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(完整版)历年平面向量高考试题汇集

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平面向量-高考真题文科数学分项汇编(原卷版)

平面向量-高考真题文科数学分项汇编(原卷版)

专题 11平面向量1．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是A ．a+2bB ．2a+bC ．a –2bD ．2a – b2．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若 AC BC=1，则点 C 的轨迹为A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线3．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知 P 是边长为 2的正六边形 ABCDEF 内的一点，则 AP AB 的取值范围是A ．(2,6) C ．(2,4)B ．(6,2) D ．(4,6)4．【2019年高考全国 I 卷文数】已知非零向量 a ，b 满足|a | 2|b|，且(a b) b ，则 a 与 b 的夹角为πB ． πA ．C ． 6 2π 3 5πD ．365．【2019年高考全国 II 卷文数】已知向量 a=(2，3)，b=(3，2)，则|a-b|= A ． 2 B ．2 C ．5 2D ．506．【2018年高考全国 I 卷文数】在△ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB1A ． AB1 AC3 B ． AB3 AC4 3 44 1 4C ．AB 1 AC D ．AB 3 AC 4 44 47．【2018年高考全国 II 卷文数】已知向量 a ，b 满足|a | 1， a b 1，则 a (2a b)A ．4 C ．2B ．3 D ．08．【2018年高考浙江卷】已知 a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量 a 与 e 的夹角为 π3，向量 b 满足 b −4e·b+3=0，则|a −b|的最小值是2A ． 3 −1 C ．2B ． 3 +1 D ．2− 39．【 2018年高考天津卷文数】在如图的平面图形中，已知BC·OM的值为OM 1,ON 2,MON 120,BM 2MA,CN 2NA,则A ．15C ． 6B ．9D．010．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设向量a (1,1),b (m 1,2m 4)，若a b，则m11．【2020年高考天津】如图，在四边形ABCD 中， B 60, AB 3，BC 6，且.AD BC, AD AB 3，则实数的值为_________，若M,N是线段BC上的动点，且| MN2则DM DN的最小值为_________．12．【2020年高考北京】已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP 1 (AB AC)，则| PD |_________；2PB PD _________．13．【2020年高考浙江】已知平面单位向量e1，e2满足| 2e 1 e2 | 2．设a e 1 e2，b 3e 1 e2，向量a，b 的夹角为，则cos的最小值是_______．14．【2020年高考江苏】在△ABC中，AB 4，AC 3，∠BAC=90，D在边BC上，延长AD到P，使得AP 2若PA mPB (3 m)PC（m为常数），则CD的长度是▲．215．【2019年高考北京卷文数】已知向量=（–4，3），=（6，m），且a b，则m=__________．a b16．【2019年高考全国III卷文数】已知向量a (2,2),b (8,6)，则cos a,b___________.17．【2019年高考天津卷文数】在四边形ABCD中，AD∥BC, AB 2 3, AD 5, A 30，点E 在线段CB 的延长线上，且 AEBE ，则 BD AE _____________．18．【2019年高考江苏卷】如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE=2EA ，AD 与 CE 交于点O .若 AB AC6AO EC ，则ABAC 的值是_____. 19．【2019年高考浙江卷】已知正方形 ABCD 的边长为 1，当每个i(i 1,2,3,4,5,6)取遍时，|1AB 2BC 3CD 4DA 5AC 6BD|的最小值是________；最大值是_______.20．【2018年高考全国 III 卷文数】已知向量a=1,2，b=2,2，c=1,λ．若c ∥2a + b ，则________．21．【2018年高考北京卷文数】设向量 a=（1,0），b=（−1,m ）,若 a (mab)，则 m=_________.22．【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点 A 1，0、 B2，0， E 、 F 是 y 轴上的两个动点，且|EF| 2 ，则 AE BF 的最小值为___________．23．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系 xOy 中， A 为直线l : y 2x 上在第一象限内的点，B 5,0，以 AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点 D ．若 AB CD0，则点 A 的横坐标为___________．。

高考数学(理)真题专题汇编：平面向量

高考数学(理)真题专题汇编：平面向量

高考数学（理）真题专题汇编：平面向量一、选择题1.【来源】2019年高考真题——理科数学（北京卷）设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅱ） 已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A ．－3 B ．－2C ．2D ．33.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅰ） 已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π64.【来源】2018年高考真题——理科数学（天津卷）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则⋅AE BE 的最小值为(A) 2116(B) 32(C) 2516(D) 35.【来源】2018年高考真题——理科数学（全国卷II ） 已知向量a ，b 满足|a |=1，a ·b =－1，则a ·(2a －b )= A ．4B ．3C ．2D ．06.【来源】2018年高考真题——理科数学（全国卷Ⅰ） 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=A.43AB －41ACB. 41AB －43AC C. 43AB ＋41AC D. 41AB ＋43AC7.【来源】2016年高考真题——理科数学（天津卷）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（ ）（A ）85-（B ）81（C ）41（D ）8118.【来源】2017年高考真题——数学（浙江卷）如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1=OB OA ⋅，I 2=OC OB ⋅，I 3=OD OC ⋅，则A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3 ＜I 2C ．I 3＜I 1＜I 2D ． I 2＜I 1＜I 39.【来源】2017年高考真题——理科数学（全国Ⅲ卷）在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（）A ．3B ．22C 5D ．210.【来源】2017年高考真题——理科数学（全国Ⅱ卷）已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则)(PC PB PA +⋅的最小值是（ ）A.-2B.23-C. 43-D.-111.【来源】2016年高考真题——理科数学（新课标Ⅱ卷）12.【来源】2014高考真题理科数学（福建卷）在下列向量组中，可以把向量()2,3=a 表示出来的是（ ） A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e二、填空题13.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.14.【来源】2019年高考真题——理科数学（天津卷）在四边形ABCD 中，,23,5,30ADBC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅= . 15.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅲ）已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若25=-c a b ，则cos ,<>=a c ___________. 16.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅰ）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．17.【来源】2019年高考真题——数学（江苏卷）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.18.【来源】2018年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ）已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________． 19.【来源】2018年高考真题——数学（江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ▲ ． 20.【来源】2017年高考真题——数学（浙江卷）已知向量a ，b 满足|a |=1，|b |=2，则|a +b |+|a －b |的最小值是________，最大值是_______．21.【来源】2017年高考真题——数学（江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，A （－12，0），B （0，6），点P 在圆O ：x 2+y 2=50上，若20≤⋅PB PA ，则点P 的横坐标的取值范围是 .22.【来源】2017年高考真题——数学（江苏卷）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°。

专题03 平面向量(教师卷)- 十年(2015-2024)高考真题数学分项汇编(全国通用)

专题03 平面向量(教师卷)- 十年(2015-2024)高考真题数学分项汇编(全国通用)

专题03平面向量考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1平面向量平行（共线）求参数（10年4考）2024·上海卷、2021·全国乙卷、2016·全国卷、2015·全国卷1.掌握平面向量的基本概念、线性运算及坐标运算，已知平面向量的关系要会求参数2.掌握基本定理的基底表示向量、能在平面几何图形中的应用3.掌握平面向量数量积的表示和计算、会求平面几何图形中的范围及最值等问题。

考点2平面向量垂直求参数（10年4考）2024·全国甲卷、2024·全国新Ⅰ卷、2023·全国新Ⅰ卷、2021·全国甲卷、2020·全国卷考点3平面向量的基本定理及其应用（10年4考）2022·全国新Ⅰ卷、2020·山东卷、2018·全国卷、2015·北京卷考点4平面向量的模长（10年7考）2024·全国新Ⅱ卷、2023·北京卷、2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国乙卷、2021·全国甲卷、2020·全国卷、2019·全国卷、2017·全国卷、2017·浙江卷考点5求平面向量数量积（10年9考）2023·全国乙卷、2022·全国乙卷、2022·北京卷、2020·山东卷、2021·全国新Ⅰ卷、2022·全国甲卷、2021·天津卷、2021·全国新Ⅱ卷、2021·北京卷、2020·天津卷、2020·北京卷考点6求平面向量的夹角（10年6考）2023·全国甲卷、2023·全国甲卷、2022·全国新Ⅱ卷、2020·全国卷、2019·全国卷、2016·全国卷、2022·天津卷、2020·浙江卷、2019·全国卷、2019·全国卷考点01平面向量平行（共线）求参数1．（2024·上海·高考真题）已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b ，则k 的值为．【答案】15【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.【详解】//a b，256k ∴=⨯，解得15k =．故答案为：15．2．（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量()()2,5,,4a b λ== ，若//a b r r ，则λ=．【答案】85【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于λ的方程，解方程即可求得实数λ的值.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450λ⨯-⨯=，解方程可得：85λ=.故答案为：85.3．（2016·全国·高考真题）已知向量(,4),(3,2)a m b ==- ，且a b ∥，则m =___________.【答案】6-【分析】由向量平行的坐标表示得出2430m --⨯=，求解即可得出答案.【详解】因为a b∥，所以2430m --⨯=，解得6m =-.故答案为：6-【点睛】本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.4．（2015·全国·高考真题）设向量a ，b 不平行，向量a b λ+ 与2a b +平行，则实数λ=．【答案】12【详解】因为向量a b λ+ 与2a b + 平行，所以2a b k a b λ+=+ （），则{12,k k λ==，所以12λ=．考点：向量共线．考点02平面向量垂直求参数1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值.【详解】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.2．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）设向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b ”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件D ．“1x =-”是“//a b ”的充分条件【答案】C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】对A ，当a b ⊥ 时，则0a b ⋅= ，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b == ，故0a b ⋅=，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x +=，解得1x =B 错误；对D ，当1x =-时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误.故选：C.3．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知向量()()1,1,1,1a b ==-，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则（）A ．1λμ+=B ．1λμ+=-C ．1λμ=D ．1λμ=-【答案】D【分析】根据向量的坐标运算求出a b λ+ ，a b μ+，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．【详解】因为()()1,1,1,1a b ==- ，所以()1,1a b λλλ+=+- ，()1,1a b μμμ+=+-，由()()a b a b λμ+⊥+可得，()()0a b a b λμ+⋅+= ，即()()()()11110λμλμ+++--=，整理得：1λμ=-．故选：D ．4．（2021·全国甲卷·高考真题）已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+ ．若a c ⊥，则k =．【答案】103-.【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量c的坐标，利用向量的数量积为零求得k 的值【详解】()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯= ，解得103k =-,故答案为：103-.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=.5．（2020·全国·高考真题）设向量(1,1),(1,24)a b m m =-=+- ，若a b ⊥，则m =.【答案】5【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.【详解】由a b ⊥可得0a b ⋅= ，又因为(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，所以1(1)(1)(24)0a b m m ⋅=⋅++-⋅-=，即5m =，故答案为：5.【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.考点03平面向量的基本定理及其应用1．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n == ，，则CB=（）A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n+ 【答案】B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=- ，所以CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+．故选：B ．2．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形ABCD ，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点（如图所示），设AB a =，AD b =，则EF 等于（）A ．()12a b +B ．()12a b - C ．()12b a - D ．12a b+ 【答案】A【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；【详解】连结AC ，则AC 为ABC 的中位线，∴111222EF AC a b ==+ ，故选：A3．（2018·全国·高考真题）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC -B ．1344AB AC -C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC【答案】A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BD =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+ ，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC=+=+=++1113124444BA BA AC BA AC=++=+，所以3144EB AB AC =- ，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.4．（2015·北京·高考真题）在△ABC 中，点M ，N 满足2,AM MC BN NC ==，若MN x AB y AC =+ ，则x ＝，y ＝.【答案】1216-【详解】特殊化，不妨设,4,3AC AB AB AC ⊥==，利用坐标法，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，建立直角坐标系，3(0,0),(0,2),(0,3),(4,0),(2,)2A M CB N ，1(2,),(4,0),2MN AB =-=(0,3)AC =，则1(2,)(4,0)(0,3)2x y -=+，11142,3,,226x y x y ==-∴==-.考点：本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题.考点04平面向量的模长1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知向量,a b满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （）A ．12B ．2C ．2D ．1【答案】B【分析】由()2b a b -⊥ 得22b a b =⋅，结合1,22a a b =+= ，得22144164a b b b +⋅+=+= ，由此即可得解.【详解】因为()2b a b -⊥ ，所以()20b a b -⋅= ，即22b a b =⋅，又因为1,22a a b =+= ，所以22144164a b b b +⋅+=+= ，从而2=b .故选：B.2．（2023·北京·高考真题）已知向量a b，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=- ，则22||||a b -= （）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】B【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.【详解】向量,a b满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=- ，所以22||||()()2(2)311a b a b a b -=+⋅-=⨯-+⨯=-.故选：B3．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知向量a ，b满足a b - ，2a b a b +=- ，则b =．【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令c a b =-r rr ，结合数量积的运算律运算求解.【详解】法一：因为2a b a b +=- ，即()()222a ba b +=- ，则2222244a a b b a a b b +⋅+=-⋅+r r r r r r r r ，整理得220a a b -⋅= ，又因为a b -= ()23a b -= ，则22223a a b b b -⋅+==r r r r r ，所以b = .法二：设c a b =-r rr ，则2,22c a b c b a b c b =+=+-=+r r r r r r r r r ，由题意可得：()()2222c b c b +=+r r r r ，则22224444c c b b c c b b +⋅+=+⋅+r r r r r r r r ，整理得：22c b =r r ，即b c =r r4．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -r r （）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】先求得a b -，然后求得a b -r r .【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=- ，所以5-== a b .故选：D5．（2021·全国甲卷·高考真题）若向量,a b满足3,5,1a a b a b =-=⋅= ，则b =.【答案】【分析】根据题目条件，利用a b -模的平方可以得出答案【详解】∵5a b -=∴222229225a b a b a b b -=+-⋅=+-=∴b =r.故答案为：6．（2020·全国·高考真题）设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=.【分析】整理已知可得：a b += ,a b 为单位向量即可求得21a b ⋅=-，对a b -r r 变形可得：a b -=，问题得解.【详解】因为,a b为单位向量，所以1a b ==r r所以1a b +=解得：21a b ⋅=-所以a b -=【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.7．（2019·全国·高考真题）已知向量()()2332a b == ，，，，则|–|a b =A B ．2C ．D ．50【答案】A【分析】本题先计算a b -，再根据模的概念求出||a b - ．【详解】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)a b -=-=-，所以||a b -==故选A【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．8．（2017·全国·高考真题）已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a+2b |=.【答案】【详解】∵平面向量a 与b 的夹角为060，21a b == ，∴021cos601a b ⋅=⨯⨯=.∴2a b +===故答案为点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．(2)a = 常用来求向量的模．9．（2017·浙江·高考真题）已知向量,a b满足1,2a b ==r r ，则a b a b ++- 的最小值是，最大值是．【答案】4【详解】设向量,a b 的夹角为θ，由余弦定理有：a b -==a b +==a b a b ++-=，令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin4a b a ba b a b++-=++-=，即a b a b ++-的最小值是4，最大值是【名师点睛】本题通过设向量,a b的夹角为θ，结合模长公式，可得a b a b ++-= ，再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．考点05求平面向量数量积1．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（）A B ．3C ．D ．5【答案】B【分析】方法一：以{},AB AD 为基底向量表示,EC ED uu u r uu u r，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求cos DEC ∠，进而根据数量积的定义运算求解.【详解】方法一：以{},AB AD为基底向量，可知2,0AB AD AB AD ==⋅=uu u r uuu r uu u r uuu r ，则11,22EC EB BC AB AD ED EA AD AB AD =+=+=+=-+uu u r uu r uu u r uu u r uuu r uu u r uu r uuu r uu ur uuu r ，所以22111143224EC ED AB AD AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r uu ur uuu r ；方法二：如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则()()()1,0,2,2,0,2E C D ，可得()()1,2,1,2EC ED ==-uu u r uu u r，所以143EC ED ⋅=-+=uu u r uu u r；方法三：由题意可得：2ED EC CD ===，在CDE 中，由余弦定理可得2223cos25DE CE DC DEC DE CE +-∠==⋅，所以3cos 35EC ED EC ED DEC ⋅=∠==uu u r uu u r uu u r uu u r .故选：B.2．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-= ，则a b ⋅=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b ∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ，∴1a b ⋅= 故选：C.3．（2022·北京·高考真题）在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-【答案】D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，表示出PA ，PB，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动，设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，所以()3cos ,sin PA θθ=--，()cos ,4sin PB θθ=-- ，所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯-22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈-；故选：D4．（2020·山东·高考真题）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】AB的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅ 等于AB 的模与AP 在AB方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.二、多选题5．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，()1,0A ，则（）A ．12OP OP = B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅【答案】AC【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP uuur ，2AP uuu r 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=- ，所以1||1OP == ，2||1OP = ，故12||||OP OP = ，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=- ，2(cos 1,sin )APββ=--，所以1||2|sin |2AP α===== ，同理2||2|sin |2AP β= ，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+ ，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯= ，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC三、填空题6．（2022·全国甲卷·高考真题）设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a = ，3b =r ，则()2a b b +⋅= ．【答案】11【分析】设a 与b 的夹角为θ，依题意可得1cos 3θ=，再根据数量积的定义求出a b ⋅ ，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a = ，3b =r ，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯= ，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+= ．故答案为：11．7．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF +的值为；()DE DF DA +⋅的最小值为．【答案】11120【分析】设BE x =，由222(2)44BE DF BE BE DF DF +=+⋅+ 可求出；将()DE DF DA +⋅ 化为关于x 的关系式即可求出最值.【详解】设BE x =，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ABC 为边长为1的等边三角形，DE AB ⊥，30,2,,12BDE BD x DE DC x ∠∴====-，//DF AB ，DFC ∴ 为边长为12x -的等边三角形，DE DF ⊥，22222(2)4444(12)cos 0(12)1BE DF BE BE DF DF x x x x ∴+=+⋅+=+-⨯+-=，|2|1BE DF +∴=，2()()()DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA+⋅=+⋅+=+⋅ 222311)(12)(1)53151020x x x x x ⎛⎫=+-⨯-=-+=-+⎪⎝⎭，所以当310x =时，()DE DF DA +⋅ 的最小值为1120.故答案为：1；1120.8．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知向量0a b c ++= ，1a = ，2b c == ，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=．【答案】92-【分析】由已知可得()20a b c++= ，展开化简后可得结果.【详解】由已知可得()()()22222920a b ca b c a b b c c a a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=，因此，92a b b c c a ⋅+⋅+⋅=- .故答案为：92-.9．（2021·北京·高考真题）已知向量,,a b c在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅=；=a b ⋅ .【答案】03【分析】根据坐标求出a b +，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】以,a b交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：则(2,1),(2,1),(0,1)a b c ==-=，()4,0a b ∴+= ，()40010a b c +⋅=⨯+∴⨯=，()22113a b ∴⋅=⨯+⨯-=.故答案为：0；3.10．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=- ，则实数λ的值为，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN = ，则DM DN ⋅的最小值为．【答案】16132【分析】可得120BAD ∠= ，利用平面向量数量积的定义求得λ的值，然后以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设点(),0M x ，则点()1,0N x +（其中05x ≤≤），得出DM DN ⋅关于x 的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DM DN ⋅的最小值.【详解】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠= ，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴ ，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A的坐标为3,22A ⎛ ⎝⎭,∵又∵16AD BC = ,则5,22D ⎛ ⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤），5,2DM x ⎛=- ⎝⎭，3,2DN x ⎛=- ⎝⎭，()222532113422222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，当2x =时，DM DN ⋅ 取得最小值132.故答案为：16；132.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.11．（2020·北京·高考真题）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+ ，则||PD =；PB PD ⋅=．【答案】1-【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得PD 以及PB PD ⋅ 的值.【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =- ，因此，PD ==()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.1-.【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点P 的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.考点06求平面向量的夹角一、单选题1．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量()()3,1,2,2a b ==，则cos ,a b a b +-= （）A ．117B．17CD【答案】B【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得()(),,a b a b a b a b +-+⋅-，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.【详解】因为(3,1),(2,2)a b ==，所以()()5,3,1,1a b a b +=-=- ，则a b a b +==-== ()()()51312a b a b +⋅-=⨯+⨯-= ，所以()()cos ,17a b a b a b a b a b a b+⋅-+-=+-.故选：B.2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量,,a b c满足1,a b c === 0a b c ++=，则cos ,a c b c 〈--〉=（）A ．45-B ．25-C ．25D ．45【答案】D【分析】作出图形,根据几何意义求解.【详解】因为0a b c ++=,所以a b c +=-r r r ,即2222a b a b c ++⋅= ,即1122a b ++⋅=rr ,所以0a b ⋅= .如图,设,,OA a OB b OC c ===,由题知,1,OA OB OC OAB === 是等腰直角三角形,AB边上的高OD AD ==所以22CD CO OD =+=,1tan ,cos 3AD ACD ACD CD ∠==∠=,2cos ,cos cos 22cos 1a cbc ACB ACD ACD 〈--〉=∠=∠=∠-24215=⨯-=.故选:D.3．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<> a c b c ，则t =（）A ．6-B ．5-C ．5D ．6【答案】C【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：()3,4c t =+ ,cos ,cos ,a c b c = ,即931635t t c c+++= ,解得5t =,故选：C4．（2020·全国·高考真题）已知向量a ，b 满足||5a = ，||6b = ，6a b ⋅=-，则cos ,=a a b <+> （）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D【分析】计算出()a ab ⋅+ 、a b + 的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+> 的值.【详解】5a = ，6b = ，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-= .7a b +=，因此，()1919cos ,5735a a b a a b a a b⋅+<+>===⨯⋅+ .故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.5．（2019·全国·高考真题）已知非零向量a b ，满足2a b =，且b a b ⊥ （–），则a 与b的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥ 得出向量,a b的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()a b b -⊥ ，所以2()a b b a b b -⋅=⋅- =0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||122||a b b b a b ⋅==⋅ ，所以a与b 的夹角为3π，故选B ．【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．6．（2016·全国·高考真题）已知向量1(2BA =uu v,12BC =uu u v 则∠ABC =A ．30oB ．45oC ．60oD ．120o【答案】A【详解】试题分析：由题意，得112222cos 11BA BC ABC BA BC⋅∠===⨯，所以30ABC ∠=︒，故选A ．【考点】向量的夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量a 与b 的数量积为||||cos a b a b θ⋅＝，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ≤≤ ；（2）由向量的数量积的性质知|a ，·0a b a b ⇔⊥＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．二、填空题7．（2022·天津·高考真题）在ABC 中，,CA a CB b == ，D 是AC 中点，2CB BE = ，试用,a b表示DE为，若AB DE ⊥，则ACB ∠的最大值为【答案】3122b a -6π【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出DE ，以{},a b 为基底，表示出,AB DE ，由AB DE⊥可得2234b a b a +=⋅，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．法二：以点E 为原点建立平面直角坐标系，设(0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y ，由AB DE ⊥可得点A 的轨迹为以(1,0)M -为圆心，以2r =为半径的圆，方程为22(1)4x y ++=，即可根据几何性质可知，当且仅当CA 与M 相切时，C ∠最大，即求出．【详解】方法一：31=22DE CE CD b a -=- ，,(3)()0AB CB CA b a AB DE b a b a =-=-⊥⇒-⋅-=，2234b a a b +=⋅222333cos 244a b a b b a ACB a b a b a b ⋅+⇒∠==≥= ，当且仅当3a b = 时取等号，而0πACB <∠<，所以(0,]6ACB π∠∈．故答案为：3122b a - ；6π．方法二：如图所示，建立坐标系：(0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y ，3(,(1,)22x y DE AB x y +=--=--，23()(1)022x y DE AB x +⊥⇒-+= 22(1)4x y ⇒++=，所以点A 的轨迹是以(1,0)M -为圆心，以2r =为半径的圆，当且仅当CA 与M 相切时，C ∠最大，此时21sin ,426r C C CM π===∠=．故答案为：3122b a - ；6π．8．（2020·浙江·高考真题）设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤ e e 12a e e =+ ，123b e e =+ ，设a ，b的夹角为θ，则2cos θ的最小值为．【答案】2829【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得1234e e ⋅≥u r u r ，再根据向量夹角公式求2cos θ函数关系式，根据函数单调性求最值.【详解】12|2|e e -u r u r Q 124412e e ∴-⋅+≤u r u r ，1234e e ∴⋅≥u r u r ，222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a b θ+⋅+⋅⋅∴===+⋅+⋅+⋅⋅u r u r u r u r r r u r u r u r u r u r u r r r 12424228(1(133********e e =-≥-=+⋅+⨯u r u r .故答案为：2829.【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.9．（2019·全国·高考真题）已知向量(2,2),(8,6)a b ==- ，则cos ,a b =.【答案】10【分析】根据向量夹角公式可求出结果.【详解】cos ,10a b a b a b ⨯-+⨯<>==- ．【点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．10．（2019·全国·高考真题）已知,a b为单位向量，且a b ⋅ =0，若2c a =- ，则cos ,a c <>=.【答案】23.【分析】根据2||c结合向量夹角公式求出||c ，进一步求出结果.【详解】因为2c a = ，0a b ⋅= ，所以22a c a b⋅=-⋅2=，222||4||5||9c a b b =-⋅+= ，所以||3c = ，所以cos ,a c <>= 22133a c a c ⋅==⨯⋅ ．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．。

专题09 平面向量【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)

专题09 平面向量【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题09平面向量一、选择题1．(2022年全国乙卷理科·第3题)已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-=，则a b ⋅= ()A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C 解析：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ， ∴1a b ⋅= 故选：C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算 【题目来源】2022年全国乙卷理科·第3题2．(2022新高考全国II 卷·第4题)已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =( )A ．6-B ．5-C ．5D ．6【答案】C解析：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =． 故选C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2022新高考全国II 卷·第4题3．(2022新高考全国I 卷·第3题)在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =( )A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +【答案】B 解析：因点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=-，所以CB =3232CD CA n m -=-23m n =-+． 故选：B ． 【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2022新高考全国I 卷·第3题4．(2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范用是 ( )A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A解析：AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A ． 【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题5．(2020新高考II 卷(海南卷)·第3题)在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =( )A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA - D ．2CD CA +【答案】C解析：()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-= 【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算 【题目来源】2020新高考II 卷(海南卷)·第3题6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题)已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b ( )A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D 解析：5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=．()22222526367a b a ba ab b +=+=+⋅+=-⨯+=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+． 故选：D ．【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题7．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第3题)已知()2,3AB =，()3,AC t =，1BC =，则AB BC ⋅=( )【答案】C【解析】∵()2,3AB =，()3,AC t =，∴()1,3BC AC AB t =-=-,∴()22131BC t =+-=，解得3t =，即()1,0BC =，则AB BC ⋅=()()2,31,021302⋅=⨯+⨯=．【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用转化与化归思想解题．本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第3题8．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第7题)已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π【答案】B 解析：()()222,0,a b b a b b a b b a b b b-⊥∴-⋅=⋅-=∴⋅==，所以221cos ,22ba b a b a bb⋅===⋅，所以,3a b π=．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的垂直问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第7题9．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第4题)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为512510.618-≈，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美 人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金 分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是( )A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm【答案】 答案：B解析：如图，0.618,0.618,0.618c aa b c d d b==∴==，26c <，则42.070.618c d =<，68.07a c d =+<，110.150.618ab =<，所以身高178.22h a b =+<，又105b >，所以0.61864.89a b =>，身高64.89105169.89h a b =+>+=，故(169.89,178.22)h ∈，故选B ．【题目栏目】平面向量\线段的定比分点问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第4题10．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b( )A ．4B ．3C ．2D ．0【答案】B解析：2(2)2||213⋅-=-⋅=+=a a b a a b ，故选B ．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题11．(2018年高考数学课标卷Ⅲ(理)·第6题)在ABC ∆中,AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( )A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + c d ab 头顶咽喉肚脐足底【答案】A解析：在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，()11312244EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-+=-，故选A ． 【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理 【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅲ(理)·第6题12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为 ( )A ．B ．CD ．【答案】A【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图则，，，，连结，过点作于点 在中，有即所以圆的方程为 可设由可得 ABCD 1AB =2AD =P C BD AP AB AD λμ=+λμ+3252A AB x AD y ()0,0A ()1,0B ()0,2D ()1,2C BD C CE BD ⊥E Rt BDC ∆225BD AB AD =+=1122ACD S BC CD BD CE =⨯⨯=⨯⨯△1125125225CE CE ⨯⨯=⇒=C ()()224125x y -+-=25251,2P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭AP AB AD λμ=+()25251,2sin ,255θθλμ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭所以，所以 其中， 所以的最大值为，故选A ．法二：通过点作于点，由，，可求得又由，可求得由等和线定理可知，当点的切线(即)与平行时，取得最大值又点到的距离与点到直线的距离相等，均为而此时点到直线251551sin 5λθμθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩2552cos 55λμθθ+=++()2sin θϕ=++25sin ϕ=5cos ϕ=λμ+3C CE BD ⊥E 1AB =2AD =22125BD =+1122ACD S CD CB BD CE =⨯⨯=⨯⨯△55CE =P FH DB λμ+A BD C BD 55A FH 2525256522r +=+=所以，所以的最大值为，故选A ． 另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若，则有，由三角形全等可得，知，所以选A ．法三：如图，建立平面直角坐标系设，即圆的方程是，若满足即 ， ，所以，设 ，即，655325AFAB ==λμ+3P λμ+AG x AB y AD =+x y λμ+=+2AD DF FG ===3,0x y ==()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y 5()22425x y -+=()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=AP AB AD λμ=+21x y μλ=⎧⎨-=-⎩,12x y μλ==-12x y λμ+=-+12x z y =-+102x y z -+-=点在圆上，所以圆心到直线的距离， ，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故选A ． 法四：由题意，画出右图．设与切于点，连接．以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系则点坐标为．∵，．∴．切于点．∴⊥．∴是中斜边上的高． 即在上．∴点的轨迹方程为．设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：而，，． ∵ ∴，． 两式相加得：(),P x y ()22425x y -+=d r ≤21514z -≤+13z ≤≤z 3λμ+3BD C E CE A AD x AB y C (2,1)||1CD =||2BC =22125BD +=BD C E CEBDCERt BCD△BD12||||222||5||||55BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△C 255P C P 224(2)(1)5x y -+-=P 00(,)x y P 0022552155x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩00(,)AP x y =(0,1)AB =(2,0)AD =(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=0151cos 25x μθ==+02155y λθ==(其中，) 当且仅当，时，取得最大值3． 【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【点评】(1)应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理 【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题13．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生 转化与化归思想和运算求解能力 【解析】解法一：建系法连接，，，．，∴∴ ∴，∴ ∴最小值为 解法二：均值法2225151552552()())552sin()3λμθθθϕθϕ+=++=+++=++≤5sin 5ϕ=25cos 5ϕ=π2π2k θϕ=+-k ∈Z λμ+ABC ∆P ABC ()PA PB PC ⋅+2-32-43-1-OP ()0,3OA =()1,0OB =-()1,0OC =2PC PB PO +=()(),,3PO PA x y x y⋅=--⋅--222233324PO PA x y y x y ⎛⎫⋅=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭34PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-∵，∴由上图可知：；两边平方可得∵ ，∴ ∴ ，∴最小值为解法三：配凑法 ∵∴∴最小值为【知识拓展】三角形与向量结合的题属于高考经典题，一般在压轴题出现，解决此类问题的通 法就是建系法，比较直接，易想，但有时计算量偏大． 【考点】 平面向量的坐标运算，函数的最值【点评】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式我解集，方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题 14．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量13(,22BA =,31()22BC =,则ABC ∠= ( ) A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】A【解析】由题意,得133132222cos 112BA BC ABC BA BC⨯⋅∠===⨯⋅,所以30ABC ∠=︒,故选A. 【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题15．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b ⊥+，则m = ( )A ．8-B ．6-C ．6D ．82PC PB PO +=()2PA PC PB PO PA ⋅+=⋅OA PA PO =-()()2232PA PO PA PO =+-⋅()()222PA POPA PO +≥-⋅322PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-2PC PB PO +=()()()()()222232222PO PA PO PAPO PA AOPA PC PB PO PA +--+-⋅+=⋅==≥-32-【答案】D【解析】由()a b b ⊥+可得：()0a b b +=，所以20a bb，又(1,)(3,2)a m b =-，= 所以2232+(3(2))0m -+-=，所以8m ，故选D ．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题16．(2015高考数学新课标1理科·第7题)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则( )A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 【答案】A解析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A ． 考点：平面向量的线性运算【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理 【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第7题17．(2014高考数学课标2理科·第3题)设向量a,b 满足，|a -，则a b=( )A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A解析：因为222||()210,a b a b a b a b +=+=++⋅=222||()26,a b a b a b a b -=-=+-⋅= 两式相加得：228,a b +=所以1a b ⋅=，故选A ． 考点：(1)平面向量的模；(2)平面向量的数量积 难度：B备注：常考题【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2014高考数学课标2理科·第3题 二、多选题18．(2021年新高考Ⅲ卷·第10题)已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则 ( )A ．12OP OP =B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC106⋅解析:A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以221||cos sin 1OP αα=+，222||(cos )(sin )1OP ββ=+-，故12||||OP OP =，正确； B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以222221||(cos 1)sin cos 2cos 1sin 2(1cos )4sin 2|sin|22AP αααααααα=-+-++-==，同理222||(cos 1)sin 2|sin|2AP βββ=-+，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+22cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin αβαββαββαβ=--- cos cos2sin sin 2cos(2)αβαβαβ=-=+，错误；故选AC ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2021年新高考Ⅲ卷·第10题 三、填空题19．(2022年全国甲卷理科·第13题)设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a =，3b =，则()2a b b +⋅=_________． 【答案】11解析：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a =，3b =，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=． 故答案为：11．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题 【题目来源】2022年全国甲卷理科·第13题20．(2021年新高考全国Ⅲ卷·第15题)已知向量0a b c ++=，1a =，2b c ==，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．【答案】92-解析:由已知可得()()()22222920a b ca b c a b b c c a a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=，因此，92a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-．故答案为：92-．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2021年新高考全国Ⅲ卷·第15题21．(2021年高考全国乙卷理科·第14题)已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．【答案】35解析：因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==，121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第14题22．(2021年高考全国甲卷理科·第14题)已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．【答案】103-． 解析：()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯=，解得103k =-, 故答案为：103-． 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第14题23．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题)设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________．3【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b ==所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=3【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题． 【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题24．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________． 【答案】22解析：由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =． 2． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题25．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知a ，b 为单位向量，且·=0a b ，若25c a b =-，则cos ,a c 〈〉=___________．【答案】23． 【解析】因为25c a b =-，·=0a b ，所以225=2a c a a b ⋅=-⋅，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c 〈〉=22133a c a c ⋅==⨯⋅． 【点评】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题 【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题26．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题)已知向量()1,2a =，()2,2b =-，()1,c λ=，若()//2c a b +，则λ= ． 【答案】12解析：依题意可得()()()22,42,24,2a b +=+-=，又()1,c λ=，()//2c a b + 所以4210λ⨯-⨯=，解得12λ=． 【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题27．(2017年高考数学新课标Ⅲ卷理科·第13题)已知向量,的夹角为,,,则__________． 【答案】【解析】法一:所以．法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出的模长是以为边长的菱形对角线的长度,则为法三:坐标法依题意,可设,,所以 所以．【考点】平面向量的运算【点评】平面向量中涉及到有关模长的问题,用到的通法是将模长进行平方,利用向量数量积的知识进行a b 60︒2a =1b =2a b +=23222|2|||44||4421cos 60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=|2|23a b +=2a b +23()2,0a =13,22b ⎛= ⎝⎭()((22,033a b +=+=()2223323a b +=+=解答,很快就能得出答案;另外,向量是一个工具型的知识,具备代数和几何特征,在做这类问题时可以使用数形结合的思想,会加快解题速度．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的模长问题 【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅲ卷理科·第13题28．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)设向量(),1a m =，()1,2b =，且222a b a b +=+，则m = ．【答案】2m =-【解析】由已知得：()1,3a b m +=+∴()22222222213112a b a b m m +=+⇔++=+++，解得2m =-．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题29．(2015高考数学新课标2理科·第13题)设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________． 【答案】12解析：因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．考点：向量共线．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\平面向量的共线问题【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第13题30．(2014高考数学课标1理科·第15题)已知A,B,C 是圆O 上的三点,若,则与的夹角为______． 【答案】 解析:∵,∴O 为线段BC 中点,故BC 为的直径, ∴,∴与的夹角为．考点:(1)平面向量在几何中的应用(2)向量的夹角(3)化归与转化思想 难度:B备注:高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2014高考数学课标1理科·第15题31．(2013高考数学新课标2理科·第13题)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD⋅＝________．1()2AO AB AC =+AB AC 0901()2AO AB AC =+O 090BAC ∠=AB AC 090【答案】2解析：由题意知：2211402222AE BD AD AD AB AB ⋅=-⋅-=--= 考点：(1)5．1．2向量的线性运算；(2)5．3．1平面向量的数量积运算 难度： A备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2013高考数学新课标2理科·第13题32．(2013高考数学新课标1理科·第13题)已知两个单位向量,a b 的夹角为60°，(1)c ta t b =+-，若0b c •=，则t =_____． 【答案】 2解析：•b c =[(1)]t t •+-b a b =2(1)t t •+-a b b =112t t +-=112t -=0，解得t =2． 考点: (1)5．3．1平面向量的数量积运算．难度：Ａ备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2013高考数学新课标1理科·第13题。

专题09 平面向量(解析版)-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(全国通用)

专题09 平面向量(解析版)-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(全国通用)

专题09平面向量考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：平面向量线性运算2022年新高考全国I 卷数学真题平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视．预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点．考点2：数量积运算2022年高考全国甲卷数学（理）真题2023年高考全国乙卷数学（文）真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题2024年北京高考数学真题考点3：求模问题2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题2023年北京高考数学真题2022年高考全国乙卷数学（文）真题考点4：求夹角问题2023年高考全国甲卷数学（文）真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考全国II 卷数学真题考点5：平行垂直问题2024年上海夏季高考数学真题2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题2022年高考全国甲卷数学（文）真题2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题2024年高考全国甲卷数学（理）真题考点6：平面向量取值与范围问题2024年天津高考数学真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2022年新高考北京数学高考真题2022年新高考天津数学高考真题2022年新高考浙江数学高考真题2023年天津高考数学真题考点1：平面向量线性运算1．（2022年新高考全国I 卷数学真题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n == ，，则CB=（）A ．32m n- B ．23m n-+C ．32m n+ D ．23m n+ 【答案】B【解析】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=- ，所以CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+ ．故选：B ．考点2：数量积运算2．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a = ，3b =r ，则()2a b b +⋅= ．【答案】11【解析】设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a = ，3b =r ，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯= ，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+= ．故答案为：11．3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（）A 5B ．3C ．25D ．5【答案】B【解析】方法一：以{},AB AD为基底向量，可知2,0AB AD AB AD ==⋅=uu u r uuu r uu u r uuu r ，则11,22EC EB BC AB AD ED EA AD AB AD =+=+=+=-+uu u r uu r uu u r uu u r uuu r uu u r uu r uuu r uuu r uuu r ，所以22111143224EC ED AB AD AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r uu ur uuu r ；方法二：如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则()()()1,0,2,2,0,2E C D ，可得()()1,2,1,2EC ED ==-uu u r uu u r，所以143EC ED ⋅=-+=uu u r uu u r；方法三：由题意可得：5,2ED EC CD ===，在CDE 中，由余弦定理可得2223cos 25255DE CE DC DEC DE CE +-∠==⋅⨯⨯，所以3cos 5535EC ED EC ED DEC ⋅=∠==uu u r uu u r uu u r uu u r .故选：B.4．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-= ，则a b ⋅=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b ∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ，∴1a b ⋅= 故选：C.5．（2024年北京高考数学真题）设a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +-=”是“a b =- 或a b = ”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为()()220a b a b a b +⋅-=-= ，可得22a b = ，即a b = ，可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b = ，若a b = 或a b =- ，可得a b = ，即()()0a b a b +⋅-=，可知必要性成立；若()()0a b a b +⋅-= ，即a b =，无法得出a b = 或a b =- ，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b = ，但a b ≠ 且a b ≠- ，可知充分性不成立；综上所述，“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠ 且a b ≠- ”的必要不充分条件.故选：B.考点3：求模问题6．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量a ，b满足3a b -= ，2a b a b +=- ，则b = ．3【解析】法一：因为2a b a b +=- ，即()()222a ba b +=-，则2222244a a b b a a b b +⋅+=-⋅+r r r r r r r r ，整理得220a a b -⋅= ，又因为3a b -= ()23a b -= ，则22223a a b b b -⋅+==r r r r r ，所以3b = 法二：设c a b =-r rr ，则3,2,22c a b c b a b c b =+=+-=+r r r r r r r r r ，由题意可得：()()2222c b c b +=+r r r r ，则22224444c c b b c c b b +⋅+=+⋅+r r r r r r r r ，整理得：22c b =r r ，即3b c ==r r 37．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量,a b满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （）A ．12B ．22C ．32D ．1【答案】B【解析】因为()2b a b -⊥ ，所以()20b a b -⋅= ，即22b a b =⋅，又因为1,22a a b =+=，所以22144164a b b b +⋅+=+= ，从而22=b .故选：B.8．（2023年北京高考数学真题）已知向量a b，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=- ，则22||||a b -= （）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】B【解析】向量,a b 满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-，所以22||||()()2(2)311a b a b a b -=+⋅-=⨯-+⨯=-.故选：B9．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -r r （）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】因为()()()2,12,44,3a b -=--=- ，所以()22435-=+-a b .故选：D考点4：求夹角问题10．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量()()3,1,2,2a b ==，则cos ,a b a b +-= （）A ．117B ．1717C 55D 255【答案】B【解析】因为(3,1),(2,2)a b ==，所以()()5,3,1,1a b a b +=-=- ，则225334,112a b a b +=+-=+= ()()()51312a b a b +⋅-=⨯+⨯-= ，所以()()17cos ,342a b a b a b a b a b a b+⋅-+-==⨯+-.故选：B.11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量,,a b c 满足1,2a b c === 0a b c ++=，则cos ,a c b c 〈--〉=（）A ．45-B ．25-C ．25D ．45【答案】D【解析】因为0a b c ++=,所以a b c +=-r r r ,即2222a b a b c ++⋅= ,即1122a b ++⋅=r r ,所以0a b ⋅= .如图,设,,OA a OB b OC c ===,由题知,1,2,OA OB OC OAB === 是等腰直角三角形,AB 边上的高2222OD AD =所以22222CD CO OD =+=,1tan ,cos 310AD ACD ACD CD ∠==∠=,2cos ,cos cos 22cos 1a c b c ACB ACD ACD 〈--〉=∠=∠=∠-2421510=⨯-=.故选:D.12．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知向量(3,4),(1,0),t ===+ a b c a b ，若,,<>=<>a cbc ，则t =（）A ．6-B ．5-C ．5D ．6【答案】C【解析】()3,4c t =+ ,cos ,cos ,a c b c =,即931635t t c c+++= ,解得5t =,故选：C考点5：平行垂直问题13．（2024年上海夏季高考数学真题））已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b ，则k 的值为．【答案】15【解析】//a b，256k ∴=⨯，解得15k =．故答案为：15．14．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.15．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥ ，则m =．【答案】34-/0.75-【解析】由题意知：3(1)0a b m m ⋅=++=，解得34m =-.故答案为：34-.16．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量()()1,1,1,1a b ==-，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则（）A ．1λμ+=B ．1λμ+=-C ．1λμ=D ．1λμ=-【答案】D【解析】因为()()1,1,1,1a b ==- ，所以()1,1a b λλλ+=+- ，()1,1a b μμμ+=+-，由()()a b a b λμ+⊥+可得，()()0a b a b λμ+⋅+= ，即()()()()11110λμλμ+++--=，整理得：1λμ=-．故选：D ．17．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b ”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件D ．“13x =-”是“//a b ”的充分条件【答案】C【解析】对A ，当a b ⊥时，则0a b ⋅= ，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b == ，故0a b ⋅= ，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x +=，解得13x =，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当13x =-时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误.故选：C.考点6：平面向量取值与范围问题18．（2024年天津高考数学真题）在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC ==+uur uu r uu u r λμ，则λμ+=；F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为．【答案】43518-【解析】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =uur uu r ，则13BE BC CE BA BC =+=+uu u r uur u uu ur r uu u r ，可得1,13λμ==，所以43λμ+=；由题意可知：1,0BC BA BA BC ==⋅=，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为[]0,1k ∈，可知：当1k =时，AF DG ⋅ 取到最小值518-；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，因为(),BE BA BC λμλμ=+=- ，则131λμ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，所以43λμ+=；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦上，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，且G 为AF 中点，则13,22a G a -⎛⎫-⎪⎝⎭，可得()131,3,,122a AF a a DG a +⎛⎫=+-=--⎪⎝⎭，则()()22132331522510a AF DG a a a +⎛⎫⎛⎫⋅=+---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且1,03a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当13a =-时，AF DG ⋅ 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.19．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知O 的半径为1，直线PA 与O 相切于点A ，直线PB 与O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若2PO =，则PA PD ⋅的最大值为（）A ．122+B ．1222+C ．12+D ．22+【答案】A【解析】如图所示，1,2OA OP ==，则由题意可知:π4APO ∠=，由勾股定理可得221PA OP OA =-=当点,A D 位于直线PO 异侧时或PB 为直径时，设=,04OPC παα∠≤<，则：PA PD⋅ =||||cos 4PA PD πα⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭ 12cos 4παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭222sin 22ααα⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin cos ααα=-1cos 21sin 222αα+=-122224πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭04πα≤<，则2444πππα-≤-<∴当ππ244α-=-时，PA PD ⋅ 有最大值1.当点,A D 位于直线PO 同侧时，设,04OPC παα∠<<，则：PA PD ⋅ =||||cos 4PA PD πα⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭ 12cos 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭22222ααα⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin cos ααα=+1cos 21sin 222αα+=+122224πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，04πα≤<，则32444πππα≤+<∴当242ππα+=时，PA PD ⋅有最大值122.综上可得，PA PD ⋅的最大值为122.故选：A.20．（2022年新高考北京数学高考真题）在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-【答案】D【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动，设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，所以()3cos ,sin PA θθ=-- ，()cos ,4sin PB θθ=-- ，所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯- 22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈- ；故选：D21．（2022年新高考天津数学高考真题）在ABC 中，,CA a CB b == ，D 是AC 中点，2CB BE = ，试用,a b表示DE 为，若AB DE ⊥ ，则ACB ∠的最大值为【答案】3122b a - 6π【解析】方法一：31=22DE CE CD b a -=- ，,(3)()0AB CB CA b a AB DE b a b a =-=-⊥⇒-⋅-= ，2234b a a b +=⋅ 222333cos 244a b a b b a ACB a b a b a b⋅+⇒∠==≥= 3a b = 时取等号，而0πACB <∠<，所以(0,]6ACB π∠∈．故答案为：3122b a - ；6π．方法二：如图所示，建立坐标系：(0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y ，3(,),(1,)22x y DE AB x y +=--=-- ，23()(1)022x y DE AB x +⊥⇒-+ 22(1)4x y ⇒++=，所以点A 的轨迹是以(1,0)M -为圆心，以2r =为半径的圆，当且仅当CA 与M 相切时，C ∠最大，此时21sin ,426r C C CM π===∠=．故答案为：3122b a - ；6π．22．（2022年新高考浙江数学高考真题）设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++ 的取值范围是．【答案】[122,16]+【解析】以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：则1345726222222(0,1),,,(1,0),,,(0,1),,,(1,0)222222A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,82222A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(,)P x y ,于是()2222212888PA PA PA x y +++=++ ，因为cos 22.5||1OP ≤≤ ，所以221cos 4512x y +≤+≤ ，故222128PA PA PA +++ 的取值范围是[1222,16]+.故答案为：[1222,16]+．23．（2023年天津高考数学真题）在ABC 中，160BC A =∠= ，，11,22AD AB CE CD == ，记,AB a AC b == ，用,a b 表示AE = ；若13BF BC = ，则AE AF ⋅ 的最大值为．【答案】1142a b + 1324【解析】空1：因为E 为CD 的中点，则0ED EC += ，可得AE ED AD AE EC AC⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ，两式相加，可得到2AE AD AC =+ ，即122AE a b =+ ，则1142AE a b =+ ；空2：因为13BF BC = ，则20FB FC += ，可得AF FC AC AF FB AB ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，得到()22AF FC AF FB AC AB +++=+ ，即32AF a b =+ ，即2133AF a b =+ .于是()2211211252423312a b a F b a AE A a b b ⎛⎫⎛⎫+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⋅=⎭⎝⎭ .记,AB x AC y ==，则()()222222111525225cos 602221212122A x xy a a b b xy y x y E AF ⎛⎫+⋅+=++=++ ⎪⋅⎝⎭= ，在ABC 中，根据余弦定理：222222cos601BC x y xy x y xy =+-=+-= ，于是1519222122122AE xy x xy AF y ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭=⎝⎭⋅ ，由221+-=x y xy 和基本不等式，2212x y xy xy xy xy +-=≥-=，故1xy ≤，当且仅当1x y ==取得等号，则1x y ==时，AE AF ⋅ 有最大值1324.故答案为：1142a b + ；1324.。

平面向量测试题-高考经典试题-附详细答案

平面向量测试题-高考经典试题-附详细答案

平面向量高考经典试题一、选择题1．（全国1文理）已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与bA ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向 解．已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，30300a b ⋅=-+=，则a 与b 垂直，选A 。

2、（山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ）A ．1BC ．2D ．4【答案】:C 【分析】：2(3,)n -a b =，由2-a b 与b 垂直可得：2(3,)(1,)30n n n n ⋅-=-+=⇒= 2=a 。

3、（广东文4理10）若向量,a b 满足||||1a b ==，,a b 的夹角为60°，则a a a b ⋅+⋅=______； 答案：32；解析：1311122a a ab ⋅+⋅=+⨯⨯=， 4、（天津理10） 设两个向量22(2,cos )a λλα=+-和(,sin ),2m b m α=+其中,,m λα2,a b =则mλ的取值范围是( )A.[6,1]-B.[4,8]C.(,1]-∞D.[1,6]-【答案】A【分析】由22(2,cos )a λλα=+-,(,sin ),2mb m α=+2,a b =可得2222cos 2sin m m λλαα+=⎧⎨-=+⎩，设k m λ=代入方程组可得22222cos 2sin km mk m m αα+=⎧⎨-=+⎩消去m 化简得2222cos 2sin 22k k k αα⎛⎫-=+ ⎪--⎝⎭，再化简得22422cos 2sin 022k k αα⎛⎫+-+-= ⎪--⎝⎭再令12t k =-代入上式得222(sin 1)(16182)0t t α-+++=可得2(16182)[0,4]t t -++∈解不等式得1[1,]8t ∈--因而11128k -≤≤--解得61k -≤≤.故选A5、（山东理11）在直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是 （A ）2AC AC AB =⋅ （B ） 2BC BA BC =⋅（C ）2AB AC CD =⋅ （D ） 22()()AC AB BA BC CD AB⋅⨯⋅=【答案】:C.【分析】： 2()00AC AC AB AC AC AB AC BC =⋅⇔⋅-=⇔⋅=，A 是正确的，同理B 也正确，对于D 答案可变形为2222CD AB AC BC ⋅=⋅，通过等积变换判断为正确. 6、（全国2 理5）在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+31,则λ=(A)32(B)31(C) -31(D) -32 解．在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+31，则22()33CD CA AD CA AB CA CB CA =+=+=+-=1233CA CB +，4 λ=32，选A 。

(完整版)全国卷高考题汇编—平面向量

(完整版)全国卷高考题汇编—平面向量

2011年——2016年高考题专题汇编专题3 平面向量1、（16年全国1 文）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x = .2、（16年全国1 理）设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m = .3、（16年全国2 文）已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________.4、（16年全国2 理）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m =（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）85、（16年全国3 文）已知向量BA →=（12，2），BC →=（2，12），则∠ABC = （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）120°6、（16年全国3 理）已知向量1(,)22BA = ,31(),22BC = 则∠ABC= (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)12007、（15年新课标2 文）向量(1,1)=-a ，(1,2)=-b ，则(2)+⋅=a b aA ．-1B ．0C ．1D ．38、（15年新课标2理）设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．9、（15年新课标1文）已知点A （0,1），B （3,2），向量AC =（-4，-3），则向量BC =（A ）（-7，-4） （B ）（7,4） （C ）（-1,4） （D ）（1，4） 10、（15年新课标1理）设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则（A ）1433AD AB AC =-+ (B) 1433AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ (D) 4133AD AB AC =-11、（14年新课标3 文）已知a b 、为单位向量，其夹角为060，则(2)a b b -•=（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．212、（14年新课标3 理）若向量,a b 满足：||1a =，()a b a +⊥，(2)a b b +⊥，则||b =（ ）A ．2BC ．1 D13、（14年新课标2 文）设向量a ,b 满足a ·b=（A ）1 （B ） 2 （C ）3 (D) 514、（14年新课标2 理）设向量a,b 满足|a+b |=|a -b ，则a ⋅b = ( )A. 1B. 2C. 3D. 515、（14年新课标1文）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EBA. ADB.AD 21 C. BC 21 D. BC16、（14年新课标1理）已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 .17、（13全国2 文 理）已知正方形ABCD 的边长为2, E 为CD 的中点,，则 =_______.18、（12全国2 文）已知向量a ,b 夹角为45° ，且|a |=1，|2a －b |=10，则|b |=19、（11全国2 文）若向量a,b 满足1||||1,2a b a b ==⋅=-,则2a b +=A B CD 20、（11全国2 理）设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b =12-，,a c b c --=060，则c 的最大值等于A ．2BCD ．1。

2024全国高考真题数学汇编：平面向量及其应用章节综合

2024全国高考真题数学汇编：平面向量及其应用章节综合

2024全国高考真题数学汇编平面向量及其应用章节综合一、单选题1．（2024全国高考真题）已知向量,a b满足1,22a a b ，且2b a b ，则b （）A ．12B C ．2D ．12．（2024全国高考真题）已知向量(0,1),(2,)a b x ，若(4)b b a，则x （）A ．2B ．1C ．1D ．23．（2024全国高考真题）设向量 1,,,2a x x b x，则（）A ．“3x ”是“a b”的必要条件B ．“3x ”是“//a b”的必要条件C ．“0x ”是“a b”的充分条件D ．“1x ”是“//a b”的充分条件4．（2024全国高考真题）在ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若π3B ，294b ac ，则sin sin A C （）A ．13B ．13C ．2D ．135．（2024北京高考真题）设a ，b 是向量，则“·0a b a b”是“a b 或a b ”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题6．（2024上海高考真题）已知 ,2,5,6,k a b k R ，且//a b ，则k 的值为．7．（2024天津高考真题）在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC u u r u u r u u u r ，则；F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG的最小值为．三、解答题8．（2024天津高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ，．(1)求a ；(2)求sin A ；(3)求 cos 2B A 的值．9．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A ．(1)求A ．(2)若2asin sin 2C c B ，求ABC 的周长．10．（2024北京高考真题）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A 为钝角，7a ，sin 2cos B B ．(1)求A ；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b ；条件②：13cos 14B；条件③：sin c A 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．11．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B ，222a b c (1)求B ；(2)若ABC 的面积为3c ．参考答案1．B【分析】由2b a b 得22b a b，结合1,22a a b ，得22144164a b b b ，由此即可得解.【详解】因为 2b a b ，所以20b a b ，即22b a b，又因为1,22a a b ，所以22144164a b b b ，从而2b .故选：B.2．D【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值.【详解】因为 4b b a ，所以40b b a，所以240b a b即2440x x ，故2x ，故选：D.3．C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】对A ，当a b 时，则0a b，所以(1)20x x x ，解得0x 或3，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x 时， 1,0,0,2a b ，故0a b，所以a b，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x ，解得1x ，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当1x 时，不满足22(1)x x ，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误.故选：C.4．C【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C ，再利用余弦定理有22134a c ac ，由正弦定理得到22sin sin A C 的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac，则由正弦定理得241sin sin sin 93A C B .由余弦定理可得:22294b ac ac ac ，即:22134a c ac，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C ，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C ，则sin sin A C .故选：C.5．B【分析】根据向量数量积分析可知0a b a b 等价于a b，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为220a b a b a b ，可得22a b ，即a b ，可知0a b a b 等价于a b ，若a b 或a b ，可得a b ，即0a b a b，可知必要性成立；若0a b a b ，即a b，无法得出a b 或a b ，例如 1,0,0,1a b，满足a b ，但a b 且a b ，可知充分性不成立；综上所述，“0a b a b”是“a b 且a b ”的必要不充分条件.故选：B.6．15【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.【详解】//a b ，256k ，解得15k ．故答案为：15．7．43518【分析】解法一：以,BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE，即可得 ，设BF BE k u u u r u u r ，求,AF DG u u u r u u u r ，结合数量积的运算律求AF DG 的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE，即可得 ，设 1,3,,03F a a a，求,AF DG u u u r u u u r ，结合数量积的坐标运算求AF DG 的最小值.【详解】解法一：因为12CE DE ，即13CE BA ，则13BE BC CE BA BC u u u r u u r u u u u r r u u u r ，可得1,13，所以43；由题意可知：1,0BC BA BA BC，因为F 为线段BE 上的动点，设 1,0,13BF k BE k BA k BC k，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC22111563112329510k k k k，又因为 0,1k ，可知：当1k 时，AF DG 取到最小值518；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则 11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E，可得 11,0,0,1,,13BA BC BE，因为 ,BE BA BC 131，所以43 ；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x 上，设 1,3,,03F a a a，且G 为AF 中点，则13,22a G a ，可得 131,3,,122a AF a a DG a，则 22132331522510a AF DG a a a，且1,03a，所以当13a 时，AF DG 取到最小值为518 ；故答案为：43；518 .8．(1)4(3)5764【分析】（1）2,3a t c t ，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【详解】（1）设2,3a t c t ，0t ，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B ，即229254922316t t t t ，解得2t （负舍）；则4,6a c .（2）法一：因为B 为三角形内角，所以sin 16B ，再根据正弦定理得sin sin a b A B ，即4sin A sin 4A ，法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc ，因为 0,πA ，则sin 4A（3）法一：因为9cos 016B ，且 0,πB ，所以π0,2B，由（2）法一知sin 16B，因为a b ，则A B ，所以3cos 4A ，则3sin 22sin cos 24A A A2231cos 22cos 12148A A9157cos 2cos cos 2sin sin 216816864B A B A B A.法二：3sin 22sin cos 24A A A，则2231cos 22cos 12148A A，因为B 为三角形内角，所以sin 16B，所以 9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A9．(1)π6A(2)2【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A 进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长.【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A 可得1sin 122A A ，即sin()1π3A ，由于ππ4π(0,π)(,)333A A ，故ππ32A ，解得π6A方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A ，又22sin cos 1A A ，消去sin A 得到：224cos 30(2cos 0A A A ，解得cos 2A，又(0,π)A ，故π6A方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x ，则π()2sin (0π)3f x x x，显然π6x时，max ()2f x ，注意到π()sin 22sin(3f A A A A ，max ()()f x f A ，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A 必定是极值点，即()0cos sin f A A A ，即tan 3A ，又(0,π)A ，故π6A方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A ，由题意，sin 2a b A A，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b，则2cos ,2cos ,1a b a b ，此时,0a b，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan A A A 又(0,π)A ，故π6A方法五：利用万能公式求解设tan 2A t，根据万能公式，22sin 21t A A t整理可得，2222(2(20((2t t t ，解得tan22A t 223tan 13t A t ，又(0,π)A ，故π6A（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B ，又,(0,π)B C ，则sin sin 0B C，进而cos 2B ，得到π4B ，于是7ππ12C A B，26sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A，由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C ，即2ππ7πsin sin sin6412bc，解得b c 故ABC的周长为2 10．(1)2π3A；(2)选择①无解；选择②和③△ABC【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利用正弦定理得3B，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出sin B 式子得3b ，再利用两角和的正弦公式即可求出sin C ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c，再利用正弦定理得到sin Csin B ，最后利用三角形面积公式即可；【详解】（1）由题意得2sin cos cos B B B，因为A 为钝角，则cos 0B，则2sin B，则7sin sin sin b a BA A，解得sin A ，因为A 为钝角，则2π3A.（2）选择①7b ，则333sin 714142B，因为2π3A ，则B 为锐角，则3B ，此时πA B ，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B ，因为B 为三角形内角，则sin B ，则代入2sin 7B得2147，解得3b ， 2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B3131335321421414,则1153153sin 7322144ABC S ab C.选择③sin c Ac 5c ，则由正弦定理得sin sin a c A C 5sin C ，解得sin C ，因为C 为三角形内角，则11cos 14C ，则 2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C3111533321421414，则11sin 7522144ABC S ac B △11．(1)π3B (2)【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B 得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【详解】（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C ，对比已知222a b c ，可得222cos 222a b c C ab ab，因为 0,πC ，所以sin 0C ，从而sin2C ，又因为sin C B，即1cos2B ，注意到0,πB ，所以π3B .（2）由（1）可得π3B，cos2C ，0,πC ，从而π4C ，ππ5ππ3412A ，而5πππ1sin sin sin12462A，由正弦定理有5πππsin sin sin1234a b c，从而,a b，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为21113sin222228ABCS ab C c c，由已知ABC的面积为323338c所以c。

2022届全国高考数学真题分类(平面向量)汇编(附答案)

2022届全国高考数学真题分类(平面向量)汇编(附答案)

2022届全国高考数学真题分类（平面向量）汇编一、选择题 1.（2022∙全国乙（文）T3） 已知向量(2,1)(2,4)a b ==- ，，则a b -r r （ ）A. 2B. 3C. 4D. 52.（2022∙全国乙（理）T3） 已知向量,a b 满足||1,||2|3a b a b ==-= ，则a b ⋅= （ ） A. 2- B. 1- C. 1 D. 2 3.（2022∙新高考Ⅰ卷T3） 在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n == ，，则CB =（ ）A. 32m n -B. 23m n -+C. 32m n +D. 23m n +4.（2022∙新高考Ⅱ卷T4） 已知(3,4),(1,0),t ===+ a b c a b ，若,,<>=<> a c b c ，则t =（ ）A. 6-B. 5-C. 5D. 6二、填空题 1.（2022∙全国甲（文）T13） 已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+ ．若a b ⊥ ，则m =______________．2.（2022∙全国甲（理）T13） 设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a = ，3b =r ，则()2a b b +⋅= _________．参考答案一、选择题1.【答案】D【答案解析】【名师分析】先求得a b - ，然后求得a b -r r .【答案详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=- ，所以5-== a b .故选：D2.【答案】C【答案解析】【名师分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【答案详解】解：∵222|2|||44-=-⋅+ a b a a b b ，又∵||1,||2|3,==-= a b a b ∴91443134=-⋅+⨯=-⋅ a b a b ， ∴1a b ⋅= 故选：C.3. 【答案】B【答案解析】【名师分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【答案详解】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA = ，即()2CD CB CA CD -=- ， 所以CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+．故选：B ．4.【答案】C【答案解析】【名师分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【答案详解】解：()3,4c t =+ ,cos ,cos ,a c b c = ,即931635t t c c+++= ,解得5t =, 故选：C二、填空题1. 【答案】34-或0.75- 【答案解析】 【名师分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【答案详解】由题意知：3(1)0a b m m ⋅=++= ，解得34m =-. 故答案为：34-. 2. 【答案】11【答案解析】【名师分析】设a 与b 的夹角为θ，依题意可得1cos 3θ=，再根据数量积的定义求出a b ⋅ ，最后根据数量积的运算律计算可得．【答案详解】解：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=， 又1a = ，3b =r ，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯= ， 所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+= ． 故答案为：11．。

(7)历届高考中的“平面向量”试题精选(自我测试)

(7)历届高考中的“平面向量”试题精选(自我测试)

17.解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a· (b+c)=(sinx,－cosx)· (sinx－cosx,sinx－3cosx)
＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+ 2 sin(2x+
2 ＝ . 2 3 k 3 3 （Ⅱ）由 sin(2x+ )＝0 得 2x+ ＝k. ，即 x＝ ,k∈Z， 4 2 8 4 k 3 k 3 2 于是 d＝（ ，－2） ，d ( ) 4 , k∈Z. 2 8 2 8
8． （2005 北京理、文）若 | a | 1,| b | 2, c a b ，且 c a ，则向量 a 与 b 的夹角为( （A）30° （B）60° （C）120° （D）150° 9.（2007全国Ⅱ文、理）在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若 AD =2 DB ， CD = 则=（ (A) ） (B)
sin 2 2sin 1 cos 2 2 cos 1 2(sin cos ) 3 2 2 sin( ) 3 4
当 sin(


) =1 时 a b 有最大值,此时 4 4
2 1
最大值为 2 2 3
cos PQ BC | PQ | | BC | cx by . a2
cx by a 2 cos . BP CQ a 2 a 2 cos . 故当cos 1, 即 0( PQ与BC方向相同)时, BC CQ最大, 其最大值为 0.
2． （2001 江西、山西、天津理）若向量 a=（1，1） ，b=（1，－1） ，c=（－1，2） ，则 c= ( 1 1 3 3 3 1 3 1 （A） a+ b （B） a－ b （C） a b （D）－ a b 2 2 2 2 2 2 2 2

平面向量高考经典试题_附详细答案

平面向量高考经典试题_附详细答案

平面向量高考经典试题一、选择题1．（全国1文理）已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与b （ ）A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向2、（山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ）A ．1B ．2C ．2D ．43、（广东文4理10）若向量,a b 满足||||1a b ==，,a b 的夹角为60°，则a aab ⋅+⋅=______；4、（天津理10） 设两个向量22(2,cos )a λλα=+-和(,sin ),2mb m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则mλ的取值范围是A.[6,1]-B.[4,8]C.(,1]-∞D.[1,6]-5、（山东理11）在直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是 （A ）2AC AC AB =⋅ （B ） 2BC BA BC =⋅ （C ）2AB AC CD =⋅ （D ） 22()()AC AB BA BC CD AB⋅⨯⋅=6、（全国2 理5）在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+31,则λ= (A)32 (B)31 (C) -31 (D) -328、（全国2文6）在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ）A ．23B ．13C ．13-D ．23-9（全国2文9）把函数e xy =的图像按向量(2)=，0a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ ） A ．e 2x+B ．e 2x-C ．2ex -D ．2ex +10、（北京理4）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ）Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =13、（湖南理4）设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条直线，则必有（ ） A ．⊥a bB ．∥a bC ．||||=a bD ．||||≠a b14、（湖南文2）若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 A ．EF OF OE =+ B . EF OF OE =- C. EF OF OE =-+ D . EF OF OE =--15、（湖北理2）将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）Ａ．π2cos 234x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭16、（湖北文9）设a =(4,3),a 在b 上的投影为225,b 在x 轴上的投影为2,且|b|＜1,则b 为 A.(2,14)B.(2,-72) C.(-2, 72) D.(2,8)19、（海、宁理2文4）已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)-，DCBA 20、（重庆理10）如图，在四边形ABCD 中，||||||4,A B B D D C A B B DB D D C→→→→→→→++=⋅=⋅= →→→→=⋅+⋅4||||||||DC BD BD AB ，则→→→⋅+AC DC AB )(的值为（ ）A.2B. 22C.4D.2421、（重庆文9）已知向量(4,6),(3,5),OA OB ==且,//,OC OA AC OB ⊥则向量OC 等于（A ）⎪⎭⎫⎝⎛-72,73（B ）⎪⎭⎫⎝⎛-214,72（C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-72,73（D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-214,7222、（辽宁理3文4）若向量a 与b 不共线，0≠a b ，且⎛⎫⎪⎝⎭a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ ）A ．0B ．π6C ．π3D ．π223、（辽宁理6）若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ ）A ．(12)--，B ．(12)-，C ．(12)-，D ．(12)， 24、（辽宁文7）若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =--的图象，则向量a =（ ）A ．(12)-， B ．(12)，C ．(12)-， D ．(12)-， 26、（全国2理9）把函数y =e x 的图象按向量a =(2,3)平移，得到y =f (x )的图象，则f (x )=(A) e x -3+2(B) e x +3－2(C) e x -2+3(D) e x +2－3解．把函数y =e x 的图象按向量a =(2,3)平移，即向右平移2个单位，向上平移3个单位，平移后得到y =f (x )的图象，f (x )= 23x e-+，选C 。

历年高考试题汇编向量(2003-2013)

历年高考试题汇编向量(2003-2013)

】
【15】 （2012·广东文，3）若向量 AB (1, 2) , BC (3, 4) ，则 AC 【 A. (4, 6) B. (4, 6) C. (, )
】
D. (, )
AB AD AO ， 【16】 (2013· 四川文理， 12)在平行四边形 ABCD 中， 对角线 AC 与 BD 交于点 O ，
】
1 A. 1，
1，－ 1 B. －
7 C. 3，
D. 3, 7
【6】 （2008·四川文，3）设平面向量 a (3,5) ， b (2,1) ，则 a 2b 【 A. (7,3) B. (7, 7) C. (1, 7) D. (1,3)
】
【7】 （2009·广东文，3）已知平面向量 a = ( x,1) ， b = ( x, x 2 ) ，则向量 a b 【 A.平行于 x 轴 C.平行于 y 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 D.平行于第二、四象限的角平分线
】
【8】 （2009·湖南文，4）如图 D ， E ， F 分别是 ABC 的边 AB ， BC ， CA 的中点，则【 A. AD BE CF 0 C. AD CE CF 0 B. BD CF DF 0 D. BD BE FC 0
】
A D B F C
平面向量
一、向量的基本概念（概念、表示、相等、共线）
批注 [A1]:
二、向量的线性运算（加法、减法、数乘）
【1】 （2007·海南宁夏理 2，文 4）已知平面向量 a A. (2, 1) B. (2,1)
(1,1) ， b (1,1) ，则向量 a b 【】
D. (1, 2)
】

历届高考中的向量试题汇编大全

历届高考中的向量试题汇编大全

A
D
B
图1
C
5、 （2006 湖北文）已知非零向量 a、b，若 a＋2b 与 a－2b 互相垂直，则
a b
（ ）
A.
1 4
B. 4
C.
1 2
D. 2
6． （2006 湖北理）已知向量 a ( 3,1) ，b 是不平行于 x 轴的单位向量，且 a b



3 ，则 b
1 3 133 , 1 ） , ） C． （ , ） D． （0 2 2 4 4 7． （2006 湖南文）已知向量 a (2, t ),b (1,2), 若 t t1 时， a ∥ b ； t t 2 时， a b ，则 A． t1 4,t 2 1 B. t1 4,t 2 1 C. t1 4,t 2 1 D. t1 4,t 2 1
o
）
A． b1 b2 b3 0 C． b1 b2 b3 0
B． b1 b2 b3 0 D． b1 b2 b3 0
Hale Waihona Puke 14． （2006全国Ⅱ卷文）已知向量 a ＝（4，2） ，向量 b ＝（ x ，3） ，且 a // b ,则 x ＝ （A）9 (B)6 (C)5 (D)3




15． （2006 山东文）设向量 a=(1,－3),b=(－2,4),若表示向量 4a、3b－2a,c 的有向线段首尾相接 能构成三角形，则向量 c 为（ ） (A)（1，－1） (B)（－1， 1） (C) （－4，6） (D) （4，－6） 16． （2006 山东理）设向量 a=(1, －2),b=(－2,4),c=(－1,－2)，若表示向量 4a,4b－2c,2(a－c),d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量 d 为（ ） (A)(2,6) (B)(－2,6) (C)(2,－6) (D)(－2,－6) → → → → 1 AB AC AB AC → → → 17. （2006 陕西文、 理） 已知非零向量AB与AC满足( + )· BC=0 且 · = , 则 → | |AC →| → | |AC →| 2 |AB |AB △ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 ） C B

平面向量-三年(2017-2019)高考真题数学(文)专题

平面向量-三年(2017-2019)高考真题数学(文)专题

平面向量1．【2019年高考全国I 卷文数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π62．【2019年高考全国II 卷文数】已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a -b |=A B ．2C ．D ．503．【2018年高考全国I 卷文数】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +4．【2018年高考全国II 卷文数】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．05．【2018年高考浙江卷】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是A 1 BC ．2D ．26．【2018年高考天津卷文数】在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．07．【2017年高考全国II 卷文数】设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则 A ．a ⊥b B ．=a b C ．a ∥bD ．>a b8．【2017年高考北京卷文数】设m,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．【2019年高考北京卷文数】已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________．10．【2019年高考全国III 卷文数】已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则cos ,=a b ___________.11．【2019年高考天津卷文数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________．12．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.13．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.14．【2018年高考全国III 卷文数】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________． 15．【2018年高考北京卷文数】设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________. 16．【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF ⋅的最小值为___________．17．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为___________． 18．【2017年高考全国III 卷文数】已知向量(2,3),(3,)m =-=a b ，且⊥a b ，则m =________． 19．【2017年高考全国I 卷文数】已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）．若向量a +b 与a 垂直，则m =________．20．【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则m n +=___________．21．【2017年高考浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．22．【2017年高考天津卷文数】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =，AE AC λ=- ()AB λ∈R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为________．23．【2017年高考山东卷文数】已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ,若∥a b ,则λ=________．平面向量1．【2019年高考全国I 卷文数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ． 【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．2．【2019年高考全国II 卷文数】已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a -b |=A B ．2C ．D ．50【答案】A【解析】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)-=-=-a b ，所以||-==a b ， 故选A.【名师点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．3．【2018年高考全国I 卷文数】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A.【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 4．【2018年高考全国II 卷文数】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【答案】B【解析】因为()()22222||1213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a 所以选B.【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.5．【2018年高考浙江卷】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是A 1B C．2 D ．2【答案】A【解析】设 ，则由 得，由b 2−4e ·b +3=0得 因此|a −b |的最小值为圆心 到直线的距离21，为 选A. 【名师点睛】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题，考查数形结合思想，考查考生的选算求解能力以及分析问题和解决问题的能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.6．【2018年高考天津卷文数】在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．0【答案】C【解析】如图所示，连结MN ，由 可知点 分别为线段 上靠近点 的三等分点，则， 由题意可知：， ， 结合数量积的运算法则可得： . 本题选择C 选项.【名师点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 7．【2017年高考全国II 卷文数】设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则 A ．a ⊥bB ．=a bC ．a ∥bD ．>a b【答案】A【解析】由向量加法与减法的几何意义可知，以非零向量a ，b 的模长为边长的平行四边形是矩形，从而可得a ⊥b .故选A.【名师点睛】本题主要考查向量的数量积与向量的垂直.8．【2017年高考北京卷文数】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒，那么cos180⋅=︒=m n m n0-<m n ；若0⋅<m n ，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分而不必要条件，故选A.【名师点睛】本题考查平面向量的线性运算，及充分必要条件的判断，属于容易题.9．【2019年高考北京卷文数】已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________．【答案】8【解析】向量(4,3),(6,)m =-=⊥，，a b a b 则046308m m ⋅=-⨯+==，，a b . 【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.10．【2019年高考全国III 卷文数】已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则cos ,=a b ___________.【答案】10-【解析】2826cos ,||||10⨯-+⨯⋅===-⋅a b a b a b ．【名师点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．11．【2019年高考天津卷文数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________．【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，5,AB AD ==则B，5()22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒， 所以直线BE，其方程为y x =-， 直线AE的斜率为y x =.由y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x =1y =-，所以1)E -.所以35(,)(3,1)12BD AE =-=-.【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.12．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-， ()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC =即3,AB AC =故AB AC=【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.13．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.【答案】0；【解析】以, AB AD 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图.则(1,0),(0,1),(1,0),(0,1),(1,1),(1,1)AB BC CD DA AC BD ===-=-==-, 令(123456y AB BC CD DA AC BD λλλλλλλ=+++++=0.又因为(1,2,3,4,5,6)i i λ=可取遍1±，所以当1345621,1λλλλλλ======-时，有最小值min 0y =. 因为()135λλλ-+和()245λλλ-+的取值不相关，61λ=或61λ=-， 所以当()135λλλ-+和()245λλλ-+分别取得最大值时，y 有最大值，所以当1256341,1λλλλλλ======-时，有最大值max y ===故答案为0；【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.14．【2018年高考全国III 卷文数】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．【答案】12【解析】由题可得()24,2+=a b ，()2∥c a +b ，()=1,λc ，420λ∴-=，即12λ=，故答案为12. 【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题.解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可.15．【2018年高考北京卷文数】设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________.【答案】【解析】 ， ，由 得： ， ，即 .【名师点睛】如果a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2=0．16．【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF ⋅的最小值为___________．【答案】-3【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴2EF a b =-=；∴a =b +2，或b =a +2；且()()1,2,AE a BF b ==-，；∴2AE BF ab ⋅=-+；当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-； ∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【名师点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．17．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为___________．【答案】3【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫ ⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-， 因为0a >，所以 3.a = 【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.18．【2017年高考全国III 卷文数】已知向量(2,3),(3,)m =-=a b ，且⊥a b ，则m =________．【答案】2【解析】由题意可得02330,m ⋅=⇒-⨯+=a b 解得2m =.【名师点睛】（1）向量平行：1221∥x y x y ⇒=a b ，,,∥≠⇒∃∈=λλ0R a b b a b ,111BA AC OA OB OC λλλλ=⇔=+++. （2）向量垂直：121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b .（3）向量的运算：221212(,),||,||||cos ,x x y y ±=±±=⋅=⋅a b a a a b a b a b .19．【2017年高考全国I 卷文数】已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）．若向量a +b 与a 垂直，则m =________．【答案】7【解析】由题得(1,3)m +=-a b ，因为()0+⋅=a b a ，所以(1)230m --+⨯=，解得7m =．【名师点睛】如果a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2=0．20．【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，OA 与OC 的夹角为α，且t a n α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若O C m O A n O B =+(,)m n ∈R ，则m n +=___________．【答案】3【解析】由tan 7α=可得sin 10α=，cos 10α=，根据向量的分解，易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2100210n m n m +=⎪-=⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==， 所以3m n +=． 【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法． （3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．21．【2017年高考浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．【答案】4，【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则-==a b+==a b则++-=a b a b令y =[]21016,20y =+， 据此可得：()()max min 4++-==++-==a b a b a b a b ， 即++-a b a b 的最小值是4，最大值是【名师点睛】本题通过设向量,a b 的夹角为θ，结合模长公式，可得++-=a b a b能力有一定的要求．22．【2017年高考天津卷文数】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2B D D C =，AE AC λ=- ()AB λ∈R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为________． 【答案】311【解析】由题可得1232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯︒==+，则12()33AD AE AB AC ⋅=+2123()34934333311AC AB λλλλ-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=． 【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，则可获解．本题中,AB AC 已知模和夹角，作为基底易于计算数量积．23．【2017年高考山东卷文数】已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ,若∥a b ,则λ=________．【答案】3-【解析】由∥a b 可得162 3.λλ-⨯=⇒=-【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：（1）利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则∥a b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．（2）利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为λa (λ∈R ),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．（3）三点共线问题．A ,B ,C 三点共线等价于AB →与AC →共线.。

十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题06 平面向量 考试版

十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题06 平面向量 考试版

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题06 平面向量1.(2019·全国2·文T3)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=( )A.√2B.2C.5√2D.502.(2019·全国1·理T7文T8)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π63.(2018·全国1·理T6文T7)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.34AB⃗⃗⃗⃗⃗ −14AC⃗⃗⃗⃗⃗ B.14AB⃗⃗⃗⃗⃗ −34AC⃗⃗⃗⃗⃗C.34AB⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC⃗⃗⃗⃗⃗ D.14AB⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC⃗⃗⃗⃗⃗4.(2018·全国2·T4)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=( )A.4B.3C.2D.05.(2018·北京·理T6)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.(2018·浙江·T9)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为π,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是( )A.√3-1B.√3+1C.2D.2-√37.(2018·天津·理T8)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD 上的动点,则( )A.2116B.32C.2516D.38.(2018·天津·文T8)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.-15 B.-9 C.-6D.09.(2017·全国2·理T12)已知△ABC 是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则PA ⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )的最小值是( ) A.-2 B.-3C.-43D.-110.(2017·全国3·理T12)在矩形ABCD 中,AB=1,AD=2,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的最大值为( ) A.3B.2√2C.√5D.211.(2017·全国2·文T4)设非零向量a,b 满足|a+b|=|a-b|,则( ) A.a ⊥b B.|a|=|b| C.a ∥b D.|a|>|b|12.(2016·四川·文T9)已知正三角形ABC 的边长为2√3,平面ABC 内的动点P,M 满足|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是( ) A.434B.494C.37+6√34D.37+2√33413.(2016·天津·文T7)已知△ABC 是边长为1的等边三角形,点D,E 分别是边AB,BC 的中点,连接DE 并延长到点F,使得DE=2EF,则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ( ) A.-58B.18C.14D.11814.(2016·全国2·理T3)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=( ) A.-8B.-6C.6D.815.(2015·全国2·文T4)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b )·a=( ) A.-1B.0C.1D.216.(2015·福建·文T7)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b ⊥c,则实数k 的值等于( ) A.-32B.-53C.53D.3217.(2015·广东·文T9)在平面直角坐标系xOy 中,已知四边形ABCD 是平行四边形,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2),AD⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.5 B.4 C.3 D.218.(2015·山东·理T4)已知菱形ABCD 的边长为a,∠ABC=60°,则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.-32a 2B.-34a 2C.34a 2D.32a 219.(2015·四川·理T7)设四边形ABCD 为平行四边形,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4.若点M,N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.20B.15C.9D.620.(2015·福建·理T9)已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=t.若点P 是△ABC 所在平面内的一点,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值等于( )A.13B.15C.19D.2121.(2015·全国1·文T2)已知点A(0,1),B(3,2),向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3),则向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4)D.(1,4)22.(2015·重庆·理T6)若非零向量a,b 满足|a|=2√2|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a 与b 的夹角为 ( )A.π4B.π2C.3π4D .π23.(2015·重庆·文T7)已知非零向量a,b 满足|b|=4|a|,且a ⊥(2a+b),则a 与b 的夹角为( ) A.π3B.π2C.2π3D.5π624.(2015·全国1·理T7)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AD⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC⃗⃗⃗⃗⃗ 25.(2014·全国1·文T6)设D,E,F 分别为△ABC 的三边BC,CA,AB 的中点,则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗ =( ) A.AD⃗⃗⃗⃗⃗ B.12AD⃗⃗⃗⃗⃗C.BC⃗⃗⃗⃗⃗ D.12BC⃗⃗⃗⃗⃗ 26.(2014·山东·文T7)已知向量a=(1,√3),b=(3,m),若向量a,b 的夹角为π6,则实数m=( ) A.2√3B.√3C.0D.-√327.(2014·北京·文T3)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=( ) A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9)28.(2014·广东·文T3)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=( ) A.(-2,1)B.(2,-1)C.(2,0)D.(4,3)29.(2014·福建·理T8)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是( ) A.e 1=(0,0),e 2=(1,2) B.e 1=(-1,2),e 2=(5,-2) C.e 1=(3,5),e 2=(6,10) D.e 1=(2,-3),e 2=(-2,3)30.(2014·全国2·理T3文T4)设向量a,b 满足|a+b|=√10,|a-b|=√6,则a ·b=( ) A.1 B.2 C.3 D.531.(2014·大纲全国·文T6)已知a,b 为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b )·b=( ) A.-1B.0C.1D.232.(2014·大纲全国·理T4)若向量a,b 满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=( ) A.2B.√2C.1D.√233.(2014·重庆·理T4)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k=( ) A.-92B.0C.3D.15234.(2012·陕西·文T7)设向量a=(1,cos θ)与b=(-1,2cos θ)垂直,则cos 2θ等于( ) A.√22B.12C.0D.-135.(2012·重庆·理T6)设x,y ∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a ⊥c,b ∥c,则|a+b|= ( ) A.√5B.√10C.2√5D.1036.(2010·全国·文T2)a,b 为平面向量,已知a=(4,3),2a+b=(3,18),则a,b 夹角的余弦值等于( ) A.865B.-865C.1665D.-166537.(2019·全国3·文T13)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos<a,b>= .38.(2019·北京·文T9)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a ⊥b,则m= .39.(2019·天津·T14)在四边形ABCD 中,AD ∥BC,AB=2√3,AD=5,∠A=30°,点E 在线段CB 的延长线上,且AE=BE,则BD⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 40.(2019·全国3·理T13)已知a,b 为单位向量,且a ·b=0,若c=2a-√5b,则cos<a,c>= . 41.(2019·浙江·T17)已知正方形ABCD 的边长为 1.当每个λi (i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是,最大值是 . 42.(2019·江苏·T12)如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E 在边AB 上,BE=2EA,AD 与CE 交于点O.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6AO⃗⃗⃗⃗⃗ ·EC ⃗⃗⃗⃗ ,则AB AC的值是 .43.(2018·北京·文T9)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a ⊥(ma-b),则m= .44.(2018·上海·T8)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(2,0),E,F 是y 轴上的两个动点,且|EF ⃗⃗⃗⃗ |=2,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 .45.(2018·江苏·T2)在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线l:y=2x 上在第一象限内的点,B(5,0),以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D.若AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则点A 的横坐标为 . 46.(2018·全国3·T13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c ∥(2a+b),则λ= . 47.(2017·全国1·文T13)已知向量a=(-1,2),b=(m,1),若向量a+b 与a 垂直,则m= . 48.(2017·山东·文T11)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a ∥b,则λ= . 49.(2017·全国1·理T13)已知向量a,b 的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .50.(2017·天津,理13文14)在△ABC 中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R),且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE⃗⃗⃗⃗⃗ =-4,则λ的值为 . 51.(2017·江苏·T12)如图,在同一个平面内,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1,1,√2,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tan α=7,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈R),则m+n=. 52.(2017·山东·理T12)已知e 1,e 2是互相垂直的单位向量,若√3 e 1-e 2与e 1+λe 2的夹角为60°,则实数λ的值是 .53.(2017·江苏·理T13)在平面直角坐标系xOy 中,A(-12,0),B(0,6),点P 在圆O:x 2+y 2=50上.若PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20,则点P 的横坐标的取值范围是 .54.(2017·北京·文T12)已知点P 在圆x 2+y 2=1上,点A 的坐标为(-2,0),O 为原点,则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 .。

平面向量高考真题精选

平面向量高考真题精选
22．已知向量 ， ， ．若 ，则 ________．
【来源】2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文档版
【答案】
【解析】
【分析】
由两向量共线的坐标关系计算即可。
【详解】
由题可得
,即
故答案为
【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题。
【来源】2019年江苏省高考数学试卷
【答案】 .
【解析】
【分析】
由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.
【详解】
如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.
，
得 即 故 .
【点睛】
本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.
【详解】
根据题意，设E（0，a），F（0，b）；
∴ ；
∴a=b+2，或b=a+2；
且 ；
∴ ；
当a=b+2时， ；
∵b2+2b﹣2的最小值为 ；
∴ 的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时， 的最小值为﹣3．
故答案为：﹣3．
【点睛】
考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．
A．3B．2 C． D．2
【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版)
【答案】A
【解析】
如图所示，建立平面直角坐标系.
设 ,
易得圆的半径 ，即圆C的方程是 ，
，若满足 ，
则 ， ，所以 ，

十年高考真题(2013-2022)专题09平面向量(原卷版)

十年高考真题(2013-2022)专题09平面向量(原卷版)

大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（新高考卷与新课标理科卷）专题09平面向量1．【2022年全国乙卷理科03】已知向量a ⃑,b ⃑⃑满足|a ⃑|=1,|b ⃑⃑|=√3,|a ⃑−2b ⃑⃑|=3，则a ⃑⋅b⃑⃑=（ ） A ．−2B ．−1C ．1D ．22．【2022年新高考1卷03】在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD =2DA ．记CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=m ⃑⃑ ，CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=n ⃑ ，则CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=（ ） A ．3m ⃑⃑ −2n ⃑B ．−2m ⃑⃑ +3n ⃑C ．3m ⃑⃑ +2n ⃑D ．2m ⃑⃑ +3n ⃑3．【2022年新高考2卷04】已知向量a ⃑=(3,4),b ⃑⃑=(1,0),c ⃑=a ⃑+tb ⃑⃑，若<a ⃑,c ⃑>=<b ⃑⃑,c ⃑>，则t =（ ） A ．−6B ．−5C ．5D ．64．【2020年全国3卷理科06】已知向量a ，b 满足|a|=5，|b|=6，a ⋅b =−6，则cos ⟨a,a +b ⟩=（ ） A ．−3135 B ．−1935 C ．1735D ．19355．【2020年山东卷07】已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范用是（ ） A ．(−2,6) B ．(−6,2) C ．(−2,4)D ．(−4,6)6．【2020年海南卷07】已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范用是（ ） A ．(−2,6) B ．(−6,2) C ．(−2,4)D ．(−4,6)7．【2019年全国新课标2理科03】已知AB →=（2，3），AC →=（3，t ），|BC →|＝1，则AB →•BC →=（ ） A ．﹣3 B ．﹣2 C ．2D ．38．【2019年新课标1理科07】已知非零向量a →，b →满足|a →|＝2|b →|，且（a →−b →）⊥b →，则a →与b →的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．【2018年新课标1理科06】在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →=（ ）真题汇总A ．34AB →−14AC →B ．14AB →−34AC →C ．34AB →+14AC →D ．14AB →+34AC →10．【2018年新课标2理科04】已知向量a →，b →满足|a →|＝1，a →⋅b →=−1，则a →•（2a →−b →）＝（ ） A ．4B ．3C ．2D ．011．【2017年新课标2理科12】已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →•（PB →+PC →）的最小值是（ ） A ．﹣2 B ．−32 C ．−43D ．﹣112．【2017年新课标3理科12】在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →=λAB →+μAD →，则λ+μ的最大值为（ ） A ．3B ．2√2C ．√5D ．213．【2016年新课标2理科03】已知向量a →=（1，m ），b →=（3，﹣2），且（a →+b →）⊥b →，则m ＝（ ）A ．﹣8B ．﹣6C ．6D ．814．【2016年新课标3理科03】已知向量BA →=（12，√32），BC →=（√32，12），则∠ABC ＝（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°15．【2015年新课标1理科07】设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →=3CD →，则（ ）A ．AD →=−13AB →+43AC →B ．AD →=13AB →−43AC →C ．AD →=43AB →+13AC →D ．AD →=43AB →−13AC →16．【2014年新课标2理科03】设向量a →，b →满足|a →+b →|=√10，|a →−b →|=√6，则a →•b →=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．517．【2021年新高考1卷10】已知O 为坐标原点，点P 1(cosα,sinα)，P 2(cosβ,−sinβ)，P 3(cos(α+β),sin(α+β))，A(1,0)，则（ ） A ．|OP 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=|OP 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ | B ．|AP 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=|AP 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ | C ．OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OP ⃑⃑⃑⃑⃑ 3=OP 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OP 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑D ．OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OP 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =OP 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OP 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑18．【2022年全国甲卷理科13】设向量a ⃑，b ⃑⃑的夹角的余弦值为13，且|a ⃑|=1，|b ⃑⃑|=3，则(2a ⃑+b ⃑⃑)⋅b ⃑⃑=_________．19．【2021年全国甲卷理科14】已知向量a =(3,1),b ⃑ =(1,0),c =a +kb ⃑ ．若a ⊥c ，则k =________． 20．【2021年全国乙卷理科14】已知向量a =(1,3),b ⃑ =(3,4)，若(a −λb ⃑ )⊥b ⃑ ，则λ=__________． 21．【2021年新高考2卷15】已知向量a +b ⃑ +c =0⃑ ，|a |=1，|b ⃑ |=|c |=2，a ⋅b ⃑ +b ⃑ ⋅c +c ⋅a =_______．22．【2020年全国1卷理科14】设a,b 为单位向量，且|a +b|=1，则|a −b|=______________. 23．【2020年全国2卷理科13】已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka –b 与a 垂直，则k =__________. 24．【2019年新课标3理科13】已知a →，b →为单位向量，且a →•b →=0，若c →=2a →−√5b →，则cos ＜a →，c →＞= ．25．【2018年新课标3理科13】已知向量a →=（1，2），b →=（2，﹣2），c →=（1，λ）．若c →∥（2a →+b →），则λ＝ ．26．【2017年新课标1理科13】已知向量a →，b →的夹角为60°，|a →|＝2，|b →|＝1，则|a →+2b →|＝ ． 27．【2016年新课标1理科13】设向量a →=（m ，1），b →=（1，2），且|a →+b →|2＝|a →|2+|b →|2，则m ＝ ﹣2 ． 28．【2015年新课标2理科13】设向量a →，b →不平行，向量λa →+b →与a →+2b →平行，则实数λ＝ ． 29．【2014年新课标1理科15】已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →=12（AB →+AC →），则AB →与AC →的夹角为 ．30．【2013年新课标1理科13】已知两个单位向量a →，b →的夹角为60°，c →=t a →+（1﹣t ）b →．若b →•c →=0，则t ＝ ．31．【2013年新课标2理科13】已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →•BD →= ．1．已知向量a ⃑,b ⃑⃑满足|b ⃑⃑|=2，a ⃑与b ⃑⃑的夹角为60∘，则当实数λ变化时，|b ⃑⃑−λa ⃑|的最小值为（ ） A ．√3B ．2C ．√10D ．2√32．已知△ABC 为等边三角形，AB =2，设点P 、Q 满足AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(1−λ)AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，λ∈R ，若BQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅CP⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−32，则λ=（ ） A ．18B ．14C ．12D ．343．已知△ABC 的外接圆圆心为O ，且2AO⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,|OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，则向量OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑在向量CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑上的投影向量为模拟好题（ ）A ．12CA⃑⃑⃑⃑⃑⃑ B ．√32OC⃑⃑⃑⃑⃑⃑ C ．−12CA⃑⃑⃑⃑⃑⃑ D ．−√32OC⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 4．已知P 是等边三角形ABC 所在平面内一点，且AB =2√3，BP =1，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅CP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最小值是（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．25．已知单位向量a ⃑与向量b ⃑⃑=(0,2)垂直，若向量c ⃑满足|a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑|=1，则|c ⃑|的取值范围为（ ） A ．[1,√5−1]B ．[√3−12,√3+12]C ．[√5−1,√5+1]D ．[√3+12,3]6．已知向量a ⃑，b ⃑⃑ 满足a ⃑=(√3,1)，a ⃑·b ⃑⃑＝4，则|b ⃑⃑|的最小值为（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．27．在平行四边形ABCD 中，E,F 分别是BC,CD 的中点，DE 交AF 于点G ，则AG⃑⃑⃑⃑⃑⃑=（ ）A ．25AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−45BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ B ．25AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+45BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ C ．−25AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+45BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ D ．−25AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑−BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 8．已知点O 为△ABC 所在平面内的一点，且OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2=OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2=OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2，OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑= OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−2，则△ABC 的面积为（ ） A ．√3B ．2√3C ．3√3D ．5√349．在△ABC 中，AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=9，sin (A +C )=cosAsinC ，S △ABC =6，P 为线段AB 上的动点，且CP⃑⃑⃑⃑⃑⃑=x ⋅CA⃑⃑⃑⃑⃑⃑|CA⃑⃑⃑⃑⃑⃑|+y ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，则2x +1y 的最小值为（ ） A ．116+√63B ．116C ．1112+√63D ．111210．△ABC 中，AC =√2，AB =2，A =45°，P 是△ABC 外接圆上一点，AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+μAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则λ+μ的最大值是（ ） A ．√2+12B ．√2−12C ．√3−√22D ．√3+√2211．已知复数z 1对应的向量为OZ 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，复数z 2对应的向量为OZ 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则（ ） A ．若|z 1+z 2|=|z 1−z 2|，则OZ 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⊥OZ 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ B ．若(OZ 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+OZ 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑)⊥(OZ 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑−OZ 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑)，则|z 1|=|z 2|C ．若z 1与z 2在复平面上对应的点关于实轴对称，则z 1z 2=|z 1z 2|D ．若|z 1|=|z 2|，则z 12=z 22 12．已知△ABC 是半径为2的圆O 的内接三角形，则下列说法正确的是（ ） A ．若角C =π3，则AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12 B ．若2OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑ ，则|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=4 C ．若|OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的夹角为π3 D ．若(BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2，则AB 为圆O 的一条直径 13．中华人民共和国的国旗图案是由五颗五角星组成，这些五角星的位置关系象征着中国共产党领导下的革命与人民大团结．如图，五角星是由五个全等且顶角为36°的等腰三角形和一个正五边形组成．已知当AB =2时，BD =√5−1，则下列结论正确的为（ ）A ．|DE⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|DH ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑| B ．AF⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BJ ⃑⃑⃑⃑⃑=0 C ．AH⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=√5+12AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ D ．CB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=JC ⃑⃑⃑⃑⃑−JH ⃑⃑⃑⃑⃑ 14．已知△ABC 中，AB =3,AC =5,BC =7,O 为△ABC 外接圆的圆心，I 为△ABC 内切圆的圆心，则下列叙述正确的是（ ） A ．△ABC 外接圆半径为14√33B ．△ABC 内切圆半径为√32C ．AO ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =8D ．AI⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =1 15．定义平面向量的一种运算“Θ”如下：对任意的两个向量a ⃑=(x 1,y 1)，b ⃑⃑=(x 2,y 2)，令a ⃑Θb ⃑⃑=(x 1y 2−x 2y 1,x 1x 2+y 1y 2)，下面说法一定正确的是（ ） A ．对任意的λ∈R ，有(λa ⃑)Θb ⃑⃑=λ(a ⃑Θb⃑⃑) B ．存在唯一确定的向量e ⃑使得对于任意向量a ⃑，都有a ⃑Θe ⃑=e ⃑Θa ⃑=a ⃑成立 C ．若a ⃑与b ⃑⃑垂直，则(a ⃑Θb ⃑⃑)Θc ⃑与a ⃑Θ(b ⃑⃑Θc ⃑)共线 D ．若a ⃑与b ⃑⃑共线，则(a ⃑Θb ⃑⃑)Θc ⃑与a ⃑Θ(b ⃑⃑Θc ⃑)的模相等16．在平面直角坐标系xOy 中，r >0，⊙M ：(x −r )2+y 2=3r 24与抛物线C ：y 2=4x 有且仅有两个公共点，直线l 过圆心M 且交抛物线C 于A ，B 两点，则OA⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=______．17．已知△ABC 是等边三角形，E ，F 分别是AB 和AC 的中点，P 是△ABC 边上一动点，则满足PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=BE⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅CF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的点P 的个数为______． 18．已知平面向量e 1⃑⃑⃑⃑,e 2⃑⃑⃑⃑满足|2e 2⃑⃑⃑⃑−e 1⃑⃑⃑⃑|=2，设a =e 1⃑⃑⃑⃑+4e 2⃑⃑⃑⃑,b ⃑ =e 1⃑⃑⃑⃑+e 2⃑⃑⃑⃑，若1≤a ⋅b ⃑ ≤2，则|a |的取值范围为________．19．已知△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，A =π3，c =3，asinB =√3,D,E 分别为线段AB,AC 上的动点，ADAB =CECA ，则DE 的最小值为__________.20．在平行四边形ABCD 中，|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=3,|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=1，则AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=___________. 21．已知非零向量a ⃑,b⃑⃑ 满足|a ⃑|=|b ⃑⃑| ，且(a ⃑+b ⃑⃑)⊥b ⃑⃑，则a ⃑ 与b ⃑⃑的夹角为_______． 22．已知半径为1的圆O 上有三个动点A ，B ，C ，且|AB |=√2，则AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最小值为______． 23．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E ，F 分在边BC ，CD 上，BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λBC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，DF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=μDC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑．若λ+μ=23，则AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最小值为___________． 24．设a ⃑,b ⃑⃑为不共线的向量，满足c ⃑=λa ⃑+μb ⃑⃑,3λ+4μ=2(λ,μ∈R )，且|c ⃑|=|a ⃑−c ⃑|=|b ⃑⃑−c ⃑|，若|a ⃑−b ⃑⃑|=3，则(|a ⃑|⋅|b ⃑⃑|)2−(a ⃑⋅b⃑⃑)2的最大值为________． 25．已知平面向量a ,b ⃑ ,c 满足|a |=1,|b ⃑ |=|c |=2√2，且(a −b ⃑ )⋅(a −c )=0，θ=⟨a,b ⃑ ⟩(0≤θ≤π4)，则b ⃑ ⋅(a ⃑ −c )|a⃑ −c |的取值范围是_____________．。

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高考数学选择题分类汇编1．【2011课标文数广东卷】已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb)∥c ，则λ＝( )A.14 B .12 C ．1 D ．22．【2011·课标理数广东卷】若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c·(a ＋2b)＝( )A ．4B ．3C ．2D ．03．【2011大纲理数四川卷】如图1－1，正六边形ABCDEF 中，BA→＋CD →＋EF →＝( ) A ．0 B.BE → C.AD → D.CF →4．【2011大纲文数全国卷】设向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，a·b ＝－12，则|a ＋2b|＝( )A. 2B. 3C. 5D.7.5．【2011课标文数湖北卷】若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )A ．－π4 B.π6 C.π4 D.3π46．【2011课标理数辽宁卷】若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c)·(b －c)≤0，则|a ＋b －c|的最大值为( ) A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2【解析】 |a ＋b －c|＝(a ＋b －c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·b －2a·c －2b·c ，由于a·b ＝0，所以上式＝3－2c·(a ＋b )，又由于(a －c)·(b －c)≤0，得(a ＋b)·c ≥c 2＝1，所以|a ＋b －c|＝3－2c·(a ＋b )≤1，故选B.7．【2011课标文数辽宁卷】已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k)，a·(2a －b)＝0，则k＝( )A ．－12B ．－6C ．6D ．128．【2011大纲理数1全国卷】设向量a ，b ，c 满足|a|＝|b|＝1，a·b ＝－12，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c|的最大值等于( ) A ．2 B.3 C. 2D ．19．【2011课标理数北京卷】已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________.10．【2011·课标文数湖南卷】设向量a ，b 满足|a|＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．【解析】 因为a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，又因为(a ＋λb)∥c ，(1＋λ)×4－2×3＝0，解得λ＝12.【解析】 因为a ∥b 且a ⊥c ，所以b ⊥c ，所以c ·(a ＋2b)＝c ·a ＋2b ·c ＝0.【解析】 BA→＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →－BC →＝BF →－BC →＝CF →，所以选D.【解析】 ||a ＋2b 2＝(a ＋2b)2＝||a 2＋4a ·b ＋4||b 2＝3，则||a ＋2b ＝3，故选B 【解析】 因为2a ＋b ＝()2，4＋()1，－1＝()3，3，a －b ＝()0，3，所以||2a ＋b ＝32，||a －b ＝3.设2a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝()2a ＋b ·()a －b ||2a ＋b ||a －b ＝()3，3·()0，332×3＝22，又θ∈[]0，π，所以θ＝π4.【解析】 a·(2a －b)＝2a 2－a·b ＝0，即10－(k －2)＝0，所以k ＝12，故选D.【解析】 设向量a ，b ，c 的起点为O ，终点分别为A ，B ，C ，由已知条件得，∠AOB ＝120°，∠ACB ＝60°，则点C 在△AOB 的外接圆上，当OC 经过圆心时，|c|最大，在△AOB 中，求得AB ＝3，由正弦定理得△AOB 外接圆的直径是3sin120°＝2，||c 的最大值是2，故选A.【解析】 因为a －2b ＝(3，3)，由a －2b 与c 共线，有k 3＝33，可得k ＝1.【解析】 因为a 与b 的方向相反，根据共线向量定义有：a ＝λb(λ<0)，所以a ＝(2λ，λ)．由||a ＝25，得(2λ)2＋λ2＝25⇒λ＝－2或λ＝2(舍去)，故a ＝(－4，－2)．11．【2011·课标理数天津卷】已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA→＋3PB →|的最小值为________． 12．【2011·课标理数浙江卷】 若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．13．【2011·新课标理数安徽卷】已知向量a ，b 满足(a ＋2b)·(a －b)＝－6，且|a |＝1，|b|＝2，则a 与b 的夹角为________．14．【2011·课标文数福建卷】若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,2)，则a·b 等于________．15．【2011·课标理数湖南卷】在边长为1的正三角形ABC 中，设BC→＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE→＝________. 16．【2011课标理数江西卷】已知|a|＝|b|＝2，(a ＋2b)·(a －b)＝－2，则a 与b 的夹角为________．17．【2011·课标文数江西卷】已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________.18．【2011课标文数全国卷】 已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量ka －b 垂直，则k ＝________.19．【10安徽文数】设向量(1,0)a =,11(,)22b =,则下列结论中正确的是 (A)a b = (B) 22•=a b(C)//a b (D)a b -与b 垂直 20.【10重庆文数】若向量(3,)a m =，(2,1)b =-，0a b =，则实数m 的值为（A ）32- （B ）32（C ）2 （D ）6 【解析】 建立如图1－6所示的坐标系，设DC ＝h ，则A(2,0)，B(1，h)．设P(0，y)，(0≤y ≤h) 则PA→＝(2，－y)，PB →＝(1，h －y)， ∴||PA →＋3PB →＝25＋(3h －4y )2≥25＝5.【解析】 由题意得：||α||βsinθ＝12，∵||α＝1，||β≤1，∴sinθ＝12||β≥12. 又∵θ∈(0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.【解析】 设a 与b 的夹角为θ，依题意有(a ＋2b)·(a －b)＝a 2＋a·b －2b 2＝－7＋2cosθ＝－6，所以cosθ＝12.因为0≤θ≤π，故θ＝π3.【解析】 由已知a ＝(1,1)，b ＝(－1,2)，得a·b ＝1×(－1)＋1×2＝1.【解析】 由题知，D 为BC 中点，E 为CE 三等分点，以BC 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，可得A ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，D(0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，36，故AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－32，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫56，36，所以AD →·BE →＝－32×36＝－14.【解析】 设a 与b 的夹角为θ，由(a ＋2b)(a －b)＝－2得|a|2＋a·b －2|b|2＝4＋2×2×cosθ－2×4＝－2，解得cosθ＝12，∴θ＝π3.【解析】 |e 1|＝|e 2|＝1且e 1·e 2＝12，所以b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2)＝3e 21－2e 1·e 2－8e 22＝3－2×12－8＝－6.【解析】 由题意，得(a ＋b)·(ka －b)＝k ||a 2－a·b ＋ka·b －||b 2＝k ＋(k －1)a·b －1＝(k －1)(1＋a·b)＝0，a 与b 不共线，所以a·b ≠－1，所以k －1＝0，解得k ＝1.【解析】11(,)22--a b =，()0a b b -=，所以-a b 与b 垂直. 【解析】 D21.【10重庆理数】已知向量a ，b 满足0,1,2,a b a b •===，则2a b -=A. 0B. 22C. 4D. 8 解析：2a b -=22844)2(222==+⋅-=-b b a a b a22．【10湖南文数】若非零向量a ，b 满足||||,(2)0a b a b b =+⋅=，则a 与b 的夹角为CA. 300B. 600C. 1200D. 150023.【10全国卷理数】ABC 中，点D 在AB 上，CD 平方ACB ∠．若CB a =，CA b =，1a =，2b =，则CD =（A ）1233a b + （B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b + 【解析】因为CD 平分ACB ∠，由角平分线定理得AD CA 2=DB CB 1=，所以D 为AB 的三等分点，且22AD AB (CB CA)33==-，所以2121CD CA+AD CB CA a b 3333==+=+，选B. 24. 【10辽宁文数】平面上,,O A B 三点不共线，设,OA a OB b ==,则OAB ∆的面积等于（A 222()a b a b -⋅ （B 222()a b a b +⋅（C 2221()2a b a b -⋅ （D 2221()2a b a b +⋅ 222111(||||sin ,||||1cos ,||||1222||||OAB a S a b a b a b a b a b a b ∆⋅=<>=-<>=-2221()2a b a b =-⋅ 25.【10全国卷】△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB = a , CA = b , a = 1 ，b = 2, 则CD =（A ）13a + 23b （B ）23a +13b （C ）35a +45b （D ）45a +35b ∵ CD 为角平分线，∴ 12BD BC AD AC ==，∵ AB CB CA a b =-=-，∴222333AD AB a b ==-，∴ 22213333CD CA AD b a b a b =+=+-=+26.【10山东理数】定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的a=(m,n)，b p,q)=（，令a b=mq-np ，下面说法错误的是（ ）A.若a 与b 共线，则a b=0B.ab=b a C.对任意的R λ∈，有a)b=(λλ（a b) D. 2222(a b)+(ab)=|a||b|【解析】若a 与b 共线，则有ab=mq-np=0，故A 正确；因为b a pn-qm =，而 a b=mq-np ，所以有a b b a ≠，故选项B 错误，故选B 。

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