＝140时，y ＝175.即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小． 10．解 (1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37；当2≤x ≤12时， f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12(x －1)x (41－2x ) ＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且2≤x ≤12)． 验证x ＝1符合f (x )＝－3x 2＋40x ， ∴f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12)． (2)该商场预计销售该商品的月利润为 g (x )＝(－3x 2＋40x )(185－150－2x ) ＝6x 3－185x 2＋1 400x (x ∈N *,1≤x ≤12)， g ′(x )＝18x 2－370x ＋1 400， 令g ′(x )＝0，解得x ＝5，x ＝1409(舍去)． 当1≤x <5时，g ′(x )>0； 当5<x ≤12时，g ′(x )<0， ∴当x ＝5时，g (x )max ＝g (5)＝3 125(元)．综上5月份的月利润最大是3 125元． 11．解 设速度为x km/h ，甲、乙两城距离为a km.则总费用f (x )＝(kx 3＋200)·a x＝a (kx 2＋200x)． 由已知条件，得40＝k ·203，∴k ＝1200， ∴f (x )＝a (1200x 2＋200x)． 令f ′(x )＝错误!＝0， 得x ＝10320.当0<x <10320时，f ′(x )<0； 当10320<x <100时，f ′(x )>0. ∴当x ＝10320时，f (x )有最小值， 即速度为10320 km/h 时，总费用最少．12．解(1)设容器的容积为V，由题意知V＝πr2l＋43πr3，又V＝80π3，故l＝V－43πr3πr2＝803r2－43r＝43(20r2－r)．由于l≥2r，因此0<r≤2.所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×43(20r2－r)×3＋4πr2c，因此y＝4π(c－2)r2＋160πr，0<r≤2.(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－160πr2＝错误!(r3－错误!)，0<r≤2. 由于c>3，所以c－2>0.当r3－20c－2＝0时，r＝320c－2.令320c－2＝m，则m>0，所以y′＝错误!(r－m)(r2＋rm＋m2)．①当0<m<2，即c>92时，令y′＝0，得r＝m.当r∈(0，m)时，y′<0；当r∈(m,2]时，y′>0，所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．②当m≥2，即3<c≤92时，当r∈(0,2]时，y′≤0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点．综上所述，当3<c≤92时，建造费用最小时r＝2；当c>92时，建造费用最小时r＝320c－2.1．5.1---1．5.2曲边梯形的面积汽车行驶的路程答案1．C 2．B3．D4．B5．D6．C7.n＋1 28．[n＋i－1n，n＋in]9．5510．解令f(x)＝x2.(1)分割将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n ，…，x n －1＝错误!，x n ＝2.第i 个区间为[2i －2n ，2i n ](i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n. (2)近似代替、求和 取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑n i ＝1f (2i n )·Δx ＝∑n i ＝1 (2i n )2·2n ＝8n3∑n i ＝1i 2＝8n3(12＋22＋…＋n 2)＝8n3·错误! ＝43(2＋3n ＋1n2)． (3)取极限S ＝li m n→∞S n ＝li m n→∞ 43(2＋3n ＋1n2)＝83，即所求曲边梯形的面积为83.11．解 (1)分割：将时间区间[0，t ]分成n 等份．把时间[0，t ]分成n 个小区间，则第i 个小区间为[i －1n t ，itn](i ＝1,2，…，n )， 每个小区间所表示的时间段 Δt ＝it n －i －1n t ＝t n， 在各个小区间物体下落的距离记作Δs i (i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程． 在[i －1n t ，itn]上任取一时刻ξi (i ＝1,2，…，n )， 可取ξi 使v (ξi )＝g ·i －1n t 近似代替第i 个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体Δt ＝tn 内所经过的距离可近似表示为Δs i ≈g ·i －1n t ·tn(i ＝1,2，…，n )．。

2020-2021学年沪教版(上海)高二数学下学期同步练习11.1 直线的方程(第二课时)

2020-2021学年沪教版(上海)高二数学下学期同步练习11.1 直线的方程(第二课时)

11.1直线的方程（第二课时）同步练习一．填空题1.直线2310x y -+=的一个法向量n = _________.2.直线125x y +=的一个法向量n = _________.3.过点()2,1P -，法向量为()2,1n =-的直线的点法向式方程为___________.4.过点()2,1P -，法向量为()5,0n = 的直线的方程为__________.5.过点()1,2-且以直线2370x y +-=的法向量为其方向向量的直线方程是__________.6.若点()1,0M -在直线l 上的投影为()2,1N -，则直线l 的方程是____________.7.已知直线2132x y -+=的一个法向量为(),2n a a =- ，则实数a 的值是___________.二．选择题8.若直线l 过点()4,3P 且垂直于x 轴，则直线l 的方程为（）A ．40x -=B ．40x +=C ．30y -=D ．30y +=9.联结点()()2,1,3,5A B --的直线的一个法向量的坐标为（）A ．()6,5B ．()6,5-C ．()5,6D ．()5,6-10.直线21x y +=与243x y +=的方向向量（）A ．模相等B ．平行C ．垂直D ．夹角为30°三．解答题11.求连接()()5,2,1,4A B -两点的线段的垂直平分线方程.12.若直线()1:230l mx m y +-+=及()2:2110l m x my ++-=，若1l 的方向向量恰为2l 的法向量，求实数m 的值.13.已知△ABC 中，()()()2,1,4,3,3,2A B C --，求：（1）△ABC 的重心坐标；（2）BC 边上的高所在直线方程.14.已知△ABC的三个顶点()()()1,1,5,2,3,5-，若直线//l AB，且平分△ABC的面积，求直线lA B C的方程.答案：1.()2,3-2.()5,23.()()2210x y --+=4.2x =5.3270x y -+=6.370x y --=7.45a =8.A9.A10.B11.AB 的中点为()2,3M ，()6,2AB =- 是所求直线的一个法向量，所以所求直线为()()62230330x y x y ---=⇒--=.12.1l 的方向向量为()12,d m m =-- ，2l 的法向量为()221,n m m =+ ，()2,m m --()//21,m m +()()2210m m m m m ⇒-=-+⇒=或13m =.13.（1）2433313203x y ++⎧==⎪⎪⎨-+-⎪==⎪⎩，所以重心为()3,0G ；（2）()1,5BC =-- 是所求直线的一个法向量，()()2510530x y x y -++=⇒++=.14.设l 交AC 、BC 于点P 、Q ，22CP CA = ()322,522P ⇒--，()6,1AB = 是直线l 的一个方向向量，322522:627102061x y l x y -+-+∴=⇒-+-=.。

2024年沪教新版高二数学下册阶段测试试卷含答案

2024年沪教新版高二数学下册阶段测试试卷含答案

2024年沪教新版高二数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、下列各组函数中，表示同一函数的是（）A. f（x）=x-1，g（x）=-1B. f（x）=|x|，g（x）=（）2C. f（x）=x，g（x）=D. f（x）=2x，g（x）=2、正三角形一个顶点是抛物线x2=2py（p＞0）的焦点，另两个顶点在抛物线上，则满足此条件的正三角形共有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个3、单位向量，且则的最小值为（）A.B. 1C.D.4、从装有2个红球和2个白球的红袋内任取两个球,那么下列事件中,对立事件的是( )A. 至少有一个白球;都是白球B. 至少有一个白球;至少有一个红球C. 恰好有一个白球;恰好有2个白球D. 至少有1个白球;都是红球5、已知点P在曲线y=上；α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A. [0，）B.C.D.6、在△ABC中，角ABC所对的边分别为abc若b=23.B=120∘C=30∘则a=()A. 1B. 2C. 3D. 2评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)7、（x+y）（x-y）7的展开式中，x3y5的系数为____．8、已知圆O：x2+y2=1为△ABC的外接圆，且tanA=2，若=x+y，则x+y的最大值为____．9、向量满足||=1，||=2，且与的夹角为则|+2|=____．10、3位数学教师和3位语文教师分配到两所不同的学校任教，每校3位，且每所学校既有数学教师，也有语文教师，则不同的分配方案共有____种．11、定义某种运算⊗S=a⊗b的运算原理如图；则式子5⊗3+2⊗4= ______ ．评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)12、作出函数y=的图象，并求出其定义域和值域，写出其单调增区间和单调减区间．13、直角梯形ABCD，AD⊥AB，DC∥AB，CD=2cm，AB=4cm，AD=4cm，则ABCD水平放置的直观图中△ACD的形状是____．14、作出函数y=cosx|tanx|（0≤x＜，且x≠）的图象．15、如图，已知向量，，，；（1）求作：+++．（2）设||=2.为单位向量，求|+|的最大值．16、作出函数f（x）=|ln（2-x）|图象．17、已知平面区域，则平面区域C1的面积为____．18、函数y=|x-2|的递减区间为____．评卷人得分四、解答题(共4题，共20分)19、某校举行一次安全知识教育检查活动；从全校1500名学生中随机抽取50名参加笔试，测试成绩的频率分布表如下：。

高二第二学期数学练习册答案

高二第二学期数学练习册答案

高二第二学期数学练习册答案【练习一：函数的性质与图像】1. 判断下列函数的奇偶性：- f(x) = x^2 是偶函数。

- g(x) = x^3 是奇函数。

- h(x) = |x| 是偶函数。

2. 画出函数 y = |x| 的图像，并标出其增减性。

- 图像为V形，x轴下方对称，x=0处为最小值0。

3. 判断下列函数的单调性：- y = x^2 在 (-∞, 0) 单调递减，在(0, +∞) 单调递增。

- y = sin(x) 在(2kπ + π/2, 2kπ + 3π/2) (k为整数) 单调递减。

4. 求下列函数的极值：- y = x^3 在 x = 0 处取得极小值，为0。

- y = x^2 - 4x + 4 在 x = 2 处取得最小值，为0。

【练习二：导数与微分】1. 求下列函数的导数：- f(x) = x^3 的导数为 f'(x) = 3x^2。

- g(x) = sin(x) 的导数为 g'(x) = cos(x)。

2. 利用导数求曲线 y = x^2 在 x = 1 处的切线方程。

- 切点为 (1, 1)，导数为 2，切线方程为 y - 1 = 2(x - 1)。

3. 判断下列函数的凹凸性：- y = x^4 在整个定义域内是凹函数。

4. 利用导数求函数 y = x^3 - 3x^2 + 2x 的极值。

- 导数为 y' = 3x^2 - 6x + 2，令 y' = 0 得 x = 1，此时 y = 0 为极小值。

【练习三：积分】1. 计算不定积分：- ∫x^2 dx = (1/3)x^3 + C。

2. 计算定积分：- ∫[0,1] x^2 dx = 1/3。

3. 利用定积分求面积：- 曲线 y = x^2 与 x 轴，以及直线 x = 1 和 x = 2 所围成的面积为∫[1,2] x^2 dx = (1/3)(2^3 - 1^3) = 7/3。

4. 利用定积分求体积：- 旋转体 y = x^2 绕 x 轴从 x = 0 到 x = 1 旋转所形成的体积为π∫[0,1] x^4 dx = π(1/5)。

数学高二下练习册答案

数学高二下练习册答案

数学高二下练习册答案【练习一：函数的性质】1. 判断下列函数的奇偶性：- f(x) = x^2 是偶函数。

- g(x) = x^3 是奇函数。

- h(x) = |x| 是偶函数。

2. 求下列函数的单调区间：- 对于函数 f(x) = x^2 - 2x，其单调递增区间为[1, +∞)，单调递减区间为 (-∞, 1)。

- 对于函数 g(x) = -3x + 5，其在整个实数域上单调递减。

3. 判断下列函数的连续性：- 函数 f(x) = x^2 在整个实数域上连续。

- 函数 h(x) = 1/x 在 (-∞, 0) ∪ (0, +∞) 上连续，但在 x = 0 处不连续。

【练习二：导数与微分】1. 求下列函数的导数：- f'(x) = (x^2)' = 2x。

- g'(x) = (sin x)' = cos x。

2. 利用导数求函数的极值：- 对于函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求导得 f'(x) = 3x^2 - 6x。

令 f'(x) = 0，解得 x = 0 或 x = 2。

经检验，x = 2 为极小值点，x = 0 为极大值点。

3. 利用导数求曲线的切线：- 对于曲线 y = x^2 + 3x + 2 在点 (1, 6) 处的切线斜率为 2 + 3 = 5，因此切线方程为 y - 6 = 5(x - 1)。

【练习三：积分】1. 计算定积分：- ∫[0,1] x^2 dx = [x^3/3]_0^1 = 1/3。

2. 利用定积分求面积：- 曲线 y = x^2 与 x 轴围成的面积为∫[0,1] x^2 d x = 1/3。

3. 计算不定积分：- ∫(2x + 1) dx = x^2 + x + C。

【练习四：级数】1. 判断级数的收敛性：- 级数 1 + 1/2 + 1/3 + ... 是发散的。

- 级数 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... 是收敛的。

最新【精品】人教a版高中数学必修2一课一练全册汇编含答案名师优秀教案

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【精品】人教a版高中数学必修2一课一练全册汇编含答案人教A版高中数学必修2《一课一练》全册汇编含答案《1.1 空间几何体的结构》一课一练1《1.1 空间几何体的结构》一课一练2《1.2 空间几何体的三视图》一课一练1《1.2 空间几何体的直观图》一课一练2《1.3 柱体、锥体、台体的体积》一课一练2《1.3 柱体、锥体、台体的表面积》一课一练1《2.1 直线与平面、平面与平面位置关系》一课一练2《2.1 空间中直线与直线之间的位置关系》一课一练1《2.2 直线、平面平行的判定及其性质》一课一练1《2.2 直线、平面平行的判定及其性质》一课一练2《2.2 直线、平面平行的判定及其性质》一课一练3《2.2 直线、平面平行的判定及其性质》一课一练4《2.3 直线、平面垂直的判定及其性质》一课一练1《2.3 直线、平面垂直的判定及其性质》一课一练2《2.3 直线、平面垂直的判定及其性质》一课一练3《2.3 直线、平面垂直的判定及其性质》一课一练4《3.1 直线的倾斜角与斜率》一课一练1《3.1 直线的倾斜角与斜率》一课一练2《3.2 直线的方程》一课一练1《3.2 直线的方程》一课一练2《3.2 直线的方程》一课一练3《3.2 直线的方程》一课一练4《3.2 直线的方程》一课一练5《3.2 直线的方程》一课一练6《3.3 直线的交点坐标与距离公式》一课一练1《3.3 直线的交点坐标与距离公式》一课一练2《4.1 圆的方程》一课一练1《4.1 圆的方程》一课一练2《4.1 圆的方程》一课一练3《4.1 圆的方程》一课一练4《4.2 直线、圆的位置关系》一课一练1《4.2 直线、圆的位置关系》一课一练2《4.3 空间直角坐标系》一课一练1《4.3 空间直角坐标系》一课一练2- 1 -人教A版高中数学必修2《一课一练》新课标高一数学同步测试(1)—1.1空间几何体本试卷分第?卷和第?卷两部分.共150分.第?卷(选择题，共50分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内(每小题5分，共50分)(1(直线绕一条与其有一个交点但不垂直的固定直线转动可以形成 ( )A(平面 B(曲面 C(直线 D(锥面 2(一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距离可以形成 ( )A(棱锥 B(棱柱 C(平面 D(长方体 3(有关平面的说法错误的是 ( )A(平面一般用希腊字母α、β、γ…来命名，如平面α…B(平面是处处平直的面C(平面是有边界的面D(平面是无限延展的4(下面的图形可以构成正方体的是 ( )A B C D5(圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是 ( )A(等边三角形 B(等腰直角三角形C(顶角为30?的等腰三角形 D(其他等腰三角形6(A、B为球面上相异两点，则通过A、B两点可作球的大圆有 ( )A(一个 B(无穷多个 C(零个 D(一个或无穷多个 7(四棱锥的四个侧面中，直角三角最多可能有 ( )A(1 B(2 C(3 D(4 8(下列命题中正确的是 ( )A(由五个平面围成的多面体只能是四棱锥B(棱锥的高线可能在几何体之外C(仅有一组对面平行的六面体是棱台D(有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥9(长方体三条棱长分别是AA′=1，AB=2，AD=4，则从A点出发，沿长方体的表面到C′的最短矩离是 ( )2937 A(5 B(7 C( D( 10(已知集合A={正方体}，B={长方体}，C={正四棱柱}，D={直四棱柱}，E={棱柱}，F={直平行六面体}，则 ( )A,B,C,D,F,E A( B( ACBFDE,,,,,C( D(它们之间不都存在包含关系 CABDFE,,,,,第1页共127页人教A版高中数学必修2《一课一练》第?卷(非选择题，共100分)二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题6分，共24分). 11(线段AB长为5cm，在水平面上向右平移4cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3cm后记为C′D′,再将C′D′沿水平方向向左移4cm记为A′B′，依次连结构成长方体ABCD—A′B′C′D′.?该长方体的高为 ;?平面A′B′C′D′与面CD D′C′间的距离为 ;?A到面BC C′B′的距离为 .12(已知，ABCD为等腰梯形，两底边为AB,CD且AB>CD，绕AB所在的直线旋转一周所得的几何体中是由、、的几何体构成的组合体. 13(下面是一多面体的展开图，每个面内都给了字母，请根据要求回答问题: ?如果A在多面体的底面，那么哪一面会在上面 ;?如果面F在前面，从左边看是面B，那么哪一个面会在上面 ;?如果从左面看是面C，面D在后面，那么哪一个面会在上面 .14(长方体ABCD—ABCD中，AB=2，BC=3， 1111AA=5，则一只小虫从A点沿长方体的表面爬到C点的最短距离是 ( 11三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分) 15((12分)根据图中所给的图形制成几何体后，哪些点重合在一起(16((12分)若一个几何体有两个面平行，且其余各面均为梯形，则它一定是棱台，此命题是否正确，说明理由(第2页共127页人教A版高中数学必修2《一课一练》17((12分)正四棱台上，下底面边长为a，b，侧棱长为c，求它的高和斜高( 18((12分)把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1?4，母线长10cm.求:圆锥的母长(19((14分)已知正三棱锥S-ABC的高SO=h,斜高SM=n,求经过SO的中点且平行于底面的截面?ABC的面积( 11120((14分)有在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，现在沿DE、DF 及EF第3页共127页人教A版高中数学必修2《一课一练》把?ADE、?CDF和?BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.问:?依据题意制作这个几何体;?这个几何体有几个面构成，每个面的三角形为什么三角形;?若正方形边长为a，则每个面的三角形面积为多少(参考答案(一)一、DBCCA DDBAB二、11(?3CM?4CM?5CM; 12(圆锥、圆台、圆锥; 13(?F?C?A; 14(5( 2三、15(解:J与N，A、M与D，H与E，G与F，B与C.16(解:未必是棱台，因为它们的侧棱延长后不一定交于一点，如图，用一个平行于楔形底面的平面去截楔形，截得的几何体虽有两个面平行，其余各面是梯形，但它不是棱台，所以看一个几何体是否棱台，不仅要看是否有两个面平行，其余各面是否梯形，还要看其侧棱延长后是否交于一点.小结:棱台的定义，除了用它作判定之外，至少还有三项用途:?为保证侧棱延长后交于一点，可以先画棱锥再画棱台;?如果解棱台问题遇到困难，可以将它还原为棱锥去看，因为它是由棱锥截来的;?可以利用两底是相似多边形进行有关推算.,,,,,,OOBB，OOEE和BEEB17(分析:棱台的有关计算都包含在三个直角梯形及两个直角三角形,,,,OBEOBE和中，而直角梯形常需割成一个矩形和一个直角三角形对其进行求解，所以要熟悉两,,,,底面的外接圆半径()内切圆半径()的差，特别是正三、正四、正六棱台. OB,OBOE,OE略解: hOOBFhEEBG,,，,,,,,,,21BF,(b,a)BG,(b,a)22122222？h,c,(b,a),2c,(b,a)22112222hcbacba,,,,,,,()()4 42第4页共127页人教A版高中数学必修2《一课一练》l，圆台上、下底半径为. 18(解:设圆锥的母线长为rR，l,10r？,lRl,101 ？,l440？,lcm()340 答:圆锥的母线长为cm. 332219(解:设底面正三角形的边长为a，在RT?SOM中SO=h，SM=n，所以OM=，又MO=a，即n,l66332222222a=，，截面面积为3(n,l)( n,l？s,a,33(n,l),ABC44320(解:?略(?这个几何体由四个面构成，即面DEF、面DFP、面DEP、面EFP.由平几知识可知DE=DF，?DPE=?EPF=?DPF=90?，所以?DEF为等腰三角形，?DFP、?EFP、?DEP为直角三角形.325a,EF=2a,所以，S=a。

上海高二数学复习练习附答案及过程

上海高二数学复习练习附答案及过程

上海高二数学复习练习附答案及过程Last updated on the afternoon of January 3, 2021高二数学4一、填空题（每小题4分，满分40分，请将正确答案直接填写在相应空格上）1．已知214753A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，131085B -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A B -=。

2．已知2100lim231n an bn n →∞+-=-，则a b +=。

3．已知矩阵23120460a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a =。

4．平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为(2,1)、(3,2)-、(1,3)-，如果四边形ABCD 是平行四边形，则D 的坐标是。

5．已知某个线性方程组的增广矩阵是645832-⎛⎫⎪-⎝⎭，则该增广矩阵对应的线性方程组可以是。

6．已知(2,3),(3,1)a b =-=，且b a λ-与b 垂直，则实数λ的值是。

7．若关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩无解，则实数m =。

8．已知无穷等比数列{}n a 的各项的和是4，则首项1a 的取值范围是。

9．某算法的程序框如下图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是。

10121n n A A A A -++⋅⋅⋅+， n n 12tan n n θ+⋅⋅⋅+，则lim n n S →∞=。

二、选择题（每小题3分，满分15分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填写在题后括号内） 11．行列式a b c d e f g hi中元素f 的代数余子式是…………………………………………（）（A ）a b g h； （B ）a b g h-； （C ）a c gi；（D ）a b de。

12．关于x 的方程0111222=-b a xb a x 的解是………………………………………………（）（A ）a x = （B ）b x = （C ）a x =和b x =；（D ）a x =和b x -= 13．下列条件中，P B A 、、三点不共线的是……………………………………………（） （A ）1344MP MA MB =+； （B ）2MP MA MB =-； （C ）33MP MA MB =-；（D ）3144MP MA MB =+； 14．在ABC ∆中，2AB =，1AC =，D 为BC 的中点，则AD BC ⋅=…………（）（A ）32； （B ）12；（C ）32-； （D ）12-。

华东师大版一课一练_高二数学(第二学期)

华东师大版一课一练_高二数学(第二学期)

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2023-2024学年上海市高二下册开学摸底数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年上海市高二下册开学摸底数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年上海市高二下册开学摸底数学模拟试题一、填空题1．若直线1l 与直线2l 平行，直线1l的斜率为2l 的倾斜角为__________.【正确答案】120 ##2π3【分析】根据两直线平行，倾斜角相等即可.【详解】直线1l的斜率为所以直线1l 的倾斜角为120 ，直线1l 与直线2l 平行所以直线2l 的倾斜角为120 .故1202．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若530S =，则3a =___________.【正确答案】6【分析】利用等差数列前n 项和的公式即可.【详解】()155355302a a S a +===36a ∴=.故6.3．等比数列{}n a 中，9564,4a a ==，则1log 8a =___________.【正确答案】32-## 1.5-【分析】根据等比数列通项公式得2q =±，114a =，进而根据对数运算求解即可.【详解】解：因为等比数列{}n a 中，9564,4a a ==，所以，49564164a q a ===，解得2q =±，所以，51441164a a q ===，所以，2114323log 8log 8log 22a -===-.故32-4．长方体12341234A A A A B B B B -的底面1234A A A A 为边长为1的正方形，高为2，则集合{}{}11|,,1,2,3,4i j x x A B A B i j =⋅∈u u u u r u u u u r 中元素的个数为____________个.【正确答案】1【分析】以1A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的数量积可得{}{}11|,,1,2,3,4{4}i j x x A B A B i j =⋅∈=u u u u r u u u u r，即可得答案.【详解】解：以1A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：则1(0,0,0)A ，2(1,0,0)A ，3(1,1,0)A ，4(0,1,0)A ，1(0,0,2)B ，2(1,0,2)B ，3(1,1,2)B ，4(0,1,2)B ，因为11(0,0,2)A B =u u u u r，则对任意{},1,2,3,4i j ∈，(,,2)i j A B m n =u u u u r，均有1100224i j A B A B m n ⋅=⨯+⨯+⨯=u u u u r u u u u r，所以集合{}{}11|,,1,2,3,4{4}i j x x A B A B i j =⋅∈=u u u u r u u u u r ，只有一个元素.故15．数列{}n a 的前n 项和23n S n n =+-，则4a =___________.【正确答案】8【分析】利用n S 和n a 的关系即可.【详解】23n S n n =+- ，24443=17S ∴=+-，23333=9S =+-4431798a S S ∴=-=-=.故8.6．已知抛物线2y x =上一点A 到此抛物线焦点的距离为12，那么点A 的纵坐标为___________.【正确答案】14##0.25【分析】利用抛物线的定义求解.【详解】解：抛物线2y x =的标准方程为2x y =，则焦点为10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为14y =-，设(),A x y ，因为抛物线上点A 到此抛物线焦点的距离为12，所以1142y ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得14y =，故147．已知数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-+（n 是正整数），则数列的通项公式n a =______.【正确答案】1321N ，n n -*⋅-∈【分析】等式121n n a a +=-+两边同时除以12n +，可得1111222nn nn n a a +++=-+，后由累加法可得数列的通项公式.【详解】等式121n n a a +=-+两边同时除以12n +，可得1111222n n nn n a a +++=-+，则1111222n nn n n a a +++-=.得112322111123222222222222n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ------=-+-++-+-+11321121111131111422222212n nn n --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+++++=+⋅=- ⎪⎝⎭-，则131232122n n n n a -⎡⎤⎛⎫⎢⎥=-⋅=⋅- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，N n *∈.故1321n n a -=⋅-，N n *∈.8．过双曲线2222x y -=的右焦点作直线l 交双曲线于A B 、两点，若AB 4=，则这样的直线有______条．【正确答案】3【分析】根据题意设直线l 的方程为x my =+22121m m +=-，进而解方程即可得m =0m =且均满足条件，进而得答案.【详解】解：由题知双曲线的标准方程为2212y x -=，所以，双曲线的右焦点为)，所以，设直线l 的方程为x my =+联立方程2222x my x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩得()222140m y -++=所以，()22248162116160m m m ∆=--=+>，2210m -≠，设()()1122,,A x y B x y 、，则1212224,2121y y y y m m -+==--，所以，由弦长公式得()2241421m AB m +===-，所以，22121m m +=-，即22121m m +=-或22112m m +=-，解得m =或0m =，此时直线l 的方程为x =+或x =综上，满足条件的直线l 的方程为x =+或x =3条.故39．已知,,A B C 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的三个点，O 为坐标原点，点,A B 关于原点对称，AC 经过右焦点F ，若OB OF =且2AF CF =，则该椭圆的离心率是_________.【正确答案】3【分析】利用对称性和几何关系，建立两个AF 和a 的方程，然后解方程即可.【详解】设椭圆的左焦点1(,0)F c -，连接111,,AF BF CF .点,A B 关于原点对称,OA OB OF c ∴===,AF BF ∴⊥设||,||2,CF m AF m ==由对称性可知:1||||22,AF BF a m ==-且222||||||,AF BF AB +=2224(22)(2),m a m c ∴+-=①在1Rt AF C 中，1||2,CF a m =-2229(22)(2),m a m a m +-=-3,a m ∴=联立①式，解得椭圆的离心率3c e a ==.故310．已知数列{}n a 满足11a =-，21a a >，数列{}n a 的奇数项单调递减，数列{}n a 的偶数项单调递增，若*1||2(N )n n n a a n +-=∈，则数列{}n a 的通项公式为n a =__．【正确答案】(2)13n --【分析】法一：用列举法得11a =-，21a =，33a =-，45a =，511a =-，621a =，找规律得11(1)2n nn n a a ++-=-，再利用累加法及等比数列前n 项和公式可求其通项；法二：由已知有22122n n n a a +-=±，212212n n n a a ---=±，从而有221212122n n n n a a -+--=±±，再结合数列的奇、偶项的单调性得11(1)2n nn n a a ++-=-，再利用累加法及等比数列前n 项和公式可求其通项．【详解】法一：先采用列举法得11a =-，21a =，33a =-，45a =，511a =-，621a =，⋯，然后从数字的变化上找规律，得11(1)2n n n n aa ++-=-，所以112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ 1122(1)2(1)2221nn n n ---=-⋅+-⋅+-+- 1[(2)1](2)1213n n -----==--．法二：因为22122n n n a a +-=±，212212n n n a a ---=±，所以221212122n n n n a a -+--=±±，而21{}n a -递减，所以21210n n a a +--<，故22122nn n a a +-=-；同理，由2{}n a 递增，得212212n n n a a ---=；又21a a >，所以11(1)2n nn n a a ++-=-，所以112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ 1122(1)2(1)2221nn n n ---=-⋅+-⋅+-+- 1[(2)1](2)1213n n -----==--．11．设点()11,P x y 是C ：221x y +=上的动点，点()22,Q x y 是直线l ：2360x y +-=上的动点，记1212PQ L x x y y =-+-，则PQ L 的最小值是______．【正确答案】23-【分析】设(cos ,sin ),02πP θθθ≤<，将PQ L 转化成探求线段PQ 长最值问题求解作答.【详解】依题意，设(cos ,sin ),02πP θθθ≤<，显然圆C 与直线l 相离，1212PQ L x x y y =-+-=PQ ≥，当且仅当12120x x y y --=时取“=”，当120x x -=时，21cos x x θ==，222cos 3y θ=-，1sin y θ=，122sin cos 2)23PQ y y θθθϕ=-=+-+-，其中锐角ϕ由sin cos ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩确定，此时2)PQ θϕ=+2≥sin()1θϕ+=时取“=”，当120y y -=时，21sin y y θ==，233sin 2x θ=-，1cos x θ=，123cos sin 3)32PQ x x θθθφ=-=+-+-，其中锐角φ由sin cos φφ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩确定，此时()3PQ θφ=+3≥sin()1θφ+=时取“=”，显然32>12120x x y y --=时，min ||2PQ =，则min ()2PQ L =所以PQ L的最小值是23-.故23-思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.12．对于数列{}n a ，令()112341n n n T a a a a a +=-+-+⋅⋅⋅+-，给出下列四个结论：①若n a n =，则20231012T =；②若n T n =，则20221a =-；③存在各项均为整数的数列{}n a ，使得1n n T T +>对任意的*n ∈N 都成立；④若对任意的*n ∈N ，都有n T M <，则有12n n a a M +-<.其中所有正确结论的序号是______.【正确答案】①②④【分析】逐项代入分析求解即可.【详解】对于①：因为()112341n n n T a a a a a +=-+-+⋅⋅⋅+-，且因为n a n =，所以()112341n n T n +=-+-+⋅⋅⋅+-，所以20231234202120222023101120231012T =-+-+⋅⋅⋅+-+=-+=，故选项①正确；对于②：若n T n =，则()112341n n n T a a a a a n+=-+-+⋅⋅⋅+-=所以()()12112341111n n n n n T a a a a a a n ++++=-+-+⋅⋅⋅+-+-=+，所以两式相减得()2111n n a ++-=，所以()20212202211a +-=，所以20221a -=，所以20221a =-，故选项②正确；对于③：11234...(1)n n n T a a a a a +=-+-++-，12112341...(1)(1)n n n n n T a a a a a a ++++=-+-++-+-，所以若1n n T T +>对任意的*n ∈N 都成立，则有123456...n T T T T T T T >>>>>>>，所以112123123412345a a a a a a a a a a a a a a a >->-+>-+->-+-+>()()121234561234561234561......1...1n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++-+-+->>-+-+-++->-+-+-++-，因为各项为整数，则不等式串中绝对值只能从1a 越来越小，之后甚至会出现0大于某数绝对值的情况，例如：10003001002053210...>>>>>>>>>，后续还会有绝对值，但是会有矛盾，故选项③错误；对于④：若对任意的*n ∈N ，都有n T M <，则有1n n a a +-.11122211...n n n n n a a a a a a a a a +---=-+--+-+-+()112211221...(...)n n n n n n a a a a a a a a a a +----=-+-++-+-+--+112211221......n n n n n n a a a a a a a a a a +----≤-+-++-+-+--+112n n T T M M M +-=-+<+=.故选项④正确；故①②④.二、单选题13．若动点(,)M x y 满足3412x y =-+，则点M 的轨迹是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【正确答案】D34125x y -+=，结合抛物线的定义，即可求解.【详解】由题意，动点(,)M x y 满足3412x y =-+，34125x y -+=，即动点(,)M x y 到定点(1,2)的距离等于动点(,)M x y 到定直线34120x y -+=的距离，又由点(1,2)不在直线34120x y -+=上，根据抛物线的定义，可得动点M 的轨迹为以(1,2)为焦点，以34120x y -+=的抛物线.故选：D.14．若直线1ax by +=与圆221x y +=无公共点，则点(),P a b 与圆的位置关系是（）A ．点P 在圆上B ．点P 在圆外C ．点P 在圆内D ．以上都有可能【正确答案】C【分析】利用圆心到直线的距离小于圆的半径可得出关于a 、b 的不等式，即可判断出点P 与圆221x y +=的位置关系.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，因为直线1ax by +=与圆221x y +=1>，所以，221a b +<，因此，点P 在圆221x y +=内.故选：C.15．已知、、A B C 是空间中不共线的三个点，若点O 满足230OA OB OC ++=，则下列说法正确的一项是（）A ．点O 是唯一的，且一定与、、ABC 共面B ．点O 不唯一，但一定与、、A B C 共面C ．点O 是唯一的，但不一定与、、A B C 共面D ．点O 不唯一，也不一定与、、A B C 共面【正确答案】B【分析】由230OA OB OC ++=，可得23OA OB OC =--u u u r u u u r u u u r ，从而有,,OA OB OC 共面，,,,O A B C四点共面，再结合、、A B C 不共线，即可得答案.【详解】由空间向量的知识可知,,a b c共面的充要条件为存在实数,x y ，使a xa yb =+r r r ，因为230OA OB OC ++=，所以23OA OB OC =--u u u r u u u r u u u r ，所以,,OA OB OC共面，所以,,,O A B C 四点共面，又因为、、A B C 不共线，所以满足此关系的点O 有无数个，所以点O 不唯一，、、A B C 共面.故选：B.16．将数列{}n a 中的所有项排成如下数阵：1a 234a a a 56789a a a a a ……已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数125,,a a a ……，成等差数列，且2104,10a a ==．从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以12为公比的等比数列，则下列结论错误的为（）A ．11a =B ．221n n a a +<C ．2022a 位于第85列D ．2023861332a =【正确答案】C【分析】分析所给数阵的特点，计算出数阵第一列对应等差数列的通项公式，可得A 正确；分析计算221,n n a a +的表达式，比较可得B 正确；通过计算可知2022a 位于数阵第45行第86列，故C 错误；2023a 位于数阵第45行第87个数，代入等比数列通项公式可得D 正确.【详解】将等差数列1a ，2a ，5a ，10a ，…，记为{}k b ，则公差102104322a a d --===，所以1231a a =-=，()13132kb k k =+-=-，故A 正确；因为()211111331n n b a n n ++==++-⨯=+，22211221132323122n n n n n n a b n n a ---+-⎛⎫=⨯=<-<+= ⎪⎝⎭，故B 正确；第1行的项数，第2行的项数，L ，第k 行的项数，构成以1为首项，2为公差的等差数列，即第k 行有21k -项，前k 行有()21212k k k +-=项，因为221936442022452025=<<=，而2022193686=+，则2022a 位于第45行从左边数第86项，即2022a 位于第86列，故C 错误；()8718620234586111333452222a b -⎛⎫⎛⎫=⨯=⨯-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：C.三、解答题17．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AC ==，,D E 分别为1CC ，1A B 的中点.(1)证明：//ED 平面ABC ；(2)求直线1CC 与平面1A BD 所成角的大小.【正确答案】(1)证明见解析(2)π4【分析】（1）取AB 中点F ，连接,CF EF ，证明//DE CF ，根据线面平行的判定定理即可证明//DE 平面ABC .（2）分别取11,AC A C 中点1,O O ，连接1,OO OB ，以O 为原点，1,,OB OC OO 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法计算即可求出结果.【详解】（1）证明：取AB 中点F ，连接,CF EF ，因为正三棱柱111ABC A B C -，所以11//CC AA ，且112CC AA ==，因为E 为线段1A B 的中点，所以1//EF AA 且112EF AA =.所以1//EF CC 且1EF =，因为D 为1CC 中点，所以1CD =.所以//EF CD 且EF CD =.所以四边形CDEF 是平行四边形.所以//DE CF .又因为DE ⊄平面ABC ，CF ⊂平面ABC ，所以//DE 平面ABC .（2）解：分别取11,AC A C 中点1,O O ，连接1,OO OB ，因为111ABC A B C -是正三棱柱，所以11//OO AA ，1AA ⊥平面ABC ，OB AC ⊥.所以1OO ⊥平面ABC .所以1OO OB ⊥，1OO OC ⊥.以O 为原点，1,,OB OC OO 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.则()()()())()110,1,0,0,1,2,0,1,0,0,1,2,,0,1,1A A C C BD --.所以)()()112,0,0,2,A B CC BD =-==.设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，所以1·0·0A B n BD n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即200y z y z +-=++=⎪⎩，令1y =，解得2x z ==，所以)n =.设直线1CC 与平面1A BD 所成角为θ，π02θ≤≤，则1112sin cos ,2CC n n CC nθ====，所以π4θ=.即直线1CC 与平面1A BD 所成角为π4.18．记n S 为公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和，542188a a a a -=-+，621S =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设22log n n b a =，若由{}n a 与{}n b 的公共项从小到大组成数列{}n c ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【正确答案】(1)()112nn n a -=-⨯(2)()2413n n T -=【分析】（1）设等比数列的公比为q ()1q ≠，由542188a a a a -=-+求出q ，再由等比数列求和公式求出1a ，即可得解；（2）由（1）可得()21n b n =-，即可得到数列{}n b 的特征，令0n a >，求出n 的取值，即可得到{}n c 为以2为首项，4为公比的等比数列，再由等比数列求和公式计算可得.【详解】（1）解：设等比数列的公比为q ()1q ≠，因为542188a a a a -=-+，即()3321218a q a q a a -=--，即38q =-，所以2q =-，又()6161211a q S q-==-，即()()()61122112a --=--，解得11a =-，所以()()111212n nn n a --=-⨯-=-⨯.（2）解：由（1）可得()()()()22121222log log 12log 221nn n n nb a n --==-⨯==-，则数列{}n b 为0、2、4、6、 ，偶数组成的数列，又()112nn n a -=-⨯，令0n a >，则n 为正偶数，所以12c =，322c =，532c =， ，212n n c -=，所以{}n c 为以2为首项，4为公比的等比数列，所以()()214241143n n n T --==-.19．某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张.为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，一旦某年发放的燃油型汽车牌照数为0万张，以后每一年发放的燃油型的牌照的数量维持在这一年的水平不变.同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变.(1)记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{}n a ，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{}n b ，写出这两个数列的通项公式；(2)从2013年算起，求到2029年（包含2029年）累计各年发放的牌照数.【正确答案】(1)0.510.5,1200,21n n n a n -+≤≤⎧=⎨≥⎩，()12 1.5,146.75,5n n n b n -⎧⋅≤≤⎪=⎨≥⎪⎩(2)206万张【分析】（1）利用等差数列通项公式可得0.510.5n a n =-+，结合题意可得2121,0n a ==，根据等比数列通项公式可得()12 1.5n n b -=⋅，结合题意利用前n 项和公式判断可得4p =；（2）根据（1）分别求数列{}n a 、{}n b 的前17项和，再相加．【详解】（1）设当1n m ≤≤时，数列{}n a 为等差数列，则()100.510.510.5n a n n =--=-+根据题意令0.510.50n a n =-+=，则21n =∴20m =，则0.510.5,1200,21n n n a n -+≤≤⎧=⎨≥⎩设当1n p ≤≤时，数列{}n b 为等比数列，则()12 1.5n n b -=⋅其前n 项和()()211.541.5111.5n nn S -==--为递增数列，且349.515,16.2515S S =<=>∴4p =，4 6.75b =，则()12 1.5,146.75,5n n n b n -⎧⋅≤≤⎪=⎨≥⎪⎩（2）根据题意可得到2029年（包含2029年），即为第17年对于数列{}n a 的前17项和()11717121717 (102)2a a T a a a +=+++==对于数列{}n b 的前17项和171217123454...1313 6.75104S b b b b b b b b S =+++=++++⨯=+⨯=到2029年（包含2029年）累计各年发放的牌照数为102104206+=（万张）20．已知二次曲线22:194k x y C k k+=--．(1)求二次曲线1C 的焦距和离心率；(2)若直线l 与二次曲线5C 及圆()22:34C x y +-=都恰好只有一个公共点，求直线l 的方程；(3)任取平面上一点()0(,)P u v uv ≠，证明：k C 中总有一个椭圆和一条双曲线都通过点P ．【正确答案】(1)焦距为4(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据椭圆的焦距与离心率即可得解；（2）分直线l 的斜率不存在和存在两种情况讨论，当直线l 的斜率存在时，设方程为y kx b =+，根据直线与圆只有一个交点求出,k b 的关系时，再联立直线与曲线方程，结合根的判别式即可得出答案；（3）分别求出曲线表示椭圆和双曲线时k 的范围，再将点()0(,)P u v uv ≠代入，结合二次函数的性质及零点的存在性定理即可得出结论.【详解】（1）解：二次曲线221:183x y C +=为焦点在x 轴上的椭圆，2228,3,5a b c ===，所以焦距为c a =（2）解：二次曲线225:14x C y -=为焦点在x 轴上的双曲线，圆()22:34C x y +-=的圆心()0,3C ，半径2r =，当直线l 的斜率不存在时，圆()22:34C x y +-=的切线方程为2x =-或2x =，在方程2214x y -=中，当2x =±时，0y =，所以直线2x =-和2x =与曲线5C 只有一个公共点，当直线l 的斜率存在时，设方程为y kx b =+，即0kx y b -+=，圆心()0,3C 到直线l的距离2d ==，联立22014kx y b x y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，消y 得()22148440k kbx b ----=，当2140k -=，即12k =±时，直线l 与曲线5C 只有一个公共点，此时3b =±所以直线l的方程为132y x =++132y x =-++或132y x =+或132y x =-+当2140k -≠，即12k ≠±时，则()()222264414440k b kb∆=----=，整理得2214b k +=，2=，解得23b k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或236b k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以直线l的方程为23y =+或23y x =+，综上所述直线l 的方程为2x =-或2x =或132y x =++132y x =-++132y x =+或132y x =-+263y x =+或263y x =-+；（3）证明：当曲线k C 表示椭圆时，940k k ->->，则4k <，当曲线k C 表示双曲线时，则49k <<，把点()0(,)P u v uv ≠代入得22194u v k k+=--，即()222221336490k u v k u v ++-+--=，设()()22222133649f k k u v k u v =++-+--，它是关于k 的二次函数，且图象开口向上，因为()222224164452364950f u v u v v =++-+--=-<，()2222298199117364950f u v u v v =++-+--=>，所以函数()f k 在(),4-∞内穿过一次x 轴，在()4,9内穿过一次x 轴，即方程()0f k =一个根在(),4-∞上，一个根在()4,9上，所以k C 中总有一个椭圆和一条双曲线都通过点P ．第三问转化为函数的零点存在定理是关键21．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足()241n n S a =+，若数列{}n b 满足122,4b b ==，且等式211n n n b b b -+=对任意2n ≥成立．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）将数列{}n a 与{}n b 的项相间排列构成新数列1122,,,,,,,n n a b a b a b L L ，设该新数列为{}n c ，求数列{}n c 的通项公式和前2n 项的和2n T ；（3）对于（2）中的数列{}n c 前n 项和n T ，若λn n T c 匙对任意*n ∈N 都成立，求实数λ的取值范围．【正确答案】（1）21n a n =-；（2）2,2,n n n n c n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，21222n n T n +=+-；（3）(,1]-∞．【分析】（1）由4Sn ＝（an +1）2，n ＝1时，4a 121(1)a =+，解得a 1，n ≥2时，4an ＝4（Sn ﹣Sn ﹣1），化为：（an +an ﹣1）（an ﹣an ﹣1﹣2）＝0，根据数列{an }的各项均为正数，可得an ﹣an ﹣1＝2，利用等差数列的通项公式可得an ．（2）数列{bn }满足b 1＝2，b 2＝4，且等式bn 2＝bn ﹣1bn +1对任意n ≥2成立．利用等比数列的通项公式可得bn ．进而得出c n ，T 2n ．（3）Tn ≥λ•c n ，即n 2+2n +1﹣2≥λc n ，对n 分类讨论即可得出．【详解】（1）由24(1)n n S a =+，即2421n n n S a a =++，所以2111421n n n S a a +++=++，两式相减得，2211142()n n n n n a a a a a +++=-+-，故11()(2)0n n n n a a a a +++--=，因为0n a >，所以12n n a a +-=．又由2114(1)a a =+得11a =．所以，数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列．所以，数列{}n a 的通项公式为21n a n =-．（2）由题意，数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，故2nn b =．所以，2,,2,.nn n n c n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数数列{}n a 的前n 项和2n S n =，数列{}n b 的前n 项和12(12)2212n n nS +=='---．所以，21222n n n nT S S n +=+=+-'．（3）当n 为偶数时，设2n k =（*k ∈N ），由（2）知，21222k k T k +=+-，22kk c =，由22k k T c λ≥⋅，得21222k k k λ++-≥⋅，即212222222k k kk k λ++--≤=+，设22()22k k f k -=+，则2211(1)22(3)(1)(1)()222k k k k k k k f k f k +++---++-==-，所以，当3k ≤时，()f k 单调递增，当3k ≥时，()f k 单调递减．因为3(1)2f =，当3k ≥时，22()222kk f k -=+>，所以，min3[()](1)2f k f ==．所以，32λ≤．当n 为奇数时，设21n k =-（*k ∈N ），则212122222k kk k k T T c k +-=-=+--，222k k =+-，由2121k k T c λ--≥⋅，得222(21)kk k λ+-≥⋅-，即22221k k k λ+-≤-，设222()21kkg kk+-=-，则212(1)2222(1)()2121k kk kg k g kk k+++-+-+-=-+-222(23)30(21)(21)kk kk k+-+=>-+，故()g k单调递增，min[()](1)1g k g==，故1λ≤．综上，λ的取值范围是(,1]-∞．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式、分类讨论方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

上海市高二下学期第一次测试数学试题(解析版)

上海市高二下学期第一次测试数学试题(解析版)

一、填空题1．已知直线的斜率不存在，且，则直线的斜率为___________.1l 12l l ⊥2l 【答案】0【分析】由直线的倾斜角结合垂直关系得出直线的斜率.1l 2l 【详解】直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为0，则斜率为01l 2π2l 故答案为：02．已知复数满足(为虚数单位)，则________.z 1iz i =+i ||z =【分析】先求出复数，再利用复数的模的计算公式即可求出．z 【详解】， 1i z i ⋅=+， ∴()211111i i i i z i i i ++-====--=．【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算法则以及复数的模的计算公式的应用，属于基础题． 3．方程表示一个圆，则m 的取值范围是．22240+-++=x y x y m 【答案】5m <【详解】试题分析：由题表示一个圆，可得；22240x y x y m +-++=0,5r m =><【解析】圆的方程.4．某表演赛评分（两位数）如茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为___________. 7 88 5 5 5 7 89 4【答案】##1.6 85【分析】根据茎叶图得出数据，计算平均值，再由方差公式计算即可.【详解】由题意知，剩下的数据为85，85，85，87，88， 平均分为， 8585858788865++++=方差为， 2223(8586)(8786)(8886)855⨯-+-+-=故答案为： 855．二项式的展开式中，常数项为______（用数值表示）. 82x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】1120【分析】先求出二项式的展开式通项，然后令得，即可求出常数项. 82x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭820r -=4r =【详解】因为二项式的展开式通项为， 82x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭8821882C C 2rr r r r r r T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭令，得，故常数项为. 820r -=4r =4458C 21120T ==故答案为：1120.6．已知直线，则直线与的夹角为___________.12:230,:50l x y l x y +-=--=1l 2l 【答案】【分析】根据两直线方程确定直线的法向量，再根据直线与的夹角的余弦值为，1l 2l cos n m n mα⋅=⋅ 即可求得直线与的夹角大小.1l 2l 【详解】由题意知的法向量为的法向量为，1l ()21,2,n l = ()1,1m =- 则直线与的夹角的余弦值为1l 2l cos n mn m α⋅===⋅则直线与的夹角为1l 2l 故答案为：7．已知向量，，且在上的投影数量等于，则___________.()2,1a =-r (),1b q = a b 1-q =【答案】43【分析】由数量投影的公式直接计算即可.【详解】在上的投影数量为，解得（舍）或. a b 1a b b ⋅==- 0q =43故答案为：. 438．设，若点共线，则的最小值为___________.,0a b>()()()2,2,,0,0,A B a C b 3a b +【答案】##8+8+【分析】由三点共线，利用向量坐标计算可得，再由均值不等式求最小值即可. 422b a =+-【详解】由题意知，与共线，()2,2AB a =-- ()2,2AC b=--则 ()()42242(2)2a b b a a --=⇒=+>- 121236288822a b a a a a ∴+=++=-++≥+=+--当且仅当为时，即. 1222aa -=-2=+a 故答案为：89．棱长为2的正四面体的两条对棱的距离为________．【分析】作出图形，作中点，中点，连接，可证为公垂线，由AP N BC M ,,BN CN MN MN ,PA BC 几何关系可求.MN 【详解】如图，作中点，中点，连接，因为四面体为正四面体，故AP N BC M ,,BN CN MN ,AP BN AP CN ⊥⊥，，所以平面，又平面，所以，又因为，BN CN N = AP ⊥BCN MN ⊂BCN AP MN⊥BN CN =为中点，所以，所以为公垂线，因为正四面体棱长为2，故M BC BC MN ⊥MN ,PA BC BN =，，所以1BM =MN10．已知花博会有四个不同的场馆，，，，甲、乙两人每人选个去参观，则他们的选择A B C D 2中，恰有一个馆相同的概率为 _____．【答案】23【分析】根据古典概型的概率公式进行计算即可．【详解】解：甲选2个去参观，有6种，乙选2个去参观，有6种，共有6×6＝36种， 24C =24C =若甲乙恰有一个馆相同，则选确定相同的馆有4种，然后从剩余3个馆种选2个进行排列，有14C =6种，共有4×6＝24种，23A =则对应概率， 242363P ==故答案为：．2311．设，定义在上的函数与轴交于点，若对函数图像上任意0a >()1,+∞()21f x a x =--x A ()f x 一点（异于点），都存在另一点在函数图像上，使得且，则实数P A Q ()f x 0AP AQ ⋅= ||||APAQ = ___________.=a【分析】根据题意求出点，设，然后结合图像和已知条件可得2(1,0)A a+00(,)P x y ，整理化简可得，根据条件即可求解. 0000(1)()222()[(1)]2x y a y x a a a -+=⎧⎪⎨+--+=⎪⎩022()(0a y a a a -++=【详解】由题意可知函数与轴的交点为， ()2(1,0)1f x a x a x =->>-x A 则，设，由图像可知，位于点的两侧， 2(1,0)A a+00(,)P x y ,P Q A 又因为且，且的纵横坐标均大于零，0AP AQ ⋅= ||||AP AQ = ,P Q 不妨假设点在点的左侧，所以，设，则， P A 021x a<+11(,)Q x y 002(1,)AP x y a =-- 由可得， 112(1,)AQ x y a =-- 0AP AQ ⋅= 01012222001122(1)(1)022(1)(1)x x y y a a x y x y a a ⎧----+=⎪⎪⎨⎪-++=--+⎪⎩消可得，， 12(1)x a --2222201001202(1)2(1)y y x y y a x a--+=+--整理可得， 4220002210220022(1)(1)2(1)2(1)x y x a a y x a y x a--+--==--+--解得，则点在曲线上， 10102121x y a y x a ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩0022(1,1)Q y x a a +++-21y a x =--又因为点在曲线上， 00(,)P x y 21y a x =--所以，消可得，， 0000(1)()222()[(1)]2x y a y x a aa -+=⎧⎪⎨+--+=⎪⎩01x -00202224()(0y a y a y a a a +⋅+--=+化简可得，由于异于点，所以， 000242(2()()0y a y a y a a-+-+=,P Q A 00y ≠则有，即 0224()()20a y a a a-++-=022(0a y a a a -++=所以，因为，解得，20a a -=0a >a =.【点睛】函数零点的考查：1.结合函数与方程的关系，求函数的零点；2.结合根的存在性定理或函数图像，对函数是否存在零点或存在零点的个数进行判断；3.判定函数零点（方程的根）所在的区间；4.利用零点（方程实根）的存在求相关参数的值或取值范围.（高考题突出数形结合思想与函数方程思想的考查，以客观题的形式为主）.12．已知点，动点在函数的图像上，动点在以为圆心半径为2的()()0,1,0,5A C M 214y x =N C 圆上，则的最小值为___________. 12MN NA +【答案】【分析】先得到的轨迹，设出，由列出方程，结合的轨迹方程，求出N (),Q m n 12QN NA =N ，转化为的最小值为的最小值，确定当三点共线，且为抛()0,4Q 12MN NA +MN QN +,,Q M N 物线的法线时，取得最小值，由导函数得到时，取得最小值，利用两点间()2M ±MN QN +距离公式求出最小值.【详解】根据题意画出图像动点满足，设，N 2NC =(),N x y 可得的轨迹为圆，N 2210210x y y +-+=设，且， (),Q m n 12QN NA ==化简可得，，()2222338284410x y mx n y m n +-+-++-=所在方程又为，N Q 223330630x y y +-+=令，解得，此时满足， 802830m n -=⎧⎨-=-⎩04m n =⎧⎨=⎩2244163m n +-=可得，即，0,4m n ==()0,4Q 可得的最小值为的最小值， 12MN NA +MN QN +当三点共线，且为抛物线的法线时，取得最小值，,,Q M N 设，的导数为，可得， (),M s t 214y x =12y x '=1412t s s -⋅=-解得2,t s ==±即，即有()2M ±QM ==【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．二、单选题13．设直线（、不同时为零），（、不同时为零），则1111:0l a x b y c ++=1a 1b 2222:0l a x b y c ++=2a 2b “、相交”是“”的（ ）条件1l 2l 1221a b a b ≠A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 【答案】C【分析】分均不为0和有且只有一个为0两种情况讨论，分别证得充分性和必要性即可得12,b b 12,b b 出结论.【详解】当直线斜率都存在即均不为0时，若“、相交”，则两直线的斜率不相等，得12,b b 1l 2l ，即，当直线斜率有一个不存在即有且只有一个为0时，也成1212a ab b -≠-1221a b a b ≠12,b b 1221a b a b ≠立，故充分性成立； 反之，均不为0时，若“”，则，则两直线的斜率不相等，即、相交，12,b b 1221a b a b ≠1212a a b b -≠-1l 2l 有且只有一个为0时，、也相交，故必要性成立；综上，则“、相交”是“”的12,b b 1l 2l 1l 2l 1221a b a b ≠充要条件，故选：C.14．为测量两地之间的距离，甲同学选定了与不共线的处，构成，以下是测量数,A B ,A B C ABC A 据的不同方案：①测量；②测量；③测量；④测量,,A B C ∠∠∠,,A B BC ∠∠,,A AC BC ∠.共中要求能唯一确定从地之间距离，则中甲同学应选择的方案的序号为（ ）,,C AC BC ∠,A BA ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【答案】D 【分析】根据正弦定理、余弦定理等知识对四个方案进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于①，测量，不能求出的值，,,A B C ∠∠∠AB 对于②，测量，利用三角形内角和定理求得，,,A B BC ∠∠C ∠再利用正弦定理求得，且解唯一，AB 对于③，测量，,,A AC BC ∠利用余弦定理，222||||||2||||cos BC AC AB AC AB A =+-⋅∠解一元二次方程可以求得，可能解不唯一，AB 对于：④，测量，利用余弦定理直接求得，且解唯一，,,C AC BC ∠AB 所以正确的为②④.故选：D15．若直线上的每一点都在曲线上，但不是曲线的方程，则满足该条10x y +-=C 10x y +-=C 件的曲线方程有（ ） A ．B ． 10x y +-=()()110x y x y +-++=C ．D ．()()22110x y x y +-++=10x y +-=【答案】B【分析】对于和，等价于；对于D ，画出的图象，存在直线A C 10x y +-=10x y +-=上的点不在曲线上，即可得出答案.10x y +-=C 【详解】对于和，等价于，即是曲线的方程，A C 10x y +-=C 对于D ，图象如下图，存在直线上的点不在曲线上，不符合题意.10x y +-=C故选:B16．如图，用35个单位正方拼成一个矩形，点以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点1234,,,P P P P 处.设集合，点，过作直线，使得不在上的“▲”的点分布在的两侧.{}1234Ω,,,P P P P =ΩP ∈P P l P l P l 用和分别表示一侧和另一侧的“▲”的点到的距离之和，若过的直线中有且只()1P D l ()2P D l P l P l P P l 有一条满足，则中所有这样的有（ ）()()12P P D l D l =ΩPA ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，将“▲”代表的四个点坐标写出，再利用平行四边形的性质即可.【详解】建立平面直角坐标系，如图所示则记为“▲”的四个点是，()()()()0,3,1,0,7,1,4,4A B C D 线段的中点分别为，,,,,DA AB BC CD ,,,E F G H 易知四边形为平行四边形，设其对角线交于，EFGH (),M x y 则.0MA MB MC MD +++= 由此求得与点重合，()3,2M 2P 根据平行四边形的中心对称性可知，符合条件的直线一定经过点.P l 2P 而过点和的直线有且仅有一条；过点和的直线有且仅有一条；1P 2P 3P 2P 过点和的直线有且仅有一条.4P 2P 所以符合条件的点是，故3个.134,,P P P 故选：D.三、解答题17．已知等比数列满足：,,且．{}n a 21a =4323a a -=50a >(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若数列的前n 项和为,求满足的n 的值．{}n a n S 55101000n S S S <<【答案】(1)；(2)．23n n a -=8,9,10,11n =【分析】(1)运用等比数列的通项公式,结合已知的等式可以求出等比数列的公比,写出通项公式即可；(2)求出数列的前n 项和为,解不等式求出n 的值.{}n a n S 55101000n S S S <<【详解】(1)设等比数列的公比为,因为,所以有{}n a q 4323a a -=或而,所以,222223233a q a q q q q -=⇒-=⇒=1q =-50a >3q =因此数列的通项公式为；{}n a 2223n n n a a q --==(2) ,因为,所以 1(1)1(31)16n n n a q q S -==--55101000n S S S <<,解得,解得 ()()()55111103131100031666n ⨯⨯-<-<⨯⨯-24213242001n <<.8,9,10,11n =【点睛】本题考查了求等比数列通项公式,考查了等比数列前n 项和公式,考查了数学运算能力. 18．如图，在正三棱柱中，是棱的中点111ABC A B C -16,AC CC M ==1CC(1)求证：平面平面；1AB M ⊥11ABB A (2)求与平面所成角的正弦值.1A M 1AB M 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.MO ⊥11ABB A 1AB M ⊥11ABB A （2）判断出与平面所成角，解直角三角形求得所成角的正弦值.1A M 1AB M 【详解】（1）连接交于点，连接，如图所示,1BA 1B A O ,MO MB 在正三棱柱中， 111ABC A B C -平面平面,1CC ⊥,ABC AC ⊂1,ABC CC AC ∴⊥是棱的中点，则同理16,AC CC M ==1CC AM ==1MB =在正方形中，是的中点，则, 11ABB A O 1B A 1MO B A ⊥同理可得是的中点，则, 1MB MA O ==1BA 1MO A B ⊥又平面，则平面, 1111,,A B B A O A B B A ⋂=⊂11ABB A MO ⊥11ABB A 又平面，则平面平面.MO ⊂1AB M 1AB M ⊥11ABBA（2）由（1）得平面平面，平面平面， 1AB M ⊥1111,ABB A A B B A ⊥1AB M 111ABB A AB =平面,1A B ⊂11ABB A 平面，则即为与平面所成的角， 1A B ∴⊥1AB M 1A MO ∠1A M 1AB M 又，11112A O AB MA ===在中，∴1Rt A MO △111sinA O A MO A M ∠==故与平面1A M 1AB M 19．已知圆和圆221:(3)(1)4C x y ++-=2222:(4)(5)(0)-+-=>C x y r r (1)若圆与圆相交于两点，求的取值范围，并求直线的方程（用含有的方程表示）1C 2C ,A B r AB r (2)若直线与圆交于两点，且，求实数的值:1l y kx=+1C,P Q 4OP OQ =⋅ k 【答案】(1)；)22148350x y r +-+=【分析】（1）根据两圆相交，得到，求出的取值范围，两圆相减得到相交弦1222r C C r -<<+r 即直线的方程；AB （2）联立直线与圆，得到两根之和，两根之积，利用求出的值，并结:1l y kx =+1C 4OP OQ =⋅ k 合根的判别式舍去不合要求的根.【详解】（1）圆的圆心为，半径为2，圆的圆心为，半径为，1C ()3,1-2C ()4,5r因为圆与圆相交于两点，则， 1C 2C ,A B 22r r -<<+解得，)2r ∈+与相减得， 221:(3)(1)4C x y ++-=2222:(4)(5)(0)-+-=>C x y r r 直线的方程为；AB 2148350x y r +-+=（2）设，则联立， ()()1122,,,P x y Q x y ()()223141x y y kx ⎧++-=⎪⎨=+⎪⎩得，()221650k x x +++=则， ()224Δ3645105k k =-⨯⨯+>⇒<则， 12122265,11x x x x k k +=-=++，4OP OQ ⋅= ()()()()21212121212121111x x y y x x kx kx k x x k x x ∴+=+++=++++ ()222561111k k k k -=+⨯+⨯+++， 2266641k k k -+==+解得， k =k =其中不满足，舍去， k =245k <k =则实数k 20．已知初始光线从点出发，交替经直线与轴发生一系列镜面反射，设（0l ()2,1P :l y x =x i A 不为原点）为该束光线在两直线上第次的反射点，为第次反射后光线N,1,i i i A ∈≥i ()N,1i l i i ∈≥i 所在的直线(1)若初始光线在轴上，求最后一条反射光线的方程；0:23,i l y x A =-x (2)当斜率为的反射光线经直线反射后，得到斜率为的反射光()0,1n n k k ≠±n l :l y x =()110,1n n k k ++≠±线时，试探求两条光线的斜率之间的关系，并说明理由；1n l +1,n n k k +(3)是否存在初始光线，使其反射点集中有无穷多个元素？若存在，求出所有的0l {}N,1i A i i ∈≥∣0l 方程；若不存在，求出点集元素个数的最大值，以及使得取到最大值时所有第{}N,1i A i i ∈≥∣n n一个反射点的轨迹方程.1A 【答案】(1) 1322y x =-(2)，理由见解析11n n k k +=(3)的最大值为取最大值4时，的轨迹方程为或 n 4,n 1A (01)y x x =<<0(01)y x =<<【分析】（1）根据题意确定即可确定最后一条反射光线的方程； 123,,A A A （2）由于和直线的夹角相等得，即可得两条光线的斜率之间n l 1n l +y x =11111111n n n n k k k k ++--=+⋅+⋅1,n n k k +的关系；（3）由题意得当且时停止反射，设的斜率为，对进行分类讨论确定每[]0,1(N n k n ∈∈1)n ≥0l 0k 0k 种情况下的反射次数，即可得的最大值，及的轨迹方程.n 1A 【详解】（1）由题可得的斜率为，故的方程为， 113,0,2A l ⎛⎫ ⎪⎝⎭2-1l 23y x =-+联立，解得，则， 23y x y x =-+⎧⎨=⎩11x y =⎧⎨=⎩()21,1A 设关丁的对称点为，所以， 13,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭y x =(),a b 32022301232ab a b b a ⎧+⎪==⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⎪=-⎩⎪-⎪⎩则关丁的对称点为， 13,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭y x =30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭经过和，故的直线方程为， 2l ()1,130,2⎛⎫ ⎪⎝⎭2l 1322y x =-+所以，的斜率为，故的直线方程为， ()33,0A 3l 123l 1322y x =-后面不会再进行反射，所以最后一条反射光线的方程为. 1322y x =-（2）由于和直线的夹角相等得夹角正切值相等，则， n l 1n l +y x =11111111n n n n k k k k ++--=+⋅+⋅所以或， 11111111n n n n k k k k ++--=+⋅+⋅11111111n n n n k k k k ++--=-+⋅+⋅解得（舍）或.1n n k k +=11n n k k +=（3）由题意得当且时光线停止反射，设的斜率为，[]0,1(N n k n ∈∈1)n ≥0l 0k 1）当在直线上时，或不存在， 1A l ()01,1,2k ∞∞⎛⎫∈-⋃+ ⎪⎝⎭0k ①当时，，反射1次； ()01,k ∞∈+()1010,1k k =∈②当时，，反射2次； (]0,1k ∞∈--[)(]121011,0,0,1k k k k =∈-=-∈③当时，，反射3次； ()01,0k ∈-()()()12130211,1,1,,0,1k k k k k k ∞∞=∈--=-∈+=∈④当时，不存在，不存在，，反射3次；00k =1k 2k 30k =⑤当时，，反射4010,2k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()1213430211112,,,2,,0,0,22k k k k k k k k ∞∞⎛⎫⎛⎫=∈+=-∈--=∈-=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭次；⑥当不存在时，，反射1次；0k 10k =2）当在轴上时，或不存在， 1A x ()01,0,2k ∞∞⎡⎫∈-⋃+⎪⎢⎣⎭0k ①当时，，反射2次； ()0,1k ∞∈--()()102111,,0,1k k k k ∞=-∈+=∈②当吋，，反射1次；[)01,0k ∈-(]100,1k k =-∈③当时，，反射401,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()1023241311111,,2,1,1,2,,122k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫=-∈--=∈--=-∈=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭次；④当时，反射3次； [)01,k ∞∈+(][)(]1023211,1,1,0,0,1k k k k k k ∞=-∈--=∈-=-∈⑤当不存在时，不存在，，反射2次；0k 1k 20k =综上，的最大值为4，由1），2）可知，取最大值4时，的轨迹方程为或n n 1A (01)y x x =<<.0(01)y x =<<【点睛】关键点睛，本题第3小问的解决关键是结合题意，确定当且时光线[]0,1(N n k n ∈∈1)n ≥停止反射，同时，光线与轴发生镜面反射时，前后光线斜率关系为；光线，光线与直线x 1n n k k +=-发生镜面反射时，前后光线斜率关系为，由此得解. :l y x =11n n k k +=。

高二数学理科下学期一课一练答案

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1．1.1--1．1.2 变化率问题 导数的概念答案1．D 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B 7．－9 8．2.1 9．－210．解 因为Δy ＝－2(2＋Δx )2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx －2(Δx )2，所以函数在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率为ΔyΔx＝错误!＝－8－2Δx . 11．解 Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3)＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ， ∴ΔyΔx＝错误!＝2Δx ＋16. ∴y ′|x ＝3＝lim Δx→0 ΔyΔx ＝lim Δx→0(2Δx ＋16) ＝16.12．解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c＝a (Δx )2＋2a Δx . ∴f ′(1)＝lim Δx→0 错误! ＝lim Δx→0 错误!＝lim Δx→0 (a Δx ＋2a )＝2，即2a ＝2， ∴a ＝1.13．解 (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]内的平均速度为 Δs Δt ＝482＝24 (m/s)． (2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 ΔsΔt ＝错误! ＝错误! ＝3Δt －18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为 lim Δt→0 Δs Δt ＝lim Δt→0 (3Δt －18)＝－18， 即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为 ΔsΔt＝错误! ＝错误!＝3Δt －12.∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为 lim Δt→0 Δs Δt ＝lim Δt→0(3Δt －12)＝－12. 即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.1.1.3 导数的几何意义答案1．C 2．B 3．D 4．A 5．A 6．3 7．B 8．3 9.⎣⎡⎦⎤－1，－1210．解 曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1 ＝lim Δx→0 错误! ＝lim Δx→0 (3Δx ＋2)＝2.∴过点P (－1,2)的直线的斜率为2， 由点斜式得y －2＝2(x ＋1)， 即2x －y ＋4＝0.所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0.11．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x2＋4，y ＝x ＋10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)． (2)∵y ＝x 2＋4， ∴y ′＝lim Δx→0 错误! ＝lim Δx→0 错误! ＝lim Δx→0 (Δx ＋2x )＝2x . ∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6.∴在点(－2,8)处的切线方程为4x＋y＝0；在点(3,13)处的切线方程为6x－y－5＝0.12．解∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x30＋ax20－9x0－1) ＝(3x20＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，∴ΔyΔx＝3x20＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.当Δx无限趋近于零时，ΔyΔx无限趋近于3x20＋2ax0－9. 即f′(x0)＝3x20＋2ax0－9∴f′(x0)＝3(x0＋a3)2－9－a23.当x0＝－a3时，f′(x0)取最小值－9－a2 3 .∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，∴该切线斜率为－12.∴－9－a23＝－12.解得a＝±3.又a<0，∴a＝－3.13．解相应图象如下图所示．§1.2导数的计算1．2.1 几个常用函数的导数1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一答案1．D2．B3．A4．B5．A6．10ln 107．－3 48．D 9．ln 2－110．解 (1)y ′＝(x x )′＝⎝⎛⎭⎫x 32′＝32x 32－1＝32x . (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x4′＝(x －4)′＝－4x －4－1 ＝－4x －5＝－4x5. (3)y ′＝(5x3)′＝⎝⎛⎭⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x2. (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x )′＝1x·ln 2.(5)∵y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos2x 4＝2sin x2⎝⎛⎭⎫2cos2x 4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x . 11．解 ∵y ＝3x2，∴y ′＝(3x2)′＝⎝⎛⎭⎫x 23′＝23x －13，∴y ′|x ＝8＝23×8－13＝13.即在点P (8,4)处的切线的斜率为13.∴适合题意的直线的斜率为－3. 从而适合题意的直线方程为 y －4＝－3(x －8)， 即3x ＋y －28＝0.12．解 根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1， 所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，13．解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4， ∴f 2 014(x )＝f 2(x )＝－sin x .1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二答案1．D 2．B 3．B 4．D 5．A 6.12 7．0.4 m/s 8．D 9．610．解 (1)方法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋3(2x 2＋3) ＝18x 2－4x ＋9.方法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1) ＝6x 3－2x 2＋9x －3， ∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′ ＝18x 2－4x ＋9.(2)∵y ＝(x －2)2＝x －4x ＋4，∴y ′＝x ′－(4x )′＋4′＝1－4·12x －12＝1－2x －12.(3)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－(12sin x )′＝1－12cos x .11．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .又已知f ′(x )＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2. ∴f (x )＝x 2＋2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴判别式Δ＝4－4c ＝0， 即c ＝1.故f (x )＝x 2＋2x ＋1.12．(1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，①又f ′(x )＝a ＋b x2，∴f ′(2)＝74，②由①，②得⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知 曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝(1＋3x20)(x －x 0)， 即y －(x 0－3x0)＝(1＋3x20)(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x0)． 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6x0||2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6. 13．解 设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)， 即y ＝2x 1x －x 21.①对于C 2：y ′＝－2(x －2)，则与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)， 即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 2－4.②因为两切线重合， 所以由①②，得错误!解得⎩⎪⎨⎪⎧x1＝0，x2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x1＝2，x2＝0.所以直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(三)答案1．A2．C3．B4．B5．－24(2 011－8x)26．－27．18．B9．D10．解(1)设y＝u8，u＝1＋2x2，∴y′＝(u8)′(1＋2x2)′＝8u7·4x＝8(1＋2x2)7·4x＝32x(1＋2x2)7.(2)设y＝u－12，u＝1－x2，则y′＝(u－12)′(1－x2)′＝(－12u－32)·(－2x)＝x(1－x2)－3 2 .(3)y′＝(sin 2x－cos 2x)′＝(sin 2x)′－(cos 2x)′＝2cos 2x＋2sin 2x＝22sin (2x＋π4 )．(4)设y＝cos u，u＝x2，则y′＝(cos u)′·(x2)′＝(－sin u)·2x＝(－sin x2)·2x＝－2x sin x2.11．解f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，f(0)＝1.∴f′(x)＝2ax－2＋1 x＋1＝错误!，f′(0)＝－1，∴切点P的坐标为(0,1)，l的斜率为－1，∴切线l的方程为x＋y－1＝0.12．解函数s＝5－25－9t2可以看作函数s＝5－x和x＝25－9t2的复合函数，其中x是中间变量．由导数公式表可得s x′＝－12x－12，x t′＝－18t.故由复合函数求导法则得s t′＝s x′·x t′＝(－12x －12)·(－18t )＝9t 25－9t2，将t ＝715代入s ′(t )， 得s ′(715)＝0.875 (m/s)． 它表示当t ＝715s 时，梯子上端下滑的速度为0.875 m/s. 13．证明 设y ＝f (x )是奇函数，即f (－x )＝－f (x )，两边对x 求导，得f ′(－x )·(－x )′＝－f ′(x )，即－f ′(－x )＝－f ′(x )，f ′(－x )＝f ′(x )，故原命题成立．1．3.1 函数的单调性与导数答案1．A 2．D 3．A 4．B 5.⎣⎡⎦⎤－13，1∪[2,3) 6.⎝⎛⎭⎫π3，5π3 7．解 由y ＝f ′(x )的图象可以得到以下信息：x <－2或x >2时，f ′(x )<0，－2<x <2时，f ′(x )>0， f ′(－2)＝0，f ′(2)＝0.故原函数y ＝f (x )的图象大致如下：8．A 9．C 10．a ≤011．解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，y ′＝1－1x，由y ′>0，得x >1；由y ′<0， 得0<x <1.∴函数y ＝x －ln x 的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)． (2)函数的定义域为{x |x ≠0}， y ′＝－12x2， ∵当x ≠0时，y ′＝－12x2<0恒成立． ∴函数y ＝12x的单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，没有单调增区间．12．解 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2，∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝6－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3b －c ＝0解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. (2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )>0，得x <1－2或x >1＋2； 令f ′(x )<0，得1－2<x <1＋2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2)．13．解 (1)由已知条件得f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，又f ′(2)＝0，∴3m ＋n ＝0，故n ＝－3m . (2)∵n ＝－3m ，∴f (x )＝mx 3－3mx 2， ∴f ′(x )＝3mx 2－6mx .令f ′(x )>0，即3mx 2－6mx >0，当m >0时，解得x <0或x >2，则函数f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)； 当m <0时，解得0<x <2，则函数f (x )的单调增区间是(0,2)． 综上，当m >0时，函数f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)； 当m <0时，函数f (x )的单调增区间是(0,2)．1.3.2 函数的极值与导数答案1．A 2．D 3．D 4．C 5．C 6．B 7．3 8．9 9．③10．解 (1)函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．∵f ′(x )＝错误!，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故当x ＝－并且极大值为f (－1)＝－38.(2)函数的定义域为R ，f ′(x )＝2x e －x ＋x 2·⎝⎛⎭⎫1ex ′ ＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x ＝2时，函数有极大值，且为f (2)＝4e －2. 11．解 ∵f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2＝(x ＋m )(3x －2m )，令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝23m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )极大值＝f (－m )＝－m 3＋2m 3＋2m 3－4＝－2，∴m ＝1.12．解 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1.令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f (－3)＝27＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1， 由此可知，x 取足够大的正数时，有f(x)>0，x取足够小的负数时，有f(x)<0，所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．由(1)知f(x)极大值＝f(－13)＝527＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1.∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，即527＋a<0或a－1>0，∴a<－527或a>1，∴当a∈(－∞，－527)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．13．解(1)当a＝0时，f(x)＝x2e x，f′(x)＝(x2＋2x)e x，故f′(1)＝3e.(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]e x.令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，由a≠23知，－2a≠a－2.以下分两种情况讨论：①若a>23，则－2a<a－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3a e－2a.函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)e a－2.②若a<23，则－2a>a－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)在(a－2，－2a)内是减函数．函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)e a－2.函数f (x )在x ＝－2a 处取得极小值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e －1.3.3函数的最大(小)值与导数答案1．B 2．C 3．A 4．C 5．C 6．－1e7．[－4，－2] 8．D9．(－∞，2ln 2－2]10．解 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴当x min ＝－37，得a ＝3.当x ＝0时，f (x )的最大值为3. 11．解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值， ∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根． ∴⎩⎨⎧－1＋3＝23a －1×3＝b3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝－9.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ， f ′(x )＝3x 2－6x －9.当x 变化时，f ′(x )，f (x )随x 的变化如下表：而∴当x ∈[－2,6]时，f (x )的最大值为c ＋54， 要使f (x )<2|c |恒成立，只要c ＋54<2|c |即可， 当c ≥0时，c ＋54<2c ，∴c >54； 当c <0时，c ＋54<－2c ，∴c <－18.∴c ∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)，此即为参数c 的取值范围．12．解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ，由已知条件错误!即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1＝02a ＋3＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2＋2， f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)． f ′(x )与f (x )随x 的变化情况如下：由f (x )＝f (0)因此根据f (x )图象，当0<t ≤2时，f (x )的最大值为 f (0)＝2，最小值为f (t )＝t 3－3t 2＋2； 当2<t ≤3时，f (x )的最大值为 f (0)＝2，最小值为f (2)＝－2； 当t >3时，f (x )的最大值为f (t )＝t 3－3t 2＋2，最小值为f (2)＝－2. 13．解 (1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x .令f ′(x )＝0，得x ＝k －1， f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：所以f (x )(2)当k －1≤0，即k ≤1时， 函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1]上单调递减，在(k －1,1)上单调递增， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1. 当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.习题课答案1．A 2．B 3．A 4．D 5．3 6．27．A 8．B 9．(－2,2)10．解 f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3，由已知得f ′(3)＝0， ∴3×9－6a ＋3＝0.∴a ＝5， ∴f (x )＝x 3－5x 2＋3x ＋6. 令f ′(x )＝3x 2－10x ＋3＝0， 得x 1＝13，x 2＝3.则x ，f ′(x )，f (x )的变化关系如下表.∴f (x )在最小值为f (3)＝－3. 11．(1)解 f ′(x )＝1＋2ax ＋bx.由已知条件得错误!即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)证明 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知f (x )＝x －x 2＋3ln x . 设g (x )＝f (x )－(2x －2) ＝2－x －x 2＋3ln x ， 则g ′(x )＝－1－2x ＋3x＝－错误!.当0<x <1时，g ′(x )>0，当x >1时， g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)内单调递增， 在(1，＋∞)内单调递减．而g (1)＝0，故当x >0时，g (x )≤0， 即f (x )≤2x －2.12．解 当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，f ′(x )＝(－x 2＋2)e x .当f ′(x )>0时，(－x 2＋2)e x >0， 注意到e x >0，所以，函数f (x )的单调递增区间为(－2，2)．同理可得，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)． (2)因为函数f (x )在(－1,1)上单调递增， 所以f ′(x )≥0在(－1,1)上恒成立． 又f ′(x )＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ， 即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0， 注意到e x >0，因此－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0在(－1,1)上恒成立， 也就是a ≥x2＋2x x ＋1＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上恒成立． 设y ＝x ＋1－1x ＋1，则y ′＝1＋错误!>0， 即y ＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上单调递增， 则y <1＋1－11＋1＝32，故a ≥32.§1.4 生活中的优化问题举例答案1．C 2．C 3．C 4．B 5．A 6．32米，16米 7．5 8．6 39．解 设广告的高和宽分别为x cm ，y cm ，则每栏的高和宽分别为x －20，y －252，其中x >20，y >25. 两栏面积之和为2(x －20)·y －252＝18 000， 由此得y ＝18 000x －20＋25. 广告的面积S ＝xy ＝x (18 000x －20＋25)＝18 000xx －20＋25x . ∴S ′＝错误!＋25＝错误!＋25. 令S ′>0得x >140， 令S ′<0得20<x <140.∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减， ∴S (x )的最小值为S (140)．当x ＝140时，y ＝175.即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小． 10．解 (1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37；当2≤x ≤12时， f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12(x －1)x (41－2x ) ＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且2≤x ≤12)． 验证x ＝1符合f (x )＝－3x 2＋40x ， ∴f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12)． (2)该商场预计销售该商品的月利润为 g (x )＝(－3x 2＋40x )(185－150－2x ) ＝6x 3－185x 2＋1 400x (x ∈N *,1≤x ≤12)， g ′(x )＝18x 2－370x ＋1 400， 令g ′(x )＝0，解得x ＝5，x ＝1409(舍去)． 当1≤x <5时，g ′(x )>0； 当5<x ≤12时，g ′(x )<0， ∴当x ＝5时，g (x )max ＝g (5)＝3 125(元)．综上5月份的月利润最大是3 125元． 11．解 设速度为x km/h ，甲、乙两城距离为a km.则总费用f (x )＝(kx 3＋200)·a x＝a (kx 2＋200x)． 由已知条件，得40＝k ·203，∴k ＝1200， ∴f (x )＝a (1200x 2＋200x)． 令f ′(x )＝错误!＝0， 得x ＝10320.当0<x <10320时，f ′(x )<0； 当10320<x <100时，f ′(x )>0. ∴当x ＝10320时，f (x )有最小值， 即速度为10320 km/h 时，总费用最少．12．解(1)设容器的容积为V，由题意知V＝πr2l＋43πr3，又V＝80π3，故l＝V－43πr3πr2＝803r2－43r＝43(20r2－r)．由于l≥2r，因此0<r≤2.所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×43(20r2－r)×3＋4πr2c，因此y＝4π(c－2)r2＋160πr，0<r≤2.(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－160πr2＝错误!(r3－错误!)，0<r≤2. 由于c>3，所以c－2>0.当r3－20c－2＝0时，r＝320c－2.令320c－2＝m，则m>0，所以y′＝错误!(r－m)(r2＋rm＋m2)．①当0<m<2，即c>92时，令y′＝0，得r＝m.当r∈(0，m)时，y′<0；当r∈(m,2]时，y′>0，所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．②当m≥2，即3<c≤92时，当r∈(0,2]时，y′≤0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点．综上所述，当3<c≤92时，建造费用最小时r＝2；当c>92时，建造费用最小时r＝320c－2.1．5.1---1．5.2曲边梯形的面积汽车行驶的路程答案1．C 2．B3．D4．B5．D6．C7.n＋1 28．[n＋i－1n，n＋in]9．5510．解令f(x)＝x2.(1)分割将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n ，…，x n －1＝错误!，x n ＝2.第i 个区间为[2i －2n ，2i n ](i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n. (2)近似代替、求和 取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑n i ＝1f (2i n )·Δx ＝∑n i ＝1 (2i n )2·2n ＝8n3∑n i ＝1i 2＝8n3(12＋22＋…＋n 2)＝8n3·错误! ＝43(2＋3n ＋1n2)． (3)取极限S ＝li m n→∞S n ＝li m n→∞ 43(2＋3n ＋1n2)＝83，即所求曲边梯形的面积为83.11．解 (1)分割：将时间区间[0，t ]分成n 等份．把时间[0，t ]分成n 个小区间，则第i 个小区间为[i －1n t ，itn](i ＝1,2，…，n )， 每个小区间所表示的时间段 Δt ＝it n －i －1n t ＝t n， 在各个小区间物体下落的距离记作Δs i (i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程． 在[i －1n t ，itn]上任取一时刻ξi (i ＝1,2，…，n )， 可取ξi 使v (ξi )＝g ·i －1n t 近似代替第i 个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体Δt ＝tn 内所经过的距离可近似表示为Δs i ≈g ·i －1n t ·tn(i ＝1,2，…，n )．。

2023-2024学年上海市高二下册开学考试数学模拟试题1(含解析)

2023-2024学年上海市高二下册开学考试数学模拟试题1(含解析)

2023-2024学年上海市高二下册开学考试数学模拟试题一、填空题1．已知集合{}{}3,1,0,1,2,1A B x x =--=>，则A B = __________.【正确答案】{}3,2-将A 中元素逐个代入判断1x >是否成立即可得解.【详解】将A 中元素逐个代入1x >，符合的有3-、2，即{}3,2A B ⋂=-.故答案为.{}3,2-本题考查了描述法表示集合和集合的交集运算，属于基础题.2．函数y =__________.【正确答案】(],0-∞【分析】由根式的性质，结合指数函数单调性及指对数关系求自变量范围，即得定义域.【详解】由题设1102x⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，故12log 10x ≤=，故定义域为(],0-∞.故(],0-∞3．设向量()2,1a = ，e 是与a 方向相反的单位向量，则e 的坐标为__________.【正确答案】55⎛-- ⎝⎭【分析】根据相反向量、向量模的概念，求得a 相反向量的坐标及模长，即可求e 的坐标.【详解】由a 相反向量为(2,1)--∴e = ()55--.故(4．复数34i -的虚部是__________.【正确答案】4-【分析】利用复数的相关概念即可得解.【详解】由复数虚部的概念，易知复数34i -的虚部为4-.故答案为.4-5．已知1sin 3α=-，则cos2α的值为__________.【正确答案】79【分析】应用二倍角余弦公式求值即可.【详解】由217cos212sin 1299αα=-=-⨯=.故796．在所有由1，2，3，4，5这五个数字组成的无重复数字的五位数中，任取一个数，则取出的数是奇数的概率为_________.【正确答案】35##0.6【分析】根据古典概型的概率公式即可解出．【详解】任意一个数，共有5种可能，而这个数是奇数的可能有3种，所以任取一个数，则取出的数是奇数的概率为35P =．故35．7．已知公差为()0d d ≠的等差数列{}n a ，其中2312a a a =，则12345a a a a a -+-=____________．【正确答案】34-##-0.75【分析】由题干条件得到143a d =-，从而求出答案.【详解】由题意得：()()21112a d a a d +=+，解得：()1340a d d +=，因为0d ≠，所以143a d =-，则12345122344443a a a a d d d a a d d -+---===-+-+，故34-8．已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩大为原来的___________倍.【正确答案】2【分析】求出底面半径扩大为原来的2倍，从而得到侧面积扩大为原来的2倍.【详解】设圆柱的高为h ，底面半径为r ，则体积为2πr h ，体积扩大为原来的4倍，则扩大后的体积为24πr h ，因为高不变，故体积()224ππ2r h r h =，即底面半径扩大为原来的2倍，原来侧面积为2πrh ，扩大后的圆柱侧面积为2π24πrh rh ⋅=，故侧面积扩大为原来的2倍.故29．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p ，若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，则p =________【正确答案】15##0.2【分析】根据相互独立事件概率的乘法公式和互斥事件的加法公式列方程即可求解.【详解】由题意可得：()()11149111110101050p p p ⎛⎫⎛⎫-+-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得：90111045p -=，解得：15p =，故答案为.1510．直线l 过点()1,3P ，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为______【正确答案】3y x =或40x y +-=【分析】分截距为0和不为0两种情况讨论即可.【详解】错解：因为直线l 过点()1,3P ,且在两坐标轴上的截距相等,设直线l 的方程为1x y a a +=,则131a b +=,所以4a =,故直线l 的方程为144x y +=,即40x y +-=.错因：错误原因是忽略直线l 过原点,截距为零的情况.正解：若直线l 过原点，满足题意，此时直线l 的方程为3y x =；若直线l 不过原点，设直线l 的方程为1x y a a +=,则131a a +=，所以4a =,故直线l 的方程为144x y +=，即40x y +-=.综上，直线l 的方程为3y x =或40x y +-=.故3y x =或40x y +-=.11．将函数()y f x =的图象关于y 轴对称，得到()y g x =的图象，当函数()y f x =与()y g x =在区间[],a b 上同时递增或同时递减时，把区间[],a b 叫做函数()y f x =的“不动区间”．若区间[]1,2022为函数10x y t =-的“不动区间”，则实数t 的取值范围是_________．【正确答案】1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】求出函数10x y t =-的图象关于y 轴对称对称的函数的解析式为10x y t -=-，分0t ≤、0t >两种情况讨论，化简两个函数的解析式，对两个函数在区间[]1,2022上的单调性进行分类讨论，可的关于实数t 的不等式（组），综合可求得实数t 的取值范围.【详解】函数10x y t =-的图象关于y 轴对称对称的函数的解析式为10x y t -=-，因为区间[]1,2022为函数10x y t =-的“不动区间”，所以，函数10x y t =-与函数10x y t -=-在[]1,2022上的单调性相同，若0t ≤，则1010x x y t t =-=-在[]1,2022上单调递增，1010x x y t t --=-=-在[]1,2022上单调递减，不合乎题意；若0t >，则10,lg 1010,lg x xx t x t y t t x t ⎧-≥=-=⎨-<⎩，10,lg 1010,lg x x x t x t y t t x t ---⎧-≤-=-=⎨->-⎩若函数10x y t =-在[]1,2022上单调递增，则lg 1t ≤，可得010t <≤，此时函数10x y t -=-在[]1,2022也单调递增，则lg 1t -≤，可得110t ≥，则11010t ≤≤；若函数10x y t =-在[]1,2022上单调递减，则lg 2022t ≥，可得202210t ≥，此时函数10x y t -=-在[]1,2022也单调递减，则lg 2022t -≥，可得2022010t -<≤，则t 不存在.综上所述，实数t 的取值范围是1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为.1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知数列{}n a 的前n 项和为()0,n n n S S T ≠为数列{}n S 的前n 项积，满足n n n n S T S T +=⋅（n 为正整数），其中11T a =，给出下列四个结论：①12a =；②2(21)n a n n =-；③{}n T 为等差数列；④1n n S n +=.其中所有正确结论的序号是__________.【正确答案】①③④【分析】根据关系式n n n n S T S T +=⋅，当1n =时，即可求得1a 的值；由n n n n S T S T +=⋅得1n n n S T S =-，当2n ≥时，可得1111n n n S T S ---=-，两式相除整理可证明11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列，即可求得n S ，从而可求得,n n T a ，由此得以判断各结论.【详解】因为n n n n S T S T +=⋅()*n ∈N ，所以当1n =时，21111112S T S T a a +=⋅⇒=，解得12a =或10a =，又0n S ≠，所以10a ≠，故12a =，故①正确；因为n n n n S T S T +=⋅，易得1n S ≠，所以1n n n S T S =-，当2n ≥时，1111n n n S T S ---=-，所以11111n n n n n n T S S T S S ----=⨯-，则1111n n n n n S S S S S ---=⨯-，所以()11111111111111n n n n n n S S S S S S ------+===+----，则111111n n S S --=--，又1111111S a ==--，所以11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1111S =-为首项，1为公差的等差数列，所以()11111n n n S =+-⨯=-，则1n n S n+=，经检验，112S a ==满足上式，所以1n n S n+=，故④正确；所以11111n n n n S n T n n S n+===++--，则()111,2n n T T n n n --=+-=≥，所以{}n T 为等差数列，故③正确；当2n ≥时，()()221111111n n n n n n n a S S n n n n n n -+--=-===----，又12a =不符合上式，所以()2,11,21n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩，故②错误.故①③④.二、单选题13．已知0a >，0b >，若4a b +=，则A ．22a b +有最小值BC ．11a b +有最大值D有最大值【正确答案】A【分析】根据基本不等式的性质，即可求解22a b +有最小值，得到答案.【详解】由题意，可知a 0>，b 0>，且a b 4+=，因为0,0a b >>，则a b +≥2(42a b ab +≤=，所以()222a b a b 2ab 162ab +=+-=-16248≥-⨯=，当且仅当2a b ==时，等号成立，取得最小值8，故选A ．本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.14．设函数()sin cos f x a x x =+（a 为常数），则“0a =”是“()f x 为偶函数”的（）A ．充分非必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件【正确答案】C【分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断.【详解】解：当0a =时，()sin cos cos f x x x x a =+=,所以()f x 为偶函数；当()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，∴()sin()cos()sin +cos a f x x x a x x -=-+-=-，即sin cos sin +cos x x x x a a +=-，得sin 0a x =对任意的x 恒成立，从而0a =.从而“0a =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件.故选：C.15．点()2,1M 到直线()()():21130,R l x y λλλ++-+=∈的距离的最大值为（）AB C ．3D ．【正确答案】D【分析】由题意，求得直线所过定点，由两点之间距离公式，可得答案.【详解】由直线()()():21130,R l x y λλλ++-+=∈，整理可得()230x y x y λ-+++=，令2030x y x y -=⎧⎨++=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，点()2,1M 到直线l 距离的最大值为点()2,1M 到定点()1,2--的距离，则=故选：D.16．()2,0A -，()2,0B ，()0,2C ，()1,0E -，()1,0F ，一束光线从点F 出发射到BC 上的点D ，经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上（不含端点），则FD 的斜率的取值范围是（）A ．(),2-∞B ．()0,∞+C ．()1,+∞D ．()4,+∞【正确答案】D【分析】先根据题意求得()2,0A -关于直线BC 对称的点为()12,4A ，点()1,0E -关于直线AC 的对称点为()12,1E -，点()12,1E -关于直线BC 的对称点为()21,4E ，再数形结合得到点D 的变动范围，从而得到1FD A F k k >，由此得解.【详解】设直线BC 方程为y kx b =+，则022k b b =+⎧⎨=⎩，解得12k b =-⎧⎨=⎩，即:2BC y x =-+，即:20BC x y +-=，设()2,0A -关于直线BC 对称的点为()1,A x y ，则1222022y x x y ⎧=⎪⎪+⎨-⎪+-=⎪⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩，即()12,4A ，14A F k =，同理可得：点()1,0E -关于直线:2AC y x =+的对称点为()12,1E -，点()12,1E -关于直线:2BC y x =-+的对称点为()21,4E ，如图所示：利用光线反射的性质可知，当这束光线反射后最终经过点A 时，则其先经过点N ；当这束光线反射后最终经过点E 时，则其先经过点M ；所以点,M N 之间为点D 的变动范围，因为()21,4E ，()1,0F ，所以直线2FE ，即直线FM 斜率不存在，而14FN A F k k ==，所以4FD FN k k >=，即()4,FD k ∈+∞.故选：D三、解答题17．如图，设长方体1111ABCD A B C D -中，3AB BC ==，14AA =．(1)求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小；(2)求二面角11B A C B --的大小．【正确答案】(1)16arccos25(2)9arccos 25【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；【详解】（1）解：以DA ，DC ，1DD 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()13,0,4A ，()3,3,0B ，()13,3,4B ，()0,3,0C，∴()10,3,4A B =-uuu r ，()13,0,4B C =-- ，11111116cos ,25169169A B B C A B B C A B B C⋅∴==+⨯+ ，∴异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为16arccos25；（2）解：()110,3,0A B = ，()3,0,0CB = ，设平面1A BC 的一个法向量为(),,n x y z =r ，则134030n A B y z n CB x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令4y =，则()0,4,3n = ，设平面11A B C 的一个法向量为(),,m a b c =，则11130340m A B b m B C a c ⎧⋅==⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，令4a =，则()4,0,3n =-，9cos ,25n m n m n m ⋅∴===- ，又二面角11B A C B --为锐二面角，∴二面角11B A C B --的大小为9arccos 25．18．在ABC 中，有πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中,,a b c 分别为角,,A B C 的对边.(1)求角B 的大小；(2)设点D 是AC的中点，若BD =a c +的取值范围.【正确答案】(1)π3B =；(2)4a c <+≤.【分析】（1）由正弦定理边角关系将条件转化为πsin cos 6a B a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，应用差角余弦公式及三角形内角性质求角的大小；（2）延长BD 到E 满足DE BD =，连接,AE CE ，易知ABCE 为平行四边形，再应用余弦定理、基本不等式求a c +上界，结合三角形三边关系求下界，即可得范围.【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=，可得sin sin b A a B =，由πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得πsin cos 6a B a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即πsin cos 6B B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以1sin sin 22B B B =+，可得tan B =，又0πB <<，可得π3B =.（2）如图，延长BD 到E 满足DE BD =，连接,AE CE ，则ABCE 为平行四边形，则2π,,3BE BAE AB c AE BC a =∠====，在BAE中，由余弦定理得：2222π2cos3a c ac =+-，即2212,a c ac ++=可变形为：2()12a c ac +-=，即2()12ac a c =+-，由基本不等式得：22()122a c ac a c +⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭，即2()16a c +≤，得4a c +≤（当且仅当2a c ==取等号）.又AE AB BE +>，有a c +>a c +的取值范围是4a c <+≤.19．已知ABC 的顶点()5,1A ，重心()3,3G ．(1)求线段BC 的中点坐标；(2)记ABC 的垂心为H ，若B 、H 都在直线y x =-上，求H 的坐标．【正确答案】(1)(2,4)(2)(5,5)H -【分析】第一问根据顶点到重心的距离与重心到底边中点的距离比为2:1，可得对应的共线向量解决求BC 的中点；根据BH 求AC ，设点C 的坐标，根据BC 的中点可以用C 表示B ，根据点C 在AC 上且点B 在BH 上，求出点C 的坐标，根据BC 与AH 垂直求出AH 的方程，然后联立AH 与BH .【详解】（1）设BC 中点()00,M x y ，因为G 为ABC 的重心，且()()5,1,3,3A G ，所以2AG GM = ，即()()002223,3x y -=--，所以0000312314x x y y -=-=⎧⎧∴⎨⎨-==⎩⎩，所以BC 中点()2,4M （2）因为BH 的方程为y x =-，且H 为ABC 的垂心所以1BH AC k k ⋅=-即11AC k -⋅=-，所以1AC k =所以直线AC 的方程为：15y x -=-，即4y x =-所以设点(),4C C C x x -，又因为BC 的中点()2,4M ，设(),B B B x y 则2244248B C B C x x y x +=⨯=⎧⎨+-=⨯=⎩即412B C B C x x y x =-⎧⎨=-⎩又因为点B 在直线y x =-上，即()124C C x x -=--，所以8C x =所以()8,4C ，所以44082BC MC k k -===-，则BC 边上的高线AH 为5x =而点H 也在直线BH ：y x =-上，所以点H 的坐标即为AH 与BH 的交点即()5,5H -.20．第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有23的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X 的分布列和期望；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n 次传球之前球在甲脚下的概率为pn ，易知121,0==p p ．①试证明：13n p ⎧⎫-⎨⎩⎭为等比数列；②设第n 次传球之前球在乙脚下的概率为qn ，比较p 10与q 10的大小．【正确答案】(1)分布列见解析；期望为13(2)①证明见解析；②1010p q <【分析】（1）方法一：先计算门将每次可以扑出点球的概率，再列出其分布列，进而求得数学期望；方法二：判断13,9X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，结合二项分布的分布列和期望公式确定结论；（2）①记第n 次传球之前球在甲脚下的概率为n p ，则当2n ≥时，第n 1-次传球之前球在甲脚下的概率为1n p -，由条件确定1,n n p p -的关系，结合等比数列定义完成证明；②由①求出1010,p q ，比较其大小即可.【详解】（1）方法一：X 的所有可能取值为0,1,2,3，在一次扑球中，扑到点球的概率111133339P =⨯⨯⨯=，所以()()3201338512181920C ,1C 972999729P X P X ⎛⎫⎛⎫=====⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2323331824112C ,3C 997299729P X P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⨯==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列如下：X0123P 512729192729247291729()19224311237297297297293241E X =⨯++⨯==方法二：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为111339p =⨯=，门将在前三次扑到点球的个数X 可能的取值为0,1,2,3，易知13,9X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()3318C ,0,1,2,399k k k P X k k -⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故X 的分布列为：X0123P 5127296424382431729所以X 的期望()11393E X =⨯=．（2）①第n 次传球之前球在甲脚下的概率为n p ，则当2n ≥时，第n 1-次传球之前球在甲脚下的概率为1n p -，第n 1-次传球之前球不在甲脚下的概率为11n p --，则()11111101222n n n n p p p p ---=⨯+-⨯=-+，即1111323n n p p -⎛⎫-=-- ⎝⎭，又11233p -=，所以13n p ⎧⎫-⎨⎩⎭是以23为首项，公比为12-的等比数列．②由①可知1211323n n p -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以91021113233p ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，所以()910101122111223323q p ⎡⎤⎛⎫=-=->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故1010p q <．21．设函数()f x 的定义域为R .若存在实数()a b m n a b ≠、、、使得()()22f x f a x m +-=，()()22f x f b x n +-=均对任意x R ∈成立，则称()f x 为“(),,,a b m n 型—Ω函数”.（1）若()f x 是“()0,1,0,0型—Ω函数”，求()2020f 的值；（2）若()f x 是“()0,1,0,1型—Ω函数”，求证：函数()y f x x =-是周期函数；（3）若()f x 是“(),,,a b m n 型—Ω函数”，且()f x 在R 上单调递增，求证：存在正实数c 、M ，使得()f x cx M -≤对任意x R ∈成立.【正确答案】（1）0；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）由()f x 是“()0,1,0,0型—Ω函数”，可得0,1,0,0a b m n ====，结合已知条件，即可求得()2020f 值；（2）由()f x 是“()0,1,0,1型—Ω函数”，可得0,1,0,0a b m n ====，结合已知条件，推导出()()()22f x x f x x +-+=-，根据周期函数定义，即可求得答案；（3）构造函数()()g x f x cx =-，设m n c a b -=-，根据已知条件推导出()g x 是周期函数，结合已知条件，即可求得答案.【详解】（1） 函数()f x 的定义域为R .若存在实数()a b m n a b ≠、、、使得()()22f x f a x m +-=，()()22f x f b x n +-=均对任意x R ∈成立，则称()f x 为“(),,,a b m n 型—Ω函数”若()f x 是“()0,1,0,0型—Ω函数”则0,1,0,0a b m n ====，将其代入()()22f x f a x m +-=，()()22f x f b x n +-=可得：()()0f x f x +-=，令0x =，可得()00f =()()()()()202f x f x f x f x f x +-=⇒+=--=2T ⇒=()()202000f f ⇒==（2） ()f x 是“()0,1,0,1型—Ω函数”则0,1,0,1a b m n ====，将其代入()()22f x f a x m +-=，()()22f x f b x n +-=可得：()()0f x f x +-=，()()()()()22222f x f x f x f x f x +-=⇒+=--=+()()()22f x x f x x⇒+-+=-∴()y f x x =-，周期为：2T =∴函数()y f x x =-是周期函数（3）()()22f x f a x m +-=，()()22f x f b x n +-=⇒()()()()222222f x m f a x m n f b a x =--=---+()2222mm n f x b a =--+-令0m n c a b-=>-及()()g x f x cx =-，则()()()()2222g x f x cx f x b a c x b a =-=+--+-()22g x b a =+-，不妨设0b a T -=>，则()g x 是周期为T 的函数.∵12x x <时，()()()()121122f x f x g x cx g x cx <⇒+<+()()1212g x g x c x x ⇒-<-，对任意12,x x R ∈，对任意x R ∈，取()0,t T ∈使()()g x g t =()()()()00g x g g t g ct cT ⇒-=-<<()()120g x g cT x x ⇒≤+-，对任意12,x x R ∈，综上，取0m n c a b-=>-，()0M g cT =+，则()f x x M -≤对任意x R ∈成立本题解题关键是理解()f x 为“(),,,a b m n 型—Ω函数”定义和周期的求法，考查了分析能力和计算能力，属于难题.。

2024年沪教新版高二数学下册阶段测试试卷含答案

2024年沪教新版高二数学下册阶段测试试卷含答案

2024年沪教新版高二数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、以椭圆内的点M(1,1)为中点的弦所在直线的方程为（）A. 4x－y－3＝0B. x－4y＋3＝0C. 4x＋y－5＝0D. x＋4y－5＝02、【题文】巳知点(x,y)在ΔABC所包围的阴影区域内(包含边界),若B(3,)是使得z=ax-y取得最大值的最优解,则实数a的取值范围为（）A.B.C.D.3、【题文】不等式的解集为（）A.B.C.D. 以上4、【题文】如图，在平面直角坐标系中，射线OT为的终边，在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在内的概率是（）A.B.C.D.5、【题文】如果函数的图像关于点中心对称，那么的可能取值为（）A —B C—D6、【题文】一批零件共10个；其中有8个合格品，2个次品，每次任取一个零件装配机器，若第2次取到的是合格品的概率为P2，第3次取到的是合格品的概率为P3，则（）A. P2> P3B. P2= P3C. P2< P3D. P2与P3的大小不能确定7、【题文】P是△ABC所在平面上一点，若则P是△ABC的()A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心8、已知f(x)为R上的可导函数，且均有则有（）A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)9、设x，y满足则目标函数z=2x+y的最大值为____．10、以点（2，﹣3）为圆心且与直线2mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程为____．11、已知(abne 0) 则(a-b=1)是({{a}^{3}}-{{b}^{3}}-ab-{{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0)的__________条件。

12、已知(p) (x < -3)或(x > 1) (q) (x > a) 若(¬p)是(¬q)的充分不必要条件，则(a)的取值范围 ______ ．13、侧棱与底面垂直的三棱柱(ABC-A_{1}B_{1}C_{1})的所有棱长均为(2) 则三棱锥(B-AB_{1}C)的体积为 ______ ．评卷人得分三、作图题(共5题，共10分)14、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）15、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、计算题(共4题，共28分)19、如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E在BC边上，且CE=2，点P是对角线BD上的一个动点，求PE+PC的最小值．20、已知等式在实数范围内成立，那么x的值为____．21、1. （本小题满分12分）已知投资某项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是．设该项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记产品价格在一年内的下降次数为对该项目每投资十万元，取0、1、2时，一年后相应的利润为1.6万元、2万元、2.4万元．求投资该项目十万元，一年后获得利润的数学期望及方差．22、解不等式组．评卷人得分五、综合题(共3题，共18分)23、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A B，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．24、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．25、已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），，f（a n）是首项为4，公差为2的等差数列．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、D【分析】【解析】试题分析：根据题意，设由于直线的斜率存在，故设直线方程为y-1=k(x-1),然后代入椭圆方程中，可知故可知故直线方程为x＋4y－5＝0，选D.考点：直线和圆锥曲线的位置关系【解析】【答案】D2、A【分析】【解析】试题分析：若B(3,)是使得目标函数即取得最大值的最优解，即直线过点B(3,)，且在轴上的截距最小，得考点：线性规划.【解析】【答案】A3、B【分析】【解析】分析：先将sin2x＜cos2x化为cos2x-sin2x＞0；就是cos2x＞0，然后求解不等式即可得到x的取值范围．解：∵sin2x＜cos2x；∴cos2x-sin2x＞0；由二倍角公式可得；cos2x＞0∴2kπ-π＜2x＜2kπ+π；k∈Z解得：kπ-＜x＜kπ+所以x的取值范围是{x|kπ-＜x＜kπ+ k∈Z}故选B【解析】【答案】B4、A【分析】【解析】考点：几何概型．分析：本题考查的知识点是几何概型的意义；关键是要找出该角终边落在∠xOT内的角度，及任意角集合中对应的角度，并将其代入几何概型计算公式进行求解．解：如图；∵在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT内对应的角度为60度；而整个角集合对应的角度为圆周角；该角终边落在∠xOT内的概率是P==故选A．【解析】【答案】A5、A【分析】【解析】略【解析】【答案】A6、B【分析】【解析】显然第1个取到的是合格品的概率为P1=．在前2个取法中共有取法种数为第2次取到的是合格品的情况有故第2次取到的是合格品的概率为P2=．在前3个取法中共有取法种数为第3次取到的是合格品的情况有故第3次取到的是合格品的概率为P3=．【解析】【答案】B7、D【分析】【解析】由得＝0，即＝0；∴PB⊥CA.同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心．故选D.【解析】【答案】D8、D【分析】【解答】令g(x)= 则g′(x)=因为f（x)＞f'（x)，所以g′（x)＜0；所以函数g（x)为R上的减函数；所以g（-2013)＞g（0)，即所以故选D．【分析】中档题，本题不易想到的是构造函数(x)= 并研究其单调性。

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