图像处理课件频域变换优秀课件

二维离散傅里叶的反变换定义为：
1:f(x,y)1N 1N 1F (u ,v)ej2 (u v x)n /N
N u 0v 0 u、v是频率变量
x0,1,2, N1 y0,1,2, N1。
二维函数离散傅里叶的谱、能量和相位谱为: 傅里叶频谱：
F(u,v) R2(u,v)I2(u,v）
相位：
(u)arcI(tu)a/R n (u)()
能量：
E(u)R2(u)I2(u）
离散函数的傅里叶变换也可推广到二维的情形，其二维离 散傅里叶变换定义为:
:F (u,v)1N 1N 1f(x,y)ej2(u x v)y /N Nx 0y 0
u0,1,2, N1 v0,1,2, N1。
- 1 ： F 1 f ( u , v ) f ( x , y ) F ( u , v ) e j 2 ( x u v ) x d y d p u
式中u、v 是表示频率的变量，与一维的意义类似。
3.离散的傅里叶变换
函数f (x) 的一维离散傅里叶变换定义如下：
N1
:F(u)N 1 f(x)ej2ux/N x0
（3）相位表示相对于原始波形，这个波形偏移量
由二维离散傅里叶变换得到图像傅里叶中心谱
例 一个简单二维函数的中心谱 在大小为 512 × 512黑色背景上叠加一个尺寸为
20 × 40的白色矩形的图像；（b）应用了频率谱，用对 数变换后显示的中心傅里叶谱。
（a）
（b）
图（a）在大小为 512 × 512黑色背景上叠加一个
在数字图像应用领域，傅里叶变换起着非常重要的作用，用它可完成 图像分析、图像增强及图像压缩等工作。
连续傅里叶变换是把一组函数映射为另一组函数的线性算子 ，即傅里叶变换把一个函数分解为组成该函数的连续频率谱 。
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（ 正弦或余弦）和的形式或者它们的积分的线性组合。
率f、幅值A、相位γ 这三个value可以描述正弦图像中的 所有信息。
（1）频率（frequency）
◦ 频率在空间域上表现为亮度的变化快慢 ◦ 例如：左图的频率比右图的frequency低
（2）幅值（magnitude）
◦ sin函数的幅值用于描述对比度，或者说是图像中最明和 最暗的峰值之间的差
=
任何函数周期函数都可以表示为不同频率的正弦及余弦函数的
线性表达 – Fourier基数
特征
幅值、相位和能量分别为：
幅值：
1
F(u)R2(u)I2(u)2
相位： (u)arcI(tu)a/R n (u)()
能量： E(u)R2(u)I2(u）
一维的傅里叶反变换定义为：
-1： f(x)F (u)ej2ud x u
能量： 相位:
E (u,v)R2(u,v)I2(u,v）
(u,v)arctaI(nu,v)
R(u,v)
图像与傅里叶变换
傅里叶用于图像处理：
◦ 任何信号（如图像信号）都可以表示成一系列正弦信号 的叠加；
◦ 在图像领域就是将图像亮度（灰度值）作为正弦变量。 ◦ 如下图的正弦模式可在单傅里叶中由三个分量编码：频
u0,1,2, N1。
F (u)一维的离散傅里叶反变换为：
1:f(x)1N1F(u)ej2u/xN Nu0 傅里叶变换F (u) 复数形式：
F (u) 的实部R为(u) ，虚I部(u为) F (u )R (u )j( Iu )
特征
幅值、相位和能量分别为：
幅值：
1
F(u)R2(u)I2(u)2
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
函数的时域表示
正弦波的时域叠加示意图
1.频域与频域变换（CONT）
频域：
频域也称为频率域，是描述信号的频率结构及频率 与该频率信号幅度的关系。自变量是频率,即横轴是频率, 纵轴是该频率信号的幅度 。
波形的时域表示
连续傅里叶变换定义
傅里叶变换在数学中的定义是： 如果函数满足下面的狄里赫莱条件：(1)具有有限个间
断点；(2)具有有限个极值点；(3)绝对可积，则f ( x) 定义 的傅里叶变换公式为
： F(u) f(x)ej2ud x x
其中 j2 1 u， 是表示频率的变量。
由于欧拉公式将复数、指数函数与三角函数联系起来：
图像处理课件频域 变换
本章主要内容
1.频域与频域变换 2.连续傅里叶变换 3.离散傅里叶变换 4.快速傅里叶变换 5.傅里叶变换的性质 6.用傅里叶变换进行图像处理 7.其他离散变换
1.频域与频域变换
时域与频域 ◦ 时域
时域又称为时间域，是描述信号 在不同时刻取值的 函数。自变量是时间,即横轴是时间,纵轴是信号的变化。
波形的幅频表示
例如：正弦信号叠加
正弦波的时域叠加示意图
(a)幅频特性
（b）相频特性
波形的频域表示
2.连续傅里叶变换
1807年，傅里叶提出了傅里叶级数的概念，即任一周期信号可分解为 复正弦信号的叠加。
1822年，傅里叶又提出了傅里叶变换。傅里叶变换是一种常用的正交 变换，它的理论完善，应用程序多。
二维傅里叶变换
傅里叶变换可以很容易推广到二维的情形。
设f (x, y) 函数是连续可积的，F(且u,v)
则存在如下的
二维傅里叶变换及反变换：
： F f ( x , y ) F ( u , v ) f ( x , y ) e j 2 x ( u v ) x d p y dx y
ej Байду номын сангаасosjsin
傅里叶变换定义可以写成：
F (u ) f(x )[2 cu o ) x s js(i2n u)d ( x ]x
将F (u) 用复数形式表示为
其中：
F (u )R (u )j( Iu )
R(u) f(t)co2su()d t t
I(u) f(t)si2 nu()d t t
尺寸为 20 × 40的白色矩形的图像，
（b）应用了频率谱，变换后显示的中心傅里叶谱
（a）原始图像
（b）离散傅里叶频谱
二维图像及其离散傅里叶频谱的显示
4.快速傅里叶变换
快速傅里叶变换(FFT)并不是一种新的变换，它是离散傅 里叶变换(DFT)的一种算法。
这种方法消除(DFT)中重复工作，所以在运算中大大节省