第6章 6.4 6.4.3 第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例

探
时
究 方位角是 150°，距离是 3 km，试画出示意图．
分 层
释
作
疑
业
难
·
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25
·
情
课
境
堂
导 学
[提示] 如图所示：
小 结
·
探
提
新
素
知
养
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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·
26
·
情
课
境
2．在探究 1 中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从 A 点 堂
导
小
学 到 C 点，则此人的速度至少是多少？
作
课
探
(3)若 P 在 Q 的北偏东 44°，则 Q 在 P 的东偏北 44°方向．
究
时 分
层
释 疑
( )作 业
难
[答案] (1)× (2)× (3)×
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·
·
11
2．小强站在地面上观察一个建在山顶上的建筑物，测得其视角
情
课
境 导
为 α，同时测得观察该建筑物顶部的仰角为 β，则小强观测山顶的仰
堂 小
学
结
探 角为( )
·
提
新
素
知
A．α＋β
B．α－β
养
合
作
C．β－α
探
D．α
课 时
究
分
释
C [如图所示，设小强观测山顶的仰角为
层 作
疑
难 γ，则 β－γ＝α，因此 γ＝β－α，故选 C 项．]
业
·
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12
·
情
课
境
3．某人先向正东方向走了 x km，然后他向右转 150°，向新的方 堂
导
小
学
m，则河的宽度为
课
探
时
究 ________m.
分 层
释
作
疑
业
难
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·
18
·
情
课
境
堂
导
小
学
结
探
60 [由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝
·
提
新
素
知 75°，∴△ABC 为等腰三角形．河宽即 AB 边上的
养
合 作
高，这与 AC 边上的高相等，过 B 作 BD⊥AC 于
课
探
时
究 D，∴河宽：BD＝120·sin 30°＝60(m)．]
分 层
释
作
疑 难
明同学求出泉标的高度吗？(精确到 1 m)
业
·
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·
20
[解] 如图所示，点 C，D 分别为泉标的底部和顶端．
情
课
境 依题意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2 m，
堂
导
小
学
结
探 则∠ABD＝100°，故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°.
·
提
新
课 时 分
层
释
疑 难
因此电视塔的高度 H 是 124 m.
作 业
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·
·
24
角度问题
情
课
境
堂
导
小
学
结
探
[探究问题]
·
提
新
素
知
1．某物流投递员沿一条大路前进，从 A 到 B，方位角是 60°， 养
合 作
距离是 4 km，从 B 到 C，方位角是 120°，距离是 8 km，从 C 到 D， 课
层 作
疑
业
难 中，AC＝28t，BC＝xt，∠CAB＝30°，∠ABC＝135°.
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·
33
·
情 境
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·
13
·
情
课
境
堂
导
小
学
结
·
探
提
新 知
合
合作
探究
释疑
难
素 养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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·
14
·
情
测量距离问题
课
境
堂
导
小
学
【例 1】 海上有 A，B 两个小岛相距 10 海里，从 A 岛望 C 岛 结
·
探
提
新
素
知 和 B 岛成 60°的视角，从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75°的视角，则 B，C 养
作 探 究
释 疑
2．通过求解距离、高度等实际问 离、高度、角度有关的实际应用问
题，提升数学运算的素养. 题．(重点)
课 时 分 层 作 业
难
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·
3
·
情
课
境
堂
导
小
学
结
·
探
提
新 知
合
情境
导学
探新
知
素 养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
4
·
情
课
境
堂
导
小
学
结
·
探 新
在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事．明月高
小
学
结
·
探
提
新
素
知
[思路探究] 根据题意明确已知条件与几何量间的对应关系，将 养
合 作
实际问题转化为数学问题，运用正、余弦定理解决．
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
30
·
情
[解] 设用 t 小时，甲船追上乙船，且在 C 处相遇，
课
境
堂
导 学
则在△ABC 中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，
课 时
究
分
释 疑
钟)，追投递员的人所用时间由探究 2 可知 t2＝146 77＝14(小时)＝15 分
层 作 业
难
钟；由于 30>15＋10，所以此人在 C 点能与投递员相遇．
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·
28
·
情
【例 3】 如图，甲船在 A 处，乙船在 A 处
课
境
堂
导 学
的南偏东 45°方向，距 A 有 9 海里的 B 处，并以
释
在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具
层 作
疑
业
难 有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
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·
6
·
情
课
境 导
思考 1：在本课时情境引入中，我们遇到这么一个问题，“遥不
堂 小
学
结
·
探 可及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪 提
新
素
知
养
小 结
·
探
提
新 20 海里每小时的速度沿南偏西 15°方向行驶，若
素
知
养
合 甲船沿南偏东 θ 度的方向，并以 28 海里每小时的
作
课
探 速度行驶，恰能在 C 处追上乙船．问用多少小时
究
时 分
层
释 疑
追上乙船，并求 sin θ 的值．(结果保留根号，无需
作 业
难
求近似值)
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·
29
·
情
课
境
堂
导
合 角．(如图所示)
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
·
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8
·
情
课
境
(2)方向角
堂
导
小
学 探
从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西 60°，即以
·
结 提
新
素
知 正南方向为始边，顺时针方向向西旋转 60°. (如图所示)
养
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
9
·
情
课
境
堂
导
小
学
结
探
思考 2：李尧出校向南前进了 200 米，再向东走了 200 米，回到 提
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·
·
22
[跟进训练]
情 境
2．某兴趣小组要测量电视塔
AE
的高度
H(单位：m)．如图所示，
课 堂
导
小
学 竖直放置的标杆 BC 的高度 h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.该 结
·
探
提
新 知
小组已测得一组 α，β 的值，算出了 tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据
素 养
合 此算出 H 的值．
第六章 平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用 6.4.3 余弦定理、正弦定理 第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例
2
·
情
课
境
学习目标
核心素养
堂
导
小
学 1.能将实际问题转化为解三角形
结
·
探
1.通过利用正、余弦定理解决实际 提
新 知
问题．(难点)
素
问题，培养数学建模的核心素养． 养
合 2．能够用正、余弦定理求解与距
合 作
间的距离是(
)
课
探
时
究
释
A．10 3 海里
B．103 6 海里
分 层 作
疑
业
难
C．5 2 海里
D．5 6 海里
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·
15
·
情
课
境
堂
导
小
学
D [根据题意，可得如图．在△ABC 中，A＝60°，
结
·
探
提
新 知
B＝75°，AB＝10，∴C＝45°.由正弦定理可得siAnBC＝
素 养
合
作 探 究
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
·
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23
·
情
课
境 导 学
[解]
由 AB＝taHn α，BD＝tanh β，AD＝taHn β及 AB＋BD＝AD，得
堂 小 结
·
探
提
新 知
H tan
α＋tanh
β＝taHn
β，
素 养
合
作 探 究
解得 H＝tanhαt－antαan β＝1.42×4－1.12.420＝124.
器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的
合
作 呢？
探
课 时
究
分
层
释 疑
[提示] 利用正弦定理和余弦定理．
作 业
难
返 首 页
·
·
7
2．测量中的有关角的概念
情 境
(1)仰角和俯角
课 堂
导
小
学
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目 结
·
探
提
新
素
知 标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯 养
课
探
时
究
(2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分
分 层
释
作
疑 析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、 业
难
余弦定理来解决． 返 首 页
·
17
·
情
课
境
堂
导
小
学
结
探
[跟进训练]
·
提
新
素
知
1．为了测定河的宽度，在一岸边选定两点 A，B，望对岸标记物 养
合 作
C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120
提 素
知
养
悬，我们仰望夜空，会有无限遐想．
合
作 探
问题：月亮离我们地球有多远呢？科学家们是
课 时
究
分
释 怎样测出来的呢？
层 作
疑
业
难
返 首 页
·
5
·
情
课
境
堂
导 学
1．基线的概念与选择原则
小 结
·
探
提
新
(1)定义
素
知
养
在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段 叫做基线．
合
作
课
探
(2)性质
究
时 分
sBinCA，即 102＝BC3 ，∴BC＝5
6(海里)．]
课 时 分
释
22
层 作
疑
业
难
返 首 页
·
16
·
情
境
三角形中与距离有关问题的求解策略
课 堂
导
小
学
1解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则 结
·
探
提
新
素
知 直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要 养
合 作
根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解.
分 层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
·
19
情
测量高度问题
课
境
堂
导
小
学 探
【例 2】
济南泉城广场上的泉标模仿的是隶书“泉”字，其造
·
结 提
新
素
知 型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度， 养
合 作
于是他在广场的 A 点测得泉标顶端的仰角为 60°，他又沿着泉标底部
课
探
时
究
方向前进 15.2 m，到达 B 点，又测得泉标顶部仰角为 80°.你能帮助李
小 结
·
探 新
∠ABC＝180°－15°－45°＝120°，由余弦定理得，
提 素
知
养
合 作
(28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×－12，
课
探
时
究
即 128t2－60t－27＝0，
分 层
释
作
疑 难
解得 t＝34或 t＝－392(舍去)，
业
返 首 页
·
31
·
∴AC＝21(海里)，BC＝15(海里)．根据正弦定理，
返
首
页
21
·
情
课
境
堂
导
解决测量高度问题的一般步骤
小
学
结
·
探 新
1画图：根据已知条件画出示意图.
提 素
知
养
2分析三角形：分析与问题有关的三角形.
合
作 探
3求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求
课 时
究
分
释
解.在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程
层 作
疑
业
难 思想的运用.
·
结
探
提
新
素
知
[提示] 在探究 1 图中，在△ABC 中，∠ABC＝60°＋(180°－120°) 养
合
作 探
＝120°，由余弦定理得 AC＝
AB2＋BC2－2AB·BC·cos 120°＝4
7，
课 时
究
分
释 疑
则此人的最小速度为 v＝417＝8
7 (km/h)．
层 作 业
难
2
返 首 页
·
27
·
情
2－5 28
6 .
返
首
页
·
32
·
情
课
境
堂
导 学
(变条件，变结论)在本例中，若乙船向正南方
小 结
·
探
提
新 向行驶，速度未知，而甲船沿南偏东 15°的方向行驶
素
知
养
恰能与乙船相遇，其他条件不变，试求乙船的速度．
合
作 探
[解] 设乙船的速度为 x 海里每小时，用 t 小时
课 时
究
分
释 甲船追上乙船，且在 C 处相遇(如图所示)，则在△ABC
·
新
素
知 自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？
养
合
作
课
探
[提示] 东南方向．
究
时 分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
10
·
情
课
境
堂
导 学
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
小 结
·
探
新
(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边．
知
提
( )素 养
合
(2)两个不可能到达的点之间的距离无法求得．
()
情
课
境 导 学
得 sin∠BAC＝BC·siAn∠C ABC＝5143，
·
堂 小 结
探
提
新 知
则 cos∠BAC＝ 1－17452＝1114.
素 养
合
作 探
又∠ABC＝120°，∠BAC 为锐角，∴θ＝45°－∠BAC，
课 时
究
分
释
sin θ＝sin(45°－∠BAC)
层 作
疑
业
难
＝sin 45°cos∠BAC－cos 45°sin ∠BAC＝11
素
知 合
在△ABD 中，根据正弦定理，sinBD60°＝sin∠ABADB.
养
作
课
探 究
释
∴BD＝AsBisnin206°0°＝15.2s×in s2i0n°60°≈38.5(m)．
时 分 层 作
疑
难 在 Rt△BCD 中，CD＝BDsin 80°＝38.5×sin 80°≈38(m)，
业
·
即泉城广场上泉标的高约为 38 m.
结
·
探 向走了 3 km，结果他离出发点恰好为 3 km，那么 x 的值为( ) 提
新
素
知
A． 3 B．2 3 C．2 3或 3 D．3
养
合
作
C [如图，在△ABC 中由余弦定理得 3＝9＋x2
探
课 时
究 释
－6xcos 30°，
分 层 作
疑
难
即 x2－3 3x＋6＝0，解得 x＝2 3或 3.]
业
3．在探究 1 中若投递员以 24 km/h 的速度匀速沿大路从 A 到 D 课
境
堂
导 学
前进，10 分钟后某人以 16
7 km/h 的速度沿小路直接由 A 到 C 追投
小 结
·
探 新
递员，问在 C 点此人能否与投递员相遇？
提 素
知
养wenku.baidu.com
合 作 探
[提示]
投递员到达
C 点的时间为
t1＝42＋48＝12(小时)＝30(分