数学人教版八年级上册全等三角形复习 (5)

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考点05 半角模型2021学年八年级数学上册期末考点专项复习之全等三角形辅助线解题方法(人教版)

考点5：半角模型1．（2020·南京师范大学盐城实验学校月考）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC= 90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°．若BM= 1，CN=3，求MN的长．2．（2020·盐城市盐都区实验初中月考）在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD=CD，点E，F分别在边AM和AN上．（1）如图1，若∠BED=∠CFD，请说明DE=DF；（2）如图2，若∠BDC=120°，∠EDF=60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．3．（2020·全国专题练习）如图，已知：正方形ABCD，点E，F分别是BC，DC上的点，连接AE ，AF ，EF ，且45EAF ∠=︒，求证：BE DF EF +=．4．（2020·山东济南·期末）如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别在边BC 、CD 上，且∠EAF ＝45°，连接EF ，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中∠ADF 与∠ABG 可以看作绕点A 旋转90°的关系．这可以证明结论“EF ＝BE ＋DF ”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程．（1）延长CB 到点G ，使BG ＝，连接AG ；（2）证明：EF ＝BE ＋DF5．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上两点，将ADF 绕点A 顺时针旋转90︒ 后，得到ABM ，连接EM ，AE ，且使得45∠=︒MAE ．（1）求证：=ME EF ；（2）求证：222EF BE DF =+.6．如图所示，在ABC ∆中，30A B ∠=∠=︒，60MCN ∠=︒，MCN ∠的两边交AB 边于E ，F 两点，将MCN ∠绕C 点旋转（1）画出BCF ∆绕点C 顺时针旋转120︒后的ACK ∆；（2）在（1）中，若222AE EF BF +=，求证：2BF CF =；（3）在（2）的条件下，若31AC =+，直接写出EF 的长.7．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF=45°.将∠DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到∠DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF 的长．8．（2019·全国初二专题练习）如图：E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、DA 上一点，且CE+AF=EF ，请你用旋转的方法求∠EBF 的大小．9．（2020·陕西期末）如图，AB AD BC DC ===，90C D ABE BAD ∠=∠=∠=∠=︒，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，过点A 作GAB FAD ∠=∠，且点G 在CB 的延长线上．（1）GAB ∆与FAD ∆全等吗？为什么？（2）若2DF =，3BE =，求EF 的长．10．（2020·重庆北碚·初三其他）已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB DC ，（或它们的延长线）于点M N ，．当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），易证BM DN MN +=．（1）当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），线段,BM DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时，线段,BM DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．参考答案1．解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE＝BM．连接AE、EN．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°．在△ABM和△ACE中AB ACB ACE BM CE⎧∠⎪∠⎪⎨⎩＝＝＝，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE．∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM＋∠CAN＝45°．于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN ＝45°．在△MAN和△EAN中AM AEMAN EAN AN AN⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN＝EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2＋NC2．∴MN2＝BM2＋NC2．∵BM＝1，CN＝3，∴MN2＝12＋32，∴MN．2．【详解】（1）∵DB⊥AM，DC⊥AN，∴∠DBE=∠DCF=90°．在△BDE和△CDF中，∵,,,BED CFDDBE DCFBD CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE≌△CDF（AAS）．∴DE=DF．（2）过点D作∠CDG=∠BDE，交AN于点G．在△BDE和△CDG中，∵ ,,,EBD GCD BD CD BDE CDG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ △BDE ≌△CDG （ASA ） ∴DE =DG ，BE =CG ． ∵∠BDC =120°，∠EDF =60°， ∴ ∠BDE+∠CDF =60°． ∴ ∠FDG =∠CDG +∠CDF =60°．∴ ∠EDF =∠GDF ．在△EDF 和△GDF 中，,,,DE DG EDF GDF DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △EDF ≌△GDF （SAS ）． ∴ EF =FG ．∴ EF =FC +CG =FC +BE ．3．【详解】如解图，将ABE △绕点A 逆时针旋转90︒至ADG 的位置，使AB 与AD 重合．∠AG AE =，,DAG BAE DG BE ∠=∠=． ∠45EAF ∠=︒．∠904545GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF ∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒， ∠EAF GAF ∠=∠．在AGF 和AEF 中，,AG AEGAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠()AGF AEF SAS △≌△．∠EF GF =．∠GF DG DF BE DF =+=+， ∠BE DF EF +=．4．解：（1）根据旋转的性质知BG=DF ，从而得到辅助线的做法：延长CB 到点G ，使BG=DF ，连接AG ；（2）∵四边形ABCD 为正方形， ∴AB=AD ，∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°，在∠ADF 和∠ABG 中AD AB ADF ABG DF BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴∠ADF ∠∠ABG （SAS ）， ∴AF=AG ，∠DAF=∠GAB ， ∵∠EAF=45°， ∴∠DAF+∠EAB=45°， ∴∠GAB+∠EAB=45°， ∴∠GAE=∠EAF =45°，在∠AGE 和∠AFE 中0AG AF GAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴∠ADF ∠∠ABG （SAS ）， ∴GE=EF ，∴EF ＝GE=BE+GB=BE ＋DF 5．【详解】证明：（1）∵将ADF 绕点A 顺时针旋转90°后，得到ABM ，∴MB DF ＝，AM AF ＝，∠∠BAM DAF ＝， MA AF ∴⊥， 45∠︒MAE ＝， 45∴∠︒EAF ＝，∴∠∠MAE FAE ＝，在△AME 和AFE △中AM AF MAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AME AFE SAS ∴≅，∴=ME EF ；（2）由（1）得：=ME EF ，在Rt MBE 中，222+MB BE ME =，又∵MB DF =，222∴+EF BE DF =．（1）作图如图所示（2）证明：连结KE ，作KH ⊥AC 于H ，如图，∵∠A=∠B=30°，∠MCN=60°， ∴∠ACB=120°， ∴∠ACE+∠BCF=60°，∵△BCF 绕点C 顺时针旋转120゜后的△ACK ，∴BF=AK ，∠KCA=∠FCB ，CK=CF ，∠KAC=∠B=30°， ∴∠KCE=∠KCA+∠ACE=∠FCB+∠ACE=60°， ∴∠KCE=∠FCE ，在△CKE 和△CFE 中CK CF KCE FCE CE CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△CKE ≌△CFE ，∵AE2+EF2=BF2，∴AE2+KE2=AK2，∴△AEK为直角三角形，∴∠AEK=90°，∴∠KEC=∠FEC=45°，∴∠BCF=180°-45°-60°-30°=45°，∴∠KCA=45°，设KH=a，在Rt△KHC中，a；在Rt△KHA中，AK=2a，∴AK：KC=2a，∴BF：，即CF；（3）设KH=a，在Rt△KHC中，HC=a；在Rt△KHA中，a，∴，解得a=1，∴AK=2a=2，在Rt△AEK中，∠KAE=∠KAC+∠CAE=60°，∴∠AKE=30°，∴AE=12AK=1，∴∴ 7．【详解】(1)∠∠DAE 逆时针旋转90°得到∠DCM ∠DE=DM ∠EDM=90° ∠∠EDF + ∠FDM=90° ∠∠EDF=45°∠∠FDM =∠EDM=45° ∠ DF= DF ∠∠DEF∠∠DMF ∠ EF=MF …（2）设EF=x ∠AE=CM=1 ∠ BF=BM -MF=BM -EF=4-x ∠ EB=2在Rt∠EBF 中，由勾股定理得222EB BF EF += 即2222(4)x x +-=解之，得 52x =8．解：将∠BCE 以B 为旋转中心，逆时针旋转90º，使BC 落在BA 边上，得∠BAM ，则∠MBE=90º，AM=CE,BM=BE,因为CE ＋AF ＝EF ，所以MF ＝EF ，又BF=BF,所以∠FBM∠∠FBE,所以∠MBF=∠EBF, 所以∠EBF=9．【详解】解：（1）∵90D ABE ∠=∠=︒，点G 在CB的延长线上， ∴∠ABG =∠D =90°，在△GAB 和△F AD 中，∵GAB FAD ∠=∠，AB =AD ，∠ABG =∠D ， ∴△GAB ≌△F AD （ASA ）；（2）∵△GAB ≌△F AD ， ∴AG =AF ，GB =DF ，∵90BAD ∠=︒，45EAF ∠=︒， ∴∠BAE +∠DAF =45°，∴∠BAE +∠GAB =45°，即∠GAE =45°， ∴∠GAE =∠EAF ，在△GAE 和△F AE 中，∵AG =AF ，∠GAE =∠EAF ，AE =AE ， ∴△GAE ≌△F AE （SAS ）， ∴GE =EF ，∵GE =GB +BE =DF +BE =2+3=5， ∴EF =5．10．【详解】（1）BM+DN=MN 成立．证明：如图，把△ADN 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE ，则可证得E 、B 、M 三点共线．∴∠EAM=90°-∠NAM=90°-45°=45°，又∵∠NAM=45°， ∴在△AEM 与△ANM 中，AE ANEAM NAM AM AM ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝ ∴△AEM ≌△ANM （SAS ）， ∴ME=MN ，∵ME=BE+BM=DN+BM ， ∴DN+BM=MN ；（2）DN -BM=MN ．在线段DN 上截取DQ=BM ，如图，在△ADQ 与△ABM 中，∵AD AB ADQ ABM DQ BM ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝， ∴△ADQ ≌△ABM （SAS ）， ∴∠DAQ=∠BAM ， ∴∠QAN=∠MAN ．在△AMN 和△AQN 中，AQ AM QAN MAN AN AN ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝ ∴△AMN ≌△AQN （SAS ）， ∴MN=QN ， ∴DN -BM=MN ．。

人教版八年级数学上册第十二章《全等三角形》判定与性质培优练习(五)

第十二章《全等三角形》判定与性质培优练习（五）1．如图（1），在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C（0，m），A （n，m），且（m﹣4）2+n2﹣8n＝﹣16，过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点．（1）求A点的坐标；（2）若OF+BE＝AB，求证：CF＝CE；（3）如图（2），若∠ECF＝45°，给出两个结论：OF+AE﹣EF的值不变；OF+AE+EF 的值不变，其中有且只有一个结论正确，请你判断出正确的结论，并加以证明和求出其值．2．如图1，我们定义：在四边形ABCD中，若AD＝BC，且∠ADB+∠BCA＝180°，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形．（1）如图2，在等腰△ABE中，AE＝BE，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：∠ABD＝∠BAC＝∠AEB．（2）如图3，在非等腰△ABE中，若四边形ABCD仍是互补等对边四边形，试问∠ABD ＝∠BAC＝∠AEB是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．43．如图①A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过E、F分别作DE⊥AC，B F⊥AC，若AB＝CD．（1）图①中有对全等三角形，并把它们写出来．（2）求证：G是BD的中点．（3）若将△ABF的边AF沿GA方向移动变为图②时，其余条件不变，第（2）题中的结论是否成立？如果成立，请予证明．4．八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．【探究与发现】（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，写出图中全等的两个三角形【理解与应用】（2）填空：如图2，EP是△DEF的中线，若EF＝5，DE＝3，设EP＝x，则x的取值范围是．（3）已知：如图3，AD是△ABC的中线，∠BAC＝∠ACB，点Q在BC的延长线上，QC＝BC，求证：AQ＝2AD．5．如图，已知AB∥CD，点E在BC上且BE＝CD，AB＝CE，EF平分∠AED．（1）求证：△ABE≌△ECD；（2）猜测EF与AD的位置关系，并说明理由；（3）若DF＝AE，请判断△AED的形状，并说明理由．6．如图1，已知A（0，a），B（b，0），且a、b满足a2﹣4a+20＝8b﹣b2．（1）求A、B两点的坐标；（2）如图2，连接AB，若D（0，﹣6），DE⊥AB于点E，B、C关于y轴对称，M是线段DE上的一点，且DM＝AB，连接AM，试判断线段AC与AM之间的位置和数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，在（2）的条件下，若N是线段DM上的一个动点，P是MA延长线上的一点，且DN＝AP，连接PN交y轴于点Q，过点N作NH⊥y轴于点H，当N点在线段DM上运动时，△MQH的面积是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．（1）如图1，连接CE，求证：△BCE是等边三角形；（2）如图2，点M为CE上一点，连结BM，作等边△BMN，连接EN，求证：EN∥BC；（3）如图3，点P为线段AD上一点，连结BP，作∠BPQ＝60°，PQ交DE延长线于Q，探究线段PD，DQ与AD之间的数量关系，并证明．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E在直线m上，∠ADB＝∠AEC＝∠BAC．（1）求证：DE＝DB+EC；（2）若∠BAC＝120°，AF平分∠BAC，且AF＝AB，连接FD、FE，请判断△DEF的形状，并写出证明过程．9．教学实验：画∠AOB的平分线OC．（1）将一块最够大的三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别于OA，OB交于E，F（如图①）．度量PE、PF的长度，PE PF（填＞，＜，＝）；（2）将三角尺绕点P旋转（如图②）：①PE与PF相等吗？若相等请进行证明，若不相等请说明理由；②若OP＝，请直接写出四边形OEPF的面积：．10．（1）如图（1）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB＝AC+CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE）（2）如图（2）当∠C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明．（3）如图（3）当∠ACB≠90°，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．参考答案1．解：（1）（m﹣4）2+n2﹣8n＝﹣16，即（m﹣4）2+（n﹣4）2＝0，则m﹣4＝0，n﹣4＝0，解得：m＝4，n＝4．则A的坐标是（4，4）；（2）∵AB⊥x轴，AC⊥y轴，A（4，4），∴AB＝AC＝OC＝OB，∠ACO＝∠COB＝∠ABO＝90°，又∵四边形的内角和是360°，∴∠A＝90°，∵OF+BE＝AB＝BE+AE，∴AE＝OF，∴在△COF和△CAE中，，∴△COF≌△CAE，得∴CF＝CE；（3）结论正确，值为0．证明：在x轴负半轴上取点H，使OH＝AE，∵在△ACE和△OCH中，，∴△ACE≌△OCH，∴∠1＝∠2，CH＝CE，又∵∠EOF＝45°，∴∠HCF＝45°，∴在△HCF和△ECF中，，∴△HCF≌△ECF，∴HF＝EF，∴OF+AE﹣EF＝0．2．解：（1）∵AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∵四边形ABCD是互补等对边四边形，∴AD＝BC，在△ABD和△BAC中，，∴△ABD≌△BAC（SAS），∴∠ADB＝∠BCA，又∵∠ADB+∠BCA＝180°，∴∠ADB＝∠BCA＝90°，在△ABE中，∵∠EAB＝∠EBA＝＝90°﹣∠AEB，∴∠ABD＝90°﹣∠EAB＝90°﹣（90°﹣∠AEB）＝∠AEB，同理：∠BAC＝∠AEB，∴∠ABD＝∠BAC＝∠AEB；（2）仍然成立；理由如下：如图③所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G、F，∵四边形ABCD是互补等对边四边形，∴AD＝BC，∠ADB+∠BCA＝180°，又∠ADB+ADG＝180°，∴∠BCA＝∠ADC，又∵AG⊥BD，BF⊥AC，∴∠AGD＝∠BFC＝90°，在△AGD和△BFC中，∴△AGD≌△BFC，∴AG＝BF，在△ABG和△BAF中，∴△ABG≌△BAF，∴∠ABD＝∠BAC，∵∠ADB+∠BCA＝180°，∴∠EDB+∠ECA＝180°，∴∠AEB+∠DHC＝180°，∵∠DHC+∠BHC＝180°，∴∠AEB＝∠BHC．∵∠BHC＝∠BAC+∠ABD，∠ABD＝∠BAC，∴∠ABD＝∠BAC＝∠AEB．3．解：（1）图①中全等三角形有：△ABF≌△CDE，△ABG≌△CDG，△BFG≌△DEG．故答案是：3；（2）∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴在直角△ABF和直角△CDE中，，∴△ABF≌△CDE，∴BF＝DE，在△DEG和△BFG中，，∴△DEG≌△BFG，∴BG＝DG，即G是BD的中点；（3）结论仍成立．理由是：）∵AE＝CF，∴AF＝CE，在直角△ABF和直角△CDE中，，∴△ABF≌△CDE，∴BF＝DE，在△DEG和△BFG中，，∴△DEG≌△BFG，∴BG＝DG，即G是BD的中点．4．（1）证明：在△ADC与△EDB中，，∴△ADC≌△EDB；故答案为：△ADC≌△EDB；（2）解：如图2，延长EP至点Q，使PQ＝PE，连接FQ，在△PDE与△PQF中，，∴△PEP≌△QFP，∴FQ＝DE＝3，在△EFQ中，EF﹣FQ＜QE＜EF+FQ，即5﹣3＜2x＜5+3，∴x的取值范围是1＜x＜4；故答案为：1＜x＜4；（3）证明：如图3，延长AD到M，使MD＝AD，连接BM，∴AM＝2AD，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△BMD与△CAD中，，∴△BMD≌△CAD，∴BM＝CA，∠M＝∠CAD，∴∠BAC＝∠BAM+∠CAD＝∠BAM+∠M，∵∠ACB＝∠Q+∠CAQ，AB＝BC，∵∠ACQ＝180°﹣（∠Q+∠CAQ），∠MBA＝180°﹣（∠BAM+∠M），∴∠ACQ＝∠MBA，∵QC＝BC，∴QC＝AB，在△ACQ与△MBA中，，∴△ACQ≌△MBA，∴AQ＝AM＝2AD．5．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE与△ECD中，，∴△ABE≌△ECD；（2）EF⊥AD，理由：∵△ABE≌△ECD，∴AE＝DE，∵EF平分∠AED，∴EF⊥AD；（3）△AED是等边三角形，∵AE＝DE，∵EF平分∠AED，∴DF＝AD，∵DF＝AE，∴AD＝AE＝DE，∴△AED是等边三角形．6．解：（1）∵a2﹣4a+20＝8b﹣b2，∴（a﹣2）2+（b﹣4）2＝0，∴a＝2，b＝4，∴A（0，2），B（4，0）；（2）∵AD＝OA+OD＝8，BC＝2OB＝8，∴AD＝BC，在△CAB与△AMD中，，∴△CAB≌△AMD，∴AC＝AM，∠ACO＝∠MAD，∵∠ACO+∠CAO＝90°，∴∠MAD+∠CAO＝∠MAC＝90°，∴AC＝AM，AC⊥AM；（3）过P作PG⊥y轴于G，在△PGA与△DHN中，，∴△PGA≌△DHN，∴PG＝HN，AG＝HD，∴AD＝GH＝8，在△PQG与△NHQ中，，∴△PQG≌△NHQ，∴QG＝QH＝GH＝4，∴S△MQH＝×4×2＝4．7．（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠DBA＝∠ABC＝30°，∴∠A＝∠DBA，∴AD＝BD，∵DE⊥AB，∴AE＝BE，∴CE＝AB＝BE，∴△BCE是等边三角形；（2）证明：∵△BCE与△MNB都是等边三角形，∴BC＝BE，BM＝BN，∠EBC＝∠MBN＝60°，∴∠CBM＝∠EBN，在△CBM和△EBN中，，∴△CBM≌△EBN（SAS），∴∠BEN＝∠BCM＝60°，∴∠BEN＝∠EBC，∴EN∥BC；（3）解：DQ＝AD+DP；理由如下：延长BD至F，使DF＝PD，连接PF，如图所示：∵∠PDF＝∠BDC＝∠A+∠DBA＝30°+30°＝60°，∴△PDF为等边三角形，∴PF＝PD＝DF，∠F＝60°，∵∠PDQ＝90°﹣∠A＝60°，∴∠F＝∠PDQ＝60°，∴∠BDQ＝180°﹣∠BDC﹣∠PDQ＝60°，∴∠BPQ＝∠BDQ＝60°，∴∠Q＝∠PBF，在△PFB和△PDQ中，，∴△PFB≌△PDQ，∴DQ＝BF＝BD+DF＝BD+DP，∵∠A＝∠ABD，∴AD＝BD，∴DQ＝AD+DP．8．（1）证明：∵∠ADB＝∠AEC＝∠BAC，∴∠ADB+∠ABD+∠BAD＝∠BAD+∠BAC+∠EAC＝180°，∴∠ABD＝∠EAC，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△AEC，∴BD＝AE，∵DE＝AD+AE，∴DE＝DB+EC．（2）结论：△DEF为等边三角形理由：连接BF，CF．∵AF平分∠BAC，∠BAC＝120°，∴∠FAB＝∠FAC＝60°，∵FA＝AB＝AC，∴△ABF和△ACF均为等边三角形∴BF＝AF＝AB＝AC＝CF，∠BAF＝∠CAF＝∠ABF＝60°，∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝120°，∴∠DBA+∠DAB＝∠CAE+∠DAB＝60°，∴∠DBA＝∠CAE．在△BAD和△ACE中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE．∵∠ABF＝∠CAF＝60°，∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，∴∠DBF＝∠FAE．在△BDF和△AEF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，∴△DEF为等边三角形．9．（1）解：PE＝PF；故答案为：＝；（2）解：①PE＝PF；理由如下：把三角尺绕点P顺时针旋转，使三角尺的两条直角边分别与OA，OB垂直于M、N，如图所示：则∠PME＝∠PNF＝90°，四边形OMPN是矩形∵OP平分∠AOB，∴PM＝PN，∴四边形OMPN是正方形，∵∠AOB＝∠PME＝∠PNF＝90°，∴∠MPN＝90°，∵∠EPF＝90°，∴∠MPE＝∠FPN，在△PEM和△PFN中∴△PEM≌△PFN（ASA），∴PE＝PF．②由①得：四边形OMPN是正方形，△PEM≌△PFN，∴OM＝ON＝OP＝1，四边形OEPF的面积＝正方形OMPN的面积＝OM2＝1；故答案为：1．10．解：（1）如图1所示，在AB上截取AE＝AC，连接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2．在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（SAS）．∴∠AED＝∠C＝90，CD＝ED，又∵∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，∴∠B＝45°．∴∠EDB＝∠B＝45°．∴DE＝BE，∴CD＝BE．∵AB＝AE+BE，∴AB＝AC+CD．（2）证明：在AB取一点E使AC＝AE，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED，∴∠C＝∠AED，CD＝DE，又∵∠C＝2∠B，∴∠AED＝2∠B，∵∠AED是△EDC的外角，∴∠EDB＝∠B，∴ED＝EB，∴CD＝EB，∴AB＝AC+CD；（3）AB＝CD﹣AC证明：在BA的延长线AF上取一点E，使得AE＝AC，连接DE，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（SAS），∴∠ACD＝∠AED，CD＝DE，∴∠ACB＝∠FED，又∵∠ACB＝2∠B，∴∠FED＝2∠B，又∵∠FED＝∠B+∠EDB，∴∠EDB＝∠B，∴DE＝BE，∴BE＝CD，∴AB＝CD﹣AC．。

人教版八年级数学上册专题复习证明三角形全等的常见题型

证明三角形全等的常见题型全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。

而一些初学的同学，虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论，但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等。

在辅导时可以抓住以下几种证明三角形全等的常见题型，进行分析。

一、已知一边与其一邻角对应相等1．证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等。

例1已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C .求证：AF=DE。

证明∵BE=CF（已知），∴BE+ EF=CF+EF，即 BF=CE。

在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS）。

∴ AF=DE（全等三角形对应边相等）。

2．证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等。

例2已知：如图2，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。

求证：AE=CE。

证明∵ FC∥AB（已知），∴∠ADE=∠CFE（两直线平行，内错角相等）。

在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（ASA）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）3．证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等。

例3（同例2）.证明∵ FC∥AB（已知），∴∠A=∠ECF（两直线平行，内错角相等）.在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（AAS）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）。

二、已知两边对应相等1．证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等。

例4已知：如图3，AD=AE，点D、E在BCBD=CE，∠1=∠2。

求证：△ABD≌△ACE.证明∵∠1=∠2（已知），∠ADB=180°-∠1，∠AEC=180°-∠2（邻补角定义），∴∠ADB = ∠AEC，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）.2．证第三边对应相等，再用SSS证全等。

例5已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线AC=BD，AM=CN，BM=DN。

人教版八年级数学上册全等三角形期末复习专题试卷及答案

2016-2017学年度第一学期八年级数学期末复习专题全等三角形姓名：_______________班级：_______________得分：_______________一选择题：1.下列结论错误的是（）A.全等三角形对应边上的中线相等B.两个直角三角形中，两个锐角相等，则这两个三角形全等C.全等三角形对应边上的高相等D.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，则这两个三角形全等2.已知△ABC≌△DEF，∠A=80°，∠E=50°，则∠F的度数为（）A.30°B.50°C.80°D.100°3.在△ABC中,∠B=∠C,与△ABC全等的三角形有一个角是1000，那么△ABC中与这个角对应的角是（）A.∠AB.∠BC.∠CD.∠D4.如图，△ABC≌△DEF，则此图中相等的线段有（）A.1对B.2对C.3对D.4对5.要测量河两岸相对的两点，的距离，先在的垂线上取两点，，使，再作出的垂线，使，，在一条直线上(如图所示)，可以说明△≌△，得，因此测得的长就是的长，判定△≌△最恰当的理由是( )A.边角边B.角边角C.边边边D.边边角6.如图所示，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，下列不正确的等式是（）A.AB=ACB.∠BAE=∠CADC.BE=DCD.AD=DE7.如图,已知点E在△ABC的外部,点D在BC边上,DE交AC于F,若∠1=∠2=∠3，AC=AE，则有( )A.△ABD≌△AFDB.△AFE≌△ADCC.△AEF≌△ACBD.△ABC≌△ADE8.如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，结论：①EM=FN；②CD=DN；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM．其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个9.在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410.如图，∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于( )A.5B.4C.3D.211.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，与AC交于点D，DE⊥AB于点E，若BC=5，△BCD的面积为5，则ED的长为（）．A. B. 1 C.2 D.512.如图，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF交于D，则以下结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．正确的是（）A.①B.②C.①②D.①②③13.如图所示，△ABC是等边三角形，AQ=PQ， PR⊥AB于R点，PS⊥AC于S点，PR=PS.则四个结论：①点P在∠BAC的平分线上；②AS=AR；③QP∥AR;④△BRP≌△QSP．正确的结论是( )A.①②③④B.只有①②C.只有②③D.只有①③14.如图，AC=AD,BC=BD,连结CD交AB于点E,F是AB上一点，连结FC,FD，则图中的全等三角形共有（）A.3对B.4对C.5对D.6对15.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（）A．10 B．7 C．5 D．416.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF.给出下列四个结论:①DE=DF;②DB=DC;③AD⊥BC;④AC=3BF.其中正确的结论共有( )A.4个B.3个C.2个D.1个17.正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为( )A.10B.12C.14D.1618.如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上任一点，过D作AB的垂线，分别交边AC、BC的延长线于EF两点，∠BAC∠BFD的平分线交于点I，AI交DF于点M，FI交AC于点N，连接BI.下列结论：①∠BAC=∠BFD；②∠ENI=∠EMI；③AI⊥FI；④∠ABI=∠FBI；其中正确结论的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个19.如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点（其中P、Q不与端点重合），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，下列结论：⑴BP＝CM；⑵△ABQ≌△CAP；⑶∠CMQ的度数始终等于60°；⑷当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．420.如图,在不等边△ABC中，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，且PM=PN，Q在AC上，PQ=QA，MP=3,△AMP的面积是6，下列结论：① AM＜PQ+QN，②QP∥AM，③△BMP≌△PQC，④∠QPC＋∠MPB=90°，⑤△PQN的周长是7，其中正确的有（）个.A.1B.2C.3D.4二填空题:21.小明将一块三角形的玻璃棒摔碎成如图所示的四块（即图中标有1，2，3，4的四块），若只带一块配成原来一样大小的三角形，则应该带第_______块．22.如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=________.23.如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD=4，则点D到AB的距离是______．24.如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△ABO ≌△ADO.下列结论：①AC ⊥BD;②CB=CD;③△ABC ≌△ADC;④DA=DC.其中所有正确结论的序号是 .25.如图，△ABC 的角平分线交于点P ，已知AB ，BC ，CA 的长分别为5，7，6，则S △ABP ∶S △BPC ∶S △APC =___________．26.如图，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，AB=6，BC=8．若S △ABC =28，则DE= ．27.如图，OP 平分∠AOB ，PB ⊥OB ，OA=8cm ，PB=3cm ，则△POA 的面积等于 cm 2．28.如图的三角形纸片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=7cm，沿过点B的直线折叠三角形，使点C落在AB边的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为．29.如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC 上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当△BPE与△CQP全等时，时间t为s.30.如图，在△ABC中，AB=AC，BE=CD，BD=CF，则∠α与∠A之间的数量关系为．31.如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC，判断 EC与BF的关系，并说明理由．32.如图，已知△ABC中，点D在边AC上，且BC=CD（1）用尺规作出∠ACB的平分线CP（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）中，设CP与AB相交于点E，连接DE，求证：BE=DE．33.如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90゜，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：AB+CD=AC．34.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，△ABD和△AFD关于直线AD对称，∠FAC的平分线交BC 于点G，连接FG．（1）求∠DFG的度数；（2）设∠BAD=θ，①当θ为何值时，△DFG为等腰三角形；②△DFG有可能是直角三角形吗？若有，请求出相应的θ值；若没有，请说明理由．35.如图，在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AC上的一点,BE交AD于点F,已知AE=EF. 求证:AC=BF.36.已知三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形．（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．37.如图(1)边长为6的等边三角形ABC中，点D沿射线AB方向由A向B运动，点F同时从C出发，以相同的速度沿射线BC方向运动，过点D作DE⊥AC，连结DF交射线AC于点G.（1）当点D运动到AB的中点时，求AE的长;（2）当DF⊥AB时，求AD的长及△BDF的面积；（3）小明通过测量发现，当点D在线段AB上时，EG的长始终等于AC的一半，他想当点D运动到图(2)的情况时，EG的长始终等于AC的一半吗？若改变，说明理由，若不变，请证明EG等于AC的一半.38.问题背景：如图1,在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°．E，F分别是BC，CD上的点,且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系,并说明理由.拓展应用：如图2，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西40°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东80°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以70海里/小时的速度各自前进2小时后，在指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，两舰艇与指挥中心之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．参考答案1、B2、B3、A4、D5、B6、D7、D8、C9、D 10、B 11、C 12、D 13、A 14、D 15、C 16、A 17、D．18、C 19、C 20、C 21、2 块． 22、55° 23、4 ．24、①②③25、5∶7∶6 26、4； 27、12 cm2．28、9cm ．29、1或4 30、2∠α+∠A=180°．31、平行且相等32、【解答】（1）解：如图1，射线CP为所求作的图形．（2）证明：∵CP是∠ACB的平分线∴∠DCE=∠BCE．在△CDE和△CBE中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴BE=DE．33、1，∵EN∥AD，∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．∵点M为DE的中点，∴DM=EM．在△ADM和△NEM中，∴．∴△ADM≌△NEM．∴AM=MN．∴M为AN的中点．（2）证明：如图2，∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°．∵AD∥NE，∴∠DAE+∠NEA=180°．∵∠DAE=90°，∴∠NEA=90°．∴∠NEC=135°．∵A，B，E三点在同一直线上，∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°．∴∠ABC=∠NEC．∵△ADM≌△NEM（已证），∴AD=NE．∵AD=AB，∴AB=NE．在△ABC和△NEC中，∴△ABC≌△NEC．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．∴△ACN为等腰直角三角形．（3）△ACN仍为等腰直角三角形．证明：如图3，此时A、B、N三点在同一条直线上．∵AD∥EN，∠DAB=90°，∴∠ENA=∠DAN=90°．∵∠BCE=90°，∴∠CBN+∠CEN=360°﹣90°﹣90°=180°．∵A、B、N三点在同一条直线上，∴∠ABC+∠CBN=180°．∴∠ABC=∠NEC．∵△ADM≌△NEM（已证），∴AD=NE．∵AD=AB，∴AB=NE．在△ABC和△NEC中，∴△ABC≌△NEC．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．∴△ACN为等腰直角三角形．34、35、证：延长AD到G，使得DG=AD.（1分）在△ADC和△GDB中∴△ADC≌△GDB ∴AC=BG 且∠CAD=∠G∵AE=EF∴∠EFA=∠EAF∴∠G=∠EFA∵∠EFA=∠BFG∴∠G=∠BFG∴BG=BF∵AC=BG∴BF=AC36、(1)证明：连结AD.∵AB＝AC ∠BAC＝90° D为BC的中点∴∠B＝∠BAD=∠DAC＝45°,AD⊥BC∴BD=AD, ∠BDA=90°又BE=AF∴△BDE≌△ADF （SAS）∴ED=FD ∠BDE=∠ADF∴∠EDF=∠EDA＋∠ADF=∠EDA＋∠BDE=∠BDA=90°∴△DEF为等腰直角三角形(2)△DEF仍为等腰直角三角形证明：连结AD∵AB＝AC ∠BAC＝90° D为BC的中点∴∠DAC＝∠BAD=∠ABD＝45°,AD⊥BC∴BD＝AD, ∠BDA＝90°∴∠DAF＝∠DBE＝135°又AF＝BE∴△DAF≌△DBE （SAS）∴FD＝ED ∠FDA＝∠EDB∴∠EDF＝∠EDB＋∠FDB＝∠FDA＋∠FDB＝∠ADB＝90°∴△DEF仍为等腰直角三角形37、(1)AE=(2)设AD=x,则CF=x，BD=6-x，BF=6+x∵∠B=60°，∠BDF=90°∴BF=2BD 即6+x=2×(6-x)∴x=2即AD=2 ∴BD=4,DF==×4×=∴S△BDF（3）不变过F作FM⊥AG延长线于M由AD=CF，∠AED=∠FMC=90°，∠A=∠FCM=60°可得FM=DE易知△DEG≌△FMG由全等可得CM=AE,FG=GM即AC=AE+EC=CM+CE=EG+GM=2GE38、（1）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论应是EF=BE+DF ；（2）如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB=40°+90°+（90°﹣80°）=140°，∠EOF=70°，∴∠EAF=∠AOB，又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°﹣40°）+（80°+50°）=180°，延长FB到G，使BG=AE，连接OG，先证明△AOE≌△BOG，再证明△OEF≌△OGF，可得出结论应是EF=AE+BF ；即EF=2×（50+70）=240海里．答：此时两舰艇之间的距离是240海里．先制定阶段性目标—找到明确的努力方向每个人的一生,多半都是有目标的,大的目标应该是一个十年、二十年甚至几十年为之奋斗的结果,应该定得比较远大些,这样有利于发挥自己的潜能。

人教版数学八年级上册第12章《全等三角形》复习测试题(配套练习附答案)

∴△ABD≌△C'DB (HL) ，
同理△DCB≌△C'DB，
∵∠A=∠C'，∠AOB=∠C'OD，AB=C'D，
∴△AOB≌△C'OD (AAS) ，
所以共有四对全等三角形．
故答案为4.
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
故选D．
二.填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9.如图，在和中，，若利用“HL”证明 ≌ ，则需要加条件______．
【答案】，
【解析】
【分析】
添加∠C=∠D=90°，由HL证明△ABC≌△ABD即可．
【详解】添加∠C=∠D=90°，理由如下：
∵∠C=∠D=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△ABD中，
A. AE=DFB. ∠A=∠DC. ∠B=∠CD. AB= CD
【答案】D
【解析】
【分析】
根据垂直定义求出∠CFD＝∠AEB＝90°，由已知，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【详解】添加的条件是AB＝CD；理由如下：
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠AEB＝90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
【详解】①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴点P在∠A的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，
，
∴Rt△ARP≌Rt△ASP(HL)，
∴AR=AS，∴①正确；

专题05全等三角形压轴题训练期中专题复习(含解析)2023年秋人教版数学八年级上册

A ．2B ．4．如图，中，分别为、上的动点，那么2m ABC V AC =BD BCA ．B 7．如图，点P 为定角在绕点P 旋转的过程中，其两边分别与论：①恒成立；A ．3B ．28．如图，在中，于点．下列结论187∠MPN ∠PM PN =ABC V A ∠OF AB ⊥F9．已知：中，，线右侧作，且的值为．10．如图，在直角三角形，过点作①；②11．如图，已知四边形，连接，则的面积等于ABC V 90ACB ∠=︒AC AE AD ⊥AE AD =ADB AEMS S △△O O OF AD ⊥45BOD ∠=︒::ACD ABD S S CD BD =△△ABCD 5AD =ABD △12．如图，在中，，延长线于点，若，则13．如图，在中，上一点，连接、，且满足为．14．已知中，与交于点(1)如图，求证：(2)如图，连接，求证：(3)如图，若，ABC V 10.5BAC ∠=︒AD BC M BM BA AC =+ABC V AB AE CE ABC V BE CD 12OA 360BAC ∠=︒15．如图，在中，(1)如图1，若．①求的度数；②试探究线段与、(2)如图2，点，分别在．求证：．16．我们现给出如下结论：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如图1所示，在中，请结合上述结论解决如下问题：已知：P 是边上的一动点垂线，垂是分别为点E 点F ，ABC V 60A ∠=︒BDF ∠BC BF N M DN DE =CM MN CE =+Rt ABC △ABC V AB(1)如图2所示，当点P 与点Q 重合时，与的位置关系是____________，与的数量关系是____________．(2)如图3所示，当点P 在线段上不与点Q 重合时，试判断与的数量关系，并给与证明．(3)如图4所示，当点P 在线段的延长线上时，此时(2)中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．17．某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧．【探究与发现】(1)如图1，是的中线，延长至点E ，使，连接，写出图中全等的两个三角形：__________；【理解与运用】(2)如图2，是的中线，若，，设，求的取值范围；(3)如图3，是的中线，，点Q 在的延长线上，，求证：．18．如图，在中，，是的角平分线交于点，过作于点，点在上，且．(1)求证：；(2)求证：；AE BF QE QF AB QE QF BA AD ABC V AD ED AD =BE EP DEF V 5EF =3DE =EP x =x AD ABC V BAC ACB ∠=∠BC QC AB =2AQ AD =ABC ∆90C ∠=︒AD BAC ∠BC D D DE BA ⊥E F AC BD DF =AC AE =180BAC FDB ∠+∠=︒(3)若，，求线段的长．19．如图，在中，、的平分线交于点D ，延长交于E ，G 、F 分别在上，连接，其中，．(1)当时，求的度数；(2)求证：．20．（1）【初步探索】如图①，在四边形中，，．E 、F 分别是、上的点．且．探究图中、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法：延长到点G ，使．连接．先证明，再证，可得出结论．他的结论应是_____．（2）【灵活运用】如图②，在四边形中，，，E 、F 分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．（3）【延伸拓展】如图③，在四边形中，，．若点E 在的延长线上，点F 在的延长线上，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程．21．问题引入：课外兴趣小组活动时，老师提出这样的问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围．小华在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使得，再连接，把集中在中，利用三角形的三边关系可得，则．从中他总结出：解题时，条件中若出现“中线”“中点”等条件，可以考虑将中线加倍延长，构造全等三角形，把分散的条件和需求证的结论集中到同一个三角形中．9.5AB = 1.5AF =BE ABC V ABC ∠ACB ∠BD AC BD BC 、DF GF 、2A BDF ∠=∠GD DE =80A ∠=︒FDC ∠CF FG CE =+ABCD BA BC =90A C ∠=∠=︒AD CD EF AE CF =+CBF ∠EBF ∠ABE ∠EA AG CF =BG BCF BAG V V ≌BEF BEG ≌△△ABCD BA BC =180A C ∠+∠=︒AD CD EF AE CF =+ABCD 180BAD BCD ∠+∠=︒BA BC =DA DC EF AE CF =+EBF ∠ABC ∠ABC V 5AB =3AC =BC AD E DE AD =BE ,,2AB AC AD ABE V 28AE <<14AD <<参考答案：【分析】过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，则可根据“”判断，所以，然后利用得到．【详解】解：过点作于，如图，是的角平分线，，，，在和中，，，，，．故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了直角三角形全等的判定与性质．利用角平分线性质构造全等三角形是解题关键．3．C【分析】根据题意和图形，作出合适的辅助线，然后根据直角三角形的面积和梯形的面积，可以计算出凸五边形ABCDE 的面积．【详解】解：作EG ⊥AC 于点G ，作BF ⊥AC 于点F ，作DH ⊥AC 于点H ，D DH AC ⊥H DF DH =HL Rt DFE Rt DHG ≅V V DEF DGH ∠=∠180AED DEF ∠+∠=︒180AED AGD ∠+∠=︒D DH AC ⊥H AD Q ABC V DF AB ⊥DH AC ⊥DF DH ∴=Rt DFE △Rt DHG V DE DG DF DH=⎧⎨=⎩(HL)Rt DFE Rt DHG ∴≅V V DEF DGH ∴∠=∠180AED DEF ∠+∠=︒Q 180AED AGD ∴∠+∠=︒则∠EGA＝∠AFB＝∠BFC ∴∠EAG＋∠AEG＝90°，∵AB⊥AE，BC⊥CD，∴∠EAB＝∠BCD＝90°，∴∠EAG＋∠FAB＝90°，【点睛】此题考查了角平分线的性质定理最短路线问题，解题的关键是找到使5．A∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．故选:A ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，关键是推出AM =BN 和推出．6．B【分析】证明得出，证明得出，进而即可求解．【详解】解：如图，在上截取，连接平分，平分，4OM ON CN CM ====90ACB ∠=︒ACB MON ∠∠=9090MCA ACN BCN ACN ∠∠∠∠=︒-=︒-，ACM BCN ∠∠=ACM V BCN V ACM BCN CM CNCMA CNB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ACM BCN ASA V V ≌（）AM BN =OA OB+OA ON BN=++OA ON AM=++ON OM=+44=+8=OA OB OM ON +=+BOE BOH V V ≌60EOH BOH ∠=∠=︒COD COH V V ≌CD CH =BC BH BE =OHBD Q ABC ∠CE ACB ∠【分析】作于E ，于F ，根据平分可知，结合即可证明．根据图中各角的数量关系可得，进而还可证明；利用全等三角形的性质可以得到多组相等的边，由此判断①的正误．根据全等三角形的性质得到，据此可得定值，还可判断③的正误；【详解】解：如图，作于E ，于F ．∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，于E ，于F ，∴．在和中，∴，∴．在和中，∴，∴，故①正确．∴定值，故③正确．∴定值，故②正确．PE OA ⊥PF OB ⊥OP AOB ∠PE PF =OP OP =POE POF V V ≌MPE NPF PEM PFN ∠∠∠∠==、PEM PFN V V ≌PEM PNF S S =V V PMON PEOF S S ==四边形四边形PE OA ⊥PF OB ⊥90PEO PFO ∠∠==︒180EPF AOB ∠∠+=︒180MPN AOB ∠∠+=︒EPF MPN ∠∠=EPM FPN ∠∠=OP AOB ∠PE OA ⊥PF OB ⊥PE PF =POE V POF V PE PF OP OP ==，()Rt Rt HL POE POF V V ≌OE OF =PEM V PFN V MPE NPF PE PF PEM PFN ∠∠∠∠===，，()ASA PEM PFN V V ≌PEM PNF EM NF PM PN S S ===V V ，，PMON PEOF S S ==四边形四边形2OM ON OE ME OF NF OE +=++-==∵平分，，∴，∴故结论①正确；∵，BD ABC ∠OF AB ⊥OG OF OG =11:2:2BOC BOE S S BC OG BE OF =⨯⨯V V 60A ∠=︒∴，∴，又∵，∴，故结论②错误；在上截取，连接，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴在和中，，∴，∴，∴，故结论③正确；∵，，∴，，9050BOF OBA ∠=︒-∠=︒605010EOF BOE BOF ∠=∠-∠=︒-︒=︒806020ABC A ∠-∠=︒-︒=︒EOF ABC A ∠∠∠≠-BC BM BE =OM BOE △BOM V BE BM OBE OBM OB OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)BOE BOM V V ≌OE OM =60BOM BOE ∠=∠=︒60OD B E C O ︒==∠∠18060COM BOE BOM ∠=︒-∠-∠=︒COD COM ∠=∠COD △COM V OCD OCM OC OCCOD COM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(ASA)COD COM V V ≌CD CM =BE CD BM CM BC +=+=BOE BOM V V ≌COD COM V V ≌BOE BOM S S =V V COD COM S S =V V∴，∴，∵，∴，即：∴，90ACB AGE CGE ∠=∠=∠=︒90DAC ADC ∠+∠=°AE AD ⊥90DAE ∠=︒90DAC GAE ∠+∠=ADC GAE ∠=∠∴，∴，∵，∴，即：，∴，在和中，90ACB AHE ∠=∠=︒90DAC ADC ∠+∠=°AD AE ⊥90DAE ∠=︒90DAC HAE ∠+∠=︒ADC HAE ∠=∠ADC △EAH V∴，又∵，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，，∴，∵，，∴，故③正确；∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴，故②错误；90AOG AOH ∠=∠=︒HAO GAO ∠=∠AO AO =(ASA)AOH AOG ≌V V AG AH =OG OH =18045BOH BOD DOF ∠=︒-∠-∠=︒45BOH BOD ∠=∠=︒(ASA)BOD BOH ≌V V BD BH =OH OD =AB AH BH AG BD =+=+3BD =8AG =11AB =135BOA BOH AOH ∠=∠+∠=︒135BOF BOD DOF ∠=∠+∠=︒BOA BOF ∠=∠(ASA)BOA BOF ≌V V AO OF =OH OD =OG OH =OD OG =AD AO OD OF OG =+=+90OGE F ∠=︒-∠90BEC EBC ∠=︒-∠OGE BEC ∠≠∠OE OG ≠AD OF OG OF OE =+≠+∴，，∴，∴，即∵，，，∴，∴，5AE AD ==EAD ADC ∠=∠CD AE ∥BAC CAD CAD EAD ∠+∠=∠+∠BAD ∠AB AC =BAD CAE ∠=∠AD AE =()SAS ABD ACE △≌△112555222ABD ACE S S AE AD ==⨯=⨯⨯=V V∵，∴．∴．∵，是∴BE BA AE =+BM BA =BE BM =AEM BME ∠=∠10.5BAC ∠=︒AD BAC ∠12DAC BAD BAC ∠=∠=∠=∵，∴∵，∴∴90ADB ∠=︒180ADO ∠=︒-AD AD =OD ≌ADO ADE V V OAD EAD ∠=∠平分，平分，，，点在的平分线上，，平分，BE Q ABC ∠CD ∠OM ON ∴=ON OK =OM OK ∴=∴O BAC ∠60BAC ∠=︒Q 1902BOC BAC ︒∴∠=+∠180BOD COE ︒∴∠=∠=-OF Q BOC ∠，∵，∴∴∵FBD GBD ∠=∠BD BD=()FBD GBD SAS ≌△△BDF BDG∠=∠60BDF ∠=︒120BDC ∠=︒∵平分，∴，在和中，∴，CD ACB ∠ACD BCD ∠=∠ECD V HCD V CH CE =()ECD HCD SAS ≌△△∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和与外角的性质等，添加适当的辅助线是解题的关键．16．(1)；(2)，证明见解析(3)成立，证明见解析【分析】（1）根据得到，得到、，根据内错角相等两直线平行，得到；（2）延长交于，求出，根据全等三角形的性质得出，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可；（3）延长交于，求出，根据全等三角形的性质得出，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可【详解】（1）如图1，当点与点重合时，与的位置关系是，与的数量关系是，理由：为的中点，，，，DM DM =()NDM HDM SAS ≌△△MN MH =CM MN CE =+AE BF ∥QE QF=QE QF =AAS AEQ BFQ ≌△△AEQ BFQ ∠=∠QE QF =AE BF ∥EQ BF D AEQ BDQ ≌V V EQ QD =EQ FB D AEQ BDQ ≌V V EQ QD =P Q AE BF AE BF ∥QE QF AE BF =Q Q AB AQ BQ ∴=AE CQ ⊥Q BF CQ ⊥，，在和中，，，故答案为：；；（2）证明：延长交于，,（3）当点在线段延长线上时，此时（）中结论成立证明：延长交的延长于∵，∴∴AE BF ∥90AEQ BFQ ∠=∠=︒AEQ △V BFQ AQE BQF AEQ BFQ AQ BQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS AEQ BFQ ∴V V ≌QE QF ∴=AE BF ∥QE QF =QE QF=EQ BF D ,AE CP BF CP⊥⊥Q AE ∴BF∥AEQ BDQ∴∠=∠AQE BQD AEQ BDQ AQ BQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AEQ BDQ∴V V ≌EQ DQ∴=90BFE ∠=︒Q QE QF∴=P BA 2EQ FB DAE BF ∥AEQ BDQ∠=∠【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法：，平行线的性质，根据点位置不同，画出正确的图形，找到的条件是解决本题的关键．17．(1)≌(2)(3)证明见解析【分析】（1）≌，根据全等三角形的判定即可得到．（2）根据（1）中的辅助线作法，延长至点Q ，使，再证明≌，得到，再在中，利用三边关系进行计算即可．（3）根据（1）中辅助线作法，延长至点M ，使，证明≌，得到，，再证明≌，根据全等三角形的性质即可得证．【详解】（1）是的中线，,在和中，，≌．AQE BQD AEQ BDQAQ BQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩Q AEQ BDQ∴V V ≌EQ QF∴=90BFE ∠=︒Q QE QF∴=AAS P AAS ADC △EDB△14x <<ADC △EDB △SAS EP PQ PE =PDE △PFQ △DE FQ =FQE △AD MD AD =BMD V CAD V BM CA =DBM DCA ∠=∠ACQ V MBA △AD Q ABC V BD DC ∴=ADC △EDB △DC BD ADC EDB AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADC △EDB △()SAS（2）如图2，延长至点Q ，使，连接，是的中线，在和中，，≌,，，在中，即，∴．（3）如图3，延长至点M ，使，连接，∴，∵是的中线，∴，在和中，，EP PQ PE =FQ EP Q DEF V PD PF∴=PDE △PFQ △PD PF DPE FPQ PE PQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩PDE ∴V PFQ △()SAS 3DE FQ ∴==PE PQ x ==FQE △EF FQ QE EF FQ-<<+53253x -<<+14x <<AD MD AD =BM 2AM AD =AD ABC V BD CD =BMD V CAD V MD AD BDM CDA BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴≌，∴，，∵，，，∴，在和中，，∴≌，∴.【点睛】本题考查三角形全等的证明，三角形全等的证明方法以及倍长中线的辅助线作法是本题关键，准确的作出辅助线是本题难点．18．(1)见解析(2)见解析(3)4【分析】（1）证，即可得出结论；（2）设，在上截取，连接，证，得，，再证，得，然后证，即可得出结论；（3）求出，由全等三角形的性质得，即可求解．【详解】（1）证明：平分，，，，，，在和中，BMD V CAD V ()SAS BM CA =DBM DCA ∠=∠BAC ACB ∠=∠ACQ BAC ABC ∠=∠+∠MBA DBM ABC ∠=∠+∠ACQ MBA ∠=∠ACQ V MBA △CA BM ACQ MBA QC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ACQ V MBA △()SAS 2AQ AM AD ==(AAS)ACD AED V V ≌DAC DAE α∠=∠=AB AM AF =MD (SAS)FAD MAD V V ≌FD MD =ADF ADM ∠=∠Rt Rt (HL)MDE BDE V V ≌DME B ∠=∠909021802FDB αα∠=︒+︒-=︒-8MB AB AM =-=ME BE =AD Q BAC ∠DAC DAE ∴∠=∠DE BA ⊥Q 90DEA DEB ∴∠=∠=︒90C ∠=︒Q 90C DEA ∴∠=∠=︒ACD V AED V，，；（2）证明：设，，，，则，在上截取，连接，如图所示：在和中，，，，，，，在和中，，，，C DEA DAC DAE AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(AAS)ACD AED ∴△≌△AC AE ∴=DAC DAE α∠=∠=90C DEA ∠=∠=︒Q 90ADC α∴∠=︒-90ADE α∠=︒-90FDB FCD DFC DFC ∠=∠+∠=︒+∠AB AM AF =MD FAD V MAD V AF AM DAF DAM AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)FAD MAD ∴V V ≌FD MD ∴=ADF ADM ∠=∠BD DF =Q BD MD ∴=Rt MDE △Rt BDE △MD BD DE DE=⎧⎨=⎩Rt Rt (HL)MDE BDE ∴V V ≌DME B ∴∠=∠DAC DAE α∠=∠=Q平分，，在和中，CD Q ACB ∠DCE DCH ∴∠=∠DCE △DCH V CE CH =⎧在和中，BCF △BAG △，∴，∴，又∵，在和中，，∴，∴，故答案为：；（2）仍成立，理由如下：延长到点G ，使，连接，∵，，∴，在和中，，∴，∴，又∵，90BC BA C BAG CF AG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()SAS BCF BAG V V ≌BF BG =GE GA AE AE CF EF =+=+=BEF △BEG V BF BG BE BE EF GE =⎧⎪=⎨⎪=⎩()SSS BEF BEG V V ≌EBF EBG ABE ABG ABE CBF ∠=∠=∠+∠=∠+∠EBF CBF ABE ∠=∠+∠EA AG CF =BG 180BAE C ∠+∠=︒180BAE BAG ∠+∠=︒C BAG ∠=∠BCF △BAG △BC BA C BAG CF AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS BCF BAG V V ≌BF BG =GE GA AE AE CF EF =+=+=∵∴，在和中，，180BAD BCD ∠+∠=BAD BCF ∠=∠BCF △BAG △BC AB BAD BCF CF AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩D BC∵是中点，∴，在和中，，∴，∴，在中，∴；即：，（2）如图，延长至点，使得，连接，则，∵是中点，∴，在和中，，∴，∴，，，∵，，,∴，在和中，BD DC =ACD V EBD △BD CD ADC EDB AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS ACD EBD V V ≌AC EB =ABE V 2AB EB AE AD +>=2AB AC AD +>AE F EF AE =DF 2AF EF AE AE =+=E BD DE BE =EDF V EBA △DE BE DEF BEA EF EA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS EDF EBA V V ≌DF AB CD ==B EDF ∠=∠F EAB ∠=∠CDA B BAD ∠=∠+∠ADF BDA EDF ∠=∠+∠BDA BAD ∠=∠ADC ADF ∠=∠AFD △ACD V同（2）理可证：∴，，∵，∴∵，∴(SAS AMO DMH ≌V V OA DH OB ==H AOM ∠=∠∠90AOB COD ∠=∠=︒BOC AOB COD AOD ∠=∠+∠-∠=180HDO H HDO ∠=︒-∠-∠180180HDO AOM HDO ∠=︒-∠-∠=等三角形是解题的关键．。

人教版初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》复习题(含答案解析)

一、选择题1．如图，在ABC 中，8AB AC ==厘米，6BC =厘米，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上，由C 点向A 点运动，为了使BPD CPQ △≌△，点Q 的运动速度应为（）A ．1厘米/秒B ．2厘米/秒C ．3厘米/秒D ．4厘米/秒D解析：D【分析】根据三角形全等的性质与路程、速度、时间的关系式求解．【详解】解：设△BPD ≌△CPQ 时运动时间为t ，点Q 的运动速度为v ，则由题意得：BP CP BD CQ =⎧⎨=⎩，即3634t t vt =-⎧⎨=⎩，解之得：14t v =⎧⎨=⎩， ∴点Q 的运动速度为4厘米/秒，故选D ．【点睛】本题考查三角形全等的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质、路程、速度、时间的关系式及方程的思想方法是解题关键．2．如图，OM 、ON 、OP 分别是AOB ∠，BOC ∠，AOC ∠的角平分线，则下列选项成立的（）A ．AOP MON ∠>∠B ．AOP MON ∠=∠C ．AOP MON ∠<∠D ．以上情况都有可能B 解析：B【分析】根据角平分线的定义可得∠AOP=12∠AOC ，∠AOM=∠MOB=12∠AOB ，∠CON=∠BON=12∠BOC ，进而可得∠MON=12∠AOB+12∠BOC=12∠AOC ，从而可得∠AOP=∠MON ．【详解】解：∵OP 平分∠AOC ，∴∠AOP=12∠AOC ， ∵OM 、ON 分别是∠AOB 、∠BOC 的平分线， ∴∠AOM=∠MOB=12∠AOB ，∠CON=∠BON=12∠BOC ， ∴∠MON=12∠AOB+12∠BOC=12∠AOC ， ∴∠AOP=∠MON ．故选B ．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分． 3．工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在∠AOB 的边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合（即CM ＝CN ）．此时过直角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种做法的道理是（）A ．HLB ．SASC ．SSSD ．ASA C【分析】根据题中的已知条件确定有三组边对应相等，由此证明△OMC ≌△ONC(SSS)，即可得到结论.【详解】在△OMC 和△ONC 中，OM ON CM CN OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩, ∴△OMC ≌△ONC(SSS)，∴∠MOC=∠NOC ，∴射线OC 即是∠AOB 的平分线，故选：C.【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，比较简单，注意利用了三边对应相等，熟记三角形全等的判定定理并解决问题是解题的关键.4．如图，点O 在ABC 内，且到三边的距离相等．若110BOC ∠=°，则A ∠的度数为( )A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒A解析：A【分析】由条件可知BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB ，利用三角形内角和可求得∠A ．【详解】解：∵点O 到ABC 三边的距离相等，∴BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，∴ ()180A ABC ACB ∠=︒-∠+∠()1802OBC OCB =︒-∠+∠()1802180BOC =︒-⨯︒-∠()1802180110︒=︒-⨯-︒40=︒．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．5．如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形和ABC全等的图形是（）A．甲和乙B．乙和丙C．只有丙D．只有乙B解析：B【分析】甲只有2个已知条件，缺少判定依据；乙可根据SAS判定与△ABC全等；丙可根据AAS判定与△ABC全等，可得答案．【详解】解：甲三角形只知道两条边长无法判断是否与△ABC全等；乙三角形夹50°内角的两边分别与已知三角形对应相等，故乙与△ABC全等；丙三角形72°内角及所对边与△ABC对应相等且均有50°内角，可根据AAS判定乙与△ABC 全等；则与△ABC全等的有乙和丙，故选：B．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理，注意对应二字的理解很重要．6．下列判断正确的个数是（）①三角形的三条高都在三角形的内部，并且相交于一点；②两边及一角对应相等的两个三角形全等；③两角及一边对应相等的两个三角形全等；④到三角形的三边所在的直线距离相等的点有三个；⑤两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等．A．4 B．3 C．2 D．1D解析：D【分析】根据三角形的高线、角平分线的性质及全等三角形的判定分析各个选项即可．【详解】解：①只有当三角形是锐角三角形时，三条高才在三角形的内部，此选项错误；②有两边及一角对应相等的两个三角形全等，此选项错误；③有两角和一边对应相等，满足AAS或ASA，此选项正确；④在三角形内部到三边距离相等的点是三条内角平分线的交点，交点重合，只有一点；在三角形的外部到三条边所在直线距离相等的点是外角平分线的交点，交点不重合，有三个．则到三角形三边所在直线距离相等的点有4个，此选项错误；⑤两边及第三边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，此选项错误．正确的有一个③，故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法及三角形的角平分线，垂心等概念，熟练掌握概念和性质是解题的关键．7．如图，OB 平分∠MON ，A 为OB 的中点，AE ⊥ON ，EA=3，D 为OM 上的一个动点，C 是DA 延长线与BC 的交点，BC //OM ，则CD 的最小值是（）A ．6B ．8C ．10D ．12A解析：A【分析】根据两条平行线之间的距离可知当CD ⊥OM 时，CD 取最小值，先利用角平分线的性质得出AD =AE =3，利用全等三角形的判定和性质得出AC =AD =AE =3，进而解答即可．【详解】解：由题意得，当CD ⊥OM 时，CD 取最小值，∵OB 平分∠MON ，AE ⊥ON 于点E ，CD ⊥OM ，∴AD =AE =3，∵BC ∥OM ，∴∠DOA =∠B ，∵A 为OB 中点，∴AB =AO ，在△ADO 与△ABC 中B DOA AB AO BAC DAO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADO ≌△ABC (SAS ),∴AC =AD =3，∴336CD AC AD =+=+=，【点睛】此题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、平行线之间的距离，关键是利用全等三角形的判定和性质得出AC =AD =AE =3．8．如图，AC 与DB 相交于E ，且BE CE =，如果添加一个条件还不能判定ABE △≌DCE ，则添加的这个条件是（）．A ．AC DB =B ．A D ∠=∠C ．B C ∠=∠D ．AB DC = D解析：D【分析】根据全等三角形的判定定理，对每个选项分别分析、解答出即可．【详解】根据题意：BE=CE ，∠AEB=∠DEC ，∴只需要添加对顶角的邻边，即AE=DE （由AC=BD 也可以得到），或任意一组对应角，即∠A=∠D ，∠B=∠C ，∴选项A 、B 、C 可以判定，选项D 不能判定，故选：D ．【点睛】此题考查全等三角形的判定定理，熟记判定定理并熟练应用是解题的关键．9．如图，在OAB 和OCD 中，OA OB =，OC OD =，OA OC >，40AOB COD ∠=∠=︒，连接AC 、BD 交于点M ，连接OM ，下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠，其中正确的为（）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④B解析：B由SAS 证明AOC BOD ≅得出OCA ODB ∠=∠，=AC BD ，①正确；由全等三角形的性质得出OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠，得出40AOB COD ∠=∠=︒，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=，由AAS 证明OCG ODH ≅（AAS ），得出OG=OH ，由角平分线的判定方法得出MO 平分BOC ∠，④正确；由AOB COD ∠=∠，得出当∠=∠DOM AOM 时，OM 平分BOC ∠，假设∠=∠DOM AOM ，由AOC BOD ≅得出COM BOM ，由MO 平分BMC ∠得出∠=∠CMO BMO ，推出COM BOM ≅，得出OB=OC ，OA=OB ，所以OA=OC ，而OA OC >，故③错误；即可得出结论．【详解】∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠即AOC BOD ∠=∠在AOC △和BOD 中OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOC BOD ≅（SAS ）∴OCA ODB ∠=∠，=AC BD ，①正确；∴OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠，∴40AOB COD ∠=∠=︒，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=，在OCG 和ODH 中OCA ODB OGC OHD OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴OCG ODH ≅（AAS ），∴OG=OH∴MO 平分BOC ∠，④正确；∴AOB COD ∠=∠∴当∠=∠DOM AOM 时，OM 平分BOC ∠，假设∠=∠DOM AOM∵AOC BOD ≅ ∴COM BOM ，∵MO 平分BMC ∠∴∠=∠CMO BMO ，在COM 和BOM 中OCM BOM OM OMCMO BMO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴COM BOM ≅（ASA ）∴OB=OC ，∵OA=OB ，∴OA=OC ，与OA OC >矛盾，∴③错误；正确的有①②④；故选：B【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．10．如图，△ACB ≌△A 'CB '，∠BCB '=25°，则∠ACA '的度数为（）A ．35°B ．30°C ．25°D ．20°C解析：C【分析】利用全等三角形的性质可得∠A′CB′=∠ACB ，再利用等式的性质可得答案．【详解】解：∵△ACB ≌△A′CB′，∴∠A′CB′=∠ACB ，∴∠A′CB′-∠A′CB=∠ACB-∠A′CB ，∴∠ACA′=∠BCB′=25°，故选：C ．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应角相等．二、填空题11．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝12，BC＝18，CD＝8，则四边形ABCD的面积是____．【分析】过点D作DE⊥BA的延长线于点E利用角平分线的性质可得出DE＝DC＝8再利用三角形的面积公式结合S四边形ABCD ＝S△ABD＋S△BCD可求出四边形ABCD的面积【详解】解：过点D作DE⊥B 解析：120【分析】过点D作DE⊥BA的延长线于点E，利用角平分线的性质可得出DE＝DC＝8，再利用三角形的面积公式结合S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD，可求出四边形ABCD的面积．【详解】解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示．又∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DE＝DC＝8，∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD，＝12AB•DE＋12BC•CD，＝12×12×8＋12×18×8，＝120．故答案为：120．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，找出DE＝8是解题的关键．12．如图，把等腰直角三角板放平面直角坐标系内，已知直角顶点C的坐标为()0,3，另一个顶点B的坐标为()8,8，则点A的坐标为____________（5－5）【分析】根据余角的性质可得∠BCP=∠CAQ 根据全等三角形的判定与性质可得AQCQ 根据线段的和差可得OQ 可得答案【详解】解：作BP ⊥y 轴AQ ⊥y 轴如图∴∠BPC=∠AQC=90°∵BC=A解析：（5，－5）【分析】根据余角的性质，可得∠BCP=∠CAQ ，根据全等三角形的判定与性质，可得AQ ，CQ ，根据线段的和差，可得OQ ，可得答案．【详解】解：作BP ⊥y 轴，AQ ⊥y 轴，如图，∴∠BPC=∠AQC=90°∵BC=AC ，∠BCA=90°，∴∠BCP+∠ACQ=90°．又∠CAQ+∠ACQ=90°∴∠BCP=∠CAQ ．在△BPC 和△CQA 中，BPC CQA BCP CAQ BC AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ Rt △BPC ≌Rt △ACQ （AAS ），AQ=PC=8-3=5；CQ=BP=8．∵QO=QC-CO=8-3=5，∴A （5，-5），故答案为：（5，-5）．【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定与性质得出AQ ，CQ 是解题关键．13．如图，△ABE ≌△ADC ≌△ABC ，若∠1＝130°，则∠α的度数为________．100°【分析】根据全等三角形对应角相等可得然后根据周角等于求出再根据三角形的内角和定理求出从而得解【详解】解：（对顶角相等）故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等的性质三角形的内角和定理解析：100°【分析】根据全等三角形对应角相等可得1BAE ∠=∠，ACB E ∠=∠，然后根据周角等于360︒求出2∠，再根据三角形的内角和定理求出2α∠=∠，从而得解．【详解】解：ABE ADC ABC ∆≅∆≅∆，1130BAE ∴∠=∠=︒，ACB E ∠=∠，23601360130130100BAE ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，180DFE E α∴∠=︒-∠-∠，1802AFC ACD ∠=︒-∠-∠，DFE AFC ∠=∠（对顶角相等），1801802E ACD α∴︒-∠-∠=︒-∠-∠，2100α∴∠=∠=︒．故答案为：100︒．【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等的性质，准确识图，找出对应角是解题的关键．14．如图，AB ＝4cm ，AC ＝BD ＝3cm ，∠CAB ＝∠DBA ，点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．设运动时间为t （s ），则当△ACP 与△BPQ 全等时，点Q 的运动速度为__cm/s ．1或15【分析】分两种情况讨论：当△ACP ≌△BPQ 时从而可得点的运动速度；当△ACP ≌△BQP 时可得：从而可得点的运动速度从而可得答案【详解】解：当△ACP ≌△BPQ 时则AC ＝BPAP ＝BQ ∵AC解析：1或1.5【分析】分两种情况讨论：当△ACP ≌△BPQ 时，1AP BQ ==，从而可得Q 点的运动速度；当△ACP ≌△BQP 时，可得：23AP BP BQ ===，，从而可得Q 点的运动速度，从而可得答案．【详解】解：当△ACP ≌△BPQ 时，则AC ＝BP ，AP ＝BQ ，∵AC ＝3cm ，∴BP ＝3cm ，∵AB ＝4cm ，∴AP ＝1cm ，∴BQ ＝1cm ，∴点Q 的速度为：1÷（1÷1）＝1（cm/s ）；当△ACP ≌△BQP 时，则AC ＝BQ ，AP ＝BP ，∵AB ＝4cm ，AC ＝BD ＝3cm ，∴AP ＝BP ＝2cm ，BQ ＝3cm ，∴点Q 的速度为：3÷（2÷1）＝1.5（cm/s ）；故答案为：1或1.5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，分类讨论的数学思想，掌握利用分类讨论解决全等三角形问题是解题的关键．15．如图，线段AB ，CD 相交于点O ，AO=BO ，添加一个条件，能使AOC BOD ≅，所添加的条件的是___________________________．或或或【分析】先根据对顶角相等可得再根据三角形全等的判定定理即可得【详解】由对顶角相等得：当时由定理可证当时由定理可证当时由定理可证当时则由定理可证故答案为：或或或【点睛】本题考查了对顶角相等三角形解析：CO DO =或A B ∠=∠或C D ∠=∠或//AC BD【分析】先根据对顶角相等可得AOC BOD ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理即可得．【详解】由对顶角相等得：AOC BOD ∠=∠，AO BO =，∴当CO DO =时，由SAS 定理可证AOC BOD ≅，当A B ∠=∠时，由ASA 定理可证AOC BOD ≅，当C D ∠=∠时，由AAS 定理可证AOC BOD ≅，当//AC BD 时，则A B ∠=∠，由ASA 定理可证AOC BOD ≅，故答案为：CO DO =或A B ∠=∠或C D ∠=∠或//AC BD ．【点睛】本题考查了对顶角相等、三角形全等的判定定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．16．如图，△ABC ≌△A'B'C'，其中∠A ＝35°，∠C ＝25°，则∠B'＝_____．120°【分析】根据三角形内角和定理求出∠B 根据全等三角形的性质得出∠B=∠B′即可【详解】解：∵△ABC ∠A ＝35°∠C ＝25°∴∠B ＝180°﹣∠A ﹣∠C ＝180°﹣25°﹣35°＝120°∵△解析：120°【分析】根据三角形内角和定理求出∠B ，根据全等三角形的性质得出∠B=∠B′即可．【详解】解：∵△ABC ，∠A ＝35°，∠C ＝25°，∴∠B ＝180°﹣∠A ﹣∠C ＝180°﹣25°﹣35°＝120°，∵△ABC ≌△A'B'C'，∴∠B ＝∠B′＝120°，故答案为：120°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．17．如图，90,,,ACB AC BC AD CE BE CE ∠=︒=⊥⊥，垂足分别为,D E ，若9,6AD DE ==，则BE 的长为________________________．3【分析】由AD ⊥CEBE ⊥CE 可以得到∠BEC=∠CDA=90°再根据∠ACB=90°可以得到∠BCE=∠CAD 从而求得△CEB ≌△ADC 然后利用全等三角形的性质可以求得BE 的长【详解】解：∵∠A解析：3【分析】由AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，可以得到∠BEC=∠CDA=90°，再根据∠ACB=90°，可以得到∠BCE=∠CAD ，从而求得△CEB ≌△ADC ，然后利用全等三角形的性质可以求得BE 的长．【详解】解：∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠BCE+∠DCA=90°，∠BEC=∠CDA=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∴∠BCE=∠CAD ，在△CEB 和△ADC 中，BCE CAD BEC CDA AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEB ≌△ADC （AAS ）；∴BE=CD ，CE=AD=9．∵DC=CE-DE ，DE=6，∴DC=9-6=3，∴BE=3．故答案为：3【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．18．如图，∠1＝∠2，要使△ABC ≌△ADC ，还需添加条件：_____．（填写一个你认为正确的即可）AB ＝AD （答案不唯一）【分析】根据题目中条件和图形可以得到∠1＝∠2AC ＝AC 然后即可得到使得△ABC ≌△ADC 需要添加的条件本题得以解决【详解】由已知可得∠1＝∠2AC ＝AC ∴若添加条件AB ＝A解析：AB ＝AD （答案不唯一）【分析】根据题目中条件和图形，可以得到∠1＝∠2，AC ＝AC ，然后即可得到使得△ABC ≌△ADC 需要添加的条件，本题得以解决．【详解】由已知可得，∠1＝∠2，AC ＝AC ，∴若添加条件AB ＝AD ，则△ABC ≌△ADC （SAS ）；若添加条件∠ACB ＝∠ACD ，则△ABC ≌△ADC （ASA ）；若添加条件∠ABC ＝∠ADC ，则△ABC ≌△ADC （AAS ）；故答案为：AB ＝AD （答案不唯一）．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 19．如图所示，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，点D 在线段BE 上．若125∠=︒，230∠=︒，则3∠=______．55°【分析】先证明△ABD ≌△ACE （SAS ）；再利用全等三角形的性质：对应角相等求得∠2=∠ABE ；最后根据三角形内角与外角的性质即可求出答案【详解】∵∴∠1+∠CAD=∠CAE+∠CAD ∴∠1解析：55°【分析】先证明△ABD ≌△ACE （SAS ）；再利用全等三角形的性质：对应角相等，求得∠2=∠ABE ；最后根据三角形内角与外角的性质即可求出答案．【详解】∵BAC DAE ∠=∠，∴∠1+∠CAD=∠CAE+∠CAD ，∴∠1=∠CAE ；在△ABD 与△ACE 中，1AD AE CAE AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ）；∴∠2=∠ABE ；∵∠3=∠ABE+∠1=∠1+∠2，∠1=25°，∠2=30°，∴∠3=55°．故答案为：55°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质；将所求的角与已知角通过全等及内角、外角之间的关系联系起来是解答此题的关键．20．如图，已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上面一点，连接BD ，CD ；如图，已知AB AC =，D 、E 为BAC ∠的角平分线上面两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图，已知AB AC =，D 、E 、F 为BAC ∠的角平分线上面三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；…，依此规律，第n 个图形中有全等三角形的对数是______．【分析】根据图形得出当有1点D 时有1对全等三角形；当有2点DE 时有3对全等三角形；当有3点DEF 时有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n 个点时图中有个全等三角形即可【详解】解：当有1点D 时有1对全解析：)(12n n +【分析】根据图形得出当有1点D 时，有1对全等三角形；当有2点D 、E 时，有3对全等三角形；当有3点D 、E 、F 时，有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n 个点时，图中有)(12n n +个全等三角形即可．【详解】解：当有1点D 时，有1对全等三角形；当有2点D 、E 时，有3对全等三角形；当有3点D 、E 、F 时，有6对全等三角形；当有4点时，有10个全等三角形；…当有n 个点时，图中有)(12n n +个全等三角形．故答案为：)(12n n +．【点睛】本题考查了对全等三角形的应用，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度．三、解答题 21．在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．（1）在图1中计算格点三角形ABC 的面积是__________；（每个小正方形的边长为1）（2）ABC 是格点三角形．①在图2中画出一个与ABC 全等且有一条公共边BC 的格点三角形；②在图3中画出一个与ABC 全等且有一个公共点A 的格点三角形．解析：（1）6；（2）①见解析；②见解析【分析】（1）用割补法求解即可；（2）根据“SSS”画图即可；（3）根据“SSS”画图即可；【详解】解：（1）5×3-12×3×3-12×2×2-12×5×1=6，故答案为：6；（2）①如图，'A BC即为所求，AB C即为所求，②如图，''【点睛】本题考查了“格点三角形的定义”以及全等三角形的判定方法，熟练掌握“SSS”是解答本题的关键．22．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF．写出两个结论（∠BAD＝∠CAD和DE＝DF除外），并选择一个结论进行证明．（1）____________；（2）____________．解析：（1）∠ADE=∠ADF；证明见解析；（2）AE=AF；证明见解析．【分析】（1）∠ADE=∠ADF，根据DE⊥AB，DF⊥AC及AD为∠BAC的角平分线，即可证得∠ADE=∠ADF；（2）AE=AF，根据（1）可知证明△AED≌△AFD，即可证得AE=AF．【详解】（1）结论1：∠ADE=∠ADF，证明如下：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90︒，∵AD 为∠BAC 的角平分线，∴∠EAD=∠FAD ，∴∠ADE=∠ADF ；（2）结论2：AE=AF ，证明如下：由（1）可知：△AED ≌△AFD ，∴AE=AF ．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定和性质解决问题．23．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，8cm AC =，6cm BC =，点D 在AC 上，且6cm AD =，过点A 作射线AE AC ⊥（AE 与BC 在AC 同侧），若点P 从点A 出发，沿射线AE 匀速运动，运动速度为1cm/s ，设点P 运动时间为t 秒．连结PD 、BD ．（1）如图①，当PD BD ⊥时，求证：PDA DBC △≌△；（2）如图②，当PD AB ⊥于点F 时，求此时t 的值．解析：（1）见解析；（2）8秒【分析】（1）根据垂直及角之间的关系证明出PDA CBD ∠=∠，又有90PAD C ∠=∠=︒，=6AD BC =，根据三角形全等的判定定理则可证明PDA DBC △≌△．（2）根据垂直及角之间的关系证明APF DAF ∠=∠，又因为90PAD C ∠=∠=︒，AD BC =，则可证明PAD ACB △≌△，所以8cm AP AC ==，即t=8秒．【详解】（1）证明：PD BD ⊥，90PDB ∴∠=︒，即90BDC PDA ∠+∠=︒又90C ∠=︒，90BDC CBD ∠+∠=︒ PDA CBD ∴∠=∠又AE AC ⊥，90PAD ∴∠=︒90PAD C ∴∠=∠=︒又6cm BC =，6cm AD =AD BC ∴=在PAD △和DCB 中PAD C AD CBPDA DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()PDA DBC ASA ∴△≌△（2）PD AB ⊥，90AFD AFP ∴∠=∠=︒，即90PAF APF ∠+∠=︒又AE AC ⊥， 90PAF DAF ∴∠+∠=︒APF DAF ∴∠=∠又90PAD C ∠=∠=︒，AD BC =在APD △和CAB △中APD CAB PAD C AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()PAD ACB AAS ∴△≌△8cm AP AC ∴==即8t =秒．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用角之间的关系是解题关键．24．如图，点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，A D ∠=∠，//AB DE ，BE CF =．求证：//AC DF ．解析：见解析．【分析】根据//AB DE 可知B DEF ∠=∠，又根据∠A=∠D ，BE=CF 可以判定ABC DEF △≌△，即可求证//AC DF ；【详解】∵//AB DE ，∴B DEF ∠=∠，∵BE CF =，∴BC EF =，∴在ABC 和DEF 中，A DB DEF BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC DEF △≌△，∴ACB F ∠=∠，∴//AC DF ．【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定的应用以及两直线平行的判定定理，解此题的关键是推出ABC DEF △≌△，注意全等三角形的对应边相等；25．如图，已知在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，别过B 、C 两点向过A 的直线作垂线，垂足分别为E 、F ．求证：EF BE CF =+．解析：见解析【分析】证明△BEA ≌△AFC ，得到AE=CF ，BE=AF ，即可得到结论．【详解】证明：BE EA ⊥，CF AF ⊥，90BAC BEA AFC ∴∠=∠=∠=︒，90EAB CAF ∴∠+∠=︒，90EBA EAB ∠+∠=︒，CAF EBA ∴∠=∠，在ABE △和AFC △中，BEA AFC EBA CAF AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)BEA AFC ∴△≌△．AE CF ∴=，BE AF =．EF AF AE BE CF ∴=+=+．．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记三角形的判定定理是解题的关键．26．已知矩形ABCD 中，点E 是AD 中点，连接CE ，经过点A ，B ，E 三点作O ，交BC 于点F ，过点F 作FH CE ⊥于H ．（1）求证：直线FH 是O 的切线；（2）若42AD =，且点H 恰好为CE 中点时，判断此时CE 与O 的位置关系？说明理由，并求出弧EF ，线段EH ，FH 围成的图形的面积．解析：（1）见解析；（2）EC 与O 相切，理由见解析，4π-【分析】（1）连接BE ，OF ，易得出BE 是圆的直径，根据全等三角形的判定证得△EAB ≌△EDC ，继而根据平行线的性质和切线的判定即可求证结论；（2）连接EF ，易求得四边形OFHE 的边长，再利用面积的和差即可求解．【详解】（1）连接BE ，OF∵四边形ABCD 是矩形，∴90A D ∠=∠=︒，AB CD =，∵90A ∠=︒，∴BE 是O 的直径，∵点E 是AD 中点，∴EA EC =，∴△EAB ≌△EDC ，∴EB EC =，∴EBC ECB ∠=∠，∵OB OF =，∴ECB OFB ∠=∠，∴ECB OFB ∠=∠，∴//OF EC ，∴OFH FHC ∠=∠，∵FH CE ⊥，∴90FHC OFH ∠=∠=︒，又∵OF 是O 的半径，∴直线FH 是O 的切线．（2）EC 与O 相切．理由如下：连接EF ，由（1）知，BE 是O 直径，∴90EFB EFC ∠=∠=︒，∵点H 是CE 中点，∴FH EH HC ==，∵FH CE ⊥，∴90FHC ∠=︒，∴45ECF HFC ∠=∠=︒，∴90BEC ∠=︒，又∵OE 是O 的半径，∴直线EC 与圆O 相切．由上可知四边形ABFE 和四边形OFHE 都是正方形， ∴11422222AE AB AD ===⨯= ∴224BE AB AE =+=，∴2OE OF ==， ∴2290π224π360OFHE OEFS S S ⨯=-=-=-正方形扇形．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，矩形的性质，全等三角形的判定和性质、切线的判定、勾股定理，解题的关键是综合运用所学知识．27．已知ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，BC AC =．直角顶点C 在x 轴上，锐角顶点B 在y 轴上，过点A 作AD x ⊥轴，垂足为点D ．当点B 不动，点C 在x 轴上滑动的过程中．（1）如图1，当点C 的坐标是()1,0-，点A 的坐标是()3,1-时，请求出点B 的坐标；（2）如图2，当点C 的坐标是()1,0时，请写出点A 的坐标；（3）如图3，过点A 作直线AE y ⊥轴，交y 轴于点E ，交BC 延长线于点F ．AC 与y 轴交于点G ．当y 轴恰好平分ABC ∠时，请写出AE 与BG 的数量关系．解析：（1）（0，2）；（2）（-1，-1）；（3）BG=2AE ，理由见详解【分析】（1）先证明Rt∆ADC ≅Rt∆COB ，结合条件，即可得到答案；（2）先证明∆ADC ≅∆COB ，结合点B ，C 的坐标，求出AD ，OD 的长，即可得到答案；（3）先证明∆BGC ≅∆AFC ，再证明∆ABE ≅∆FBE ，进而即可得到答案．【详解】（1）∵点C 的坐标是()1,0-，点A 的坐标是()3,1-，∴AD=OC ，又∵AC=BC ，∴Rt∆ADC ≅ Rt∆COB （HL ），∴OB=CD=2，∴点B 的坐标是（0，2）；（2）∵AD ⊥x 轴，∴∠DAC+∠ACD=90°，又∵∠OCB+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠OCB ，又∵∠ADC=∠COB=90°，AC=BC ，∴∆ADC ≅ ∆COB （AAS ），∵点C 的坐标是()1,0∴AD=OC=1，∵点B 的坐标是（0，2），∴CD=OB=2，∴OD=2-1=1，∴点A 的坐标是（-1，-1）；（3）BG=2AE ，理由如下：∵ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，BC AC =，AE y ⊥轴，∴∠BCA=∠ACF=90°，∠AEG=90°，∴∠GBC+∠BGC=90°，∠GAE+∠AGE=90°，又∵∠BGC=∠AGE ，∴∠GBC=∠FAC ，在∆BGC 和 ∆AFC 中，∵∠GBC=∠FAC ，BC AC =， ∠GBC=∠FAC ，∴∆BGC ≅∆AFC （ASA ），∴BG=AF ，∵BE ⊥AF ，y 轴恰好平分ABC ∠，∴∠ABE=∠FBE ，∠AEB=∠FEB=90°，BE=BE ，∴∆ABE ≅∆FBE ，∴AE=FE ，∴AF=2AE∴BG=2AE ．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握“一线三垂直”模型，是解题的关键．28．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，E 为AC 的中点，连接DE 并延长，交BC 于点F ．（1）求证：DE EF =．（2）若12AD =，:2:3BF CF =，求BC 的长．解析：（1）见解析；（2）20【分析】（1）根据平行线的性质可得：EAD ECF ∠=∠，EDA EFC ∠=∠，继而根据全等三角形的判定证得()ADE CFE AAS ≅△△，继而即可求证结论；（2）由全等三角形的性质可得：12AD CF ==，求得8BF =，继而即可求解．【详解】（1）证明：∵//AD BC ，∴EAD ECF ∠=∠，EDA EFC ∠=∠．∵E 为AC 的中点，∴AE CE =．在ADE 和CFE 中，,,,EAD ECF EDA EFC AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ADE CFE AAS ≅△△．∴DE EF =．（2）解：∵ADE CFE ≅，∴12AD CF ==．∵:2:3BF CF =，∴8BF =，∴81220BC BF CF =+=+=．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法和性质．。

八年级数学上册第十二章专题(五)构造全等三角形常用的辅助线作业课件新版新人教版

－AC＜AE＜CE＋AC，即 6－2＜2AD＜6＋2，∴4＜2AD＜8，∴2＜AD＜4.
2．如图，AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，已知AC＝BF，∠DAC＝35°，∠EBC＝40°，求∠C的度数．
解：如图，延长 AD 到点 M，使得 DM＝AD，连接 BM.∵AD 是△ABC
°，∠CFA＝180°－(∠FAC＋∠FCA)＝180°－12 (∠BAC＋∠ACB)＝180°
－12 (180°－∠ABC)＝180°－12 (180°－60°)＝120°，∴∠DFE＝∠CFA
＝ ∠MFN ＝ 120 ° . 又 ∵∠MFN ＝ ∠MFD ＋ ∠DFN ， ∠ DFE ＝ ∠DFN ＋
类型二：利用角平分线截长补短构造全等方法技巧：因角平分线已具备全等三个条件中的两个(角等、公共边等) 条件，故在角的两边截取相等的线段构造SAS全等三角形．
5．如图，已知AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，点E在线段CD上．
(1)求∠AEB的度数； (2)求证：CE＝DE.
解：(1)∵AC∥BD，∴∠CAB＋∠ABD＝180°.∵AE 平分∠CAB，BE 平分∠DBA，∴∠EAB＝12 ∠CAB，∠EBA＝12 ∠ABD.∴∠EAB＋∠EBA ＝90°，∴∠AEB＝90°.
在△DEB 和△FEB 中，∠EBD＝EEBB＝，∠FEB， ∴△DEB≌△FEB(ASA).∴ED ∠DBE＝∠FBE，
＝EF.∴ED＝CE.
6．如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点．求证：AB－AC＞PB－PC.
证明：在 AB 上截取 AN ＝ AC ，连接 PN ，图略．易证 △ APN≌△APC(SAS) ， ∴ PN ＝ PC ， ∵ 在 △ BPN 中， PB － PN ＜ BN ， ∴PB－PC＜AB－AN.∴AB－AC＞PB－PC.

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题五(含答案) (37)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题五（含答案)如图，在△ABC中，AB = AC = 2，∠B =∠C = 50°，点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连结AD，作∠ADE = 50°，DE交线段AC于点E．（1）若DC = 2，求证：△ABD≌△DCE；（2）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）可以，115°或100°.【解析】【分析】（1）利用公共角求得∠ADB=∠DEC, DC=AB, ∠B =∠C,所以利用AAS,证明△ABD≌△DCE.(2)可以令∠ADE是等腰三角形，需要分类讨论：（1）中是一种类型，EA=ED 也是一种类型，可分别求出∠BDA度数.【详解】证明：（1）∵ AB = AC = 2，DC = 2,∴ AB = DC ,∵∠B =∠C = 50°，∠ADE = 50°,∴∠BDA +∠CDE = 130°,∠CED +∠CDE = 130°,∴∠BDA =∠CED,∴△ABD≌△DCE（AAS）.（2）解：可以．有以下三种可能：①由（1）得：△ABD≌△DCE，得AD = DE.则有∠DAE =∠DEA = 65°∴∠BDA =∠CED = 65° + 50° = 115°；②由（1）得∠BDA =∠CED,∵点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合）∴AD AE；③当EA = ED时，∠EAD =∠ADE = 50°,∴∠BDA =∠CED = 50° + 50° = 100°．62．如图，已知：BE = FC，∠B =∠F，∠ACE =∠DEC，求证：△ABC≌△DFE．【答案】证明见解析.【解析】试题分析：利用公共边求BC=EF,再利用ASA证明全等.试题解析：证明：∵BE = FC,∴BE + EC = EC + FC,∴BC = FE ,在△ABC和△DFE中，∠B =∠F，BC = FE，∠ACE =∠DEC，∴△ABC≌△DFE．（ASA）点睛：（1）含公共边型如图1所示，在△ABC和△EFD，AD=FC，AB=FE，BC=DE．说明△ABC∠∠FED的理由．由图形可知，AD+DC=AC，FC+DC=FD，所以AC=FD，再根据SSS可以说明两个三角形全等．（2）含公共角型如图2所示，D、E是△ABC中BC边上的点，AD=AE，∠DAC=∠EAB,AB=AC，说明△ABD∠∠ACE.由图可知，∠DAC=∠EAB,∠1+∠DAE=∠2+∠DAE, ∠1 =∠2,再根据SAS可以证明两个三角形全等.63．如图所示，AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 延长线上的一点，BE 是否与CE 相等？试说明理由．【答案】见解析【解析】试题分析：由AB=AC 、DB=DC 结合AD=AD ，可证出△ABD ≌△ACD （SSS ），根据全等三角形的性质可得出∠ADB=∠ADC ，利用等角的补角相等可得出∠BDE=∠CDE ，结合DB=DC 、DE=DE ，即可证出△BDE ≌△CDE （SAS ），再根据全等三角形的性质即可得出BE=CE ．试题解析：BE=CE ，理由如下：在△ABD 和△ACD 中，{AB ACDB DC AD AD＝＝＝，∴△ABD ≌△ACD （SSS ），∴∠ADB=∠ADC ．∵∠ADB+∠BDE=180°，∠ADC+∠CDE=180°，∴∠BDE=∠CDE ．在△BDE 和△CDE 中，{DB DCBDE CDE DE DE∠∠＝＝＝，∴△BDE ≌△CDE （SAS ），∴BE=CE ．64．如图，已知AB=AC,,12B C ∠=∠∠=∠.求证：BD=CE.【答案】详见解析.【解析】试题分析：根据已知条件先证明∠EAC=∠DAB ，再根据角边角定理证明∠ABD ∠∠ACE ，然后根据全等三角形对应边相等即可证明．试题解析：∠∠1=∠2，∠∠1+∠BAC=∠2+∠BAC ，即∠EAC=∠DAB ，在△ABD 和△ACE 中，EAC DAB AB ACB C ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∠∠ABD ∠∠ACE （ASA ），∠BD=CE ．65．在四边形ABCD 中，AC 、BD 是它的两条对角线．（1）如图1，已知AB =AC =AD ，AB ∥CD ．①若∠ABC =70°，则∠BAC = °，∥CAD = °；②若AB =4，BC =2，求BD 的长；（2）如图2，已知∠ABD =∥ACD =60°，∥ADB =90°-12∥BDC ，求证：AB =AC ．【答案】（1）∠40，100；∠BD =（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）∠根据AB=AC,AC=AD ,利用等腰三角形的性质可求∠BAC 和∠CAD ,(2) ②作AH ⊥BC ，CP ⊥A B, DQ ⊥BA ,构造直角三角形BQD,(3)延长CD 至M ，使DM=BD , 证明ADB ∆≅ADM ∆,，所以可以证明AB=AM=AC .试题解析：(1) ∠AB=AC, ∠ABC =70°，∴∠BAC =180°-2∠ABC =40°，AC=AD ,AB ∠CD,∴∠ACD=40°，所以∠CAD=180°-2∠ACD=100°.②如图，作AH ⊥BC ，CP ⊥A B ，AB =4，BC =2，勾股定理得AH∴CP =， BP = 12 ，AP = 72，作 DQ ⊥BA ,∵APC AQD≅∴AQ=AP=72，利用勾股定理得∴BD= .（2）证明：延长CD至M，使DM=BD ,∠ADB=90°-12∠BDC,∴∠ADB=∠ADM ,又∵AD=AD,∴ADB∆≅ADM∆,∴∠AMD=∠ABD=∠ACD=60°，AB=AM,∴AB=AM=AC.66．如图a，在平面直角坐标系中，A、B坐标分别为（6，0），（0，6），P为线段AB上的一点.(1) 如图a，若三角形OAP的面积是12，求点P的坐标；(2）如图b，若P为AB的中点，点M，N分别是OA，OB边上的动点，点M从顶点A，点N从顶点O同时出发，且它们的速度都为1cm/s，则在M，N运动的过程中，线段PM，PN之间有何关系？并证明；(3)如图c，若P为线段AB上异于A，B的任意一点，过B点作BD⊥OP，交OP，OA分别于F，D两点，E为OA上一点，且∠PEA=∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由.【答案】（1）P （2，4）；（2）PM ＝PN ，且PM ⊥PN ，证明见解析；（3）OD=AE ，理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据点的坐标以及三角形的面积即可求得；（2）连接OP ，证明∠NOP ∠∠MAP ，根据全等三角形的对应边相等、对应角相等可得PN=PM ，∠OPN=∠APM ，从而可得PM 与PN 的位置关系；（3）作AQ ∠AO 交OP 延长线于Q ，证明∠OBD ∠∠AOQ ，∠APE ∠∠APQ ，从而即可得.试题解析：（1）∠A （6，0），B （0，6），∠OA=OB=6，∠S △AOB =18，设P 的坐标为（x P ，y P ）， ∵162OAP P S y ∆=⨯⨯=12， ∴4P y =，∵162BOP OAB OAP P S S S OB x ∆∆∆=-==⨯⋅， ∴2P x =，∴P （2，4）；（2）PM ＝PN 且PM ⊥PN ，证明如下：如图1，连接PO ，在△NOP 和△MAP 中，45ONAMNOP MAP OP AP=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△NOP ≌△MAP ，∴ PN=PM ，且∠OPN=∠APM ，又∵∠APM+∠MPO=90° ，∴∠OPN+∠MPO=90° ，即∠MPN=90°，∴PM ⊥PN ，综上：PM ＝PN 且PM ⊥PN ；（3）OD=AE ，理由：如图2，作AQ ⊥AO 交OP 延长线于Q ，易知∠OBD=∠AOQ ，在△OBD 和△AOQ 中，OBD AOQ OB AOBOD OAQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△OBD ≌△AOQ ，∴∠BDO=∠Q=∠PEA ，OD=AQ ，易证△APE ≌△APQ ，∴ AE=AQ=OD ，∴ OD=AE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，点的坐标等，弄清题意，结合图形与已知条件正确地添加辅助线是解题的关键.67．如图，线段AC 、BD 交于点M ，过B 、D 两点分别作AC 的垂线段BF 、DE, AB=CD（1）若∠A=∥C ，求证：FM=EM ；（2）若FM=EM ，则∠A=∥C ．是真命题吗？（直接判断，不必证明）（【答案】详见解析.【解析】试题分析：（1）由条件可先证明△ABF ≌△CDE ，可得BF=DE ，再证明△BFM ≌△DEM ，可得到FM=EM ；（2）由条件可先证明△BFM ≌△DEM ，可得BF=DE ，再证明△ABF ≌△CDE ，可得∠A=∠C ．试题解析：（1）∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴∠AFB=∠CED，在△ABF和△CDE中，A CAFB CEDAB CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF≌△CDE（AAS），∴BF=DE，在△BFM和△DEM中，BFM DEMBMF DMEBF DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BFM≌△DEM（AAS），∴FM=EM；（2）真命题；理由如下：∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴∠BFM=∠DEM=90°，在△BFM和△DEM中，BFM DEMFM EMBMF DMF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BFM≌△DEM（ASA），∴BF=DE，在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB CD BF DE=⎧⎨=⎩∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴∠A=∠C．68．如图，∥ABC是等腰直角三角形，且∥C=90°，直线l过C点.(1)如图1，过A点、B点作直线l的垂线段AD、BE，垂足为D、E，请你探究AD、BE、DE满足的数量关系，并进行证明；(2)当直线l绕点C旋转到如图2所示的位置时，请直接写出AD、BE和DE的数量关系(不用证明)【答案】(1)DE=AD+BE，证明见解析；(2)DE=BE−AD.【解析】试题分析：（1）证△ACD≌△CBE，由全等三角形的性质可得出DC=EB，AD=CE，再结合DE=DC+CE即可得出DE=AD+BE；（2）同理得出△ACD≌△CBE，由全等三角形的性质可得出DC=EB，AD=CE，再结合DE=DC-CE即可得出DE=BE-AD．解：(1)DE=AD+BE，证明：∵△ABC是等腰直角三角形,∴AC=BC.∵∠ACB=90°，AD⊥直线l,∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90°,∴∠CAD=∠BCE.在△ACD和△CBE中,∠ADC=∠CEB=90°，∠CAD=∠BCE，AC=CB,∴△ACD≌△CBE(AAS)，∴DC=EB，AD=CE，∴DE=DC+CE=AD+BE.(2)DE=BE−AD. 证明：同（1）可证出△ACD≌△CBE，∴DC=EB，AD=CE，∴DE=DC-CE=BE-AD．69．如图，点A，F，E，C在同一直线上，AE=CF，过E、F分别作DE∥AC，BF∥AC于E、F，若AB=CD,BD与EF互相平分吗?请说明理由.【答案】BD与EF互相平分，理由见解析.【解析】试题分析：根据AE=CF，得出AF=CE，再根据AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC 证明△ABF≌△CDE，得出BF=DE（或利用勾股定理证明），再证△BGF≌△DGE，则可得结论.解：BD与EF互相平分，理由如下：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠BFA=∠DEC=90°，∵AE=CF，∴AF=CE，在Rt△ABF与Rt△CDE中,AB=CD，AF=CE，∴Rt△ABF≌Rt△CDE，∴BF=DE，在△BGF与△DGE中，∠BGF=∠DGE，∠BFG=∠DEG，BF=DE，∴△BGF≌△DGE，∴BG=DG，FG=EG，∴BD与EF互相平分.70．在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，（1）求高台A比矮台B高多少米？（2）求旗杆的高度OM；（3）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．【答案】（1）7米；（2）15m；（3）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米．【解析】【分析】（1）作差.(2) 作AE⊥OM，BF⊥OM,证明在△AOE和△OBF相似,可以计算出OE+OF长度，最后算出OM长度.(3)利用勾股定理求出半径长度，作差求MN长度.【详解】（1）10-3=7(米）.（2）作AE ⊥OM 于E,，BF ⊥OM 与F ，∵∠AOE +∠BOF =∠BOF +∠OBF =90°，∴∠AOE =∠OBF ，在△AOE 和△OBF 中，OEA BFO AOE OBF OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AOE ≌△OBF （AAS ），∴OE=BF ，AE=OF ，即OE+OF=AE+BF=CD =17（m ）∵EF=EM ﹣FM=AC ﹣BD =10﹣3=7（m ），∴2EO+EF =17，则2EO =10，所以OE =5m ，OF =12m ，所以OM=OF+FM =15m.（3）由勾股定理得ON=OA =13，所以MN =15﹣13=2（m ）．答：玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN 为2米．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，作出正确的辅助线构造全等三角形的关键.。

人教版八年级数学上册第12章全等三角形复习课

△ABC绕点C旋转一定角度（大于零度而小于六十度），以上的结论海成立吗？
∴ BE=AD
5：如图，已知E在AB上，∠1=∠2， ∠3=∠4，那么AC等于AD吗？为什么？
C
3
AE
1 2
4
D
解：AC=AD
B
理由：在△EBC和△EBD中
∠1=∠2 ∠3=∠4 EB=EB ∴ △EBC≌△EBD (AAS) ∴ BC=BD 在△ABC和△ABD中 AB=AB ∠1=∠2 BC=BD ∴ △ABC≌△ABD (SAS) ∴ AC=AD
第12章全等三角形复习课
全章知识结构图
三角形全等（全等的判定）
S.S.S. S.A.S. A.S.A. A.A.S. H.L.（RtΔ）
图形的全等
命题与证明（定义、命题、公理、定理）
——证明
基本作图
画线段
画角画垂线画垂直平分线画角平分线
一.全等三角形：
1.什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？
3.如图：在四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、
BE并延长AE交BC的延长线于点F，给出下列5个
关系式：：①AD∥BC，②，DE=EC③∠1=∠2，
④∠3=∠4，⑤AD+BC=AB。将其中三个关系式作
为已知，另外两个作为结论，构成正确的命题。
请用序号写出两个正确的命题：（书写形式：
如果……那么……）（1）
(1)定义（重合）法；
解题 (2)SSS；
中常 (3)SAS；
不包括其它形
用的 4种
(4)ASA；
状的三角形
方法 (5)AAS.
直角三角形全等特有的条件：HL.

人教版八年级上册数学《三角形全等的判定》全等三角形说课复习

在直角三角形中。
只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等)。
谢谢
三角形全等的判定第1课时
课件
人教版初中数学
情景引入
一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制作一张与原来同样大小的新教具？能恢复原来三角形的原貌吗？
学习目标
1．理解判定三角形全等的“边角边”条件．
课件
课件
手抄报：课件/shouchaobao/
课件
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课件
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斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（简写成“斜边、直角边”或“HL”）
几何语言：
B
∵∠C=∠C′=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
A
C
AB=A′B′，
B′
BC=B′C′，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)。
课件
课件课件
课件课件
课件课件
课件课件
课件
课件
放到Rt△ABC上，它们全等吗？ A
B
C
探究验证
N
A
A′
课件
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课件
课件
课件
课件
个人简历：课件/jianli/
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手抄报：课件/shouchaobao/
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课件课件
课件课件
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B
C
M B′
C′
作法：
（1）画∠MC'N=90°；（2）在射线C'M上截取B'C'=BC；

人教版八年级数学上册专题复习：证明三角形全等的常见题型(含答案)

人教版八年级数学上册证明三角形全等的常见题型全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。

而一些初学的同学，虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论，但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等。

在辅导时可以抓住以下几种证明三角形全等的常见题型，进行分析。

一、已知一边与其一邻角对应相等1．证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等。

例1已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C .求证：AF=DE。

证明∵BE=CF（已知），∴BE+ EF=CF+EF，即BF=CE。

在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS）。

∴ AF=DE（全等三角形对应边相等）。

2．证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等。

例2已知：如图2，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。

求证：AE=CE。

证明∵ FC∥AB（已知），∴∠ADE=∠CFE（两直线平行，内错角相等）。

在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（ASA）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）3．证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等。

二、已知两边对应相等1．证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等。

例4已知：如图3，AD=AE，点D、E在BCBD=CE，∠1=∠2。

例5已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线AC=BD，AM=CN，BM=DN。

人教版八年级数学上册知识点归纳

精心整理第十一章全等三角形11.1全等三角形（1）形状、大小相同的图形能够完全重合；（2）全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形；（3）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；（4）平移、翻折、旋转前后的图形全等；（5）对应顶点：全等三角形中相互重合的顶点叫做对应顶点；（6）对应角：全等三角形中相互重合的角叫做对应角；（7）对应边：全等三角形中相互重合的边叫做对应边；（8）全等表示方法：用“ ”表示，读作“全等于”（注意：记两个三角形全等时，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上）（9）全等三角形的性质：①全等三角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等；11.2三角形全等的判定（1）若满足一个条件或两个条件均不能保证两个三角形一定全等；（2）三角形全等的判定：①三边对应相等的两个三角形全等；（“边边边”或“SS”S）②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；（“边角边”或“SAS”）③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；（“角边角”或“ASA”）④两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（“角角边”或“AAS”）⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；（“斜边直角边”或“HL”）（3）证明三角形全等：判断两个三角形全等的推理过程；（4）经常利用证明三角形全等来证明三角形的边或角相等；（5）三角形的稳定性：三角形的三边确定了，则这个三角形的形状、大小就确定了；（用“SSS”解释）11.3角的平分线的性质（1）角的平分线的作法：课本第19页；（2）角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；（3）证明一个几何中的命题，一般步骤：①明确命题中的已知和求证；②根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程；（4）性质定理的逆定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上；（利用三角形全等来解释）（5）三角形的三条角平分线相交于一点，该点为内心；第十二章轴对称12.1轴对称（1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么就称这个图形是轴对称图形；这条直线叫做它的对称轴；也称这个图形关于这条直线对称；（2）两个图形关于这条直线对称：一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点；（3）轴对称图形与两个图形成轴对称的区别：轴对称图形是指一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合；而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合；（4）轴对称图形与两个图形成轴对称的联系：把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。

初中数学(人教版)八年级上知识点最全总结

初中数学（人教版）八年级上知识点最全总结第十一章全等三角形一．知识框架二．知识概念1. 全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。

2 ．全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。

3. 三角形全等的判定公理及推论有：（1 ）“ 边角边” 简称“SAS”（2 ）“ 角边角” 简称“ASA”（3 ）“ 边边边” 简称“SSS”（4 ）“ 角角边” 简称“AAS”（5 ）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL ）。

4. 角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。

5. 证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式( 顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题). 在学习三角形的全等时，教师应该从实际生活中的图形出发，引出全等图形进而引出全等三角形。

通过直观的理解和比较发现全等三角形的奥妙之处。

在经历三角形的角平分线、中线等探索中激发学生的集合思维，启发他们的灵感，使学生体会到集合的真正魅力。

第十二章轴对称一．知识框架二．知识概念1. 对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。

2. 性质：（1 ）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

（2 ）角平分线上的点到角两边距离相等。

（3 ）线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。

（4 ）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

（5 ）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

3. 等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角）4. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题三(含答案) (55)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题三（含答案)如图，D 为等边ABC ∆外一点，且,120BD CD BDC =∠=，点,M N 分别在,AB AC 上，且BM CN MN +=．（1）求证：60MDN ∠=．（2）求证：BD CD AD +=．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】(1)延长NC 到E ，使CE=BM,连接DE,根据等腰三角形的性质以及等边三角形的性质可以得到△BDM 和△CDE 都是直角三角形，易证这两个三角形全等，根据全等三角形的性质即可证得;（2）连接AD ，得到90ABD ACD ∠=∠=︒，AD BC ⊥且平分BC ，然后得到AD 平分BAC ∠，得到22AD BD CD ==，即可解答【详解】证明：(1)延长NC 到E ，使CE=BM ，连接DE.∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵BD=CD,∠BDC=120°，∴∠CBD=∠BCD=30°，∴∠ABD=∠ACD=90°，在直角△BDM 和直角△CDE 中，090BD CD ABD DCE BM CE =∠=∠==⎧⎪⎨⎪⎩， ∴Rt △BDM ≌Rt △CDE(SAS)，∴DM=DE ，∠BDM=∠CDE ，∴∠MDE=∠BDC=120°，∵BM+CN=MN ，∴MN=ME ，在△MDN 和△EDN 中，DM DE DN DN NM NE ===⎧⎪⎨⎪⎩， ∴△MDN ≌△EDN(SSS)，∴∠MDN=∠EDN=60°；（2）根据题意可知AD BC ⊥，易知90ABD ACD ∠=∠=︒，AD BC ⊥且平分BC ，AD ∴平分BAC ∠，30DAB DAC ∴∠=∠=︒，22AD BD CD ∴==。

即AD BD CD =+【点睛】此题考查等边三角形的性质、等边三角形的性质和全等三角形的性质，解题关键在于得到△BDM 和△CDE 都是直角三角形.42．如图，在等边ABC ∆中，,D E 分别是,BC AC 上的点，且,AE CD AD =与BE 相交于点,F CF BE ⊥，求:AF BF 的值．【答案】:1:2AF BF =【解析】【分析】由△ABE ≌△CAD 得∠ABE=∠CAD ，则∠BAD=∠CBE ，∠BFK=∠BAF+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°，由CF ⊥BE 可得∠FBK=30°，所以FK=12BF ，再根据“AAS ”可判断△ABK ≌△BCF ，则AK=BF ，即AF+FK=BF ，所以有BF=2AF ．【详解】ABC ∆是等边三角形，AE CD =，则有DAC EBA ∆≅∆，DAC EBA ∠=∠，60EBA BAF ∠+∠=︒。

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典型例题
例1 已知：如图，∠CAB =∠DBA，AD、BC 分别是∠CAB、∠DBA 角平分线，AD、BC 相交于点O．求证：（1）△CAB ≌△DBA；
证明：请同学们自己
C
D
写出证明过程． O
A
B
典型例题
例1 已知：如图，∠CAB =∠DBA，AD、BC 分别是∠CAB、∠DBA 角平分线，AD、BC 相交于点O．求证：（2）△OCA ≌△ODB；
任选三个作为条件，可组合出几种情况？哪些能判定两个三角形全等？两个直角三角形全等的条件是什么？
知识梳理
问题1 请同学们回答下列问题：（4）学习本章后，你对角平分线有了哪些新的认识？
对比角平分线的性质和判定，它们有何异同？（5）你能举例说明证明一个几何命题的一般过程吗？
体系建构
问题2 请同学们整理一下本章所学的主要知识，画出一个本章的知识结构图.
关系？并说明理由．
C
D
答： O 到三条直线AC、
AB、BD 的距离相等．
O
理由：略．
A
B
典型例题
例2 已知：如图，AC //BD，AC =BD，求证：AD //BC．
证明：请同学们自己
C
写出证明过程．
A
B D
典型例题
追问在例2中，AC //BD，AC =BD，在AB上取两点E、F，AE =BF．请你判断DE、CF 有何关系？并说明理由．
证明：由（1）得，
C
D
△CAB ≌△DBA ,
O
∴ ∠C =∠D，CA =DB． A
B
又 ∠COA =∠DOB，
∴ △OCA ≌△ODB．
典型例题
例1 已知：如图，∠CAB =∠DBA，AD、BC 分别
是∠CAB、∠DBA 角平分线，AD、BC 相交于点O．求
证：（3）O 到三条直线AC、AB、BD 的距离有何大小
3．如图，△ABC≌△ADE，∠EAC＝25°，则∠B2A5°D＝______．
4．如图，△ABC的高BD，CE相交于点O，请你添加一对相等的线段或一对相等的角的条件，使BD＝CE.你所添加的条件是BE__＝_C_D__或_A_B_＝__A_C_等________________________．
演讲人：XXXXXX 时间：XX年XX月XX日
＝CG
(2((12)A))求若B＋A证ABC：＝＝BA9F，F＝＋ACBCFG＝＋；7A，G－求GAC＝F的2A长F，．∴AF＝12(9＋7)＝8
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
• 学习目标：
1．复习本章的重点内容，整理本章知识，形成知识体系．
2．巩固和运用全等三角形的相关知识解决问题，进一步发展推理能力．
• 学习重点：全等三角形判定、性质及角平分线的性质和判定，运用全等三角形的知识解：（1）你能举出一些实际生活中全等形的例子吗？（2）举例说明全等三角形有什么性质？（3）从三角形的三条边对应相等、三个角对应相等中
延长线于G.
(1)求证：BF＝CG；
(2)若AB＝9，AC＝7，求AF的长．如图，在△ABC中，解D：为(1B)连C中接点BE，，DCEE.⊥先由BCS交AS∠证B△ABCD的E≌平△分CD线EA，E∴于BE＝，CE.再由角平E分F⊥线A的B性于质F得，EEFG＝⊥EGA，C从交而A由CH的L延可长证线Rt△于BGF.E≌Rt△CGE，∴BF
C
答： DE // CF 且DE =CF；
理由：
A
Ｅ
方法一可证△CBF ≌△DAE；
方法二可证△CAF ≌△DBE．
Ｆ
B
D
归纳小结
（1)全等三角形的性质和判定？（2）角平分线的性质和判定？（3）证明线段或角相等的方法？
提升：1.如图，在△ABC中，D为BC中点，DE⊥BC交 ∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的
八年级上册
第十二章全等三角形（复习）
课件说明
• 全等三角形的概念是学习本章的基础，研究全等三角形性质和判定是对对应边之间、对应角之间的相等关系方面进行的探究，是证明角平分线的性质和判定的基础．全等三角形的性质和判定又是证明线段相等和角相等的重要方法．在性质和判定的探究过程中，渗透了研究几何图形的基本思路和方法．
本章的知识结构图：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL
判定
全等形
全等三角形
角平分线的性质
性质
对应边相等，对应角相等
体系建构
问题3 结合本章知识结构图，思考以下问题：（1）通过本章的学习，说一说证明线段相等和角相等
的方法？
引导学生回忆全等三角形、角平分线的性质和判定的作用．
一：小试牛刀 1．下列说法正确的是( ) A．形状相同的两个C三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D.所有的等边三角形全等 2．如图，已知△ABE≌△ACD，下列结论中不正D确的是( ) A．AB＝AC B．∠BAE＝∠CAD C．BE＝CD D．AD＝DE