第六章 静磁场中的磁介质

为什么物质对磁场有响应? 为什么不同类型的物质对磁场 有不同的响应，即具有不同的磁性？
与物质内部的电磁结构有着密切的联系
• 分子电流
安培的大胆假设：磁介质的“分子”相当于一个环形电 流，是电荷的某种运动形成的，它没有像导体中电流所受的 阻力，分子的环形电流具有磁矩——分子磁矩，在外磁场的 作用下可以自由地改变方向
于定态假设），设洛伦兹力远小于库仑力
Ze2
4 πε0r2
+
eω
rB0
=
mω 2r
ω = ω0 + ∆ω , ∆ω << ω0
(eω0rB0 << mrω02 )
⇒
Ze2
4πε0r2
+eω0rB0
+e∆ω
rB0
⇒ ω 2 ≈ ω02 + 2ω0∆ω
=mω02r +2mω0∆ω r
eω0rB0 << mrω02 ⇒ eB0 << mω0
r ⋅dl
8
沿闭合回路L 积分得普遍关系：
∫
r M
⋅
d
r l
=
∑
I
′
通过以L为界, S面内全部分子电流的代数和
L
L内
注：磁化电流的正向与回路Ｌ的绕向满足右手定则
⇒
∫∫
(∇
×
r M
)
⋅
d
r S
=∫∫
rj ′
⋅
d
r S
⇒
rj ′
=
∇×
r M
S
S
rj ′ ：磁化电流密度
——— 表示通过单位垂直面积的磁化电流
• 磁介质：对磁场有一定响应，并能反过来影响磁场的物质
一般物质在较强磁场的作用下都显示出一定程度的磁性，
即都能对磁场的作用有所响应，所以都是磁介质
• 磁化：在外磁场的作用下，原来没有磁性的物质，具有磁性
磁介质被磁化后，会产生附加磁场，从而改变原来空间磁
场的分布
2
2. “分子电流”模型
• 问题的提出
∑ m分子≠0
17
对于各向同性线性磁介质(弱磁性)，H、M的关系为:
M = χmH
χ m —— 介质的磁化率
M = χmH
H = B −M
µ0
⇒ B = µ0 (H + M ) = µ0 (1 + χm )H = µ0µr H = µ H
(µr = 1+ χm ) —— 相对磁导率
顺磁质， χm > 0 , 10−4 ~10−5 , M和H同向
l l2 +d2
（与Ｍ 同方向）
12
讨论:
(B′ = µ0M
l )
l2 +d2
z 无限长磁介质圆柱体 (l→∞, d 有限), 中点: B′ = µ0 M
z 薄磁介质圆片( l / d → 0)
B′ = µ0M
l l2 +d2
= µ0M
l/d ≈0 1+ (l / d )2
z 若已知外磁场为B0, 则中点的总磁场应为外磁场与
=
=
I0
L内r B−
r M
（辅助矢量，单位：A·m -1）
∴
∫ ∑ r
H
⋅
d
r l
=
µ0
（奥斯特：1Oe = 103 A ⋅ m −1 ）
4π
I0 —— 有磁介质时的安培环路定理
L
L内
即: 磁场强度H沿任意闭合环路的线积分总等于穿过以
闭合环路为周界的任意曲面的传导电流强度的代数和.
问题：已知I0
，可能求H，但因为M未知，无法求B，需要描绘 16
L内
I
⇒ ′
⎧
rr B ⋅d S =0
⎪⎪ ⎨
S
r
⎪B
⎪⎩ L
⋅
d
r l
=
µ0
L内
I0
+
µ0
15 L内
I
′
∫
r B
⋅
d
r l
=
µ0
∑
I
=
µ0
(∑
I0
+
∑
I
′)
∫ ∑ ∫ ⇒
L
r B
⋅d
r l
=
L内
µ0 (
I0
+
r M
⋅
d
r l)
∫ ∑ ⇒
L
(
r B
−
r M
L µ0
定义磁场强度:
)
L内
r ⋅dl
r H
穿过回路的磁化电流:
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ r r
M ⋅dl =
br r M ⋅dl +
cr r M ⋅dl +
dr r M ⋅dl +
a
r M
⋅
d
r l
=
i′∆l
a
b
c
d
L
⇒ ⇒
∫b
a Mτ dl Mτ = i′
= Mτ ∆l = i′∆l
∴
ir′
=
r M
×
nr
nr : 磁介Leabharlann Baidu表面外法向单位矢 10
对比:
24
4. 磁滞损耗
当铁磁质在交变磁场作用下，沿磁滞回线反复磁 化一周时，磁体要发热而散失热量，这种能量损失 称为磁滞损耗
磁滞回线越胖，曲线下面积越大，损耗越大；磁 滞回线越瘦，曲线下面积越小，损耗越小
结论：
B－H图中磁滞回线所包围的“面积”代表在一个反 复磁化的循环过程中单位体积的铁芯内损耗的能量
25
第六章 静磁场中的磁介质
§1 磁介质的磁化 §2 磁介质中静磁场的基本定理 §3 边值关系和唯一性定理 §4 磁路定理 §5 磁场的能量
1
§1 磁介质的磁化
一. 磁介质概述
1. 磁性、磁介质、磁化
• 磁性：物质的基本属性之一，即物质的磁学特性
吸铁石（天然磁体） —— 具有强磁性
多数物质一般情况下没有明显的磁性
y
球心处磁场:
dB
=
µ0
2
r 2dI ′ R3
x 磁化球
⇒ dB = µ0 sin2 θdI ′ = µ0 M sin3 θd θ
2R
2
∫ ⇒
B
=
µ0
2
M
π 0
sin3
θ
dθ
=
2 3
µ0M
14
§2 磁介质中静磁场的基本定理
一. 有磁介质存在的磁场的基本定理
I0
⎯产⎯⎯生→
r B0
⎯使⎯介⎯质磁⎯化→
场作用下趋向于外磁场排列.
居里定律：
χm
=
C T
4. 抗磁质的磁化
抗磁质分子的固有磁矩为零，不存在由非零的分子固有磁 矩规则取向引起的顺磁效应。抗磁质磁性来源于外磁场下受 洛伦兹力引起的电子轨道运动的变化．
电子轨道磁矩:
mrl = iS nr
(i = − e = − ev = − eω )
T 2πr 2π
宏观上的磁化电流I′
4. 磁化的描绘
∑ 磁化强度矢量 M：单位体积内分子磁矩的矢量和
r M=
mr 分子
——描述磁介质磁化状态(磁化方向和强度)物理量
∆V
4
二. 磁化电流及其磁场
1. 磁化电流
• 介质对磁场作用的响应 ——
产生磁化电流．磁化电流不能 传导，束缚在介质内部，也叫 束缚电流．
• 磁化电流也能产生磁场，满足
附加场的矢量和
r B中点
=
r B0
+
Br ′
13
例题2：半径为R 的磁介质球均匀磁化，磁化强度为M， 求球心处的B.
设磁化沿z 轴方向，在球面上取一圆环 半径: r = R sinθ 弧面宽度: dl = R dθ
z nr
r
面束缚电流密度 i′= M sinθ
θ
面束缚电流强度 dI′= i′dl = MRsinθdθ R o
A与B对S面总电流无贡献，
只有C有贡献. 在L上取一线元，
以dl为轴线，a为底，作一圆柱
体，体积为∆V=adlcosθ ，凡是中
心处在∆V内的分子环流都为dl所
穿过 ，∆V内共有分子数:
N = n∆V = na d l cosθ
=
nar
⋅
d
r l
N个分子总贡献：
I′
=
IN
=
nIar
⋅
d
r l
=
r M
(µr > 1)
大多数玻璃，锰，铝，铁盐与镍盐的溶液等
抗磁质， χm < 0 , 10−5 ~ 10−6 , M和H反向
(µr < 1)
铜，硫，铋，氢气，水及惰性气体等
真空中，M = 0, χm = 0, µr = 1,
r B
=
µ0
r H
无磁化现象
18
3. 顺磁质的磁化
分子具有固有磁矩．热运动与磁场共同作用. 分子在外磁
均匀磁化：M为常数 ，V × M = 0， j′= 0, 介质内部没有磁
化电流，磁化电流只分布在磁介质表面. 9
3. M与介质表面磁化电流的关系
r M
× nr
= ir′ 或
Mτ
= i′
面磁化电流密度
证明：
在介质表面取小闭合矩形回路
（长边与介质表面平行，短边与介质表面垂直）
(bc、da << △l )
磁介质磁化性质的物理量，并补充H和B的关系
二. 磁介质的磁化规律
1. 磁介质分类
弱磁性：顺磁质、抗磁质 强磁性：铁磁质
2. 两类弱磁性磁介质
无外场
分子磁矩 m分子= ml+ ms ≠ 0
∑ m分子=0
—— 顺磁质
分子磁矩 m分子= ml+ ms ＝ 0
∑ m分子=0
—— 抗磁质
有外场
∑ m分子≠0
2. 磁化曲线（起始磁化曲线）
起始磁化曲线：OABCS曲线
Ms、、Bs分别为饱和磁化强度和饱和
磁感应强度
23
3. 磁滞回线
磁化过程中，M和B的变化 总是落后于H的变化，这一 现象称为磁滞现象；右图曲 线叫磁滞回线
MR：剩余磁化强度 BR: 剩余磁感应强度 HC：矫顽力
软磁性材料：HC ~（1A·m-1） 硬磁性材料：HC ~（104~106A·m-1）
磁介质
1. 磁化强度
∑ r
M=
mr 分子
∆V
2. 磁化强度与磁化电流关系
∑I′
=
∫
r M
⋅
r dl
irL内′ =
r M
L
×
nr
电介质
极化强度
∑ r
P
=
pr分子
∆V
极化强度与极化电荷关系
q′
=
−∫
r P
⋅
dSr
σ ′ = PvS⋅ nr 11
例题1: 长为l，直径为d的均匀磁介质圆柱体在外磁场中被均匀 磁化，磁化强度矢量为M，M的方向与圆柱轴线平行. 求圆柱表
面的磁化电流及柱轴线上中点处的附加磁感应强度矢量B′.
面磁化电流: i′ = M × n ⇒ M = i′
与有限长密绕螺线管类比: nI ⇔ i′
用计算载流螺线管内磁场的公式计算
B′
=
µ0i′
2
(cos
β1
−
cos
β2)
cos β1 = − cos β2 =
l l2 +d2
轴线中点附加场:
B′ = µ0 M
r M
+
↓
Br′ ←⎯产生⎯附加⎯场⎯ I ′
|| r B
传导电流磁场 + 磁化电流磁场 总磁场B遵从的规律
⎧
∫∫ ∫∫ ∫∫⎪⎪
⎨
S
r B0 r
∫ ∑ ∫ ∑ ∑ ∫ ∑ ⎪⎪⎩L B0 ⋅
r ⋅ dS = 0
r
dl = µ0
L内
I0
+
⎧
Br′
⋅
d
r S
=
0
⎪⎪ ⎨
S
⎪⎪⎩ L
Br′
⋅
d
r l
=
µ0
⇒
mr l
= − er 2 ωr = −
e
r l
2
2m
19
外磁场作用在一个抗磁质原子上，考虑电
子的轨道运动 (设电子角速度平行于外磁场),
求无外磁场时的角速度 ω0 (电子只受库仑力）
Ze2
4 πε0r2
= mω02r ⇒ ω0
=
(
4
Ze2
π ε0mr
3
)
1 2
加外磁场B0，电子受库仑力、洛伦兹力 （指向中心），假设轨道的半径不变（相当
2. 磁化强度矢量M与磁化电流I′关系
磁化强度矢量M沿任意闭合回路L的积分等于通过以L为周
界的曲面S的磁化电流的代数和，即
证明:
∫
r M
⋅
d
r l
=
∑
I
′
L
L内
通过以L为界, S面内全 部分子电流的代数和
把每一个宏观体积内的分子看成是完全
一一样个的分电子流的环真，实即磁用矩平: 均mr分分子子=磁I 矩ar 代替每
3
3. 磁介质的磁化
• 分子磁矩 m分子= ml+ ms
轨道磁矩ml ：由原子内各电子绕原子核的轨道运动决定 自旋磁矩ms ：由核外各电子的自旋的运动决定
• 磁化：在外磁场作用下大量分子电流混乱分布（无序）
—— 整齐排列（有序）
每一个分子电流提供一个分子磁矩m分子，磁化了的介质
内分子磁矩矢量和 Σm分子≠ 0，分子磁矩的整齐排列贡献
传导电流：载流子的定向流动，是电荷迁移的结果，产生焦耳热，
产生磁场，遵从电流产生磁场规律
磁化电流：磁介质受到磁场作用后被磁化的后果，是大量分子电流
叠加形成的，是大量分子电流统计平均的宏观效果
相同之处：都可以产生磁场，遵从电流产生磁场规律
不同之处：电子都被限制在分子范围内运动，与因电荷的宏观迁移
引起的传导电流不同；分子电流运行无阻力，即无热效应 6
毕奥-萨伐尔定律，可以产生
附加场B′，附加场反过来要
影响原来空间的磁场分布．
• 各向同性的磁介质只有介质表
面处，分子电流未被抵消，形
成磁化电流
5
z 磁化的描绘
r M,
I ′,
r B
=
r B0
+
Br′
三者从不同角度定量地描绘同一物理现象 —— 磁化 三者关系 —— 磁介质磁化遵循的规律
z 磁化电流与传导电流
⇒ ∆ω = eB0
2m
20
考虑电子角速度反平行于外磁
场，有同样结论，∆ω的方向总是
与外磁场B0相同.
即:
∆ωr
=
r eB0
2m
原有电子轨道磁矩:
mr l
=
−
e 2m
r l
=
−
er 2 2
ωr0
电子角速度改变引起电子磁矩改变为:
∆mr
=
−
er 2 2
∆ωr
=
−
e2r 2 4m
r B0
21
ω0与外磁场B0成任何角度
的电作当子用介在质: 外M处r 磁=于m场r磁×中场Br0作中. 拉时莫，尔每进个动电.子(Ω磁r =矩2都em 受Br0到) 磁力矩
(a)
(b)
(c)
22
三. 铁磁质的磁化
铁，钴，镍及其合金，铁氧体等
(χm >>1 , 102 ~ 106 )
1. 铁磁质特点
M的值相当大；M与H不成正比关 系，甚至也不是单值关系。实验表 明，M和H间的函数关系比较复杂， 且与磁化的历史有关。铁磁质的M与 H、B的关系通常通过实验测定
设单位体积内的分子环流数为 n，单位体积内分子磁矩总和为:
∑ mr分子
=
nIar
=
r M
∆V
设想在磁介质中划出任意宏观面S来考察：令其周界线为L，
则介质中的分子环流分为三类:
7
• 不与S相交 —— A
• 整个为S所切割，即分子 电流与S相交两次 —— B
• 被L穿过的分子电流，即 与S相交一次 —— C