圆锥曲线第三定义及扩展

圆锥曲线第三定义

在椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 中，A ，B 两点关于原点对称，P 是椭圆上异于A ，B 两点

的任意一点，若PB PA k k ,存在，则22

a

b k k PB

PA -=•。（反之亦成立）

在双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 中，A ，B 两点关于原点对称，P 是椭圆上异于A ，B

两点的任意一点，若PB PA k k ,存在，则22

a

b k k PB

PA =•。（反之亦成立） ★焦点在Y 轴上时，椭圆满足22b a k k PB

PA -=•，双曲线满足22b

a k k PB PA =•

例、已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的长轴长为4，若点P 是椭圆上任意一点，过原点的

直线l 与椭圆相交与M 、N 两点，记直线PM 、PN 的斜率分别为k1、k2。若k1⨯k2=4

1

-，则椭圆的方程为 。 变式：

1、设点A ，B 的坐标为（-2，0），（2，0），点P 是曲线C 上任意一点，且直线PA 与PB 的斜率之积为4

1

-，则曲线C 的方程为 。

2、设点P 是曲线C 上任意一点，坐标原点是O ，曲线C 与X 轴相交于两点M （-2，0）， N （2，0），直线PM ，PN 的斜率之积为4

3

-，则OP 的最小值是 。

3、已知ABC ∆的两个顶点坐标分别是（-8，0），（8，0），且AC ，BC 所在直线斜率之积为m

（0≠m ），求顶点C 的轨迹。

4、P 是双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 上一点，M ，N 分别是双曲线的左右顶点，直线PM ，

PN 的斜率之积为5

1

，则双曲线离心率为 。

5、已知椭圆1232

2=+y x 的左右顶点分别是A 、B ，M 是椭圆上异于A 、B 的动点，求证：MB MA k k •为定值。

6、平面内与两定点，连续的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆成双曲线．求曲线的方程，并讨论的形状与值得关系；

第三定义的应用

例、椭圆14

22

=+y x 的左右顶点分别是A ，B ，点S 是椭圆上位于X 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线3

10

:=x l 分别交于点M 、N ，求线段MN 长度的最小值。

变式：已知A,B 分别为曲线C ： 22x a

+2

y =1（y ≥0,a>0）与x 轴的左、右两个交点，直线l

过点B,且与x 轴垂直，S 为l 上异于点B 的一点，连结AS 交曲线C 于点T.

(1)若曲线C 为半圆，点T 为圆弧»

AB 的三等分点，试求出点S 的坐标； （II ）如图，点M 是以SB 为直径的圆与线段TB 的交点，试问：是否存在a ,使得O,M,S 三点共线若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由。

第三定义的变形 22a

b k k OB

OA -=• 框架一：已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x ，A ，B 是椭圆上的两动点，M 为平面上一动点且

满足u OM +=λ。则有如图框架。（已知任意两个，可以推导第三个）。

相应的双曲线中有220a b k k B

OA =•，当焦点在Y 轴上时，椭圆满足22

0b

a k k B OA -=•，双曲线满足22

0b

a k k B

OA =•。 例、已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，+与(3,1)a =-共线 （Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R OB OA OM ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值

变式：已知在椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x ，A ，B 是椭圆上的两动点，M 为椭圆上一动点满

足OB u OA OM +=λ且2

2

μλ+=1，证明：22

0a

b k k B

OA -=•

框架二：已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x ，A ，B 是椭圆上的两动点，M 为平面上一动点且

满足u OM +=λ。则有如下框架：220a b k k B

OA -=•⇔2222

22u b

y a x +=+λ。

例、设动点P 满足OM 2+=，其中，M ，N 是椭圆12

42

2=+y x 上的点，直线OM 、ON 的斜率之积为2

1

-，求动点P 的轨迹方程。

变式：设动点M 满足u OM +=λ，其中A 、B 是椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 上的点，

且220a b k k B

OA -=•。证明：P 的轨迹方程为2222

22u b

y a x +=+λ。

框架三：已知动直线l 与椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 交于),(),,(2221y x Q x x P 两个不同的两

点，且OPQ S OPQ ∆∆的面积为，其中O 为坐标原点。有如下框图。

220a b k k Q

OP -=•⇔2

ab S OPQ =∆

χ χ

22221b y y =+⇔2

2

221a x x =+