管理运筹学—排队模型(免费)

（4）服务机构——指服务设施的个数、排列及服务方式。
2．基本记号
根据排队系统的特征，肯达尔（Kendall）于1953年提出了 排队服务系统的分类记号： 输入／输出／并联的服务站数
M ―― 泊松输入或负指数分布的服务时间 D ―― 定长输入或定长服务时间 Ek ―― 爱尔朗分布的输入与服务时间 GI ―― 一般独立输入 G ―― 一般服务时间分布 M / M / n ―― 顾客输入为泊松分布，服务时间为负指数分布，
f ( t ) e t ( t 0)
则对每个顾客的平均服务时间为 1 / 。
负指数分布的服务时间的性质 1) 如服务设施对每个顾客的服务时间服从负指数分布,
f ( t ) e
t
( t 0)
则对每个顾客的平均服务时间为 1 / 。 2) 当服务设施对顾客的服务时间t为参数 的负指数分布时， (1) 在 [t , t t ]内没有顾客离去的概率为 1 t ； (2) 在[t , t t ] 内恰好有一个顾客离去的概率为 t ； (3) 如果 t 足够小的话，在 [t , t t ]内有多于两个以上顾客 离去的概率为 (t ) o(t ) 。
n 0 n S 1
(n S ) P ,
n

因此只要求得Pn的值即可得L、Lq、W 和Wq。
Pn值当n = 0时即为P0，
1 P0 即是服务系统的忙期。
二．输入与服务时间的分布
1．输入─最简单流
1) 最简单流是指在t这段时间内
有k个顾客来到服务系统的概率vk(t)服从泊松分布，即 k t ( t ) (k 0,1,2,) vk (t ) e k!
7) S —— 排队服务系统中并联的服务站个数；
3．基本概念及符号
1) 系统状态 ； 2) 队长 ； 3) N(t) ；4) Pn(t) ； 5)
6)
n ;
n ；
7) S ；
8) 稳定状态 —— 当一个排队服务系统开始运转时， 系统状态很大程度上取决于系统的初始状态和运转经历的时间。 但过一段时间后，系统的状态将独立于初始状态及经历的时间， 这时称系统处于稳定状态。 由于对系统的瞬时状态研究分析起来很困难， 所以排队论中主要研究系统处于稳定状态的工作情况。 由于稳定状态时工作情况与时刻t 无关， 这时Pn(t) 可写成 Pn，N(t)可写成N。
L W或W L / ：系统中平均的顾客数 Lq Wq或Wq Lq / ：平均队长
W Wq
1

：每个顾客在系统中的平均停留时间
等于顾客在系统中的平均等待时间加上平均服务时间
L Lq （将前两式带入第3式得）
由于 L nPn , Lq 说明：
三、排队模型
排队系统范例 乘客等候公共汽车
某招聘会场外焦急等待的求职者
储户在银行等待服务
学生在食堂等待就餐
排队是在日常生活和生产中经常遇到的现象。 例如：上、下班搭乘公共汽车 病人到医院看病等等 常常出现排队和等待现象。 除上述有形的排队之外，还有大量的“无形”排队现 象 例如：水库的存储调节 顾客到商店购买物品
②1971年国际排队符号标准会上将上述分类记号扩充到六项， 记为： [a / b / c] : [d / e / f ] a、b、c三项同上， 分别为输入、输出（或服务时间）的分布 及并联的服Biblioteka Baidu站数。 d为系统中最多可容纳的顾客数， e为顾客源总数， f为排队服务规则。
3．基本概念及符号
1)系统状态 —— 一个排队服务系统中的顾客数 （包括正在被服务顾客数）； 2) 队长 —— 系统中等待服务的顾客数， 它等于系统状态减去正在被服务的顾客数； 3) N(t) —— 在时刻t 排队服务系统中的顾客数， 即系统在时刻t的瞬时状态； 4) Pn(t) —— 在时刻t 排队服务系统中恰好有n 个顾客的概率； 5)
（1）输入——指顾客到达系统的情况。
（2）输出——指顾客从得到服务到离开服务机构的情况，
（3）排队服务规则――有损失制与等待制两种情况。 ①按服务设施个数分，有一个或多个之分 （通常称单站服务系统与多站服务系统）； ②按排列方式，多站服务系统有串联与并联之分。 对S个服务站的并联系统，一次可以同时服务S个顾客； 对S个服务站的串联系统， 每个顾客要依次经过S 个服务站， 就象一个零件经过S道工序加工一样。 ③在服务方式上有 ： 单个服务、成批服务 如：公共汽车一次就装载大批乘客。
任何排队服务系统可以描述为以下四个方面(图1)：
服 务 系 统
顾 客 总 体 输 入
队 伍
服 务 站
输 出
（1）输入——指顾客到达系统的情况。 (a)按到达时间间隔分，有： 确定的时间间隔 、随机的时间间隔 (b)从顾客到达人数的情况看，有： 单个到达 、按成批到达的 (c)从顾客源总体看，有： 顾客源总数无限、顾客源总数有限 注：只要顾客源总数足够大时， 可以把顾客源有限的情况近似地当成顾客源无限情况处理。
一、问题的描述及基本概念
1.问题的描述
在一个排队服务系统中总是包含一个或若干个“服务设施”， 有许多“顾客”进入该系统要得到服务， 服务完毕后即自离去。 倘若顾客到达时，服务系统空闲着， 则到达的顾客立即得到服务。 否则顾客将排队等待服务或离去。 怎样才能做到既保证一定的服务质量指标， 又使服务设施费用经济合理， 恰当地解决顾客排队时间及服务设施费用大小这对矛盾。 这就是研究随机服务系统的理论——排队论 所要研究解决的问题。
④若令 t 代表顾客到达流为泊松分布时 依次到达的两个顾客的间隔时间， 则 t 的概率密度函数f(t)为负指数分布。
2．服务时间—负指数分布
虽然在真实的排队系统中， 服务时间的概率分布可以有各种形式， 但负指数分布的服务时间是最常用的， 原因是它在数学上易于处理。 负指数分布的服务时间的性质 1) 如服务设施对每个顾客的服务时间服从负指数分布,
=1 -
服 务 设 施 总 的 空 闲 时 间 服 务 设 施 总 的 服 务 时 间
3) 系统中平均顾客数L或平均队长Lq。 这是顾客和服务机构都关心的指标， 它在设计排队服务系统时也很重要， 因为涉及到系统需要空间大小。
5．各个指标之间的关系
设
表示单位时间内顾客的平均到达数。
表示单位时间内被服务完毕离去的平均顾客数。则
2) 特性 最简单流需要满足下面三个条件： ①平稳性 指在一定时间间隔内，来到服务系统有k个顾客的概率 仅与这段时间间隔的长短有关， 而与这段时间的起始时刻无关。 即在时间[0, t]或[a, a+t]内，vk(t)是一样的。
二．输入与服务时间的分布
1．输入─最简单流
1) 最简单流
2) 特性 最简单流需要满足下面三个条件： ①平稳性
（1）输入——指顾客到达系统的情况。 （2）输出——指顾客从得到服务到离开服务机构的情况， （3）排队服务规则――有损失制与等待制两种情况。 对等待的系统，服务次序上一般有： ①先到先服务（FCFS）： 按到达先后次序排成队伍依次接受服务。 当有多个服务设施时， 一种是顾客分别在每个服务设施前排成一队， 另一种是排成一个公共的队伍，当任何一个服务设施有空时， 排在队首的顾客得到服务。 ②带优先权服务： 到达的顾客按重要性进行分类， 服务设施优先对重要级别高的顾客服务， 在级别相同的顾客中按到达先后次序排队。
n ——当系统中有n个顾客时，
新来顾客的平均到达率 （单位时间内新顾客的到达数）， 当对所有n值， n 是常数时，可用 代替 n ；
3．基本概念及符号
1)系统状态 ；2) 队长 ； 3) N(t) ；4) Pn(t) ； 5) 6)
n ；
n —— 当系统中有n个顾客时，
整个系统的平均服务率 （单位时间内服务完毕离去的顾客数）。 当 n 1 ， n 是常数时，可用 代替 n ；
（1）输入——指顾客到达系统的情况。
（2）输出——指顾客从得到服务到离开服务机构的情况， 有：定长的服务时间 随机的服务时间 （3）排队服务规则――有损失制与等待制两种情况。 损失制：顾客到达时，若所有服务设施被占用， 则顾客自动离去，永不再来。 例：电话服务系统就属这种，当一个电话打不通时 需要重新拨号，意味着一个新的顾客的到来， 而原来顾客已永远离去。 等待制：顾客到达时，如服务设施已被占用， 就留下来等待服务，一直到服务完毕才离去。
4. 工作状况的主要指标
1) 顾客在排队服务系统中, 从进入到服务完毕离去的平均消耗时间W (或顾客排队等待服务的平均等待时间Wq)。 这对顾客来讲最关心，每个顾客希望这段时间越短越好；
2) 忙期指服务系统累计的工作时间占全部时间的比例， 这是衡量服务机构工作强度和利用效率的指标。
忙期=
用 于 服 务 顾 客 的 时 间 服 务 设 施 总 的 服 务 时 间
（1）输入——指顾客到达系统的情况。
（2）输出——指顾客从得到服务到离开服务机构的情况， （3）排队服务规则――有损失制与等待制两种情况。 等待制： 这里分两种情况： 一种是无限等待的系统， 不管服务系统中已有多少顾客，新来的都进入系统； 另一种是有限等待的系统， 当排队系统中顾客数量超过一定限度时， 新到的顾客就不再等待，而自动离开服务系统。
1 / 表示相邻两个顾客到达的平均间隔时间，
1 / 表示对每个顾客的平均服务时间 。因此有：
L W或W L / ：系统中平均的顾客数 等于单位时间内平均到达的顾客人数
乘以每个顾客在系统中的平均停留时间 Lq Wq或Wq Lq / ：平均队长 为单位时间内平均到达的顾客数 乘以得到服务前的平均等待时间。
二．输入与服务时间的分布
1．输入─最简单流
1) 最简单流
2) 特性
3) 最简单流的性质 ①参数 代表单位时间内到达顾客的平均数。 ②在时间 [t, t+Δt]内没有顾客到达的概率为
v0 ( t ) e t (1 t ) o( t ) 1 t ③在时间[t, t+Δt] 内恰好有一个顾客到达的概率为 v1 ( t ) 1 v 0 ( t ) ( t ) t
②无后效性 在不相交的时间区间内到达的顾客数是相互独立的， 即在时间区间[a, a+t]内来到 k 个顾客的概率 与时间a之前来到多少顾客无关。 ③普通性 在瞬时内只能有一个顾客到达， 不可能有两个以上顾客同时到达。 设Ψ(t)表示在[0, t]内有两个或两个以上顾客到达的概率， 则有Ψ(t)=o(t)(t→0)
购票旅客 待降落的飞行器 十字路口的汽车
放水、调整水位
购票 降落 通过路口
水库管理员
售票窗口 指挥塔台 红绿灯或交警
排队系统范例 排队中的问题
排队系统范例
排队系统范例
为解决排队中存在的问题，设置候车线
为提高排队系统的服务效率， 在银行、火车站售票厅等机构提倡“一米线”服务。 进一步发展出排队叫号系统， 在银行、医院、网通公司等服务行业已广泛应用。
（1）输入——指顾客到达系统的情况。 （2）输出——指顾客从得到服务到离开服务机构的情况，
（3）排队服务规则――有损失制与等待制两种情况。 对等待的系统，服务次序上一般有： ①先到先服务（FCFS）： ②带优先服务权： ③随机服务： 到达服务系统的顾客不形成队伍， 当服务设施有空时，随机选取一名服务， 对每一等待的顾客来说，被选取的概率相等。
车站、码头等交通枢纽的车船堵塞和疏导等。
排队的不一定是人，也可以是物
例如：通讯卫星与地面若干待传递的信息； 生产线上的原料、半成品等待加工； 要降落的飞机因跑道被占用而在空中盘旋等。
排队系统范例
顾 客
借书的学生 打电话 提货者
要求的服务
借书 通话 提货
服务机构
图书管理员 交换台 仓库管理员
河水进入水库
有n个并联服务站的排队服务系统 D / G / 1 ―― 定长输入，一般服务时间， 单个服务站的随机服务系统 GI / Ek / 1 ―― 一般独立输入，爱尔朗服务时间， 单个服务站的排队服务系统
2．基本记号
排队服务系统的分类记号： 输入／输出／并联的服务站数 注：①如果不附加特别的说明，这种记号都指顾客总体数量无限、 系统中的队长可以无限、排列规则为先到先服务。