简化解析几何运算技巧专题
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专题:简化解析几何运算的5个技巧
中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中,用方程的观点来研究曲线,体现了用代数的方法解决几何问题的优越性,但有时运算量过大,或需繁杂的讨论,这些都会影响解题的速度,甚至会中止解题的过程,达到“望题兴叹”的地步.特别是高考过程中,在规定的时间,保质保量完成解题的任务,计算能力是一个重要的方面.为此,从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧,合理简化解题过程,优化思维过程.
技法一
巧用定义,揭示本质
以数形结合思想为指导,把定量的分析有机结合起来,则可使解题计算量大为简化,使解题构筑在较高的水平上.
[典例] 如图,F 1,F 2是椭圆C 1:x 24+y 2
=1与双曲线C 2的公共焦点,A ,B 分别是C 1,
C 2在第二、四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是( )
A .2
B . 3
C .32
D .
62
[解析] 由已知,得F 1(-3,0),F 2(3,0),
设双曲线C 2的实半轴长为a ,由椭圆及双曲线的定义和已知, 可得⎩⎪⎨⎪
⎧
|AF 1|+|AF 2|=4,|AF 2|-|AF 1|=2a ,
|AF 1|2+|AF 2|2=12,
解得a 2=2,
故a =2.所以双曲线C 2的离心率e =32=6
2
. [答案] D [方法点拨]
本题可巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|,|AF 2|的等量关系,从而快速求出双曲线实半轴长a 的值,进而求出双曲线的离心率,大大降低了运算量.
[对点演练]
抛物线y 2=4mx (m >0)的焦点为F ,点P 为该抛物线上的动点,若点A (-m,0),则|PF |
|P A |
的最小值为________.
解析:设点P 的坐标为(x P ,y P ),由抛物线的定义,知|PF |=x P +m ,又|P A |2=(x P +m )2+
y 2P =(x P +m )2
+4mx P ,则
⎝⎛⎭⎫|PF ||P A |2=(x P +m )
2
(x P +m )2+4mx P =
11+4mx P (x P +m )2≥11+4mx P (2x P ·m )2
=1
2(当且仅当x P =m 时取等号),所以
|PF ||P A |≥22,所以|PF ||P A |的最小值为2
2
. 答案:
2
2
对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题,涉及求中点弦所在直线的方程,或弦的中点的轨迹方程的问题时,常常可以用代点法求解.
[典例] 已知椭圆E :x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交E 于A ,
B 两点.若AB 的中点坐标为(1,-1),则E 的标准方程为( )
A .x 245+y 2
36=1
B .x 236+y 2
27=1
C .x 227+y 2
18
=1
D .x 218+y 2
9
=1
[解析] 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=2,y 1+y 2=-2,
⎩⎨⎧
x 21a 2
+y 21
b
2=1,x 22a 2
+y
22b 2
=1,
①②
①-②得(x 1+x 2)(x 1-x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1-y 2)
b 2=0,
所以k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-b 2(x 1+x 2)a 2(y 1+y 2)=b 2
a 2.
又k AB =0+13-1=12,所以b 2a 2=1
2.
又9=c 2=a 2-b 2, 解得b 2=9,a 2=18,
所以椭圆E 的方程为x 218+y 2
9=1.
[答案] D [方法点拨]
本题设出A ,B 两点的坐标,却不需求出A ,B 两点的坐标,巧妙地表达出直线AB 的斜率,通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系,从而快速解决问题.
[对点演练]
过点M (1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C :x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)相交于A ,B 两点,若M
是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率等于________.
解析:设A (x 1
,y 1
),B (x 2
,y 2
),则⎩⎨⎧
x 21a 2+y 21
b
2=1,x 22a 2
+y
22b 2
=1,
∴
(x 1-x 2)(x 1+x 2)a 2+(y 1-y 2)(y 1+y 2)
b 2
=0,
∴y 1-y 2x 1-x 2=-b 2a 2·x 1+x 2
y 1+y 2.
∵
y 1-y 2x 1-x 2
=-1
2,x 1+x 2=2,y 1+y 2=2,
∴-b 2a 2=-1
2,∴a 2=2b 2.
又∵b 2=a 2-c 2,
∴a 2=2(a 2-c 2),∴a 2=2c 2,∴c a =22.
即椭圆C 的离心率e =2
2
. 答案:
22
某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标,用距离公式计算长度的方法来解;但也可以利用一元二次方程,使相关的点的同名坐标为方程的根,由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系.后者往往计算量小,解题过程简捷.
[典例] (2016·全国甲卷)已知椭圆E :x 2t +y 23=1的焦点在x 轴上,A 是E 的左顶点,斜
率为k (k >0)的直线交E 于A ,M 两点,点N 在E 上,MA ⊥NA .
(1)当t =4,|AM |=|AN |时,求△AMN 的面积; (2)当2|AM |=|AN |时,求k 的取值围. [解] 设M (x 1,y 1),则由题意知y 1>0. (1)当t =4时,E 的方程为x 24+y 2
3=1,A (-2,0).
由已知及椭圆的对称性知,直线AM 的倾斜角为π
4.
因此直线AM 的方程为y =x +2.